Probabilidad y Estadística Objetivo de aprendizaje del tema

Transcripción

Probabilidad y Estadística
Probabilidad y
Estadística
Tema 8
Distribución normal estándar y
distribuciones relacionadas
Objetivo de aprendizaje del tema
Al finalizar el tema serás capaz de:
•
•
Explicar los conceptos de la distribución normal estándar
en el ámbito de poblaciones no finitas.
Aplicar la distribución normal estándar en problemas con
poblaciones no finitas.
D.R. UNIVERSIDAD TECMILENIO
Derechos Reservados. Universidad Tec Milenio.
Introducción al tema
El proceso de calidad Seis Sigma está basado en la
distribución normal estándar. Dicha distribución de
probabilidad es una de las más importantes pues
describe el comportamiento de varios fenómenos
naturales, sociales, psicológicos y de los procesos como
el de manufactura en las plantas de producción.
Introducción al tema
¿Qué características tiene los procesos que siguen la
distribución normal estándar?, ¿cuál es su utilidad
práctica?, ¿qué tipo de problemas podemos resolver con
ella? Durante este tema, conocerás la distribución de
probabilidad normal estándar y algunas de las
distribuciones relacionadas.
Distribución de Probabilidad Normal
La curva normal tiene
forma de campana y
presenta un solo pico
en el centro de la
distribución.
La media aritmética, la
mediana y la moda de
la distribución son
iguales en el punto
central.
La mitad del área bajo
la curva se halla por
encima del valor
central y la otra mitad
se halla por abajo del
valor central.
La distribución
probabilística normal es
simétrica respecto a su
media.
La curva normal es
asintótica en ambas
direcciones.
•
Gráficamente, la distribución de probabilidad normal se
describe como:
La curva es simétrica
Extremidad o cola
En teoría, se
extiende hasta -
Extremidad o cola
Media, mediana y
moda
En teoría, se
extiende hasta +
•
En una población normal:
68.25 % de los puntos están a una distancia de +-1 desviación
estándar de la media.
95.45 % de los puntos están a una distancia de +-2 desviaciones
99.73 % de los puntos están a una distancia de +-3 desviaciones
99.99966 % de los puntos están a una distancia de +-6
desviaciones estándar de la media.
•
Si tomamos un elemento, tenemos 68.25% de
posibilidades de que sea un elemento que está en
promedio entre más y menos una desviación estándar
con respecto a la media.
•
Una prueba de
duración de pilas
alcalinas reveló
que la duración
media antes de que
falle es de 19
horas, con una
desviación
estándar de 1.2
horas, si se
distribuye de forma
normal entonces:
Aproximadamente el
68.25% de las baterías
falló entre 17.8 horas y
20.2 horas (más menos
una desviación
estándar)
Aproximadamente
el 95.45% de las
baterías falló
entre 16.6 horas y
21.4 horas (más
menos dos
desviaciones
estándar)
Aproximadamente el
99.73% de las baterías
falló entre 15.5 horas y
22.6 horas (más menos
tres desviaciones
estándar)
Distribución de Probabilidad Normal Estándar
Distribución Normal Estándar:
Elemento de la familia de distribuciones
normales con media igual a 0 y
desviación estándar igual a 1.
Cada distribución
normal estándar
tiene una media y
una desviación
estándar diferente.
Se utiliza un elemento
de la familia de
distribuciones normales
para todos los casos
donde la distribución
normal resulte aplicable.
El número de
distribuciones
normales es
ilimitado.
•
•
El valor Z (o desvío normal): Es la diferencia entre un
valor seleccionado, denotado por X y la media
poblacional, dividida entre la desviación estándar de la
población:
Matemáticamente, se expresa:
•
En una empresa de consultoría se está evaluando el
esquema de compensaciones de los programadores. El
estudio revela la siguiente información:
–
–
•
El sueldo promedio de un programador es de 1,000
pesos diarios.
La desviación estándar es de 100 pesos diarios.
¿Cuál es la probabilidad un programador seleccionado al
azar obtenga un sueldo entre 790 y 1000 pesos diarios?
•
•
Primeramente calculamos el valor de Z para 790.
Dado que la curva es simétrica, podemos obtener el
valor de Z = 2.10 de la tabla de la distribución normal
estándar:
•
El valor de Z = 2.10 es de 0.4821, gráficamente:
0.4821
Z=0
•
2.1
Lo anterior nos dice que existe una probabilidad del
48.21% de que un programador seleccionado al azar
obtenga un sueldo entre 790 y 1000 pesos semanales.
Aproximación de Normal a Binomial
En la distribución de probabilidad
binomial pueden construirse tablas
de distribución parecidas a la tabla
de distribución normal.
La distribución binomial, al
aumentar el tamaño de la muestra,
se acerca a una distribución de
probabilidad normal.
La distribución exponencial es el
equivalente continuo de la
distribución geométrica discreta.
•
En una pizzería, el 70% de sus clientes nuevos vuelven
una segunda ocasión. En una semana en la que 80
clientes nuevos cenaron en el establecimiento, ¿cuál es
la probabilidad de que regresen 60 o más en otra
ocasión?
Debido a que estamos aproximando una distribución discreta a
una distribución continua, es necesario hacer un ajuste llamado
factor de corrección de continuidad. Esto obliga a restar 0.5 al
valor que estamos buscando, es decir, 60 – 0.5 = 59.5.
•
Consideremos lo siguiente:
•
Obtenemos el valor de Z para 60 clientes:
•
•
Obtenemos el valor del área bajo la curva para Z = 0.85:
Debido a que buscamos la probabilidad de que regresen
60 o más clientes, lo que nos interesa es el valor de la
probabilidad del z = 0.85 en adelante.
•
•
También sabemos que el área bajo la curva de cada
mitad es de 0.5, entonces:
El resultado indica que existe un 19.77% de
probabilidades de regresen 60 o más clientes de los 80
clientes nuevos que visitaron la pizzería.
Distribución de Probabilidad de Weibull
Se aplica en los análisis de fiabilidad para
establecer, por ejemplo, el periodo de vida de
un componente hasta que presenta una falla.
La distribución de Weibull es útil por su
habilidad para simular un amplio rango de
distribuciones como la distribución de
probabilidad normal y la distribución de
probabilidad exponencial.
Distribución de Probabilidad Lognormal
Representa la evolución con el
tiempo de la tasa de fallos.
Permite fijar tiempos de
reparación de componentes,
siendo también en este caso el
tiempo la variable
independiente de la
distribución.
Describe la dispersión de las
tasas de fallo de componentes,
ocasionada por diferente
origen de los datos, distintas
condiciones de operación,
entorno, bancos de datos
diferentes, etc.
Distribución de Probabilidad Lognormal
Asigna a valores de
la variable < 0 la
probabilidad 0 y de
este modo se
ajusta a las tasas y
probabilidades de
fallo que de esta
forma sólo pueden
ser positivas.
Como depende de
dos parámetros, se
ajusta bien a un
gran número de
distribuciones
empíricas.
Es idónea para
parámetros que
son a su vez
producto de
numerosas
cantidades
aleatorias.
La esperanza
matemática o
media en la
distribución
lognormal es
mayor que su
mediana.
Distribución de Probabilidad Beta
La distribución de
probabilidad beta es una
función de densidad con
dos parámetros definida
en el intervalo cerrado
0 ≤ x ≤ 1.
Se utiliza frecuentemente
como modelo para
fracciones, tal como la
proporción de impurezas
en un producto químico o
la fracción de tiempo que
una maquina está en
reparación.
Cierre
En los problemas en donde el número de variables
involucradas hace imposible un análisis detallado, la
selección de variables correctas y la aplicación de la
distribución de probabilidad normal estándar, nos
permite obtener resultados confiables para ese problema
en particular.
Cierre
Como vimos en el tema, no sólo podemos utilizar la
distribución normal en problemas típicos donde la
población es muy grande, también podemos hacer uso
de la distribución normal para aproximarla a otro tipo de
distribuciones, incluso distribuciones discretas como la
distribución de probabilidad binomial.
Durante el siguiente tema del curso de Probabilidad y
Estadística, conocerás los conceptos básicos de la
estadística descriptiva, extenderás tu conocimiento
acerca de la utilidad de los espacios muestrales y nos
adentraremos en los conceptos de la inferencia
estadística.
Referencias bibliográficas
•
•
•
Devore, J. (2008). Probabilidad y estadística para
ingeniería y ciencias. (7a. Ed.). México: Cengage
Learning. Capítulo: 4
Wakerly, D., Mendenhall, W. et al. (2002). Estadística
matemática con aplicaciones. (6a. Ed). México: Cengage
Learning
Spiegel, M.(2004). Probabilidad y estadística (2a. Ed).
México: McGraw Hill
Créditos
Diseño de contenido:
Ing. Armando Calzada Mezura, MA, PMP
Coordinador académico:
Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MED.
Edición de contenido:
Lic. Verónica Montes de Oca Pinzón.
Edición de texto:
Lic. Arcelia Ramos Monobe, MEE
Diseño Gráfico:
Lic. Alejandro Calderas González, MATI

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