. . a sen π π - x.edu.uy Matematica

INET -
Profesorado de Ciencias de la Computación
junio 2009
Prof. Saúl Tenenbaum
Ejercicios de ecuaciones en diferencias finitas homogeneas
Caso: raices complejas.
Vamos a resolver la ecuación en diferencias homogenea an+ 2 + 6an +1 + 12an = 0 con las
a0 = 1 y a1 = 2
condiciones iniciales, llamadas condiciones de frontera:
r 2 + 6r + 12 = 0 .
Resolvemos primero la ecuación característica:
Tiene raices −3 + i 3
−3−i 3
y
(luego de simplificar !!!!)
n
n
Entonces la solución de la ecuación homogenea será : an = C1.(−3 + i 3) + C2 .(−3 − i 3)
Paso siguiente: hay que escribir estos números complejos en su forma polar, para poder resolverlo.
a + bi = r θ donde r = a 2 + b 2 y θ = arctg
( −3 ) 2 + (
−3 + 3i = r θ donde r =
3
)
2
b
con θ ≥ 0
a
= 12 y θ = arctg
3
5π
rad
= − 30º = 150º =
6
−3
n
an = C1.(−3 + i 3)n + C2 .(−3 − i 3)n = C1.  12 ( cos θ + i.senθ )  + C2 .  12 ( cos θ − i.senθ ) 
Aplicando DeMoivre:
n

(
( cos(nθ) − i.sen(nθ) ) 
)
)



n
n
= (C + C ). ( 12 ) . cos(nθ) + (iC − iC ). ( 12 ) .sen(nθ)
an = C1.  12

an
1
( cos(nθ) + i.sen(nθ) ) + C2 . (
2
1
Llamando: k1 = (C1 + C2 )
an = k1.
( )
12
n
a1 = k1.
( )
1
12 . cos(
Despejando: k2
k2
( 12 )
(
0
5π
) + k2
6
)
( 4 ) .( 3 ) . 12  =5 ⇒ k
( )
12
n
.sen(nθ) . Falta ahora calcular
. cos(0) + k2
1
12 .   =2 +
2
2
=
2
k2 = (iC1 − iC2 ) queda entonces:
,
. cos(nθ) + k2
Para n=0, a0 = k1.
Para n=1,
n
12
(
( )
1
( 12 )
12 .sen(
0
.sen(0) = 1 ⇒ k1 = 1
5π
) = 1.
6
 3
12 . 
 ⇒ k2
2


)
k1 y k2 .
(
1 
3
12 .  −
 + k2
2


( )
)
36
1
12 .   =2 +
⇒ k2
2
2
(
( )
1 1
12 .   =2
2
)
1
12 .   = 5
2
5
5 3
⇒ k2 =
luego de multiplicar y dividir entre 3 para
3
3
racionalizar los denominadores.
En resumen, la solución total de la ecuación en diferencias finita, de segundo orden, homogenea, es :
( )
n
5 3
 5nπ 
.
 +
6
3


an = 1. 12 . cos 
( )
12
n
 5nπ 

 6 
.sen 
n∈`
Vamos ahora a sustituir n por 0,1,2,3,... para obtener algunos valores de la sucesión.
n
( )
0
 
 5π 
0
a0 = 1. 12 . cos   +
6
(
)
1
a1 = 1. 12 . cos 

a1 =  −

 +
 6 
5 3
.
3
5 3
.
3
( 12 )
(
)
1
(
1 
3
5 3
12 .  −
.
 +
3
 2 
)
(
)
1 1
12 .   =
2
36 
5 36  1 
.   = −3 + 5 = 2 Esto fue una verificación.
 +
2 
3 2
( )
5 3
 10.π 
.
 +
3
 6 
2
( 12 )
2
 10.π
 6
.sen 

1 5 3
3

=
+
−
12.
.12.


 2 
2
3



5 9
.12 = 6 − 30 = −24
6
5 3
 15π 
.
 +
3
 6 
( )
3
a3 = 1. 12 . cos 
 15π
porque cos 
 6
a3 =
0
 
 5π 
.sen   = 1
6
12 .sen 
 = 1.
 6 
a2 = 1. 12 . cos 
a2 = 6 −
0
5 3
.
3

 15π
 = 0 y sen 

 6
( 12 )
3
=
5 3
. 12
3
( 12 ) .sen  156π  = 5 33 .( 12 ) .sen  156π 
3
3

 = 1 , entonces

( 12 )
2
=
5 36
.12 = 120
3
Sin haber resuelto la ecuación, tambien se pueden calcular los valores de la sucesión.
an+ 2 + 6an+1 + 12an = 0 ⇔ an+ 2 = −6an+1 − 12an
Entonces:
an + 2 = −6an+1 − 12an
a0 = 1 y a1 = 2
Para n = 0 , a0+ 2 = −6a0+1 − 12a0 = −6(2) − 12(1) = −24
a2 = −24
Para n = 1 , a1+ 2 = −6a1+1 − 12a1 = −6(−24) − 12(2) = 120
a3 = 120
Para n = 2 , a2+ 2 = −6a2+1 − 12a2 = −6(120) − 12(−24) = −24
a4 = −432
Haskell: una forma de función que hay que copiar en "Actions" "Open Text Editor" para poder obtener
los valores de esta sucesión usando Haskell es:
pato:: Integer->Integer
pato n |n==0 =1
|n==1 =2
|otherwise = (-6)*pato(n-1) +(-12)*pato (n-2)
---Cuac