Unidad II – Limites - Ing. Marglorie Colina

Unidad II – Limites - Ing. Marglorie Colina

Unidad II: Límites
Cálculo I
Ing. Marglorie Colina
Límites
Definición informal de límite:
Sea f (x) una función definida en un intervalo abierto que contiene a “a”,
posiblemente excepto en “a”. Si f (x) se acerca de manera arbitraria a L
para toda x suficientemente cerca de a, se dice que f se aproxima al límite
L conforme x se aproxime a “a”, y se escribe:
Donde:
a -> Valor de la Variable
f(x) -> función de estudio
L -> valor del limite
lim 𝑓 𝑥 = 𝐿
𝑥→𝑎
Ejemplo:
lim 2𝑥 2 + 5𝑥 − 1 = 2 2
𝑥→2
2
+ 5 2 − 1 = 8 + 10 − 1 = 17
lim 2𝑥 2 + 5𝑥 − 1 = 17
𝑥→2
Teoremas o Propiedades de Limites
1) Limite de una constante es una constante
c -> Constante
lim 𝑐 = 𝑐
𝑥 →𝑎
2) Limite de una constante por la variable o función
lim 𝑐𝑥 = 𝑐 lim 𝑥 = 𝑐. 𝐿
𝑥 →𝑎
lim 𝑐𝑓(𝑥) = 𝑐 lim 𝑓(𝑥) = 𝑐. 𝐿
𝑥→𝑎
𝑥 →𝑎
3) Limites Algebraicos (Suma y Resta)
lim ( 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)) = lim 𝑓 𝑥 ± lim 𝑔 𝑥 = 𝐿1 ± 𝐿2
𝑥 →𝑎
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
4) Limite de un producto (Multiplicación)
lim ( 𝑓 𝑥 . 𝑔(𝑥)) = lim 𝑓 𝑥 . lim 𝑔 𝑥 = 𝐿1 . 𝐿2
𝑥 →𝑎
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
Teoremas o Propiedades de Limites
5) Limite de un cociente (División)
lim 𝑓 𝑥
𝑓 𝑥
𝐿1
𝑥→𝑎
lim
=
=
𝑥 →𝑎 𝑔(𝑥)
lim 𝑔 𝑥
𝐿2
𝑥→𝑎
6) Limite de un radical (Raíces)
lim
𝑥 →𝑎
𝑓 𝑥 =
lim 𝑓(𝑥) =
𝑥→𝑎
𝐿
7) Limite con logaritmos
* Logaritmo Natural (Neperiano)
* Logaritmo Original
lim log 𝑓 𝑥
𝑥→𝑎
= log lim 𝑓(𝑥) = log 𝐿
lim ln 𝑓(𝑥) = ln lim 𝑓(𝑥) = ln 𝐿
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
𝑥→𝑎
8) Limite de una función con potencia
lim 𝑓(𝑥)
𝑥 →𝑎
𝑔(𝑥)
=
lim 𝑓(𝑥)
𝑥→𝑎
lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑎
= 𝐿1
𝐿2
Limites Indeterminados
𝟎
𝟎
- Factor Común
- Producto Notable
- Conjugada (Raíces)
Limites Indeterminados
∞
∞
y (∞ − ∞)
Consideraciones
0
=0
𝑁
𝑁± ∞= ∞
𝑁
=∞
0
∞
=∞
𝑁
𝑁. ∞ = ∞
𝑁
=0
∞
∞𝑁 = ∞
𝑁∞ = ∞
Casos
1) Si la potencia mayor esta en el numerador el limite es infinito.
2) Si la potencia mayor esta en el denominador el limite es 0.
3) Si hay mayores en el numerador y denominador el limite es un valor real.
Ejemplos:
𝑥 2 + 5𝑥 − 8
∞2 + 5. ∞ − 8
∞
1) lim
=
=
𝑥→∞
𝑥−1
∞−1
∞
Se divide cada elemento del limite entre la variable con mayor potencia
𝑥 2 5𝑥 8
2 + 𝑥2 − 𝑥2
𝑥
lim
𝑥
1
𝑥→ ∞
−
𝑥2
𝑥2
5 8
5
8
1+𝑥− 2
1+∞ − 2
𝑥 =
∞ = 1+0+0 = 1
lim
1
1
1
𝑥→ ∞ 1
0−0
0
− 2
− 2
𝑥
∞ ∞
𝑥
= ∞
𝑥 2 + 5𝑥
∞2 + 5. ∞
∞
lim
=
=
2) 𝑥→ ∞ 3
𝑥 − 7𝑥 2 + 1
∞3 − ∞2 + 1
∞
𝑥 2 5𝑥
3 + 𝑥3
𝑥
lim
⇒
𝑥→∞ 𝑥 3
7𝑥 2 1
− 3 + 3
𝑥3
𝑥
𝑥
3
𝑥6 + 1 − 𝑥
=
𝑥 2 + 6𝑥
3
3 𝑥6
3
1
1
1 1
𝑥6 + 1 𝑥
1
+
−
+
−
−
𝑥6 𝑥
𝑥2
𝑥 2 ⇒ lim 𝑥 6 𝑥 6 𝑥 = lim
6
6
𝑥→∞
𝑥→∞
𝑥 2 6𝑥
1
+
1
+
+
𝑥
𝑥
𝑥2 𝑥2
2) lim
𝑥→∞
lim
𝑥→∞
3
=
1
5
1
5
+
+
0+0
0
𝑥 𝑥2
∞ ∞2
lim
=
=
= =0
7
1
7
1
𝑥→∞
1
−
0
+
0
1
1− 𝑥+ 2
1 − ∞+ ∞
𝑥
3
1
1
−
∞6 ∞
=
6
1+∞
1+
∞6 + 1 − ∞
∞
=
∞2 + 6. ∞
∞
3
3
1+0 −0
1
1
=
= =1
1+0
1
1