Ecuaciones Lineales

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL.
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECÁNICA Y
ELÉCTRICA.
UNIDAD CULHUACÁN.
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Lineales
Ing. Jonathan Alejandro Cortés
Montes de Oca
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Lineales.
Introducción.
La ecuaciones diferenciales lineales son una familia de ecuaciones, en las cuales siempre existe
una buena probabilidad de encontrar solución.
Se dice que una ecuación diferencial de primer orden de la forma
+
=
Es una ecuación lineal con variable dependiente y.
Forma estándar.
Al dividir ambos extremos de la función entre el coeficiente a1(x) se obtiene la forma estándar de
una ecuación lineal la cual es una forma más útil y sencilla de resolver.
+
=
Existen dos formas de identificar las ecuaciones diferenciales.
ED Homogénea: es aquella donde f(x)=0
ED No homogénea: es aquella donde f(x) es indiferente de 0.
Solución:
Convierta una ecuación lineal de su forma inicial a su forma estándar. P(x) y utilice el factor
integrante:
Multiplique por el resultado del factor integrante. El lado izquierdo de la ecuación resultante es
automáticamente la derivada del factor integrante y de y: escriba
=
E integre ambos lados.
Elaborado por: Ing. Jonathan Alejandro Cortés Montes de Oca.
Página 1
Ecuaciones Diferenciales
Ejemplos:
1.
=5
−5 =0
Podemos deducir que
= −5
Entonces integramos
=
Por lo tanto
−5
=0
Podemos resolver de la siguiente forma
=0
=
0
=
=
=
Elaborado por: Ing. Jonathan Alejandro Cortés Montes de Oca.
Página 2
Ecuaciones Diferenciales
2.
+
=
Podemos deducir que
=1
Entonces integramos
=
Por lo tanto
+
=
+
·
=
Podemos resolver de la siguiente forma
=
=
=
=
=
1
·
4
1
4
1
4
+
+
+
Elaborado por: Ing. Jonathan Alejandro Cortés Montes de Oca.
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Ecuaciones Diferenciales
3.
"
+3
$
=
$
Podemos deducir que
=3
$
Entonces integramos
%
=
&
&
=
Por lo tanto
&
$
+3
$
&
Podemos resolver de la siguiente forma
&
'
&
'
&
(=
(=
=
1
= ·
4
=
1
3
1
+
4
&
&
$
&
&
&
$
+
+
&
&
Elaborado por: Ing. Jonathan Alejandro Cortés Montes de Oca.
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Ecuaciones Diferenciales
4.
−4
+
)
=0
En este caso tendremos que realizar una serie de despejes:
−4 −4
−
4
−
−4
4
=0
)
=0
=4
Podemos deducir que
=−
4
Entonces integramos
=
*+ -.
=
*+
=
Por lo tanto
−
1
4
=4
−
1
4
·
=4
Podemos resolver de la siguiente forma
=4
=4
=2
=2
=2
$
)
$
+
+
+
Elaborado por: Ing. Jonathan Alejandro Cortés Montes de Oca.
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Ecuaciones Diferenciales
5. Problema con valor inicial
"
+
=
+
"
1 = 2
1
=
Podemos deducir que
1
=
Entonces integramos
=
*+
=
=
·
Por lo tanto
"
+
"
+
=
Podemos resolver de la siguiente forma
=
=
=
=
+
+
=
+
Aplicando el valor Inicial.
2=1
+
2=
1
+
=2−
La ecuación resultante es:
=
+
2−
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Ecuaciones Diferenciales
6. Problema con valor inicial donde L, R, i0 y E son constantes
0
1
+ 31 = 41 0 = 1 2
1 3
4
+ 1=
2 0
0
Podemos deducir que
2 =
3
0
Entonces integramos
5
6
7
5
7
6
=
Por lo tanto
5
7
6
1
+
2
5
7
6
·
3
4
·1 =
0
0
5
7
6
Podemos resolver de la siguiente forma
2
2
5
7
6 19
8
8
5
7
6 1
5
7
6 19
=
5
7
6 1
1=
3
=
=
4
0
4 0
·
0 3
=
4
4
:
5
7
6
4
0
5
7
6
5
7
6
5
7
6
5
7
6
5
7
6
2
+
+
+
1=
4
+
0
5
7
6
1 =
4
+
0
5
6
5
7
6
Aplicando el valor Inicial.
1 =
4
+
0
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Ecuaciones Diferenciales
=1 −
4
0
La ecuación resultante es:
1=
4
4
+ 81 − 9
0
0
5
7
6
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Ecuaciones Diferenciales
Problemas propuestos:
1.
$ "
−
2.
$ "
5. cos
7.
@;
9.
10.
+
$
"
$
=
−
; <
+2
−
+ ; <
+
+1
6.
8.
=
=1
+4 =
3.
4.
+
; <
+2
−2
=1
=2
+ A @;
B =1
B = @; $ ,
0 = −1
=2
+ Atan
=
$
,
1 =5
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