Pauta Solemne 1 Ecuaciones Diferenciales 1

Pauta Solemne 1 Ecuaciones Diferenciales 1

Universidad Diego Portales
Facultad de Ingenierı́a
Instituto de Ciencias Básicas
Carrera: Ingenierı́a Civil
Primer semestre de 2013.
Solemne 1 - Ecuaciones Diferenciales
Para cada uno de los siguientes problemas, resuelva ordenadamente y justifique sus respuestas.
1. Resuelva para x > 0, el problema de valor inicial
d2 y
7 dy 16
+ y=0
−
2
dx
x dx x2
y(1) = 2 , y 0 (1) = 4 ,
(1)
(2)
sabiendo que una solución para este problema es y1 (x) = x4 .
Solución: Buscamos una segunda solución linealmente independiente con y1 de la ecuación
(1) mediante la fórmula de Abel,
7
e− (− x )dx
4
dx
y2 (x) = x
x8
Z 7ln(x)
e
4
=x
dx
x8
Z
1
= x4
dx
x
= x4 ln(x) , [0.5 puntos]
Z
R
Por tanto, la solución general de la ecuación (1) es
y(x) = c1 x4 + c2 x4 ln(x) .
Derivando la expresión anterior, obtenemos
y 0 (x) = 4c1 x3 + c2 (4x3 ln(x) + x3 ) .
Ası́, imponiendo las condiciones iniciales, obtenemos que c1 = 2 y c2 = −4 [0.5 puntos].
Luego, la solución particular del problema de valor inicial está dada por
y(x) = 2x4 − 4x4 ln(x) = 2x4 (1 − 2ln(x)) [0.5 puntos] .
2. Un termómetro se lleva al exterior de una casa, cuya temperatura ambiente era de 70◦ F . Al
cabo de 5 minutos, el termómetro registra 60◦ F , y 5 minutos después registra 54◦ F .¿Cuál es
la temperatura del exterior?.
1
Solución: Sea T (t) la temperatura que marca el termómetro en el instante t y Tm la temperatura del exterior. Por ley de Enfriamiento de Newton,
dT (t)
= −k(T (t) − Tm ) ,
dt
con k constante de proporción. Resolviendo esta ecuación conociendo la temperatura en el
instante inicial T (0), tenemos
T (t) = Tm + (T (0) − Tm )ekt .
Según el enunciado, sabemos que T (0) = 70◦ F , T (5) = 60◦ F y T (10) = 54◦ F . [0.5 puntos].
Imponiendo las últimas dos condiciones, tenemos
60 − Tm = (70 − Tm )e−5k
54 − Tm = (70 − Tm )e
−10k
(3)
.
(4)
Combinando las ecuaciones (3) y (4), obtenemos
e−5k =
54 − Tm
[0.5 puntos] .
60 − Tm
Reemplazando esta expresión en la ecuación (3),tenemos
54 − Tm
60 − Tm
⇐⇒3600 − 60Tm = 60Tm − Tm2 + Tm2 − 124Tm + 3780
⇐⇒4Tm = 180
⇐⇒Tm = 45 .
60 = Tm + (70 − Tm ) ·
Luego, la temperatura del exterior es de 45◦ F [0.5 puntos].
3. Para 0 < x < 1, considere la ecuación diferencial
x(1 − x2 )2 y 00 − (1 − x2 )2 y 0 + 5x3 y = 0 .
(5)
a) Pruebe que el cambio t = − 21 ln(1 − x2 ) transforma la ecuación (5) en una ecuación de
coeficientes constantes.
b) Usando lo anterior, encuentre la solución general de la ecuación diferencial.
Solución:
1
a) Si t = − ln(1 − x2 ), entonces
2
dt
x
dx
1 − x2
=
=⇒
=
.
dx
1 − x2
dt
x
2
Al derivar y con respecto a t, tenemos
dy dx
1 − x2 dy
dy
=
·
=
dt
dx dt x dx
d2 y
d dy dx
=
dt2
dx dt dt
1 + x2 dy (1 − x2 )2 d2 y
=−
+
[0.4 puntos]
x2
dx
x2
dx2
Multiplicando la última expresión por x3 y reemplazando en la ecuación (5), tenemos
2
x
dy
2 2
3d y
2 dy
+ 5x3 y = 0
x 2 + x(1 + x ) − (1 − x )
2
xt
dx
1−x
dt
2
dy
dy
⇐⇒x3 2 + 2x3 + 5x3 y = 0
dt
dt
dy
d2 y
⇐⇒ 2 + 2 + 5y = 0 ,
dt
dt
que es una ecuación de coeficientes constantes [0.4 puntos].
b) La ecuación caracterı́stica asociada al problema es
λ2 + 2λ + 5 = 0 ,
cuyas soluciones son λ = −1 ± 2i. Por tanto, la solución está dada por
y(t) = e−t (c1 cos(2t) + c2 sin(2t)) [0.4 puntos] .
Finalmente, volviendo a la variable original, la solución general de la ecuación (5) es:
y(x) = (1 − x2 )1/2 c1 cos ln(1 − x2 ) + c2 sin ln(1 − x2 ) [0.3 puntos] .
4. Un grupo de ingenieros estima que el movimiento vertical de las alas de un avión x(t) se
comporta según la ecuación diferencial
m
dx
d2 x
+ c + kx = F0 cos(ωt) ,
2
dt
dt
(6)
donde m es la masa del avión, c es una constante de resistencia del aire y k es una constante
de rigidez de la fuerza restauradora que ejerce el avión en dirección opuesta al movimiento de
las alas y F0 cos(ωt) es una fuerza periodica que se puede producir por diversas vibraciones.
Suponga
que la resistencia del aire es despreciable y que la frecuencia ω de la fuerza externa
r
k
es
.
m
a) Utilizando el método de coeficientes indeterminados o variación de parámetros, resuelva la
ecuación diferencial (6).
b) Calcule lı́m x(t) e interprete lo que ocurrirı́a con las alas del avión.
t→∞
Solución:
3
r
a) Siendo c = 0 y ω =
k
, dividimos por m la ecuación (6),
m
r !
d2 x
F0
k
k
cos
t .
+ x=
2
dt
m
m
m
(7)
La ecuación caracterı́stica asociada al problema homogeneo es
r
k
2
= 0,
λ +
m
r
k
en donde λ = ±
. Por tanto, la solución de la ecuación homogenea es
m
r !
r !
k
k
xh (t) = c1 cos
t + c2 sin
t [0.2 puntos] .
m
m
Buscamos la solución particular de la ecuación (7) por el método de coeficientes indeterminados. Tal solución debe ser de la forma
r !
r !
k
k
xp (t) = tA cos
t + tB sin
t .
(8)
m
m
Derivando dos veces la expresión (8), tenemos
"
r !
r !#
r !
r !#
r "
k
k
k
k
k
k
x00p (t) = 2
B cos
t − A sin
t
− t A cos
t + B sin
t
.
m
m
m
m
m
m
Al reemplazar en la ecuación (7), obtenemos
r
r !
r
r !
r !
k
k
k
k
F0
k
B cos
t −2
A sin
t =
cos
t .
2
m
m
m
m
m
m
en donde obtenemos
r
k
−2
A = 0 ⇐⇒ A = 0
m
r
k
F0
F0
2
B=
⇐⇒ B =
m
m
m
r
k
m
!−1
.
Por tanto, la solución particular es
xp (t) =
F0
m
r
k
m
!−1
r
· t sin
4
!
k
t [0.4 puntos]
m
Luego, la solución general para la ecuación (6) es
r
x(t) = c1 cos
!
r !
F0
k
k
t + c2 sin
t +
m
m
m
r
k
m
!−1
r
· t sin
!
k
t [0.2 puntos] .
m
Observación: Si se resolvı́a por método de variación de parámetros, la expresión para la
solución particular que se obtiene es:
r !
r !−1
r !
F0
k
k
F0
k
xp (t) =
cos
t +
· t · sin
t .
m
m
m
2m
m
b) Los primeros dos términos son funciones periódicas que oscilan con amplitud acotada. Sin
embargo, el término de la solución particular de la ecuación oscila también, pero aumentando cada vez más su amplitud, como muestra la siguiente figura:
Figura 1: Gráfica del movimiento vertical de las alas del avión
Por tanto, para un tiempo suficientemente grande el movimiento de las alas del avión serán
tan grandes que se romperán. [0.7 puntos].
5