problemas con classpad

MODELIZACIÓN Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS REALES
CON LA CLASSPAD 330
MAURICIO CONTRERAS
División didáctica CASIO
UNAS PALABRAS PARA EMPEZAR
En Portugal, los exámenes finales de matemáticas que dan acceso a la Universidad vienen
realizándose desde el año 1999 con calculadora gráfica. No es que se tolere el uso de calculadora
gráfica en la resolución de los problemas, es que la resolución de los problemas propuestos no sería
posible si no se dispone de una buena calculadora gráfica. En pocas palabras, la calculadora gráfica
es obligatoria, como podemos observar en los mismos enunciados de los exámenes. Por otra parte,
la calculadora gráfica está presente no solamente en los exámenes nacionales que permiten
acceder a la Universidad, si no también en los exámenes finales de matemáticas de 10º, y 11º año
de Secundaria, en los que también su uso es obligatorio.
En nuestro país la situación es muy diferente. En cada comunidad autónoma las normas de
selectividad son distintas y los currículos de secundaria y Bachillerato también son diferentes. Se
podría decir que, mientras el currículum aconseja y apuesta por el uso de las TIC, en particular, de
las calculadoras (y de las gráficas también), lo cierto es que hay comunidades autónomas donde no
se permite el uso de calculadoras gráficas, o donde se tolera el uso de algunas marcas y no de
otras, o donde se permite el uso de gráficas, pero no el de calculadoras CAS.
Sin embargo, la tendencia en todos los países europeos es a utilizar cada vez más tecnología para
la resolución de problemas, y, en particular, calculadoras gráficas y CAS sin ningún tipo de
restricción, tal como se aprecia en los países nórdicos y centroeuropeos.
Las actividades que se proponen en este texto proceden de los exámenes de selectividad
portugueses. Aunque en Portugal se permite calculadora gráfica, no se permite en cambio, el uso de
CAS. En este trabajo hemos querido apostar por la tecnología CAS de la ClassPad 330, ya que
dicha tecnología facilita mucho el trabajo de modelización, el cual es un poco más complejo con la
calculadora gráfica. La intención de este trabajo es mostrar que hay matemáticas que se pierden si
no se usa una calculadora gráfica o simbólica en las clases. Hay maneras de ver los conceptos e
ideas matemáticas que no serían posible si no se dispone de tecnología gráfica o CAS. Hay
conexiones entre campos conceptuales diferentes que no se aprecian si no se dispone de tecnología
gráfica o CAS. Si repasamos las competencias matemáticas según PISA, (Pensar y razonar,
argumentar, comunicar, modelar, plantear y resolver problemas, representar, utilizar el lenguaje
simbólico, formal y técnico y las operaciones), vemos que la calculadora ClassPad 330 favorece el
desarrollo de todas ellas. Por tanto, prohibir o restringir su uso sería equivalente a prohibir o
restringir que todos los estudiantes alcancen mejores niveles de desarrollo de su competencia
matemática.
Confiamos en que este trabajo ayude a estudiantes y profesores para avanzar en el objetivo de
lograr una mayor competencia matemática y un mejor nivel en el uso de tecnologías.
Valencia, enero 2011
Mauricio Contreras
1.- HORAS DE SOL
En el presenta año civil, en Lisboa, el tiempo que transcurre entre la salida y ocultación
del Sol, en el dia que ocupa el lugar n del año, está dado, en horas, aproximadamente,
por:
f(n)  12,2  2,64  sen
  n  81
, n  1, 2, 3, ..., 366
183
(el argumento de la función seno está expresado en radianes)
Por ejemplo,: en el dia 3 de febrero, trigésimo cuarto día del año, el tiempo que transcurre
entre la salida y ocultación del Sol fue de f (34) ≈ 10,3 horas.
1)
En el día 24 de Marzo, Día Nacional del Estudiante, el Sol salió a las seis y media de
la mañana. ¿En qué instante se ocultó el Sol ese día? Presenta el resultado en horas
y minutos (los minutos redondeados a las unidades).
Notas:
• Recuerda que, en el presente año, el mes de Febrero tiene 29 días.
• Siempre que, en los cálculos intermedios, realices redondeos, conserva, como mínimo,
tres cifras decimales.
2)
En algunos días del año, el tiempo que transcurre entre el nacimiento y la ocultación
del Sol es superior a 14,7 horas. Utilizando la calculadora, determina en cuántos días
del año ocurre esto. Indica cómo lo haces.
RESOLUCIÓN
1)
El día 24 de Marzo es el día 31+29+24=84 del año. Para ver cuántas horas de sol
hubieron ese día, representamos la gráfica de la función y calculamos el valor f(84),
con la opción Análisis / Resolución gráfica / CalY
Ese día, el número de horas de sol fueron 12.335903. Podemos concluir que la puesta de
Sol del día 24 de Marzo tuvo lugar a las 6 h 30 m + 12 h 20 m = 18 h 50 m.
2)
Pretendemos hallar n de forma que f(n)>14.7. Con la calculadora gráfica tenemos dos
formas de obtener la respuesta.

Primera forma: usando tablas de valores
Construimos una tabla de valores de la función, tal como se indica a continuación:
Vemos que f(x) > 14.7 si 154  x  191, lo que supone un total de 191 – 153 = 38 días.
Por tanto, durante 38 días, el número de horas de sol es superior a 14,7 horas.
Nota: Debes configurar la calculadora para que los ángulos se expresen en radianes.

Segunda forma: usando gráficos
Introduce la función Y2=14.7 en el editor de gráficos y representa gráficamente las dos
funciones, con la siguiente ventana de visualización:
Ampliamos la zona central del gráfico con un zoom de cuadro:
.
A continuación, hallamos los puntos de intersección con el cursor de recorrido.
lo que confirma el resultado obtenida con las tablas de valores. También podemos
obtener el mismo resultado, usando el comando Análisis / Resolución gráfica /
Intersección, tal como indican las siguientes pantallas:
Comprobamos que las 14,7 horas de sol ocurrirán en dos instantes, aproximadamente,
correspondientes a 153,445 días y 191,555 habiendo por tanto 191 – 154 + 1 = 38 días
con más de 14,7 horas de sol.
2.- EL SATÉLITE
Un satélite S tiene una órbita elíptica alrededor de la Tierra, tal como se representa en la
figura. Ten en cuenta que los elementos señalados en ella no están en la misma escala.
En la elipse están señalados dos puntos:

El apogeo, que es el punto de la órbita más alejado del centro de la Tierra

El perigeo, que es el punto de la órbita más próximo al centro de la Tierra.
El ángulo, x, señalado en la figura, tiene su vértice en el centro de la Tierra, su lado origen
para por el perigeo, y su lado extremo pasa por el satélite S y su amplitud está
comprendida entre 0 y 360 grados.
La distancia d, en km, del satélite al centro de la Tierra, está dada por d 
7820º
1  0,07  cos x
Considera que la Tierra es una esfera de radio 6378 km.
1) Determina la altitud del satélite (distancia a la superficie de la Tierra) cuando éste se
encuentra en el apogeo. Presenta el resultado en km, redondeando a las unidades.
2) En cierto instante, el satélite está en la posición indicada en la figura.
La distancia al centro de la Tierra es, entonces, de 8200 km
Determina el valor de x, en grados, redondeando a las unidades.
RESOLUCIÓN
1)
Si el satélite se encuentra en el apogeo, el ángulo x tiene amplitud igual a 180º. Basta
calcular d(180), que es la distancia del satélite al centro de la Tierra.
La distancia del satélite al centro de la Tierra en el apogeo es 8408,6 km.
Si a esta distancia le restamos el radio de la Tierra, tenemos 8408,6 – 6378 = 2030,6 km,
que es la altitud a la que está el satélite cuando se encuentra en el apogeo.
2)
El razonamiento en este apartado es inverso al del apartado anterior. Queremos
resolver la ecuación d(t)=8200, lo que podemos hacer con el comando solve de la
calculadora:
Como el ángulo x está en el tercer cuadrante, la solución es
X = 360º - 131.4541813 = 228.5458187º = 228,55º
3.- FUNCIÓN
Considera la función f de dominio R, definida por f(x)=2x – cos x
1)
Utilizando el teorema de Bolzano, demuestra que la función f tiene, por lo menos, un
cero en el intervalo (0, ).
2)
Sea f’ la función derivada de f. Demuestra que f’(x)>0, para todo x de R, y justifica que
el cero de f, cuya existencia está garantizada por el enunciado del apartado anterior,
es el único cero de esta función.
3)
En la figura de abajo están representadas: a) parte del gráfico de la función f, b) parte
de una recta, cuya inclinación es de 45º, que contienen al punto A( 3, 0) y que corta
al gráfico de la función f en el punto B.
Utilizando la calculadora, determina el área del triángulo AOB, donde O designa el origen
de coordenadas. Presenta el resultado redondeando a las unidades.
RESOLUCIÓN
1)
Se trata de ver que la función f cumple las hipótesis del teorema de Bolzano.
Evidentemente, f es continua en [0, ] y f(0)= -1<0 y f()=2+1>0. Aplicando el
teorema de Bolzano, existe al menos un punto a € (0, 2) tal que f(a)=0.
2)
La derivada de la función es f’(x)=2 – (-sen x)=2+senx. Como sen x > 0 en el intervalo
(0, ), resulta que f’(x)>0, para x€(0, ).
3)
La recta r que contiene al punto A(-3, 0) y cuya inclinación es 45º, tiene por ecuación
la expresión y=x+3. De hecho, la ecuación de una recta es del tipo y =mx+b, en la
que m es la pendiente de la recta y b la ordenada en el origen. La inclinación 45º de
la recta corresponde a una pendiente m=1 (basta observar que para cualquier vector
director de la recta, los vectores componentes tienen la misma norma). Para calcular
b se sabe que el punto A de coordenadas (-3, 0) pertenece a la recta. Por tanto:
0=1(-3)+b  b=3. Así, la ecuación de la recta es y=x+3.
Para determinar el área del triángulo AOB, debemos hallar, en el sistema de
referencia dado, las coordenadas del punto B.
En el menú Gráficos y Tablas, introducimos la función f y la recta r.
Para definir mejor la ventana de visualización, podemos ver que los valores de x
varían entre 2 y 3 y que el valor de la ordenada está comprendido entre 5 y 6.
Introducimos una tabla de valores, tal como se indica a continuación.
Analizamos los valores de la tabla y deducimos que la mejor ventana de visualización
para el gráfico es la siguiente:
Podemos determinar las coordenadas del punto B, a través de la intersección de la recta r
con la función f. Para ello, recurrimos al comando Análisis / Resolución gráfica /
Intersección.
Concluimos que las coordenadas del punto B son, aproximadamente, (2.32, 5,32)
Podemos determinar el área A del triángulo AOB
Sea B’ la proyección ortogonal del punto B sobre el eje OX. Tenemos:
A
0   3  0  5.32 3  5.32
AO  BB'


 7.79  8 unidades.
2
2
2
Redondeando a las unidades, el área A del triángulo AOB es igual a 8 unidades cuadradas.
4.- “ANTIDOR – ACCIÓN RÁPIDA Y PROLONGADA”
Un laboratorio farmacéutico lanza al mercado un nuevo analgésico, el AntiDor. La
concentración de este medicamento, en decigramos por libro de sangre, t horas después
de ser administrado a una persona, está dada por:
C(t)  t 2  e 0.6 t
( t  0)
El laboratorio realiza una campaña de promoción de este medicamento, basada en el
slogan “AntiDor: Acción rápida y prolongada”
En una breve redacción de sesenta a ciento veinte palabras, comenta el slogan, teniendo
en cuenta que:

Para la mayoría de dolores, el AntiDor solo produce efecto si su concentración es
superior a 1 decigramo por libro de sangre.

De acuerdo con una asociación de defensa del consumidor, un buen analgésico debe
comenzar a producir efecto, como máximo, media hora después de haberse tomado,
y su acción debe permanecer durante, por lo menos, cinco horas (después de haber
comenzado a producir efecto)
Nota: En la resolución de esta cuestión, debes utilizar la calculadora gráfica e ilustrar la
redacción con el trazado de uno o más gráficos.
RESOLUCIÓN
Para la mayoría de los dolores, el Antidor apenas produce efecto si su concentración en la
sangre fuera superior a 1 decigramo por litro. Teniendo en cuenta esto, hacemos un
análisis conjunto de las dos funciones C(t)  t 2  e 0.6 t
( t  0 ) y E(t)=1, (t0), siendo
E(t) el valor a partir del cual se da el efecto. Utilizamos la siguiente ventana de visualización:
Usamos el comando Análisis / Resolución gráfica / Intersección para determinar los
puntos de corte de las dos funciones.
Con el primer punto de intersección podemos inferir que el medicamento solo comienza a
tener efecto más de una hora y media después de haber sido administrado (cerca de
1.631 horas después).
Por lo que se refiere a la acción prolongada, podemos también observar que el segundo
punto de intersección de las curvas acontece 5.938 horas después de la administración
del medicamento.
Así, hallando la diferencia, tenemos 5.938 – 1.631 = 4.307 horas de duración del
medicamento, lo que contradice las premisas de la asociación de defensa del consumidor
para una acción prolongada.
Podemos afirmar que estamos ante un caso de publicidad engañosa, ya que la acción del
Antidor no es rápida (pues hace efecto más de una hora y media después de haber sido
tomado) ni prolongada (pues el efecto dura menos de cinco horas).
5.- UNA FUNCIÓN
Considera la función f, de dominio R  , definida por f(x) = 3x – 2 ln x
1)
2)
Utiliza métodos exclusivamente analíticos para resolver las dos cuestiones siguientes:
1.1)
Estudia f en cuanto a la existencia de asíntotas de su gráfica.
1.2)
Demuestra que la función f tiene un único mínimo.
El gráfico de f contiene un único punto cuya ordenada es el cuadrado de la abcisa.
Utilizando la calculadora, determina un valor aproximado para la abcisa de este punto
(presenta el resultado redondeado a las décimas). Explica cómo hacerlo (en la
explicación debes incluir el gráfico, o gráficos, que consideréis oportuno para resolver
esta cuestión.
RESOLUCIÓN
1)
1.1) Se cumple que
Además
lim f(x)  lim 3x  ln x   
x  
x  
lim f(x)  lim 3x  ln x    . Por lo tanto, el eje OY es una
x 0 
x 0 
asíntota vertical de la gráfica de la función.
1.2) Se cumple que: f' (x)  3 
2
2
2
 0  3   3x  2  x  . Este es el único
x
x
3
valor crítico y como f es derivable en su dominio, esto indica que solamente puede
haber un único máximo. En efecto, f”(x)=
2
x2
 0 , Por tanto, x=2/3 es un mínimo
relativo. La gráfica de la función muestra, que en efecto, solo hay un único mínimo
relativo.
2)
La abcisa del punto del gráfico de f cuya ordenada es el cuadrado de la abcisa, puede
calcularse hallando el valor de la abcisa del punto de intersección de la gráfica de f
con la gráfica de la parábola de ecuación y  x 2 ,
En el menú Gráficos y tablas introducimos las expresiones de dichas funciones, A
continuación estudiamos la evolución de dichas funciones mediante una tabla de
valores, en la que se muestren f(1), f(2), f(3), f(4) y f(5).
Examinando la evolución de los valores de la dos funciones, a través de la tabla, podemos
observar que el valor de la abcisa del punto pedido está comprendido entre 2 y 3.
Teniendo en cuenta la observación de la tabla, así como el hecho de que el gráfico f solo
admite una asíntota vertical (x=0) y un mínimo único, x=2/3 , siendo f(2/3)=2,8, podemos
elegir la siguiente ventana de visualización:
Podemos ahora determinar las coordenadas del punto de intersección de las dos gráficas,
seleccionando el comando Análisis / Resolución gráfica / Intersección.
Concluimos que las coordenadas del punto de intersección son, aproximadamente, (2.27,
5.18). El valor aproximado a las décimas de la abcisa del punto pedido es 2.3.
Otra forma:
Como el punto del gráfico de f cuya ordenada es el cuadrado de la abcisa puede ser visto
como el punto de intersección de las gráficas de las funciones f e y  x 2 , su abcisa se
puede calcular resolviendo la ecuación x 2  3x  ln x . En el menú Gráficos y tablas,
introducimos la expresión Y3= x 2  (3x  ln x)
Vamos a examinar la evolución de los valores de la función editada en Y3 mediante una
tabla. En la lista de funciones, seleccionamos solamente la función Y3. Define el intervalo
de salida de la tabla y muestra la tabla:
Observamos en la tabla que el cero de la función Y3 está comprendido entre 2 y 3. (Esto
lo podemos afirmar, ya que la función Y3 es continua en R+, aplicando el teorema de
Bolzano). Basándonos en esto, podemos elegir la siguiente ventana de visualización:
Podemos ahora determinar el valor del cero de la función, seleccionando el comando
Análisis / Resolución gráfica / Raíz.
Vemos que se cumple que la función tiene un cero para x=2,27. Por tanto, el valor
aproximado a las décimas para la abcisa del punto pedido es 2.3.
6.- UN PROBLEMA DE ALTURAS
Supongamos que la altura A (en metros) de una generación de sexo masculino puede ser
expresada, aproximadamente, en función de su peso p (en kilogramos), por:
A(p)= - 0,52 + 0,55 ln (p),
donde ln representa el logaritmo de base e)
Recurriendo a métodos analíticos y utilizando la calculadora para efectuar cálculos
numéricos, resuelve las siguientes cuestiones:
1)
Ricardo mide 1,4 m de altura. Admitiendo que la altura y el peso de Ricardo están de
acuerdo con la igualdad referida, ¿cuál será su peso? Presenta el resultado en
kilogramos, redondeando a unidades.
2)
Comprueba que, para cualquier valor de p, la diferencia A(2p) – A(p) es constante.
Determina un valor aproximado de esa constante (con dos cifras decimales) e
interpreta ese valor en el contexto de la situación descrita.
RESOLUCIÓN
1)
Introducimos la fórmula de la función en el menú Gráficos y tablas. Examinamos la evolución de
la función por medio de una tabla de valores:
Podemos conjeturar que, en la situación referida, el peso de Ricardo está comprendido
entre 32 y 33 kilogramos. Usamos la siguiente ventana de visualización:
Seleccionamos el comando Análisis / Resolución gráfica / CalX e introducimos 1.4 como
valor de Y:
En la situación referida, el peso de Ricardo es aproximadamente 33 kilogramos.
2)
En Y2 escribimos la expresión Y2=0.52+0.55 ln (2x) correspondiente a A(2p).
Queremos ver que, para cualquier valor de p, la diferencia A(2p) – A(p) es constante.
Por tanto, escribimos en Y3 el resultado de Y2 – Y1.
A continuación, desactivamos las funciones Y1 e Y2 y dejamos activa Y3. Construimos una tabla de
valores de Y3, tal como se indica a continuación:
Observando, a través de la tabla, la evolución de los valores de la función Y3, vemos que
la diferencia A(2p) – A(p) permanece constante, y dicha constante es, aproximadamente,
0,38. En el contexto de la situación descrita, este valor significa que un niño con el doble
del peso de otro, tendrá 38 centímetros más de altura.
7.- SUBE Y BAJA
En la figura está representado el gráfico de la función f, de dominio [0, 2], definida por
f(x) = x + 2 cos x.
A y B son puntos del gráfico cuyas ordenadas son extremos relativos de f.
1)
Sin recurrir a la calculadora, resuelve las siguientes cuestiones:
1.1) Demuestra que la ordenada del punto A es
6 3
y que la del punto B es
6
5  6 3
6
1.2) ¿Cuál es el recorrido de f?
2)
Considera la recta tangente a la gráfica de f en el punto A. Esta recta corta al gráfico
en otro punto C. Recurriendo a la calculadora gráfica, determina un valor aproximado
para la abcisa del punto C (presenta el resultado redondeando a las décimas).
Explica cómo hacerlo (en la explicación debes incluir el gráfico, o gráficos, que
consideres oportuno para resolver esta cuestión.
RESOLUCIÓN
1)
Como f/x)=x+2cosx  f’(x)=1-2senx=0  sen x = 1/2  x = /6 ó x = 5/6. Hay, por
tanto, dos valores críticos. Por el criterio de la segunda derivada:
f"(x)=2cos x. Entonces: f”(/6)=2cos (/6)=-1.73<0  x=/6 es un máximo relativo
(punto A) y f(/6)=



1 
6 3
 2  cos( )   2  1    3 
6
6
6
4 6
6
Por otra parte, f”(5/6)=2 cos(5/6)=1.732>0  x=5/6 es un mínimo relativo (punto
B) y f(5/6)=
2)
5
5
5

5
5  6 3
 2  cos( ) 
 2  cos( ) 
 3
6
6
6
6
6
6
Introducimos la función en el menú Gráficos y tablas. Teniendo en cuenta que el
 5 - 6 3

, 2  2 , consideramos la
6


dominio es [0, 2] y que el recorrido de f es 
siguiente ventana de visualización:
El punto A es el máximo de la función. Configuramos la ClassPad para que muestre en
pantalla el valor de la derivada de la función en cada punto. Para calcular el máximo,
seleccionamos el comando Análisis / Resolución gráfica / Max, obteniendo:
Las coordenadas (0.523599; 2.25565) representan al punto A (máximo de la función)
La recta tangente al gráfico de f en el punto A tiene por ecuación Y 
6 3
. Editamos
6
esta expresión en Y2. Para determinar la abcisa del punto C, recurrimos al comando
Análisis / Resolución gráfica / Intersección
Concluimos así que las coordenadas del ponto C son, aproximadamente, (3.81; 2.25).
El valor aproximado a las décimas para la abcisa del punto C es 3,8.
8.- BUSCA LA TANGENTE
De una función f, de dominio [, ], sabemos que su derivada f’ está definida igualmente
en el intervalo [, ] y está dada por: f’(x)=x+2cos(x)
El gráfico de f contiene un único punto donde la recta tangente es paralela al eje OX.
Utilizando la calculadora, determina un valor, redondeado a las centésimas, para la abcisa
de ese punto. Explica como hacerlo.
RESOLUCIÓN
Para que una recta paralela al eje OX sea tangente al gráfico de f en un punto dado, la
derivada de la función en ese punto debe ser 0.
Introducimos la fórmula de la función f’ en el menú Gráficos y tablas. Previamente,
configuramos la ClassPad para que los ángulos se expresen en radianes.
A continuación analizamos la evolución de la función f’ mediante una tabla de valores.
El intervalo de salida de la tabla será [, ] .
Podemos observar que cuando el valor de x está comprendido entre  y , los
respectivos valores de f’(x) están comprendidos entre 5,20 y 2,19. Teniendo en cuenta
esta observación, podemos elegir la siguiente ventana de visualización:
Para determinar el cero de f’, seleccionamos el comando Análisis / Resolución gráfica /
Raíz, obteniendo el siguiente resultado:
Concluimos así que el cero de f’ ocurre para x=1,03, que es la abcisa del punto buscado.
9.- UNA INECUACIÓN
Considera las funciones f y g, de dominio R, definidas por:
1
g(x) = 2 sen x  cos x
f(x)   2  e1 x
3
Utilizando la calculadora, determina las soluciones enteras de la inecuación f(x)>g(x) en el
intervalo [0, 2]. Explica como lo haces.
RESOLUCIÓN 1
En el menú Gráficos y tablas, introducimos las dos expresiones. Como se pretende
determinar las soluciones enteras de la inecuación f(x)>g(x) en el intervalo [0, 2], vamos
a considerar valores de x comprendidos entre 0 y 7. De esa forma definimos los
parámetros de salida de la tabla de valores:
Vemos que f(x) es mayor que g(x) para los valores enteros {0, 1, 4, 5, 6}
RESOLUCIÓN 2
Se cumple que f(x)>g(x) es equivalente a f(x) – g(x)>0
En el menú Gráficos y tablas, escribimos la expresión de las funciones f, g y f – g
Desactivamos Y1 e Y2 y dejamos seleccionada Y3.
A continuación, visualizamos una tabla de valores de Y3, dando a x valores entre 0 y 7
En esta tabla vemos que los valores de f(x) – g(x) están comprendidos entre 1,17 y 6,77.
Teniendo en cuenta esta observación, definimos la siguiente ventana de visualización:
Seleccionamos el comando Análisis / Resolución gráfica / Raíz para hallar los ceros de la
función f(x) – g(x).
Vemos que los ceros de f – g son 1,35; 3,37; 6,89. Por lo tanto, la función f – g toma
valores positivos en los intervalos [0; 1,35), (3,37; 2). Por lo tanto, los valores enteros
para los que f(x) – g(x) es positiva son: 0 y 1 en el intervalo [0; 1,35), y 4, 5 y 6 en el
intervalo (3,37; 2). Por tanto, las soluciones enteras de la inecuación son {0, 1, 4, 5, 6}.
RESOLUCIÓN 3
Escribimos las dos funciones en Y1 e Y2. Para proceder a la representación gráfica
necesitamos determinar la mejor ventana de visualización. Para ello, analizaremos la
evolución de los valores de las dos funciones, mediante una tabla de valores. La tabla la
construimos entre 0 y 7, ya que el dominio de las funciones es el intervalo [0, 2],
En la tabla observamos que los valores de f(x) están comprendidos entre 0,34 y 5,77 y los
valores de g(x) están comprendidos entre 2,20 y 2,23. Teniendo en cuenta esta
observación, seleccionamos la siguiente ventana de visualización:
A continuación, seleccionamos el comando Análisis / Resolución gráfica / Intersección,
para hallar los puntos de corte de las dos funciones:
Vemos que los tres puntos de intersección se obtienen para x=1,35, x=3,37 y x=6.89.
Vemos, además que entre x=1,35 y x=3,37, la gráfica de f(x) va por encima de la gráfica
de g(x) y lo mismo ocurre si x>6.89. Por tanto, el conjunto de las soluciones enteras de la
inecuación f(x)>g(x) en el intervalo [0, 2] es {0, 1, 4, 5, 6}.
10.- EL BALÓN DE FÚTBOL
En la figura está representada la trayectoria de un balón de fútbol después de haber sido
golpeada por un jugador de la selección española, durante un encuentro de preparación
para la EURO-2012.
Designamos por a la distancia, en metros, entre el punto donde el balón fue golpeadp y el
punto donde cae. Considera la función h definida en [0, a] por h(x)=2x+10 ln (1 – 0.1x).
Admitimos que h(x) es la distancia, en metros, del balón al suelo, en el momento en que
su proyección sobre el suelo se encuentra a x metros del lugar donde fue golpeado.
Utilizando la calculadora, determina el valor de a, redondeando a las décimas. Explica
cómo lo haces, presentando todos los elementos obtenidos en la utilización de la
calculadora.
RESOLUCIÓN
Se pretende encontrar la solución de la ecuación h(x)=0
En el menú Gráficos y tablas, introducimos la fórmula de la función Y1 = 2x + 10 ln(1-0,1x)
Visualizamos la gráfica con la siguiente ventana de visualización:
Para calcular el cero de esta función, usamos el comando Análisis / Resolución gráfica /
Raíz.
En el momento en que el balón fue lanzado, la altura a la que se encontraba del suelo era de cero
metros. Lo mismo se verifica en el momento en que cae. Vemos que a = 7,97.
11.- RESIDUOS
La empresa FUTUROLIMPO quiere saber el tiempo necesario para la recogida selectiva
de residuos en una zona residencial. Para ello selecciona, aleatoriamente, una muestra
de 22 registros de los tiempos necesarios para esa recogida.
El diagrama de tallo y hojas siguiente representa los 22 registros de los tiempos, en
minutos, que fueron necesarios para la recogida selectiva de los residuos. En el tallo, se
muestra el valor de las decenas y, en las hojas, el valor de las unidades de cada registro.
Teniendo en cuenta los datos presentados en el diagrama de tallo y hojas, relativos a la
muestra seleccionada, responde las siguientes cuestiones:
1)
Utilizando la calculadora, determina el valor de la media ( X ) y el valor de la
desviación típica (s) del tiempo necesario para la recogida selectiva de los residuos.
Presenta el valor de la desviación típica redondeando a las centésimas.
2)
Determina el porcentaje de tiempos necesarios para la recogida selectiva de residuos
que pertenecen al intervalo [ X - s, X +s]. Presenta el resultado redondeando a las
unidades. En caso de que no hayas respondido el apartado (1), considera que
X =96,2 minutos y s=8,90 minutos.
RESOLUCIÓN
1) Introducimos los valores en el menú Estadística de la calculadora:
Seleccionamos el comando Cal / Una variable e introducimos List1 como la lista X y List2
como la lista de frecuencias.
Vemos que la media es X  96 minutos y la desviación típica muestral es
aproximadamente. X   8,98 minutos.
n
2) En el intervalo ( X  s , X  s ) = (96 – 8.98, 96+8.98)=(87.02, 104.98) contabilizamos 12
 12  100   55%

 22 
minutos, lo que representa un porcentaje de 
12.- ESPECIE PROTEGIDA
En la actualidad, hay una creciente preocupación por la preservación de la naturaleza, en
cuanto a la necesidad de proteger especies que se encuentran en peligro de extinción.
Consideramos que una cierta especie animal se encontraba en vías de extinción. Para
protegerla, se tomaron medidas proteccionistas como reproducción asistinda en un área
protegida, no en su hábitat natural. Supongamos que, al principio, apenas existían 8
animales de la especie en esa área. La siguiente tabla muestra un conteo anual del
número de animales existentes en dicha área.
El siguiente gráfico representa los datos de la tabla, a través de una nube de puntos.
Utilizando la calculadora, determina un modelo de regresión lineal, de ecuación y=ax+b,
que se ajuste a la nube de puntos. Indica los valores de a y de b, con una aproximación
hasta las décimas.
RESOLUCIÓN
Introducimos los valores en el menú Estadística de la calculadora.
Para diseñar el gráfico, seleccionamos el menú ConfGraf / Opciones e introducimos los
parámetros que se indica en la siguiente ventana:
A continuación, con el gráfico de dispersión en pantalla, elegimos el comando Calc /
Regresión lineal
Obtenemos la recta de regresión Y = a X + b, siendo a = 8,2 y b =  3.5 , con un
coeficiente de correlación r = 0.98 y un coeficiente de determinación r 2  0.96 . Es decir,
este modelo lineal explica un 96% de la variabilidad de los datos.
13.- EVOLUCIÓN DE LA POBLACIÓN
La población mundial, desde 1900, evoluciona de acuerdo con la siguiente tabla:
Suponemos que la evolución de la población mundial desde 1900 está modelizada por
una función exponencial del número de personas, en la que la variable independiente
designa el número de años desde 1900.
1)
Estima la población mundial para el año 2010.
2)
Utiliza la calculadora y la regresión exponencial para determinar la expresión de una
función que se ajuste a los datos de la tabla, siguiendo estos pasos:
 Considera el año 1900 como año cero
 Escribe la expresión, además de los valores numéricos usados en la calculadora
con cuatro cifras decimales.
 Usando esa expresión, estima la población mundial para 2010, expresando el
resultado en miles de millones de habitantes, redondeando a las centésimas.
RESOLUCIÓN
Introducimos los valores de la tabla en las listas del menú Estadística. Para diseñar el
gráfico, configuramos los parámetros que se señalan en la siguiente figura, usando el
comando ConfGraf / Opciones:
La forma del gráfico sugiere un modelo de ajuste exponencial. Seleccionamos el comando
Calc / Regr. Exponencial y elegimos los parámetros que se indican en la siguiente
ventana.
el modelo Y  a  e b X , siendo a=1.4471, b=0.0136, es decir,
Y  1.4471  e 0.0136X , con un coeficiente de determinación r 2  0.97 , es decir, este
modelo explica un 97% de la variabilidad de los datos.
Obtenemos
Para obtener el valor estimado de la población para el año 2010, elegimos el menú
Gráficos y tablas y vemos que la función de regresión se ha copiado en Y1. Copiamos
dicha expresión y la pegamos en la pantalla principal. A continuación calculamos su valor
para x=110 (para lo que basta añadir / x=110 al final de la línea donde está la fórmula de
la función. El valor estimado de la población para el año 2010 es de 6.487.
14.- PESCANDO EN UN ESTANQUE
Supongamos que, en un estanque, existen 300 rodaballos y 200 truchas.
1)
Se pesca un pez del estanque. Suponemos que cada pez tiene igual probabilidad de
ser pescado. ¿Cuál es la probabilidad de pescar un rodaballo?
2)
Se retiraron del estanque doce rodaballos. Los valores de las respectivas longitudes y
pesos son los que están en la siguiente tabla:
Utilizando la calculadora, determina el coeficiente de correlación lineal entre las
variables a y p, redondeando a las centésimas. Interpreta el valor obtenido, teniendo
en cuenta la nube de puntos que puede visualizar la calculadora.
RESOLUCIÓN
Introducimos los valores de la tabla en las listas del menú Estadística. Antes de diseñar el
gráfico debemos configurar los diversos parámetros que se indican en la siguiente figura
(a través del menú ConfGraf / Opciones)
Ajustamos esta nube de puntos usando un modelo de regresión lineal. Para ello usamos
el comando Calc / Regresión lineal, obteniendo:
Vemos que el coeficiente de correlación lineal es r=0.9427, mientras que el coeficiente de
determinación es r 2  0.8887 , es decir, este modelo explica un 89% de la variabilidad de
los datos. Por tanto, existe una correlación positiva fuerte entre la longitud y el peso de los
rodaballos.
15.- COMPETICIÓN DE AJEDREZ
El gestor de la competición, decidió estudiar la evolución del número de jugadores de
ajedrez, desde el inicio de la competición hasta la sexagésima semana, para lo cual fue
registrando el número de jugadores, de cinco en cinco semanas, obteniendo la siguiente
tabla:
Representa en tu calculadora el diagrama de dispersión de los datos y determina la
ecuación de la recta de regresión y = a x + b, indicando los valores de a y b con una
aproximación a las centésimas. Dibuja aproximadamente en el papel los diagramas
obtenidos con la calculadora, incluyendo la recta de regresión.
RESOLUCIÓN
En el menú de Estadística, introducimos los valores en la lista 1 y en la lista 2, donde la
primera representa el tiempo y la segunda el número de jugadores.
Después de tener los datos introducidos, seleccionamos el comando ConGraf / Opciones
para definir las opciones del gráfico que se muestran a continuación.
El gráfico sugiere que un buen modelo de ajuste es el modelo lineal. Seleccionamos el
comando Calc / Regresión lineal y obtenemos las siguientes pantallas:
La recta de regresión es Y=aX+b, siendo a=3.85 y b=4.94; es decir, la recta de ecuación
Y=3.85X+4,94. El coeficiente de correlación lineal es r=0.996, con un coeficiente de
determinación r 2  0,992 , es decir, el modelo lineal explica un 99% de la variabilidad de
los datos.
16.- PARABRISAS
La sección de control de calidad de una fábrica de parabrisas elige, aleatoriamente, una
muestra de 100 parabrisas producidos por una determinada máquina y registra la longitud
de los parabrisas seleccionados. En la siguiente tabla, están indicados los datos,
agrupados, de las longitudes de los parabrisas de la muestra, a la izquierda del
correspondiente histograma.
Calcula un valor aproximado para la media de longitudes de los parabrisas de la muestra
seleccionada. En los cálculos intermedios, utiliza dos cifras decimales, presentando el
resultado final redondeado a las décimas.
RESOLUCIÓN
En el menú Estadística, introducimos en la lista1 las marcas de clase y en la lista2 la
frecuencia absoluta. Para obtener una lista con los valores de los parámetros estadísticos,
seleccionamos el comando Calc / Una variable, obteniendo las siguientes pantallas:
Observamos que la media es aproximadamente 5.5 cm.
17.- ANALGÉSICO
Se sabe que la concentración C, en miligramos por litro, de un analgésico en la circulación
sanguínea, t horas después de su ingestión, está dada por: C(t)  10  e  t  e  2t .


1)
¿Cuál es la concentración, aproximada, de analgésico una hora y treinta minutos
después de su ingestión? Presenta el resultado redondeando a las centésimas.
2)
Se sabe que el analgésico tiene el efecto deseado cuando su concentración es
superior a 0,5 miligramos por litro. Suponemos que el analgésico fue ingerido a las 9
horas. Utilizando la calculadora gráfica, indica una aproximación del intervalo en que
se produce el efecto deseado. Presenta los resultados en horas y minutos, con los
minutos redondeados en unidades.
RESOLUCIÓN
1)
Pretendemos saber la ordenada cuya abcisa es 1.5 (corresponde a 1 hora y 30
minutos)
Vamos a escribir la expresión en el editor de funciones (menú Gráficos y tablas) y a
diseñar el gráfico utilizando la siguiente ventana de visualización.
Para calcular la ordenada que corresponde a X=1.5, seleccionamos el comando
Análisis / Resolución gráfica / CalY
La concentración es, aproximadamente, de 1,73 miligramos por litro.
2) En esta pregunta vamos a ver durante cuánto tiempo es superior a 0,5 miligramos por
litro, o sea, vamos a resolver la siguiente inecuación: 10  e  t  e  2t  0.5


En el editor de funciones (menú Gráficos y tablas) escribimos en Y1 el primer miembro de
la inecuación y en Y2 el segundo miembro de la inecuación. Utilizamos la misma ventana
de visualización que en el ejercicio anterior. El resultado de la inecuación se encuentra en
el intervalo entre las dos intersecciones. Para calcular los puntos de intersección usamos
el comando Análisis / Resolución gráfica / Intersección, obteniendo el siguiente resultado.
El primer punto tiene de coordenadas (0,05; 0,5) y el segundo punto tiene de coordenadas
(2,94; 0,5). Así, el medicamento comienza a hacer efecto 0,05x60=3 minutos después de
ser tomado y deja de hacer efecto 2,94 horas después de ser tomado, o sea, 2 h y 56
minutos (2 horas y 0,95x60=56)
El medicamento fue tomado a las 9h 00 m, luego comenzará a hacer efecto a las 9h y 3m
y dejará de hacer efecto a las 11 h y 58 m.
La duración del efecto del medicamento es de 2,89 h oras (2,94 – 0.05=2,89), o sea, 2
horas y 53 minutos (0.89x60=53.4)
18.- SALARIO MENSUAL
La evolución de la masa salarial de un conjunto de trabajadores se puede explicar a veces
por medio de modelos matemáticos. En una empresa dada se hace un estudio
comparativo de la evolución de los salarios (en euros) de dos trabajadores A y B, entre
1998 y 2006.
Sobre el trabajador A, el valor del salario mensual en cada año en el período comprendido
entre 1998 y 2006, está representado en la siguiente tabla y en el diagrama de dispersión.
Sobre el trabajador B se sabe que, en 1998, recibía mensualmente 652 euros y que, en
los años siguientes, referentes al período en estudio, el valor de su salario mensual puede
ser obtenido a través del modelo: v n  652  1,050  2 n 1 . La variable n está asociada a
los años relativos al período en estudio, concretamente, n=1 corresponde a 1998, n=2
corresponde a 1999, etc.
Utilizando la calculadora, indica un valor aproximado del coeficiente de correlación lineal
entre las variables descritas en la tabla (años / salario), referente al trabajador A. Presenta
el resultado con dos cifras decimales. Interpreta ese valor, teniendo en cuenta el diagrama
de dispersión correspondiente.
RESOLUCIÓN
Introducimos las dos columnas en dos listas del menú Estadística Consideramos el año
1998 como año 1 y así sucesivamente. Los años se introducen en la lista1 y los salarios
en la lista2.
Para calcular directamente la recta de regresión, basta seleccionar el comando Calc /
Regresión lineal
El resultado indica que la recta de regresión es Y=aX+b, siendo a=16.7 y b=883.4, es
decir, Y=16.7 X + 883,4, con un coeficiente de correlación r=0.9898, correlación positiva
fuerte.
Utilizando el método gráfico, una vez introducidos los datos en las listas, seleccionamos el
comando ConfGraf / Opciones y modificamos los parámetros de visualización del gráfico
de dispersión.
En el gráfico de dispersión se muestra la recta de regresión, cuya ecuación aparece en el
cuadro de mensajes, cuando se activa el cursor de recorrido.
El coeficiente de correlación es de 0,99, verificándose una correlación positiva fuerte entre
la variación de los años y el correspondiente aumento de salarios.
19.- VENTA DE BILLETES
Un campo de futbol debe tener una bancada destinada a los socios, que tenga cabida
para 4000 espectadores. Si por cada billete se piden 10 euros, se prevé que las entradas
de esas localidades queden agotadas. Basándose en experiencias anteriores, se sabe
que si el precio de cada billete aumenta un cierto porcentaje, x, sobre el valor base (10
euros), el número de espectadores baja la mitad de ese porcentaje. Por ejemplo, si el
precio de los billetes aumenta un 10%, x=0,1, el número de espectadores sufre un
descenso del 5%.. Suponiendo cierto el modelo anterior y considerando siempre un
aumento porcentual, x, sobre el precio base (10 euros), responde las siguientes
cuestiones:
Demuestra que, si x es el aumento porcentual del precio de cada billete para estas
localidades, la rentabilidad por la venta de billetes R, está dada por:
R(x)  20000 x 2  20000 x  40000 , con 0  x  2
Ten en cuenta que:
3) El precio de cada billete, p, en función del aumento porcentual, x, está dado por
p(x)=10(1+x)
4) El número de espectadores, n, en función del aumento porcentual, x, está dado
por n(x)=4000 – 2000 x.
Uno de los directivos del club sugiere que el precio de cada billete sea de 20 euros, para
ser maximizadas las ganancias. Pero un segundo directivo se opone, diciendo que lo ideal
es mantener el precio de cada billete en 10 euros. En un pequeño texto, comenta el
argumento de cada uno de los directivos del club, teniendo en cuenta el objetivo de
maximizar las ganancias. Debes incluir en la respuesta:
El valor del porcentaje, x, que la dirección del club debe aplicar sobre el precio
base (10 euros), para que se maximicen las ganancias y el respectivo valor de las
ganancias (en caso de discrepar de la opinión de cada uno de los dos directivos)
Un argumento, fundamentado, referente a la propuesta de cada uno de los dos
directivos, diciendo si se está o no de acuerdo.
Todos los elementos obtenidos en la utilización de la calculadora gráfica que se
consideren relevantes en la respuesta.
RESOLUCIÓN

Para saber cuál es el valor del porcentaje x que la dirección debe aplicar para
conseguir maximizar los ingresos por billetes, debemos hallar el máximo de la
función. De esta forma, introducimos la expresión en el editor de funciones. La
ventana de visualización debe tener la siguiente configuración
Con el gráfico diseñado, vamos a calcular el máximo, usando el comando Análisis /
Resolución gráfica / Max.
Así podemos verificar que para maximizar el valor de los ingresos por billetes se debe
aumentar el precio del billete en un 50%, obteniéndose un ingreso de 45000 euros.
Uno de los directores sugiere que el precio del billete pase a ser 20€, o sea, tenga un
aumento de 100% (x=1). Si pedimos a la calculadora el valor de la ordenada cuya abcisa
es 1, verificamos que en esta situación el ingreso obtenido es de 40.000€ (Hay que elegir
el comando Análisis / Resolución gráfica / CalY, dando a X el valor 1)
El otro director sugiere que se mantenga el precio del billete en 10 euros, o sea, que no
haya aumentos (X=0). En este caso, al pedir la ordenada del punto cuya abcisa es 0,
verificamos que el ingreso obtenido es de 40.000€. (Hay que elegir el comando Análisis /
Resolución gráfica / CalY, dando a X el valor 0)
Las propuestas de los dos directores son equivalentes. Ninguna de las dos propuestas
maximiza el ingreso por la venta de billetes.
20.- CONSTRUCCIÓN DE UNA ROTONDA
En una determinada localidad, el responsable del planeamiento urbanístico presenta una
propuesta para la construcción de una rotonda con 10 metros de diámetro. En el centro de
la rotonda, se pretende construir un jardín en forma de rombo, con 20 metros de
perímetro, como sugiere la figura. Alrededor del jardín se colocará una calzada y otros
elementos decorativos.
Sobre la figura se considera que:
3) Los puntos A, B, C y D son los vértices del rombo.
4) El punto O es el centro de la circunferencia.
5) El ángulo ADO tiene de amplitud a, siendo 0<a</2

Demuestra que el área, en metros cuadrados, de la zona destinada a jardín está
dada, en función de a, por: A(a)=50cosasena, 0<a</2

Determina A(/4). Interpreta geométricamente el resultado obtenido, indicando qué
forma particular tiene el rombo para a=/4.
RESOLUCIÓN
2) Vamos a introducir la expresión A(a) en el editor de funciones con la ventana de
visualización indicada a continuación.
Al determinar el máximo de la función (Análisis / Resolución gráfica / Max) verificamos
que la abcisa del valor máximo tiene un valor aproximado de /4 y la ordenada tiene valor
25. De esta forma, verificamos que la forma particular del rombo es un cuadrado.
21.- GASÓMETRO
En el período de pruebas que antecede a la entrada en funcionamiento de un gasómetro,
con capacidad de 100 toneladas, se procedió a su relleno, continuamente, durante 24
horas. Por razones de seguridad, el gasómetro fue lastrado con 2,5 toneladas de gas,
después de que se iniciara la operación de relleno. A partir de ahí, su relleno fue hecho de
acuerdo con el modelo:
M(t) 
100
1  39  e  0,49 t
, siendo 0  t  24
(M representa la masa total, expresada en toneladas, existente en el gasómetro t horas
desde el inicio de su relleno)
Durante el período en que transcurre el relleno del gasómetro, ¿existe un cierto intervalo
de tiempo en que la tasa de variación media del modelo toma un valor negativo? Justifica
razonadamente la respuesta.
RESOLUCIÓN
Vamos a introducir la expresión en el editor de funciones y como ventana de visualización
la siguiente.
Al observar el gráfico de la función podemos concluir que no puede existir un intervalo
donde la tasa de variación media sea negativa, puesto que la función es creciente en su
domínio. La tasa de variación media es siempre positiva.
22.- DOS FUNCIONES
Considera la función f definida en el intervalo [1, 2] por f(x)=cos(x – 1)+ln x. Para un cierto
valor real positivo a y para un cierto valor real b, la función g, definida en el intervalo [1, 2]
por g(x)=af(x)+b, tiene por recorrido el intervalo [4, 5].
Utilizando la calculadora gráfica, determina los valores de a y de b, redondeados a las
centésimas. Explica cómo lo haces. Debes incluir los gráficos visualizados en la
calculadora y las coordenadas relevantes de algunos puntos. Trabaja siempre con un
mínimo de tres cifras decimales.
RESOLUCIÓN
Vamos a determinar el máximo de la función.
Teniendo en cuenta el recorrido de la función [ 1 , 2 ], debemos utilizar la ventana de
visualización que se indica a continuación.
Para obtener el máximo de la función, seleccionamos el comando Análisis / Resolución
gráfica / Máx.
Verificamos que la función tiene un máximo con ordenada 1,297
Si efectuamos una operación idéntica para encontrar el mínimo de la función, vemos que
la calculadora no puede encontrar el mínimo. Vamos a utilizar el cursor de recorrido para
encontrar el mínimo dentro del dominio de la función. Visualmente verificamos que la
función comienza a crecer y después vuelve a decrecer. De esta forma conseguimos
percibir visualmente que el mínimo esta situado en una de las extremidades del gráfico.
Al recorrer la función, verificamos que el mínimo tiene de coordenadas (1,1)
Para determinar los valores pedidos tenemos que resolver el siguiente sistema de
ecuaciones:
ab4


1.297 a  b  5 
En el menú Principal, podemos resolver este sistema de ecuaciones usando el teclado
2D. De esa forma obtenemos . A= 3.367 y B= 0.633
De esta forma, podemos definir la función como: g(x)  3.367  cosx  1  ln x   0.633
23.- ÓRBITA TERRESTRE
Como sabes, la Tierra describe un órbita elíptica alrededor del Sol. En la figura está
representado un esquema de esa órbita. Está señalado el perihelio o punto de la órbita de
la Tierra más próximo al Sol. En la figura está señalado un ángulo de amplitud x radianes
(x[0,2]. Este ángulo tiene su vértice en el Sol, su lado origen pasa por el perihelio y su
lado extremo pasa por la Tierra. La distancia d, en millones de kilómetros de la Tierra al
Sol, esta dada (aproximadamente) en función de x, por d = 149,6 (1 – 0.0167 cos x)
1)
Determina la distancia máxima y la distancia mínima de la Tierra al Sol. Presenta los
valores pedidos en millones de kilómetros, redondeados a las décimas.
2)
Se sabe que x verifica la relación
2t
 x  0.0167  sen x , siendo
T

t el tiempo, en días, que transcurre desde el paso de la Tierra por el perihelio hasta
el instante en que alcanza la posición correspondiente al ángulo x.

T el tiempo que tarda la Tierra en describir una órbita completa (365,24 días)
2.1) Demuestra que, para x = , se tiene t = T/2
2.2) Se sabe que el último paso de la Tierra por el perihelio ocurrió en cierta hora del
dia 4 de Enero. Determina la distancia a la que la Tierra se encontraba del Sol, en
la misma hora del dia 14 de Febrero. Presenta el resultado en millones de
kilómetros, redondeando a las décimas.
La resolución de esta cuestión implica una ecuación que debe ser resuelta
gráficamente, usando como recurso la calculadora. Presenta los elementos obtenidos
en la utilización de la calculadora, tales como los gráficos y las coordenadas
relevantes de algunos puntos.
RESOLUCIÓN
2.2) El tiempo que transcurre entre el día 4 de Enero y 14 de Febrero es de 41 días. De
esta forma, la ecuación
forma:
2t
 x  0,0167  sen x puede ser escrita de la siguiente
T
2    41
 x  0,0167  sen x
365,24
Vamos a resolver gráficamente la ecuación:
Vamos a igualar la ecuación a cero y a hallar gráficamente el cero de la función.
2    41
 x  0,0167  sen x  0
365,24
Introducimos la expresión en Y1. Configuramos la ventana de visualización teniendo en
cuenta que el dominio de la función es [0, 2).
Para obtener el cero de la función, seleccionamos el comando Análisis / Resolución
gráfica / Raíz
Según el resultado obtenido, podemos concluir que el valor de x es 0,7163. Para
determinar la distancia pedida sustituimos el valor encontrado (0.7163) en la expresión de
la distancia. Así tenemos:
d = 149.6 (1-0.00167 cos x)
d = 149.6 (1-0.00167 cos 0.7163)
d =147.72 millones de kilómetros
24.- TINTA AZUL
Margarita, alumna del curso de Artes Visuales, pretende hacer una composición artística
en un trozo de tejido. Para ello, comienza por utilizar un frasco de tinta azul sobre el tejido.
Suponemos que la mancha producida por la tinta sobre el tejido es un círculo cuyo radio
va aumentando conforme transcurre el tiempo. Se sabe que, t segundos después de que
el frasco haya sido completamente vaciado, el área (en cm 2 ) de tejido ocupada por la
mancha está dada, para un cierto valor de k, por
A(t) 
100
1  4  e kt
, siendo t  0
1)
Suponiendo que, al final de los cinco segundos, el radio de la mancha circular es de 4
cm, determina el valor de k. Presenta el resultado redondeado a las centésimas.
2)
Admitamos ahora que k=  0.25 . Calcula la tasa de variación media de la función A
en el intervalo [0, 4], presentando el resultado redondeado a las unidades. Interpreta
el valor obtenido en el contexto del problema.
RESOLUCIÓN
1)
El área de la circunferencia está dada por A  2    r . De esta forma, el área de la
mancha al cabo de 5 segundos esta dada por A  16   Lo que se pretende hallar
es el valor de k al cabo de 5 segundos. De esta forma vamos a resolver la siguiente
ecuación:
100
1  4  e 5 t
 16  
1º Método de Resolución.
Introducimos la expresión en el menú de Gráficos y tablas. Usamos la siguiente ventana
de visualización.
Vamos a hallar el valor de x (que representa a k) cuando el área é 16π. Para ello usamos
el comando Análisis / Resolución gráfica / CalX, introduciendo como valor de Y=16
Observamos que x=  0.279 Por lo tanto, k = 0.28
2º Método de Resolución.
Introducimos las expresiones Y1 
100
1  4  e 5 x
, Y2  16  
Utilizamos la siguiente ventana de visualización:.
Para hallar el punto de corte de las dos funciones, seleccionamos el comando Análisis /
Resolución gráfica / Intersección.
El resultado obtenido indica que k=0.28
2) La tasa de variación media de la función A en el intervalo [0, 4] está dada por
A(4)  A(0)
40
Vamos a substituir k por -0.25 y a introducir la expresión en el menú gráfico. Utilizamos la
siguiente ventana de visualización:
A continuación, usamos el cursor de recorrido. Introducimos directamente el valor “0” para
obtener el primer valor. Observa que A(0)=20
Repetimos el proceso, pero esta vez con eñ valor “4”. Observa-se que A(4)=40.5
En la pantalla Principal, efectuamos el cálculo de la tasa de variación media:
Por tanto, se puede concluir que en los primeros cuatro segundos, el área de tejido
ocupada por la mancha aumenta, en media, 5 centímetros cuadrados por segundo.
25.- DE CASA A LA ESCUELA
María siempre va en coche a la escuela, saliendo de casa entre las siete y media y las
ocho de la mañana. Suponemos que, cuando María sale de casa t minutos después de
las 7 y media, la duración del viaje, en minutos, está dada por
d(t)  44 
5000
t 2  275
( t   0, 30 
Las clases de María comienzan siempre a las ocho y media.
1)
Demuestra que, si María sale de casa a las 7 h 45 m, llega a la escuela a las 8 h 19
m, pero, si sale de casa a las 7 h 55 m, ya llega retrasada a las clases.
2)
Utilizando la calculadora gráfica, resuelve el siguiente problema: ¿A qué horas puede
María salir de casa, de modo que no llegue tarde a las clases? En la resolución debes
incluir:

Una explicación de que, para que María no llegue tarde a las clases, es necesario
que t + d(t)  60.

Los gráficos visualizados en la calculadora.

La respuesta al problema en horas y minutos (los minutos redondeados a las
unidades)
RESOLUCIÓN
Introducimos la expresión en el editor de funciones. Configuramos la ventana de
visualización basándonos en los valores del dominio dados en el enunciado.
1)
Si María sale de casa a las 7h 45m, salió 15 minutos después de las 7h 30m, Por
tanto t=15.
Usamos el cursor de recorrido e introducimos el valor de X=15.
Así, la duración del viaje es de 34 minutos, llegando a clase a las: 7h 45m + 34m = 8h19m
Si sale a las 7h55m, salió 25 minutos después de las 7h30m, es decir t=25.
El viaje tendrá una
(7h55+38.4m=8h33).
duración
de
38.4
minutos,
llegando
atrasada
a
clase.
Para que Maria no llegue atrasada, el tiempo que transcurre desde que sale de casa (t)
hasta que llega à escuela (d(t)) no puede exceder de 60 minutos . t + d(t)  60
Así pasamos a tener la siguiente ecuación:
t  44 
5000
t 2  275
 60
Vamos a introducir las expresiones en el menú gráfico de la calculadora y a obtener el
punto de intersección. Para ello, usamos el comando Análisis / Resolución gráfica /
Intersección.
Para que Maria no llegue atrasada a las clases tiene que salir de casa 22 minutos
después de las 7h30, o sea, tiene de salir a las 7h52m.
26.- FUNCIÓN POLINÓMICA
Sea f una función de dominio R definida por f(x)  x 4  3x 3  3x 2  14x . Se sabe que el
gráfico de f corta al eje OX solamente en dos puntos. Uno de ellos tiene abcisa 2.
1)
Descompón el polinomio x 4  3x 3  3x 2  14x en un producto de tres polinomios,
siendo dos de primer grado y uno de segundo grado.
2)
El recorrido de f es un intervalo de la forma [a, +[. Utilizando la calculadora gráfica,
determina el valor de a, redondeado a las décimas. Reproduce el gráfico de f
visualizado en la calculadora, después de elegir una ventana que permita visualizar el
punto relevante para la resolución del problema. Señala ese punto en el gráfico.
RESOLUCIÓN
2)
Introducimos la expresión en el menú Gráficos y tablas. Consideramos la ventana de
visualización siguiente.
Seleccionamos el comando Análisis / Resolución gráfica / Mín. para obtener el mínimo
absoluto de la función.
El rango o recorrido de la función es [ 13.9, + [
27.- PIRÁMIDE CUADRADA
En la figura está representada en un sistema de referencia ortonormal, OXYZ, una
pirámide regular. Se sabe que:

La base RSTU es un cuadrado de área 4 con centro en el origen de coordenadas.

La arista RS es paralela al eje OY.

El vértice V tiene coordenadas (0, 0, 2).
1)
Demuestra que la recta definida por la condición x=0  y=2z es perpendicular al plano
STV y escribe la ecuación de dicho plano.
2)
Considera ahora un punto P que se desplaza a lo largo del segmento OV, sin
coincidir nunca con el punto O, ni con el punto V. Para cada posición del punto P
considera el cilindro tal que:

La base inferior del cilindro tiene centro en el origen del sistema de referencia y
está contenida en el plano XOY,

La base superior del cilindro tiene centro en el punto P y está inscrita en el
cuadrado que es la sección producida en la pirámide por el plano paralelo al XOY
que pasa por el punto P.
Sea z la cota del punto P y sea f la función que da el volumen del cilindro, en función
de z.
2.1) Justifica que el dominio de la función f es el intervalo (0, 2) y que
 z3

f(z)    
 z2  z
 4



2.2) Considera el siguiente problema: ¿Entre qué valores debe variar la cota del
punto P de tal modo que el volumen del cilindro sea superior a la quinta parte del
volumen de la pirámide? Traduce el problema por medio de una inecuación y,
utilizando la calculadora, resuélvela gráficamente. Presenta los valores pedidos
redondeados a las milésimas. Presenta en tu respuesta los elementos obtenidos
en la utilización de la calculadora: gráficos y coordenadas relevantes de algunos
puntos.
RESOLUCIÓN
2.2) El volumen de la pirâmide está dado por:
Vpirámide 
A base  altura 16  4 64


3
3
3
El Volumen del Cilindro está dado por:
 z3

Vcilindro    
 2z 2  4z  con dominio (0, 4) (se demuestra en el apartado 2.1)
 4



Para encontrar los valores que debe variar la cota del punto P de tal modo que el volumen
del cilindro sea superior a la tercera parte del volumen de la pirámide vamos a resolver la
siguiente inecuación
 z3
 1 64
1
Por tanto,
 Vpirámide o sea   
 2z 2  4z   
 4
 3 3
3


 z3
 64

 2z 2  4z  
 4
 9


Vcilindro 
1r Método de Resolución
Vamos a introducir la ecuación que traduce el volumen del cilindro en el menú gráfico. La
ventana de visualización debe estar de acuerdo con el dominio. De esta forma, vamos a
utilizar la siguiente ventana de visualización.
A continuación, seleccionamos el comando Análisis / Resolución Gráfica / CalX e
introducimos el valor 64/9 como valor de Y, obteniendo el siguiente resultado:
De lo observado en el gráfico y de los valores encontrados, podemos concluir que la cota
del punto P debe variar entre 1.019 e 1.675
2º Método de Resolución
Vamos a introducir la ecuación que traduce el volumen del cilindro en y1 y que traduce el
volumen de la pirámide en y2, en el menú gráfico.
La ventana de visualización debe estar de acuerdo con su dominio. De esta forma, vamos
a utilizar la siguiente ventana de visualización.
Vamos a obtener el punto de intersección entre las dos funciones. Para ello,
seleccionamos el comando Análisis / Resolución gráfica / Intersección..
De lo observado en el gráfico y de los valores encontrados, podemos concluir que la cota
del punto P debe variar entre 1.019 y 1.675
28.- UN RELOJ
En la figura está representado un reloj de una estación de tren. El reloj es un círculo que
está apoyado en una barra. Se sabe que, t segundos después de las 0 horas:

La distancia (en metros) del extremo del horario a la barra está dada por
h(t)  1 

5

cos 
 t 
10
 21600 
La distancia (en metros) del extremo del minutero a la barra, está dada por
m(t)  1 
7

cos 
 t 
10
 1800 
Tanto en h como en m, el argumento de la función coseno está expresado en radianes.
Sea A el extremo del horario y sea B el extremo del minutero. Tal como indica la figura
adjunta, pasado poco tiempo desde las 0 horas, la recta AB es paralela a la barra en la
cual está apoyado el reloj. Poco antes de 1 hora (de la mañana) hay otro instante en que
esto ocurre. Determínalo, presentando el resultado en horas, minutos y segundos (los
segundos redondeados en unidades). Expresa el problema con una ecuación y utilizando
la calculadora, resuelve gráficamente la ecuación obtenida.
RESOLUCIÓN
Vamos a colocar las funciones h(t) y m(t) en el editor de funciones.
En la configuración de la ventana de visualización vamos a tener como referencia el
hecho de que 3600 segundos corresponden a 1 hora, luego el Xmax debe contener el
valor “3600”
La recta AB es paralela a la barra cuando la distancia de la extremidad del puntero de los
minutos à la barra es igual a la distancia de la extremidad del puntero de las horas a la
barra.
Los instantes en que, en la primera hora del día, esa distancia es la misma son las
soluciones de la ecuación m(t)=h(t), en el intervalo [0 , 3600].
Después de introducir las expresiones en el editor de gráficos vamos a hallar el punto de
intersección de las dos funciones. Para ello, seleccionamos el comando Análisis /
Resolución Gráfica / Intersección.
De la observación del gráfico, podemos concluir que, en la primera hora del día, hay dos
instantes en que la recta AB es paralela a la recta r. El instante pedido ocurre 3100
segundos después de las cero horas.
Como el instante ocurre 3100 segundos después de las cero horas, vamos a verificar el
resultado en horas minutos y segundos:
En la pantalla Principal de la ClassPad podemos verificar cuantos minutos corresponden a
3100 segundos. Comprobamos que los 3100 segundos corresponden a 0h 51m 40s.
29.- SOLUCIONES DE UNA INECUACIÓN
Indica el conjunto de números reales que son soluciones de la inecuación
A) (1, 2)
B) (1, 2)
C) (, 2)
x2  1
0
2x
D) (2, +)
RESOLUCIÓN
Introducimos las siguientes expresiones en el menú gráfico. Con la ventana de
visualización configurada de la siguiente forma.
Podemos verificar que la solución es: (D) (2, +)
30.- RECTA TANGENTE
Considera la función f, de dominio R, definida por f(x)  1  x 2 . Sea t la recta tangente al
gráfico de f en el punto de abcisa 1/2 . ¿Cuál es la inclinación de la recta t?
A) 30º
B) 45º
C) 135º
D) 150º
RESOLUCIÓN
Después de tener el gráfico diseñado podemos hallar la recta tangente en el ponto ½.
Configuramos el formato básico para que la derivada esté activa. Al hacerlo la calculadora
devuelve la ecuación de la tangente. Verificamos que la pendiente de la recta es -1 por lo
que su inclinación es 180º-45º=135º. (respuesta C)
31.- ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Indica las soluciones de la ecuación 5 + 2 cos x = 6 que pertenecen al intervalo [0, 2]
A)
 4
o
3 3
B)
 5
o
3 3
C)
 7
o
6 6
D)
 11
o
6 6
RESOLUCIÓN
Utilizando la siguiente ventana de visualización podemos obtener el siguiente gráfico.
Para hallar los puntos de intersección, seleccionamos el comando Análisis / Resolución
gráfica / Intersección, obteniendo los dos puntos:
Vemos que la respuesta correcta es la (B)
32.- ENSAYOS DE UN MOTOR
Durante los ensayos de un motor, la velocidad de rotación de su eje varia, a lo largo de
los primeros ocho minutos del experimento, de acuerdo con la función:
v(t)  t 3  15  t 2  63  t
donde t representa el tiempo (medido en minutos), contado a partir del inicio de la
experiencia, y v(t) representa la velocidad de rotación del eje del motor (medida en
centenas de rotaciones por minuto).
1)
Sin utilizar la calculadora, a no ser que sea para efectuar cálculos numéricos,
determina cuál fue la velocidad máxima alcanzada en los primeros ocho minutos de la
experiencia. Presenta el resultado en centenas de rotaciones por minuto.
2)
Utilizando la calculadora gráfica, determina durante cuánto tiempo, en los ocho
primeros minutos de la experiencia, la velocidad de rotación del eje del motor fue
superior a 6000 rotaciones por minuto. Escribe el resultado final en minutos y
segundos (con un número de segundos redondeado a las unidades) Presenta todos
los elementos obtenidos con la calculadora gráfica, incluyendo gráficos y
coordenadas de puntos relevantes.
RESOLUCIÓN
Observamos que 6000 rotaciones por minuto es igual a 60 centenas de rotaciones por
minuto. De esta forma tenemos que resolver la inecuación v(t)>60
Vamos a introducir las siguientes expresiones en la calculadora gráfica, incluyendo la
siguiente ventana de visualización.
Vamos a hallar los puntos de intersección de la recta con el gráfico de v(t). Para ello,
seleccionamos el comando Análisis / Resolución gráfica / Intersección.
La velocidad de rotación del eje del motor fue superior a 6000 rotaciones por minuto
durante 5.42-1.34 minutos, o sea, durante 4.08 minutos.
Haciendo:
0.08 minutos ---------- 1 minuto
X segundos ----------- 60 segundos
Entonces, 0.08x60=5
Concluimos que la velocidad de rotación del eje del motor fue superior a 6000 rotaciones
por minuto durante 4 minutos y 5 segundos.
33.- OTRA INECUACIÓN
1
Indica el conjunto de números reales que son soluciones de la inecuación e  x 
e
A) (, 1)
B) (, 1)
C) (1, +)
D) (1, +)
En el editor de funciones, escribimos las expresiones. Después dibujamos el gráfico, y
hallamos el punto de intersección.
Por la observación del gráfico, verificamos que la respuesta correcta es la B.
34.- LOGARITMO

Sea a un número real mayor que 1. Indica el valor de log a  3 a
a
A)
5
4
B)
4
3
C)
5
3

D)
3
2
Vamos a suponer a=1.1 (por ejemplo). Al introducir la expresión en la pantalla
Principal de la ClassPad obtenemos:
La respuesta correcta es la B
35 .- RECTA Y CURVA
Considera, en un sistema de referencia ortonormal XOY:

Una curva C, que representa gráficamente la función f, de dominio [0, 1], definida
por f(x)  e x  3x

Una recta r, de ecuación y=5
1)
Sin utilizar la calculadora, justifica que la recta r corta a la curva C en por lo menos
un punto.
2)
Utilizando la calculadora gráfica, visualiza la curva C y la recta r en la ventana
[0,1][0, 7]. Reproduce en el sistema de referencia, la curva C y la recta r
visualizadas con la calculadora. Asigna los puntos O, P y Q, en los que:

O es el origen del sistema de referencia

P es el punto de coordenadas (0, e)

Q es el punto de intersección de la curva C con la recta r. Indica las
coordenadas de este punto con dos cifras decimales.
Dibuja el triángulo OPQ y determina su área. Presenta el resultado redondeando a
las décimas.
RESOLUCIÓN
Escribimos las expresiones en Y1 e Y2. Se debe configurar la ventana de visualización
conforme se indica en el enunciado del problema.
Para obtener las coordenadas del punto Q es necesario hallar el punto de intersección
de las dos funciones. Para ello, seleccionamos el comando Análisis / Resolución
gráfica / Intersección.
Vamos a señalar en la imagen los 3 puntos, construyendo el triangulo [OPQ].
O
0.871
Basándonos en las informaciones dadas, podemos calcular
el área del triangulo:
A
base  altura
e  0,871
 1.2
 A
2
2
COMPETENCIAS
En este apartado vamos a ver cuáles son las competencias que están involucradas en
cada una de las actividades propuestas y el papel que desempeña la calculadora CAS
en relación con ellas.
1-
HORAS DE SOL
En esta actividad hay que utilizar el cursor de recorrido, tablas de valores y gráficos de la
calculadora gráfica para resolver una inecuación trigonométrica, interpretando previamente
la función correspondiente en el contexto del fenómeno periódico en estudio.
 Modelar: como el modelo ya está dado en el enunciado por medio de la función seno,
más que construir el modelo, hay que comprenderlo interpretándolo en el contexto del
fenómeno periódico que se está analizando.
 Conectar tablas y gráficos para resolver problemas
 Representar y comunicar el resultado.
2-
EL SATÉLITE
Como el modelo ya viene en el enunciado, nuevamente hemos de comprender el modelo
conectándolo con el contexto de la situación planteada. Después hay que usar el modelo
para resolver una ecuación trigonométrica que permita obtener el ángulo pedido.
 Modelar: comprender el modelo, dado por la función coseno en términos de la situación
propuesta.
 Conectar el modelo con la situación propuesta para obtener valores particulares y para
dar el paso inverso, resolviendo la ecuación trigonométrica que permite resolver el
problema.
 Argumentar la validez de la solución recurriendo a las propiedades de las funciones
trigonométricas.
3-
FUNCIÓN
En este caso no hay propiamente una actividad de modelización, pero si la hay de
argumentación y razonamiento matemático, puesto que hay que utilizar teoremas y
propiedades de las funciones para hacer demostraciones, pensar, razonar y argumentar.
Además el cálculo del área del triángulo AOB, requiere el uso de tecnología para hallar el
punto de intersección B.
 Argumentar: utilizar las propiedades de la función para justificar otras nuevas.
 Representar: hay que dibujar la gráfica de la función y de la recta para hallar el punto
de intersección y usarlo para obtener el área pedida.
 Conectar; asociar el punto de intersección de dos gráficas con la resolución del sistema
formado por sus ecuaciones.
4-
“ANTIDOR – ACCIÓN RÁPIDA Y PROLONGADA”
Aunque el modelo ya está construido, hay que comprenderlo, para poder analizar si la
publicidad que hace el fabricante es o no correcta. Comprender el modelo implica
representarlo gráficamente y analizar si algunos valores particulares se ajustan o no al
mismo. Después hay que representar gráficamente la línea de nivel y=1 para poder
estudiar la eficacia del medicamento.
 Modelar: comprender el modelo, analizando su validez.
 Representar: dibujar la gráfica de la función y de la línea de nivel y=1 para encontrar el
intervalo de eficacia del medicamento.
 Conectar: los puntos de intersección de la gráfica con la línea de nivel son los extremos
del intervalo de eficacia del medicamento.
5-
UNA FUNCIÓN
En este caso, se trata de hallar el punto de intersección de las gráficas de las funciones
f ( x)  3x  ln x , g ( x)  x 2 , lo que puede hacerse gráficamente, mediante el comando
Intersección del menú Resolución gráfica o numéricamente, mediante la construcción de
una tabla de valores de la función g(x)-f(x) o mediante la obtención del cero de esta
función.
 Modelar: comprender que se puede trabajar con las dos funciones f y g o solamente
con una, la resta de ambas. En este caso, no hay modelo de ninguna situación real.
 Representar: hay que dibujar las gráficas de las dos funciones o de la función resta de
la dos.
 Conectar: hay que comprender que el punto de corte de la gráfica de la función resta fg con el eje OX corresponde al valor 0 de la función resta f-g en la tabla de valores.
6.- UN PROBLEMA DE ALTURAS