C - UTE y CV ESIA ZACATENCO - Instituto Politécnico Nacional

C - UTE y CV ESIA ZACATENCO - Instituto Politécnico Nacional

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y
ARQUITECTURA
UNIDAD ZACATENCO
INGENIERÍA CIVIL
ASIGNATURA:
MATEMÁTICAS II
IMPARTE:
ING. MAURICIO SUÁREZ LEDEZMA
La Técnica al Servicio de la Patria
MAYO 2006
COEFICIENTES HOMOGÉNEOS
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
5. Variables
Separadas
dy
 y
 g 
dx
x
Considérese una ecuación de la forma
cociente y/x.
donde g es una función del
Para que en esta ecuación sea posible separar las variables es necesario definir la siguiente
transformación de variables:
y
v
o en forma equivalente
y  vx
x
Lo que permite cambiar la variable dependiente “y” por “v”, pero manteniendo como
variable independiente a “x”. Si se deriva esta última ecuación con respecto a “x” se
obtiene:
dy
dv
vx
dx
dx
Comparando este resultado con la ecuación original, se observa que ambas ecuaciones
representan a dy/dx e igualándolas se obtiene:
dv
vx
dx
 g (v)
La cual puede resolverse mediante separación de variables de la siguiente forma:
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
 dx   dv


 x  g (v )  v
Finalmente se reexpresa la solución en términos de la variable dependiente inicial (y).
EJERCICIOS
1/10
COEFICIENTES HOMOGÉNEOS
EJEMPLO:
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
Determinar la solución general de
x 2  xy  y 2 dx  xy dy  0
SOLUCIÓN (Opción 1).
Verificando que los coeficientes de las diferenciales
sean funciones homogéneas:
M  x, y   x 2  xy  y 2
N  x, y    xy
;
M x, y   x 2  x y   y 2


M x, y   2 x 2  xy  y 2  2 M  x, y 
N x, y   x y   2  xy   2 N  x, y 
4. Transformada
Laplace
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
Ya que son homogéneas y del mismo grado (2)
cualquiera de las sustituciones y=vx ó x=vy son
posibles.
Considerando que y=vx y dy=vdx+xdv ...
x
x
x
x

2
 xvx   vx 2 dx  xvx vdx  xdv  0
2
 x 2 v  v 2 x 2 dx  x 2 v 2 dx  x 3vdv  0
2
 x 2 v  v 2 x 2  x 2 v 2 dx  x 3vdv  0
2
 x 2 v dx  x 3 vdv  0


x 2 1  v dx  x 3vdv  0

x 2 1  v dx  x 3vdv
x2
x3



dx 
v
dv
1 v
x2
v
dx  
dv

 1 v
x
 dx   v dv


 x  1 v
 dx    v dv


 x
 1 v
 dx    v  1  1 dv


 x
 1 v
 dx   1  v  1 dv


 1 v
 x
 dx   1  v dv    1 dv



 x
 1 v
 1 v
 dx   dv    dv



 x
 1 v
ln  x   v  ln 1  v   c
ln  x   v  ln 1  v   c
3
ATRÁS
ADELANTE
2/10
COEFICIENTES HOMOGÉNEOS
SOLUCIÓN (Opción 2).
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
ln x 1  v   v  c
Verificando que los coeficientes de las diferenciales
sean funciones homogéneas:
e ln x 1  v  v  e c
M  x, y   x 2  xy  y 2
e ln x 1  v e v  e c
M x, y   x 2  x y   y 2
x 1  v e v  e c
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace

x
 y e
x
 x-y e
y
x
N x, y   x y   2  xy   2 N  x, y 
Ya que son homogéneas y del mismo grado (2)
cualquiera de las sustituciones y=vx ó x=vy son
posibles.
 c2

La solución
 c
general
es
Considerando que x=vy y dx=vdy+ydv ...
vy 
v y
2
2 2
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?

M x, y   2 x 2  xy  y 2  2 M  x, y 
x 1  v e v  c 2
y y

x1  e x  c 2
x 

y
N  x, y    xy
;

 vy  y  y 2 vdy  ydv   vy  ydy  0

 vy 2  y 2 vdy  ydv   vy 2 dy  0
v 3 y 2 dy  v 2 y 3 dv  v 2 y 2 dy  vy 3 dv  y 2 vdy  y 3 dv  vy 2 dy  0
v 3 y 2  v 2 y 2  y 2v  vy 2 dy  v 2 y 3  vy 3  y 3 dv  0
v 3 y 2  v 2 y 2 dy  v 2 y 3  vy 3  y 3 dv  0
y 2 v 3  v 2 dy  y 3 v 2  v  1dv  0
ATRÁS
ADELANTE
3/10
COEFICIENTES HOMOGÉNEOS
Separando variables...
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
y2
y
3
dy  
AC 1
v2  v 1
3
v v
2
dy
v2  v 1

dv
y
v3  v 2
 v2  v 1
 dy
 
dv

 y
 v3  v 2
Para resolver la integral del miembro
derecho se aplica una descomposición
en fracciones; esto es
4. Transformada
Laplace
v2  v 1
5. Variables
Separadas
A B
C  2
v v  1
v 2  v  1   

 v v2 v 1
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
v 2 v  1

 A  B  1
 B 1
dv
Resolviendo este sistema de ecuaciones lineales
se obtiene que:
A  0 ; B  1 ; C  1
Por lo que
v2  v 1
v 2 v  1
A B
C
1
1




v v2 v 1
v2 v 1
De manera que lo que se integrará ahora es:
1
 dy  1

dv  
dv


2
 v 1
 y v
A B
C


v v2 v 1
v 2  v  1  Avv  1  Bv  1  Cv 2

O bien,
dv
 dy
  v  2 dv  


 v 1
 y
v 2  v  1  Av 2  Av  Bv  B  Cv 2
v 2  v  1   A  C v 2   A  B v   B 
Ahora, para que el miembro izquierdo
sea efectivamente igual al miembro
derecho, se establecen las siguientes
condiciones:
ATRÁS
ADELANTE
4/10
COEFICIENTES HOMOGÉNEOS
Resolviendo...
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
EJERCICIO 1:
v 1
 ln v  1   c
1
1
ln  y     ln v  1   c
v
1
ln  y   ln v  1    c
v
1
ln  y v  1    c
v
ln  y  
e
ln  y v  1 
e ln  y v  1 e
4. Transformada
Laplace
y v  1 e
5. Variables
Separadas
x  y e
1
v
1
v  ec
1
v
 ec
 ec
 x
 y
y   1  e x  e c
 y

y
x
 c2

La solución general es
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
x  y e
y
x
c
Determinar la solución general de


 y
 x csc x   y  dx  xdy  0
 


SOLUCIÓN.
Verificando que los coeficientes de las diferenciales
sean funciones homogéneas:
 y
M ( x, y )  x csc   y
x
;
N ( x, y )  x


 y 
 y
M x, y   x csc   y    x csc   y   M  x, y 
 x 
x


N x, y   x  N  x, y 
Ya que son homogéneas y del mismo grado (1)
cualquiera de las sustituciones y=vx ó x=vy son
posibles.
Considerando que y=vx y dy=vdx+xdv ...


 vx 
 x csc x   vx  dx  xvdx  xdv   0
 


ATRÁS
ADELANTE
5/10
COEFICIENTES HOMOGÉNEOS
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
x cscv   vxdx  xvdx  x 2 dv  0
x cscv   vx  xvdx  x 2 dv  0
x cscv dx  x 2 dv  0
Separando variables...
2. Exactas
x cscv dx   x 2 dv
x
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
x
2
dx  
dv
cscv 
 dx   dv


 x
 cscv 
Resolviendo...
 dx   sen v dv


 x
ln  x   cosv   C
ln  x   cosv   ln C 2 
ln  x   ln C 2   cosv 
 x 
  cosv 
ln
C
 2
 La solución general es
x
 y
ln   cos 
C 
x
EJERCICIO 2:
Determinar la solución general de

 y 
 y
 x  y arctg x  dx  x arctg x dy  0
 
 

SOLUCIÓN.
Verificando que los coeficientes de las diferenciales
sean funciones homogéneas:
 y
M ( x, y )  x  y arctg 
x
;
 y
N ( x, y )  x arctg 
x
 y 
M x, y   x  y arctg   M  x, y 
 x 
 y 
N x, y   x arctg   N  x, y 
 x 
Ya que son homogéneas y del mismo grado (1)
cualquiera de las sustituciones y=vx ó x=vy son
posibles.
Considerando que y=vx y dy=vdx+xdv ...


 vx 
 vx 
 x  vx arctg x  dx   x arctg x  vdx  xdv   0
 
 


ATRÁS
ADELANTE
6/10
COEFICIENTES HOMOGÉNEOS
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
  y 2 
y
 y
2 ln  x   2 arctg   ln1      ln C3 2
 x 
x
x


xdx  x 2 arctg v dv  0
Separando variables...
xdx   x 2 arctgv dv
dx
  arctgv dv
x
Resolviendo...
 dx   arctgv dv


 x
1


ln  x    v arctgv   ln 1  v 2   C
2


1
ln  x   v arctgv   ln 1  v 2  C
2
1
ln  x   v arctgv   ln 1  v 2  C
2
1
1
ln  x   v arctgv   ln 1  v 2  C 2
2
2
2
y
 y  1   y   1
ln  x   arctg   ln 1     C 2
x
 x  2   x   2





y 2 
 ln C3 2
2
x 
 x2  y2 
y
 y
  ln C3 2
2 ln  x   2 arctg   ln
2


x
x
 x

 C 2 ( x 2  y 2 ) 
y
 y

2 ln  x   2 arctg   ln 3
2


x
x
x


 C 2 ( x 2  y 2 ) 
y
 y
  2 ln  x 
2 arctg   ln 3
2


x
x
x


2
2
2
 C  ( x  y ) 
2y
 y
  ln x 2
arctg   ln 3
2


x
x
x


 C 2 ( x 2  y 2 ) 

 3
2


2y
 y
x
arctg   ln

x
x
x2






2 ln  x   2



  y 2 
y
 y
2 ln  x   2 arctg   ln1      C 2
 x 
x
x



y
 y
arctg   ln1 

x
x

 
ATRÁS
ADELANTE
7/10
COEFICIENTES HOMOGÉNEOS
EJERCICIO 3:
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
 C 2 ( x 2  y 2 ) 
2y
 y

arctg   ln 3
4


x
 x
x


Determinar la solución general de
 C 2 ( x 2  y 2 ) 
 y

2 yarctg   x ln 3
4


x
x



SOLUCIÓN (Opción 1).
xy dx  x 2  y 2 dy  0
Verificando que los coeficientes de las
diferenciales sean funciones homogéneas:
N ( x, y )  x 2  y 2
La solución general puede expresarse como :
M ( x, y )  xy
 C 2 (x2  y 2 ) 
 y

2 yarctg   x ln
4


x
x


M x, y   xy  2 M  x, y 
;
N x, y   2 x 2  2 y 2  2 N  x, y 
Ya que son homogéneas y del mismo grado
(2) cualquiera de las sustituciones y=vx ó x=vy
son posibles.
Considerando que y=vx y dy=vdx+xdv ...
5. Variables
Separadas
xvx dx  x 2  vx 2 vdx  xdv  0
( x 2 v)dx  x 2 1  v 2 vdx  xdv   0
x 2 vdx  1  v 2 vdx  xdv   0
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
ATRÁS
ADELANTE
8/10
COEFICIENTES HOMOGÉNEOS
 
vdx 1 v2 vdx xdv  0
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
vdx vdx xdv v3dx  v2 xdv  0
v  v  v3 dx x  v2xdv  0
2v  v3 dx x1 v2 dv  0
v2  v2 dx  x1 v2 dv  0
v2  v2 dx  x1 v2 dv
2A  1
Resolviendo este sistema de ecuaciones
lineales se obtiene que:
1
1
A
; B
; D0
2
2
Por lo que
dx
1  v2
dv

x
v 2  v2

Ahora, para que el miembro izquierdo sea
efectivamente igual al miembro derecho,
se establecen las siguientes condiciones:
A B 1
D0

2
 dx   1 v dv


2
x
 v 2v

1 v2


v 2v
Para resolver la integral del miembro
derecho se aplica una descomposición
en fracciones; esto es
1  v2
A Bv  D
 
2
v 2  v2
v 2v





 A Bv  D 
2
1 v   
v 2  v
2
 v 2  v 
2




2


1 v2   A  Bv2  Dv 2A




De manera que lo que se integrará ahora
es:
v
 dx   dv  
dv



 x
 2v  2 2  v 2


O bien,
v
 dx   1  dv  1 
dv



 x
2  v 2  2  v2

1 v2  A 2  v2  Bv2  Dv
1 v2  2A  Av2  Bv2  Dv
A Bv  D
1
v



2
v 2v
2v 2 2  v 2
ATRÁS

ADELANTE
9/10
COEFICIENTES HOMOGÉNEOS
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
2v
 dx   1  dv  1 
dv



 x
2  v 2  2 2  v2


 dx   1  dv  1  2v dv


 x
2 v 4
 2  v2
1
1
ln  x    ln v   ln 2  v 2  C
2
4




  4C
ln x 4    ln v 2   ln 2  v 2   C 2
ln x 4   ln v 2   ln 2  v 2   C 2
ln x 4 v 2 2  v 2   C 2
4 ln  x   2 ln v   ln 2  v
2
4 2
2
e lnx v 2  v   e C 2


x 4v 2 2  v 2  C2
2
2
 y 
4 y 
x   2      C 2
 x    x  
x 4 y 2  2x 2  y 2 
  C2

x 2  x 2

2

2
y 2x  y
2
 C
Verificando que los coeficientes de las
diferenciales sean funciones homogéneas:
M ( x, y )  xy
N ( x, y )  x 2  y 2
;
M x, y   xy  2 M  x, y 
N x, y   2 x 2  2 y 2  2 N  x, y 
Ya que son homogéneas y del mismo
grado (2) cualquiera de las sustituciones
y=vx ó x=vy son posibles.
Considerando que x=vy y dx=vdy+ydv ...
vy  y vdy  ydv   vy 2  y 2 dy  0
vy 2 vdy  ydv  vy 2  y 2 dy  0
v 2 y 2 dy  vy 3 dv  vy 2  y 2 dy  0
vy 3 dv  vy 2  y 2  v 2 y 2 dy  0


vy 3 dv  2v 2 y 2  y 2 dy  0


vy 3 dv   2v 2 y 2  y 2 dy


vy 3 dv   y 2 2v 2  1 dy
2
2 xy 2  y 4  C 2
 La solución general puede expresarse como
2 xy 2  y 4  C
SOLUCIÓN (Opción 2).
ATRÁS
ADELANTE
COEFICIENTES HOMOGÉNEOS
v
y2
dv   3 dy
y
ÍNDICE
2v 2  1
1. Coeficientes
Homogéneos
 v dv   dy
 2

 2v  1
 y
1  4v
 dy
dv  
 2
4  2v  1
 y
1
ln 2v 2  1   ln  y   C
4
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?

10/10

 
ln 2v 2  1 4 ln  y   4C
ln 2v 2  1 ln  y 4  4C
ln 2v 2  1y 4   4C
ln 2v 2  1  4 ln  y   4C
2
4
eln2v 1y   e 4C
2v2  1y 4  C2
  x 2 
2   1 y 4  C2

  y


 La solución general puede expresarse como :
2 xy 2  y 4  C
ATRÁS
EXACTAS
Considérese una ecuación diferencial de primer orden con la siguiente forma
dy
F  x, y 

dx
G  x, y 
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
la cual también puede expresarse como
F ( x) dx  G ( y ) dy  0
Si el miembro izquierdo de esta ecuación representa a la diferencial total de una
función U(x,y), entonces se tiene que
 U 
 U 
dy
dU  
dx  

y
 x 


Comparando las dos últimas ecuaciones se obtiene
4. Transformada
Laplace
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
 U 

  F  x, y 
 x 
,
 U 

  G  x, y 
 y 
y
U  0
Y de la teoría del cálculo diferencial de campos escalares surge que, para este tipo
de situaciones, se debe cumplir la siguiente condición:
 2U  2U

xy yx
EXACTAS
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
que en forma equivalente sería:
F G

x
y
La cual representa la condición para determinar si una ecuación diferencial es
exacta.
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
5. Variables
Separadas
Por lo tanto, si una ecuación diferencial es exacta, entonces por definición existe
una función U(x,y) tal que
F ( x, y ) dx  G ( x, y )dy  dU
entonces la solución de la ecuación se obtiene mediante
que finalmente resulta
 F ( x, y )dx   G ( x, y )dy   dU
 F ( x, y ) dx   G ( x, y ) dy  C
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
EJERCICIOS
1/8
EXACTAS
EJEMPLO:
Determinar la solución general de
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2 x 3  xy 2  2 y  3dx  x 2 y  2 x dy  0
SOLUCIÓN (Opción 1).
Si...
2. Exactas
F  x, y   2 x 3  xy 2  2 y  3
y G  x, y    x 2 y  2 x
y...
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
F
 2 xy  2
y
...entonces la ecuación es exacta y cumple
con:
U
 F  x, y 
x
U  F  x, y x
 U   F  x, y x
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
G
 2 xy  2
x
;
 U   F  x, y x
Sustituyendo...


U  2  x 3x  y 2  xx  2 y  x  3 x
U 2
x4
x2
 y2
 2 yx  3 x  B y 
4
2
x4 x2 y2
U

 2 yx  3 x  B y 
2
2
Considerando ahora que U
 G  x, y 
y
se tiene:
x2 2y
U
 0
 2 x  0  B  y    x 2 y  2 x
2
y
U
  x 2 y  2 x  B  y    x 2 y  2 x
y
Simplificando...
B  y   0
 B y   0y
 B y    0y
B y   0
U   2 x 3  xy 2  2 y  3 x
U  2  x 3x  y 2  xx  2 y  x  3 x
ATRÁS
ADELANTE
2/8
EXACTAS
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
Sustituyendo el valor de B(y) en la
función solución U(x,y) se obtiene:
4. Transformada
Laplace
5. Variables
Separadas
Considerando ahora que
U
 G  x, y 
y
U  G  x, y y
 U   G  x, y y
x4 x2 y2
U

 2 yx  3 x
2
2
Finalmente, considerando que
dU  0
3. Lineales de
primer orden
SOLUCIÓN (Opción 2).
y

 U   G  x, y y
dU  C
Sustituyendo...
La solución general queda:
C

U   x 2  yy  2 x  y
x4 x2 y2

 2 yx  3 x
2
2
U  x2
y2
 2 xy  B  x 
2
Y planteando ahora que
U
 F  x, y 
x
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?

U    x 2 y  2 x y
ATRÁS
ADELANTE
3/8
EXACTAS
Se tiene que:
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
5. Variables
Separadas
EJERCICIO 1:
U
y2
 2 x
 2 y  B  x   2 x 3  xy 2  2 y  3
x
2
Simplificando
¿Dudas?

B  x   2 x  3
Si...
F x, y  3x 2 y  6x
3
F
 3x 2
y
Sustituyendo el valor de B(x) en la función
solución U(x,y) se obtiene:
U  x 2
4
2 2
4
y
x
x y
x
 2xy  2  3x  
 2xy   3x
2
4
2
2
Finalmente, considerando que
dU  0
y

dU  C
C
y Gx, y  x3  2 y
Y...
x4
 B  x   2  x 3 x   3x  2
 3x
4
2

3xxy  2dx  x 3  2 y dy  0
SOLUCIÓN (Opción 1):
U
  xy 2  2 y  B  x   2 x 3  xy 2  2 y  3
x
La solución general queda:
6. Variación de
Parámetros
Determinar la solución general de
;
G
 3x 2
x
...entonces la ecuación es exacta y
cumple con:
U
 F x, y 
x
U  F x, y x
 U   F  x, y x
 U   F x, yx
x2 y2
x4
 2 xy 
 3x
2
2
ATRÁS
ADELANTE
4/8
EXACTAS
Sustituyendo...


ÍNDICE
U   3x 2 y  6 x x
1. Coeficientes
Homogéneos
U  3 y  x 2 x  6 xx
2. Exactas
x2
x3
6
 B y 
U  3y
3
2
U  yx 3  3x 2  B y 
Considerando ahora que
U
 G  x, y 
y
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
Sustituyendo el valor de B(y) en la
función solución U(x,y) se obtiene:
U  yx 3  3 x 2  y 2
Finalmente, considerando que
dU  0
y

dU  C
La solución general queda :
Se tiene:
U
 x 3  0  B  y   x 3  2 y
y
C  yx 3  3 x 2  y 2
x 3  B  y   x 3  2 y
Simplificando...
B  y   2 y
 B y   2 yy
 B y   2  yy
B y   y 2
ATRÁS
ADELANTE
5/8
EXACTAS
SOLUCIÓN (Opción 2).
ÍNDICE
Considerando ahora que
U
 G  x, y 
y
U  G  x, y y
 U   G  x, y y
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
Se tiene que:
 U   G  x, y y
5. Variables
Separadas
Sustituyendo...


U  x 3  y  2  yy
y2
 B x 
U  x3 y  2
2
U  x y  y  Bx 
3
2
Y planteando ahora que
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
Simplificando
U
 3 x 2 y  B  x   3 x 2 y  6 x
x
B  x   6 x
 B  x   6  xx  6
U   x 3  2 y y
4. Transformada
Laplace
U
 3 x 2 y  0  B  x   3 x 2 y  6 x
x
U
 F  x, y 
x
x2
 3 x 2
2
Sustituyendo el valor de B(x) en la
función solución U(x,y) se obtiene:
U  x 3 y  y 2  3x 2
Finalmente, considerando que
dU  0
y
 dU
C
La solución general queda :
C  x 3 y  y 2  3x 2
ATRÁS
ADELANTE
6/8
EXACTAS

EJERCICIO 2:
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
Determinar la solución general de
sen   2r cos  dr  r cos 2r sen   1d  0
y...
4. Transformada
Laplace
¿Dudas?
r2
cos 2   B 
2
U  r sen   r 2 cos 2   B 
F r ,   sen   2r cos 2 
G r ,   2r 2 cos  sen   r cos
F
 cos  4r cos sen  

G
 4r cos sen    cos
r
...entonces la ecuación es exacta y
cumple con:
U
 F r , 
r
U  F r , r
 U   F r , r
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
U  r sen   2
SOLUCIÓN.
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
U  sen   r  2 cos 2   rr
2
Si...

U   sen   2r cos 2  r
 U   F r , r
Considerando ahora que
U
 G r , 

se tiene:
U
 r cos  2r 2 cos sen  B 

r cos  2r 2 cos sen  2r 2 cos sen  r cos
Simplificando...
B   0
 B   0
 B    0
B   0
Sustituyendo...


U   sen   2r cos 2  r
U  sen   r  2 cos 2   rr
ATRÁS
ADELANTE
7/8
EXACTAS
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
Sustituyendo el valor de B() en la función solución
U(r,) se obtiene:
U  r sen   r 2 cos 2 
Finalmente, considerando que
dU  0
y

dU  C
La solución general queda :
4. Transformada
Laplace
C  r sen  r 2 cos2 
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
ATRÁS
ADELANTE
8/8
EXACTAS
EJERCICIO 3:
Determinar la solución general de
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
Considerando ahora que
2 xy  tg y dx  x 2  x sec 2 y dy  0
SOLUCIÓN.
Si...
2. Exactas
F  x, y   2 xy  tg y
y G  x, y   x 2  x sec 2 y
y...
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
5. Variables
Separadas
F
 2 x  sec 2 y
y
;
G
 2 x  sec 2 y
x
...entonces la ecuación es exacta y cumple
con:
U
 F  x, y 
x
U  F  x, y x
 U   F  x, y x
 U   F  x, y x
U
 G  x, y 
y
se tiene:
U
 x 2  x sec 2 y  B  y   x 2  x sec 2 y
y
Simplificando...
B  y   0  B y   0y
 B y    0y  B y   0
Sustituyendo el valor de B(y) en la
función solución U(x,y) se obtiene:
U  x 2 y  x tg y
Finalmente, considerando que
dU  0
y

dU  C
La solución general queda:
C  x 2 y  x tg y
6. Variación de
Parámetros
Sustituyendo... U   2 xy  tg y x
U  2 y  xx  tg y  x
¿Dudas?
U  x 2 y  x tg y  B  y 
ATRÁS
LINEALES DE PRIMER ÓRDEN
Una ecuación que es lineal y de primer orden en la variable dependiente “y”, puede
expresarse como:
A x dy  B  x  ydx  C  x dx
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
Al dividir cada miembro de la ecuación entre A(x) se obtiene:
dy 
B x 
C x 
ydx 
dx
A x 
A x 
 dy  P x  ydx  Q x dx
La última ecuación representa la forma tipo de una ecuación lineal de primer orden.
Buscando resolver este tipo de ecuaciones, se pretende aplicar un factor a todos los
términos de manera que esta modificación permita obtener una solución como si fuera
una ecuación exacta.
v x dy  v x P x  ydx  v x Q x dx
Si v(x) representa dicho factor, entonces al aplicarlo a la ecuación se tiene:
4. Transformada
Laplace
F  x, y dx  G  x, y dy  0
Comparando con la estructura tipo de una ecuación diferencial exacta, es decir
F x, y   vx P x  y  v x Q x 
G  y   vx 
5. Variables
Separadas
se puede plantear que
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
F G

y
x
Y recordando que para que una ecuación sea exacta debe cumplirse la condición
LINEALES DE PRIMER ÓRDEN
ÍNDICE
Al aplicar dicha condición a los coeficientes, ya modificados por el factor v(x), de
la ecuación lineal:
F
G dv

 vx P x  ;
x dx
y
1. Coeficientes
Homogéneos
Igualando ambos resultados...
2. Exactas
Separando variables...
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
v x P x  
dv
dx
P x dx 
dv
vx 
dv
P x dx 
v
Integrando en ambos miembros...
 dv
 P  x dx  
 v
 P  x dx  lnv 
e  P  x dx  e ln v 
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
e  P  x dx  v  v x 
Por lo tanto, la ecuación que determina el factor para transformar la ecuación
lineal en exacta es:
vx   e  P  x dx
EJERCICIOS
1/5
LINEALES DE PRIMER ÓRDEN
EJEMPLO:
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
Determinar la solución general de
2 y  8x 2 dx  xdy  0
SOLUCIÓN.
x 2 dy  2 xydx  8 x 3 dx
Llevando la ecuación a la forma tipo de
una ecuación lineal...

2

xdy   2 y  8 x dx
 2y

 8 x dx
dy   
 x

2y
dy 
dx  8 xdx
x
2
dy 
ydx  8x dx
x

Qx 
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
Px 
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
Calculando el factor v(x)...
v x  
Aplicando este factor a la ecuación
lineal llevada a la forma tipo...
2
x 2 dy  x 2 ydx  x 2 8 xdx
x
e  P  x dx
 2 dx

 e x
dx
2

v x   e  x  e 2 ln  x 
v x   e ln x
2
2xy 8x3 dx  
x 2 dy  0
G
F
La ecuación debe cumplir con:
U
 F  x, y 
x
U  F  x, y x
 U   F  x, y x
U   F  x, y x
Sustituyendo...


U   2 xy  8 x 3 x
U  2 y  xdx  8 x 3 dx
x2
x4
U  2y
8
 B y 
2
4
U  yx 2  2 x 4  B y 
  x2
ATRÁS
ADELANTE
2/5
LINEALES DE PRIMER ÓRDEN
Considerando ahora que
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
5. Variables
Separadas
U
 G  x, y 
y
¿Dudas?
Determinar la solución general de
ydx  3 x  xy  2 dy  0
se tiene:
U
 x 2  B  y   x 2
y
Simplificando...
B  y   0  B x    0dy  0
Sustituyendo el valor de B(y) en la función
solución U(x,y) se obtiene:
U  yx 2  2x 4
Finalmente, considerando que
dU  0
y

dU  C
La solución general está dada por:
6. Variación de
Parámetros
EJEMPLO:
SOLUCIÓN.
Llevando la ecuación a la forma tipo
de una ecuación lineal...
 3x  xy  2 
dy  0
dx  
y


3x
2
xy
dx  dy  dy  dy  0
y
y
y
 3 x xy 
2
dx    dy   dy
y 
y
 y
3 y
2
 xdy  
dx  
y 
y



P( y )
Q( y)
C  yx 2  2x 4
ATRÁS
ADELANTE
3/5
LINEALES DE PRIMER ÓRDEN
Calculando el factor v(y)...
ÍNDICE
 3 y 
 dy
 
P ( y ) dy
v( y )  e 
e  y 
1. Coeficientes
Homogéneos
3
v( y )  e
4. Transformada
Laplace
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
 y dy   dy
e
3
dy
  dy
y
3
v( y )  e 3Lny  y  e Lny  y  y 3e  y
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
Sustituyendo...
Aplicando este factor a la ecuación lineal
llevada a la forma tipo...
 3 y 3e  y y 3  y 
2
 y e  xdy   y 3 e  y dy
y 3e  y dx  


y
y
y




y 3e  y dx  3xy 2 e  y  y 3 xe  y  2 y 2 e  y dy  0


y 3e  y dx  3 y 2 e  y  y 3e  y xdy  2 y 2 e  y dy
F
G
La ecuación debe cumplir con:
U
 F  x, y 
x
U  F  x, y x
 U   F  x, y x
U   F  x, y x
U   y 3 e  y x
U  y 3e  y  x
U  y 3e  y x  B( y)
Considerando ahora que
U
 G  x, y 
y
se tiene:
U
 y 3e  y  B´( y )  3 xy 2 e  y  y 3 xe  y  2 y 2 e  y
y
Simplificando...
B´( y )  2 y 2 e  y  B ( x)   2 y 2 e  y dy
B ( x)  2 y 2 e  y  4 ye  y  4e  y  C
Sustituyendo el valor de B(y) en la función
solución U(x,y) se obtiene:
F  y 3 e  y x  2 y 2 e  y  4 ye  y  4e  y  C
ATRÁS
ADELANTE
4/5
LINEALES DE PRIMER ÓRDEN
Ejemplo:
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
Calculando el factor v(x)...
Determinar la solución general de
1  3x sen y dx  x 2 cos ydy  0
SOLUCIÓN.
Realizando un cambio de variable...
dy
0
(1  3x sen y )  x 2 cos y
dx
du
 cos y  du  cos ydy
u  sen y
dy
3
 dx

P ( x ) dx
v( x)  e 
e x
 3
dx
x
v( x)  e
 e  3Lnx  e Lnx  x  3
Aplicando este factor a la ecuación
lineal llevada a la forma tipo...
x 3 du 
3
3x 3
udx 
x
x3
x2
dx
x 3 du  3x 2 udx  xdx
Sustituyendo:
1  3xu dx  x 2 du  0
Considerando como variable dependiente
a “u”

F
P( x)
Q( x)
G
La ecuación debe cumplir con:
Llevando la ecuación a la forma tipo de
una ecuación lineal...
 1  3 xu 

dx  du  0
 x2 
1
3 xu
dx  du  0
dx 
x2
x2
3
1
du 
udx 
dx
2
x
x



x 3 du  3 x 2 u  x dx  0



U
 F  x, y 
x
U  F  x, y x
 U   F  x, y x
U   F  x, y x
ATRÁS
ADELANTE
5/5
LINEALES DE PRIMER ÓRDEN
ÍNDICE
Sustituyendo...
Como u= sen y
Se realiza el cambio de
variable:
U   x 3u
1. Coeficientes
Homogéneos
U  x 3  u
x2
F  x 3 sen y 
C
2
U  x 3u  B ( x )
2. Exactas
Considerando ahora que
La solución general está dada
por:
U
 G  x, y 
x
3. Lineales de
primer orden
se tiene:
4. Transformada
Laplace
U
 3 x 2 u  B´(x)  3 x 2 u  x
x
x2
C  x 3 sen y 
2
Simplificando...
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
B´(x)  x  B ( x)   xdx 
x2
C
2
Sustituyendo el valor de B(x) en la
función solución
2
U(x,y) se obtiene: F  x 3u  x  C
2
ATRÁS
TRANSFORMADA DE LAPLACE
La transformada de Laplace de una función f(t) con t>0 se representa por L[ f(t)]
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
se define como:

L  f t   f s    e  st f t dt
0
siempre y cuando la integral exista y donde el parámetro puede ser un número
real complejo.
La transformada inversa de Laplace de f(s) es una función f(t)tal que L[f(t)]=f(s).
3. Lineales de
primer orden
Para denotar la transformada inversa de Laplace se emplea el símbolo
L-1.
4. Transformada
Laplace
Las condiciones suficientes para la existencia de la transformada de
Laplace son que la función f(t) sea: Continua a intervalos y de orden
exponencial.
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
Es necesario recordar que para una integral impropia de este tipo se
tiene que:
k
f  x dx
 f x dx  klím


a
Siempre y cuando el límite exista.
EJERCICIOS
1/2
TRANSFORMADA DE LAPLACE
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
EJEMPLO:
EJEMPLO:
Determinar la transformada de Laplace
Determinar la transformada de Laplace
6. Variación de
Parámetros
f t   t


k
L t    e  st tdt  Lím  e  st t dt
SOLUCIÓN.

L 1   e
 st
1dt   e
0
 st
k
dt  lím  e
k 
0
 st
dt
0

k
k  st
k e  st
1 k  st
1

 s dt 
e dt 
e  s dt   e  st 0
0
0 s
s 0
s
k  st
e  st k
e  sk  e  s 0  
e  sk 1

 


e dt  

0
0
s
s
s 
s
s




0 e
dt 
Resolviendo la integral...
 e  st
k  st
e tdt  t 

0
s
s=constante

k  0
0
Resolviendo la integral...
k  st
5. Variables
Separadas
f t   1

 sk
1 e
s

k  st
te st
e tdt  
0
s

k
 st

   e dt
 
s
0

k
 te st e  st 
1
 e  st  


s
s2
s 2  0

Evaluando...
k  st
kesk
e tdt  
0
s

Calculando el límite de la integral...
Lím 1  Lím e  sk
1  e  sk
1 0 1
 k  k  

Lím
s
Lím s
s
s
k 
k 

e sk
s
2

1
s2
Calculando el límite de la integral...
 ke sk e  sk 1  1
Lím 

 
s
k 
s2
s 2  s 2
¿Dudas?
ATRÁS
ADELANTE
TRANSFORMADA DE LAPLACE
2/2
EJEMPLO:
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
k
Determinar la transformada de Laplace
f t   sen at
a = constante

k
L sen at    e  st sen at dt  Lím  e  st sen at dt
k  0
0
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
5. Variables
Separadas
¿Dudas?
Evaluando la integral...
Resolviendo la integral...

e
 st

  st
sen at dt  sen at  e
s


k
 st

  k e a cos at dt
0 s

 0
k
 e st senat  a k  st
k  st
e senatdt  
 e cosatdt
 
0
s
 0 s 0

k
 e st  ke st
k
e st senat
a 

k  st
0 e

sen atdt 

0





a
sen
at
dt

 cosat

 s  0 s
0 s




s
k
k
e st senat
a
e st
a2 k  st
cos
at
e senatdt




0
s
s 0 s 2 0
0 s
k
6. Variación de
Parámetros

e  st Senat a


Cosate  st
2
s
s
e  st sen at dt  0k
 a2 
1 

2 

s 

0
a
e  sk Senak a

Cosake  sk 
s
s2
s2
a2
1
s2
Calculando el límite...
e
k 
Lím
 st
Senatdt 
a
2
s  a2
SOLUCIÓN
k
 a2 
k
k  st
e st senat
a


e senatdt 1 

 cosate st 0
 s2 
0
s
0 s2



ATRÁS
ADELANTE
TRANSFORMADA DE LAPLACE
PROPIEDAD DE LINEALIDAD
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
La transformada de Laplace es una operación lineal; esto quiere decir que para las funciones
f(t) y g(t) cuyas transformadas de Laplace existen, se tiene:
a)L  f t   g t   L  f t   L g t 
b)L af t   aL  f t 
Por lo tanto, la transformada de Laplace es un operador integral que lleva a cabo una
transformación lineal.
Condiciones Suficientes para la existencia de la transformada de Laplace.
Las condiciones suficientes son que la función sea:
4. Transformada
Laplace
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
a)Continua a Intervalos.- Si la función está definida sobre un intervalo [a,b] y es tal que
el intervalo puede subdividirse en un número grande pero finito de intervalos en
cada uno de los cuales la funciones continua y tiene límite finito cuando la
variable independiente tiende hacia cualquiera de los puntos extremos del
intervalo de subdivisión, desde el interior.
b)De orden exponencial.- Que |f(t)| no crezca “demasiado rápido” conforme t
tiende a infinito.
Transformada de Laplace de Integrales
Sí
además considerando que g(0)=0
g t   0 f  z dz y g´t   f t 
t
1/4
TRANSFORMADA DE LAPLACE
EJEMPLO:
Transformadas de Laplace de derivadas

L  f ´t    e  st f ´t dt  Lím
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
0
  st
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
e
k

Si f t   cos at  f ´t   a sen at
1
d cos at
  a sen at   cos at ´ sen at
dt
a
1
 1

L  cos at ´   L cos at ´
a
 a

La primera derivada es : sL  f t   f 0

f ´t dt  e  st f t    f t   se  st dt
0
Utilizando la definición de Laplace...
k
k
0
0
f k   e
 s 0 
k  st
e
0
f ´t dt  e  st f t   s  f t e  st dt
k  st
e
0
f ´t dt  e

3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace

Resolviendo la integral...
0
2. Exactas
Obtener la transformada de Laplace
de Sen(at) aplicando el concepto
de transformada de derivadas
k  st
e
f ´t dt
k  0

 sk
f 0   s 
k  st
e
0
f t dt
Calculando el límite...
k  st
e
0

k  st
0 e
f ´t dt
k
 Lím e  sk f k   Lím f 0  s Lím e  st
k 
k 
k  0

f t dt
f ´t dt  e s f ()  f 0  sL  f t    f 0  sL  f t 
 sf s  f 0
La solución es :
1
 1

L  cos at ´   sL cos at   1
a
 a

En la tabla se busca el resultado de
la transformada de la función
f(t)=Cos at
 
1 
s
 1

  1
L  cos at ´    s
a   s 2  a 2  
 a

a
 1

L  cos at ´ 
 Solución
 a
 s2  a2
 L  f ´t   sf s   f 0   Pr imera derivada
¿Dudas?
ATRÁS
ADELANTE
TRANSFORMADA DE LAPLACE
2/4
TEOREMA DE TRANSLACIÓN
L  f t    e  st f t dt  f s 
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
5. Variables
Separadas
entonces

L e

f t    e 
L e at f t    e  st e at f t dt   e at  st  f t dt
at


0
0
a  s t
f t dt   e  s  a  f t dt  f s  a 
En palabras, se obtiene la transformada de Laplace de eat f(t)sustituyendo s por s-a en la
transformada de Laplace de F(t).
Transformación de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes
1. Transformar las ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas.
2. Resolver estas ecuaciones para las incógnitas algebraicas.
3. Determinar la transformada inversa de los resultados del paso anterior y así obtener la
solución de la ecuación diferencial original.
Consideremos que Y=f(t)=f(s) se obtiene:
L Y   Y s 
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
L Y ´  sY s   Y 0
L Y "  s 2Y s   sY 0   Y ´0 
L Y ´´´  s 3Y s   s 2Y (0)  sY ´(0)  Y " (0)
ATRÁS
ADELANTE
3/4
TRANSFORMADA DE LAPLACE
EJEMPLO:
Buscando en la tabla de transformadas,
en este caso no hay ningún f(s) por lo
tanto voy a factorizar al denominador...
Determinar la solución general de:
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
y"5 y´6 y  0
f t "5 f t ´6 f t   0
y ( 0)  2
f ( 0)  2
y´(0)  3
f ´(0)  3
Aplicando la transformada a cada término
de la ecuación y aplicando la propiedad de
linealidad...
L  f " t   5L  f ´t   6L  f t   0
Sustituyendo el valor de la 2da, 1era y la
función f(t)
s 2 f s   sf 0   f ´0   5sf s   f 0   6 f s   0
4. Transformada
Laplace
Sustituyendo las condiciones iniciales...
f ( 0)  2
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
f ´(0)  3
s f s   2 s  3  5sf s   10  6 f s   0
2
Factorizando...


f s  s 2  5 s  6  2 s  7  0
7  2s
f ( s) 
2
s  5s  6
7  2s
f s   L  f t   L  y  
s 2  5s  6
7  2s
7  2s
A
B


s 2  5s  6 s  3s  2  s  3 s  2
7  2 s  As  2 A  Bs  3B

Factorizando a “s”...
7  2 s   A  B s  2 A  3B
Resolviendo el siguiente sistemas de
ecuaciones:
A  B  2  Ec.1
2 A  3B  7  Ec.2
A  1 B  3
Sustituyendo los valores de A y B
 7  2s 
1
3 

 L 1 

L 1 


 s  3 s  2
 s 2  5s  6 
Utilizando la propiedad de linealidad
 7  2s 
1  1 
1  1 
L 1 
  L  s  3   3L  s  2 
2




 s  5s  6 
ATRÁS
ATRÁS
ADELANTE
4/4
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Buscando en la tabla de la transformada de
Laplace el valor de f(s)
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
5. Variables
Separadas
f t  f t 
e at
1
s-a
Sustituyendo el valor de f(t)...
 7  2s 
at
at
L 1  
  e  3e
2
 s  5s  6 
Sustituyendo el valor de a...
 7  2s 
 3t
L 1 
 3e  2t
  e
2
 s  5s  6 
La solución general está dada por:
f t   e 3 x  3e 2 x  y
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
ATRÁS
VARIABLES SEPARABLES (SEPARACIÓN DE VARIABLES)
Considerando que la forma típica de una ecuación diferencial de primer orden es dy  f ( x, y )
dx
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
puede suceder que la función f(x,y) sea tal que las variables puedan separarse de
modo que la ecuación pueda expresarse como
F ( x)dx  G ( y )dy  0
y así obtener la solución general de la ecuación mediante
2. Exactas
 F ( x)dx   G( y)dy  C
Siendo C una constante arbitraria.
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
EJEMPLO:
Determinar la solución general de
dy
 e x2y
dx
SOLUCIÓN.
dy
 e xe2 y
dx
dy
 e x dx
2y
e
 dy
x
  2 y   e dx
e
 e 2 y dy   e x dx
 2 e 2 y dy  e x dx


2
1
 2e 2 y dy   e x dx
2
1 2y
e  e x  C1
2
1 2y
e  e x  C1
2
1 2y
e  e x  C1
2
1
2 e 2 y  2e x  2C1
2
e 2 y  2e x  C 2

La solución general es
e 2 y  2e x  C
EJERCICIOS
VARIABLES SEPARABLES (SEPARACIÓN DE VARIABLES) 1/5
EJERCICIO 1:
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
SOLUCIÓN (Opción 2).
Determinar la solución general de
x
dy
 2y
dx
SOLUCIÓN (Opción 1).
xdy  2 ydx
dy dx

x
2y
 y 12 

Ln 
 x 
e  
 dy  dx


 2y  x
1  dy  dx


2 y  x
1
Ln ( y )  Ln ( x )  C1
2
y2
 C2
x
Ln ( y )
1
2
 Ln ( x )  C1
Ln ( y ) 2  Ln ( x )  C1
1
 y2 
  C1
Ln 
 x 


1
y 

Ln 
 x 
e  
1
2
 e C1
 e C1
1
1
y 2  xC 2
y  xC 2
y  ( xC 2 ) 2
y  x 2 (C 2 ) 2
y  x 2C3

La solución general es
xdy  2 ydx
dy 2dx

y
x
 dy  2dx


 y  x
dx
 dy
 2


 x
 y
Ln( y )  2 Ln( x)  C1
Ln( y )  Ln( x) 2  C1
2
e Ln ( y )  e Ln( x )  C1
2
e Ln ( y )  e Ln( x ) e C1
y  x 2C2

La solución general es
y  x 2C
y  x 2C
ATRÁS
ADELANTE
VARIABLES SEPARABLES (SEPARACIÓN DE VARIABLES) 2/5
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
EJERCICIO 2:
EJERCICIO 3:
Determinar la solución general de
Determinar la solución general de
dr
 r cos  r sen 
d
SOLUCIÓN.
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
5. Variables
Separadas
dr
 r (cos  sen  )
d
dr
 (cos )d  (sen  ) d
r
 dr  (cos )d  (sen  )d


 r
 dr  (cos )d  (sen  )d



 r
Ln(r )  sen   cos  C

La solución general es
Ln(r )  sen   cos  C
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
SOLUCIÓN.
dy
 Ln( x y )
dx
dy
 yLn( x)
dx
dy
 Ln( x)dx
y
 dy
  Ln( x)dx

 y
Ln( y )  xLn( x)  x  C1
Ln( y )  Ln( x) x  x  C1
x
e Ln ( y )  e Ln ( x )  x  C1 
y  e Ln( x ) e  x e C1 
x
y  x x e  xC2
 La solución general es
y  x x e xC
ATRÁS
ATRÁS
ADELANTE
VARIABLES SEPARABLES (SEPARACIÓN DE VARIABLES) 3/5
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
EJERCICIO 4:
EJERCICIO 5:
Determinar la solución general de
2( y  3)dx  ( xy )dy  0
Determinar la solución general de
SOLUCIÓN.
2( y  3)dx  xydy
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
(1  y 2 )dx  (1  x 2 )dy  0
ydy
2dx

x
y3
dx  y
dy

2

 x  y3
dx  y  3  3

dy
2

 x  y3
 dx  y  3
 3

2
dy  
dy
 y 3
 x  y3
dx
 dy
  dy  3
2

 x
 y3
2 Ln( x)  y  3Ln( y  3)  C
SOLUCIÓN.
(1  y 2 )dx  (1  x 2 ) dy
dx
1 x2

dy
1 y2
 dy
 dx
 

 1 x2
 1 y2
arctg(1  x 2 )   arctg(1  y 2 )  C
 La solución general es
arctg(1  x 2 )  arctg(1  y 2 )  C
Ln( x) 2  y  Ln( y  3) 3  C

La solución general es
¿Dudas?
Ln( x) 2  Ln( y  3) 3  y  C
ATRÁS
ADELANTE
VARIABLES SEPARABLES (SEPARACIÓN DE VARIABLES)
EJERCICIO 6:
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
Determinar la solución particular de
2 x( y  1)dx  ydy  0 para y (0)  2
SOLUCIÓN.
2 x( y  1) dx  ydy
ydy
2 xdx 
y 1
 y
2  xdx  
dy
 y 1
 y 11
2  xdx  
dy
 y 1
5. Variables
Separadas

 1
 y 1
2 xdx  
dy  
dy
 y 1
 y 1

 dy
2  xdx   dy  
 y 1
6. Variación de
Parámetros
x2
2
 y  Ln( y  1)  C
2

4/5
Para determinar la solución particular se
procede de la siguiente forma:
Evaluandola condicióny(0)  -2 en la solucióngeneral..
(0) 2  2  ln 2  1  C
0  2  ln 1  C
Sin embargo, debido a que el logaritmo
natural de un número negativo no está
definido, es necesario modificar la forma de
la solución general, por lo que, regresando
al punto de integración...
 dy
2  xdx   dy  
 y 1
  1dy
2  xdx   dy  
  1( y  1)
  dy
2  xdx   dy  
  y 1
x2
2
 y  Ln( y  1)  C
2
La solución general es
¿Dudas?
x 2  y  Ln( y  1)  C
ATRÁS
ADELANTE
VARIABLES SEPARABLES (SEPARACIÓN DE VARIABLES) 5/5
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas

La solución general se considerará ahora como
x 2  y  Ln( y  1)  C
Evaluando la condición y(0)  -2 en la solución general...
(0) 2  2  ln   2   1  C
0  2  ln 1  C
0  2  0  C
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
2C
Por lo cual, la solución particular se puede expresar
como:
x 2  y  Ln( y  1)  2
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
ATRÁS
VARIACIÓN DE PARÁMETROS
Este método se aplica a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes para
obtener una solución general. Lo único que se requiere de la ecuación diferencial
f ( D ) y  R ( x)  Ec.1
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
es que R(x) tenga un comportamiento adecuado para que las integrales con respecto a él
existan.
El primer paso consiste en obtener las raíces de la ecuación auxiliar f(m)=0 y escribir la
solución complementaria. Por ejemplo, si la ecuación diferencial es de orden n 2, la solución
complementaria viene dada por:
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
Yc  C11  x   C 2 2  x 
Donde:
C1 y C2 :Son constantes arbitrarias y,
φ1 y φ2 :Son funciones conocidas
En el método de variación de parámetros se remplazan las constantes C y C por funciones
desconocidas de x, digamos A y B, es decir:
Y  A x 1 x   B x  2  x   Ec.2
Dado que A y B son variables dependientes de x, por eso se le da el nombre al método de
variación de parámetros. Ahora se deriva la última ecuación obteniendose:
Y ´ A´(x)1 ( x)  A( x)1´(x)  B´(x) 2 ( x)  B( x) 2 ( x)
Y ´ A( x)1´(x)  B( x) 2 ´ A´(x)1 ( x)  B´(x) 2 ( x)  Ec.3
VARIACIÓN DE PARÁMETROS
De la ecuación anterior se impone la condición:
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
A´(x)1 ( x)  B´(x) 2 ( x)  0  Ec.4
Derivando nuevamente la ecuación que queda se tiene:
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
Y "  A´(x)1´(x )  A( x)1" ( x)  B´(x) 2 ´(x)  B ( x) 2 " ( x)  Ec.5
Finalmente se utiliza las ecuaciones 2, 3 y 5 con la ecuación original 1 para eliminar la
variable “Y” para poder obtener una ecuación para A´y B´, de lo cual es posible obtener
A y B por medio de integración, con lo que se obtiene la solución particular que sumada
con la solución complementaria nos da la solución general.
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
EJERCICIOS
1/2
VARIACIÓN DE PARÁMETROS
EJEMPLO:
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
Determinar la solución general de
D 2  1y  Secx tg x
Obtener la solución complementaria
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
 A´xSenx B´xCosx Secxtg x  Ec.2
Despejando a A´(x):
A´x  
m2  1  0
m 2  1
m   1   i
m1  0  i
m2  0  i
Raíces complejas diferentes
Yc  C1e ax Cosbx  C 2 e ax Senbx
4. Transformada
Laplace
Sustituyendo las derivadas en la
ecuación original.
Sustituyendo en ecuación 2:
B´x
Sen2x
 B´xCosx Secxtg x
Cosx
Factorizando a B´(x)...
B´x  Secxtg x cosx
B´(x)  tg x
Yc  C1Cosx  C 2 Senx  Sol.complementaria
Yp  A( x)Cosx  B x Senx  Sol. particular
Y ´ p   A x Senx  A´ x Cosx  B x Cosx  B´x Senx
Si...
A´ x Cosx  B´ x Senx  0  Ec.1
B´xSenx
Cosx
Sustituyendo el valor de B´(x) en
A´(x)...
 tg xSenx
A´x 
Cosx
A´x 
Entonces la primera derivada queda:
 Sen2x
Cos2x
Y ´ p   A x Senx  B x Cosx
Y ´´ p   A x Cosx  A´x Senx  B x Senx  B´ x Cosx
ATRÁS
ADELANTE
VARIACIÓN DE PARÁMETROS
ÍNDICE
1. Coeficientes
Homogéneos
2/2
Integrando a A´(x) y B´(x)
dA x 
Sen 2 x

dx
Cos 2 x
Sen 2 x
2. Exactas
3. Lineales de
primer orden
4. Transformada
Laplace
5. Variables
Separadas
6. Variación de
Parámetros
¿Dudas?
 dAx    Cos 2 x dx
A x    tg  x   x
 dBx    tg xdx
B x   LnSecx
Sustituyendo el valor de A(x) y B(x) en la solución
particular Yp...
Yp   tg  x   x Cosx  LnSecx Senx
La solución general está dad por:
Y  C1Cosx  C 2 Senx   tg  x   x Cosx  LnSecx Senx
ATRÁS