Bajar Apunte de Difracción - Instituto Politécnico Superior

Bajar Apunte de Difracción - Instituto Politécnico Superior

Instituto Politécnico Superior “Gral. San Martı́n” – UNR
Fı́sica - 5o Año
Apunte Complementario de Fenómenos de Difracción
Autores: Carlos M. Silva, Emanuel Benatti
1.
Difracción de Fraunhoffer
Cálculo de la intensidad en función de la posición en la pantalla
Consideremos una rendija de ancho a por la que incide luz proveniente de una fuente coherente de longitud de onda λ, del orden de a. En una situación ası́, se formará lo que se denomina
un patrón de difracción. Para determinar la forma que tomará el patrón en una pantalla colocada frente a la rendija, consideremos un punto P ubicado en la misma. El punto P se encuentra
a una distancia x del centro de la rendija, a una distancia y de la mitad de la pantalla, como
se observa en la Figura 1(a), y forma un ángulo θ con el eje del sistema.
P
+a/2
0
y
x
θ
θ
0
−a/2
s θ
ds
(a)
δ
θ
(b)
Figura 1: Situación de la rendija y la pantalla en la difracción.
Según el principio de Huygens, se puede considerar a cada punto de la rendija como una
fuente individual de luz y la intensidad en P como el resultado de la interferencia de la luz
proveniente de cada una de las infinitas fuentes que emiten desde la rendija. La expresión para
el campo dE emitido por una fuente de ancho ds que se encuentra en el centro de la rendija es:
dE =
E0 ds
sen(k x − ω t)
x
(1)
Las fuentes ubicadas a una distancia s emiten un campo que se encuentra desfasado del
emitido en el centro de la rendija. Dicho desfasaje se debe a que la onda emitida desde s
recorre un camino óptico adicional dado por δ. Si la pantalla en la que se observa el patrón de
1
difracción está lo suficientemente alejada de la fuente luminosa, es razonable suponer que los
rayos emitidos por cada punto de la rendija son paralelos entre sı́, tal como se muestra en la
Figura 1(b), y el desfasaje δ es simplemente s sen θ. Luego, el campo eléctrico proveniente de
una fuente a una distancia s del centro de la rendija se escribe:
E0 ds
sen[k (x + δ) − ω t]
x
E0 ds
dE(s) =
sen[k x + k s sen(θ) − ω t]
x
dE(s) =
(2)
El valor total del campo en el punto P se obtiene sumando la contribución (integrando) de
cada punto de la rendija:
Z
+a/2
dE
EP =
−a/2
E0
=
x
Z
+a/2
sen(k x − ω t + k s sen(θ)) ds
−a/2
a/2
E0 cos(k x − ω t + k s sen θ) = −
x
k sen θ
−a/2
Utilizando la identidad trigonométrica cos x − cos y = 2 sen
ción (3) puede escribirse en una forma un poco más sencilla:
EP =
(3)
x+y
2
E0 a sen( 12 k a sen θ)
sen(k x − ω t)
1
x
ka sen θ
2
sen
y−x
2
la ecua-
(4)
En la práctica lo que se mide es la intensidad I del campo eléctrico en vez de E. La intensidad
de una onda es siempre proporcional al cuadrado de su amplitud, por lo tanto:
IP ∝ EP2 = A2 sen2 (k x − ω t)
(5)
Con
A = A0
sen β
,
β
A0 =
2 E0
x
y β =
1
k a sen θ.
2
Máximo central
Si se hace θ = 0 se puede calcular la intensidad del campo eléctrico en el centro de la
pantalla:
θ=0 ⇒ β=0
sen β
∴ lı́m
= 1 ⇒ si θ = 0 ⇒ A = A0
β→0
β
(6)
Por lo tanto en el centro de la pantalla puede apreciarse un máximo con intensidad
proporcional a A20
2
Máximos y mı́nimos de intensidad
Al mover el punto P a lo largo de la pantalla, varı́a el ángulo θ en la ecuación (5). A partir de
esto podemos encontrar la posición angular de los máximos y mı́nimos del patrón de difracción.
Para los mı́nimos se tiene:
sen β = 0 (β 6= 0) ⇒
2π
a sen θ =
2λ
(m 6= 0)
β = mπ
mπ
∴ a sen θ = m λ (m 6= 0)
(m 6= 0)
(mı́nimos)
(7)
Los máximos de intensidad se obtienen haciendo β = (2n + 1) π:
a sen θ =
1
n+
2
λ
(máximos)
(8)
Y la intensidad en los mismos viene dada por:
2
A0
Imáximos ∝
(2n + 1) π2
(9)
I
I0
−4λ/a
−3λ/a
−2λ/a
−λ/a
0
λ/a
2λ/a
3λ/a
4λ/a
sen θ
Figura 2: Gráfica de la intensidad de la onda en función del seno del ángulo θ para el fenómeno
de difracción.
Nótese que la intensidad de los máximos de difracción decrece rápidamente a medida que
aumenta el orden de difracción (esto es, que nos alejamos del centro de la pantalla).
La Figura 2, muestra la gráfica de la intensidad de la onda en función del seno del ángulo
θ. En ella pueden apreciarse las caracterı́sticas de la difracción que hemos deducido en esta
sección.
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2.
Ejercicios Propuestos
En la teorı́a desarrollada en la sección anterior se demostró que considerando a la difracción
como una interferencia de infinitas fuentes puntuales sobre la rendja de ancho a se obtenı́a una
distribución de intensidades que tenı́a su máximo valor en el centro de la pantalla. La amplitud
de las ondas variaba con el ángulo respecto al eje perpendicular al plano de la rendija según la
expresión
sen β
(10)
A = A0
β
donde β = 12 ka sen θ, con k, el número de onda y θ, el ángulo respecto al eje mencionado.
2.1. ¿Qué principio permitı́a considerar a la rendija como un conjunto de infinitas rendijas
cuyos aportes interfieren entre si? Explı́calo.
2.2. Prueba que A0 es la amplitud en el centro de la pantalla y que no se vuelve a repetir a
los costados, y deduce la formula de la posición de los ceros de difracción utilizando la
ecuación (10).
2.3. Recordando que la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud, I ∝ A2 , grafique
la intensidad en función de β y explique el significado de lo que ilustra.
2.4. Una rendija de ancho a = 0,02 mm es iluminada con luz verde de 532 nm. Determina el
ancho angular del máximo central y del primer máximo secundario.
Nota: Se entiende por ((ancho angular)) de un máximo a la resta entre los ángulos correspondientes a los dos ceros de difracción a cada lado del máximo en cuestión, expresados en grados
sexagesimales.
2.5. A modo de comparación, repita el ejercicio anterior con una doble rendija de Young de separación d = 0,02 mm. ¿Cuál es la diferencia fundamental entre el patrón de interferencia
y la figura de difracción?
2.6. Una abertura única se ilumina con luz cuyas longitudes de onda son λa y λb escogidas de
tal manera que el primer mı́nimo de difracción de λa coincide con el segundo mı́nimo de
λb .
a) ¿Qué relación existe entre las dos longitudes de onda? (Rta: λa = 2λb )
b) ¿Coinciden algunos otros mı́nimos en los dos patrones? (Rta: Coincidirán cuando
mb = 2ma )
2.7. La distancia entre el primer y el quinto mı́nimos de un patrón de difracción producido
por una rendija es de 0,35 mm cuando la pantalla está colocada a 40 cm de la rendija y
cuando se utiliza luz cuya longitud de onda es de 5500 Å, ¿cuál es el ancho de la rendija?
Las dos secciones que siguen son complementarias a lo que se desarrolla en el cuadernillo.
Sirven para terminar de entender el tema y son fundamentales para estar preparados para la
cuatrimestral. Se sugiere tambié utilizar applets de Java en Internet que permiten ver animaciones y comprender mejor el tema. Uno muy recomendable es:
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/redes/redes.htm
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3.
Difracción de doble rendija
Cuando estudiamos la interferencia de doble rendija de Young, para fuentes coherentes,
monocromáticas utilizando el principio de superposición, vimos que los máximos de interferencia
estaban equiespaciados, que eran todos de la misma intensidad y que valı́a los máximos de
interferencia la expresión
d sen θ = mλ
m∈Z
Éste razonamiento es correcto si las rendijas tienen a lo sumo un ancho igual al de la longitud
de onda de la luz, pues en ese caso, habrá una difracción de la luz de cada rendija tal que el
máximo central ocupa los 90o a cada lado del eje perpendicular al plano de las rendijas.
¿Qué ocurre si cada rendija tiene un ancho a mayor que la longitud de onda de la luz? En
ese caso, de cada rendija saldrá un patrón de difracción con máximos y ceros. Éstos patrones
interferirán delante de las rendijas, por lo que tendremos una interferencia y una difracción
combinadas. Dejando de lado la demostración rigurosa, podemos probar que el resultado es
el patrón de interferencia de Young pero modulado por uno de difracción. En otras palabras,
el patrón de difracción va ((recortando)) al patrón de interferencia, de manera que en lugares
donde esperarı́amos encontrar un máximo de interferencia, podrı́amos no ver tal máximo ya
que coincide con lo que serı́a un cero de difracción.
Si recordamos que los ceros de difracción (ejercicio 1.2) están dados por
p ∈ Z − {0}
a sen θ = pλ
veremos que los órdenes desaparecidos de interferencia se pueden obtener igualando theta por
la coincidencia entre un máximo de interferencia y un cero de difracción. Ası́, en los órdenes
desaparecidos
m
d
= .
a
p
La Figura 3 muestra la figura de difracción producida por una doble rendija. En el centro
se observan siete máximos de interferencia, incluyendo el máximo central.
3.1. Determine la relación entre la separación y el ancho de las rendijas utilizadas para obtener
el patrón de la Figura 3.
3.2. En la Figura 3 puede verse que el primer cero de difracción está a 3 cm del centro de
la pantalla. Si la distancia a la pantalla es de 6,67 metros, estime el ancho de la rendija
con una aproximación de ángulos pequeños, si se ha utilizado un láser de Helio-Neón de
longitud de onda λ = 632, 8 nm. Una vez calculado el ancho de las rendijas, determine la
distancia d entre ellas.
3.3. Calcule la distancia entre rendijas en un experimento de difracción de doble rendija si se
sabe que el número de orden del primer máximo desaparecido en la figura de difracción
es 3 y las rendijas tienen un ancho de 0,027 mm.
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Figura 3: Figura de difracción de una doble rendija donde se evidencia interferencia y difracción
combinadas. Se ha utilizado un láser de He-Ne (632,8 nm).
4.
Redes de Difracción
Cuando el número de rendijas es muy grande, el efecto que se obtiene es muy notable puesto
que los máximos de interferencia se pueden encontrar muy separados. Una red de difracción
puede estar compuesta, por ejemplo, por 600 lı́neas por milı́metro, con lo cual, la distancia
entre rendijas estará dada por
d=
1
600
lineas
mm
= 1, 667 × 10−6 m
Ası́, para encontrar los máximos de interferencia podemos utilizar la expresión
d sen θ = mλ
En donde se evidencia que el ángulo bajo el cual se observará cada máximo depende de la
longitu de onda.
¿Para qué puede servir una red de difracción? En un gas a bajas presiones se puede considerar
que sus partı́culas constitutivas están libres, es por esto que el espectro de emisión resultante
de una ionización es el correspondiente al espectro del átomo que constituye al gas. Como
consecuencia de que los niveles de energı́a correspondientes a los átomos se hallan cuantizados,
los espectros de emisión atómicos están compuestos por lı́neas bien definidas. La longitud de
onda de la luz emitida depende de la diferencia de energı́a entre dos niveles de un átomo.
Cuanto mayor es el número atómico de un elemento, mayor cantidad de niveles de energı́a
posibles y, por lo tanto, se observará un espectro con mayor cantidad de lı́neas. Un método
posible para la determinación de las longitudes de onda del espectro de emisión consiste en
utilizar una red de difracción que descomponga la luz emitida por la lámpara de gas, a fin
de distinguir las distintas componentes del espectro a analizar. Este método es mucho más
efectivo que el de descomposición de la luz por medio de un prisma puesto que además de
separar mejor las distintas longitudes de onda, éstos espectros se pueden ver repetidos varias
veces en la pantalla (se los llama espectros de primer orden, segundo orden, etc.). En el centro
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de la pantalla, se verá una imagen de la fuente del color que la verı́amos sin descomponerla,
puesto que todas las longitudes de onda tienen un máximo para θ = 0, luego, a los costados, se
verán los máximos de interferencia de orden uno, ordenados de menor a mayor λ. La Figura 5
ejemplifica lo que se verı́a en una pantalla o en una pelı́cula fotográfica si el espectro fuese
continuo. Los espectrómetros más sofisticados permiten medir angularmente la posición de los
máximos, para evitar que se estiren al proyectarse en la pantalla. Pueden verse numerosos
diseños en Internet. La Figura 4 muestra el espectro de lı́neas de distintas sustancias. Puede
verse cómo estos espectros son como huellas digitales de cada sustancia. Ası́, si queremos saber
de qué está constituı́da cierta sustancia podemos descomponer la luz que ésta emite y tratar
de identificarla con el espectro de algún átomo.
Figura 4: Espectros de emisión de distintos gases.
4.1. Una red de difracción con 2000 rendijas por centı́metro se utiliza para medir las longitudes
de onda emitidas por el gas hidrógeno. ¿En qué ángulos, en el espectro de primer orden,
deberá esperarse hallar las dos lı́neas violetas de 434 nm y 410 nm de longitud de onda?
4.2. (Obtenido de la PIC 2011) La luz amarilla de sodio no es perfectamente monocromática,
sino que al observar su espectro de emisión caracterı́stico se observan predominantemente
dos longitudes de onda muy próximas, una de 589,592 nm y otra de 588,995 nm. En un
experimento de doble rendija de Young sobre una pantalla distante 2,5 m se pretende obtener una separación de 0,1 mm entre los máximos de segundo orden de las dos longitudes
de onda.
a) ¿Cuál debe ser la separación entre las dos rendijas?
b) Un experimento como el anterior es impracticable, por lo cual se suele observar la
separación de las dos lı́neas del sodio mediante el “telescopio” de un espectrómetro
y una red de difracción de 600 lı́neas por mm. ¿Cuál será en este caso la separación
angular de las dos franjas brillantes de primer orden?
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Figura 5: Espectrómetro sencillo con cámara fotográfica y red de difracción.
4.3. ¿Cuál es la longitud de onda más larga qué puede observarse en el espectro de quinto
orden utilizando una red con 4000 rendijas por centı́metro? (Sugerencia: Recuerda que
nada se difracta a más de 90o respecto al eje perpendicular a las rendijas)
4.4. Con una red de 2000 rendijas por centı́metro se encuentran dos lı́neas del espectro de
hidrógeno de primer orden en los ángulos θ = 9, 72 × 10−2 rad y θ = 1, 32 × 10−2 rad.
Hallar las longitudes de onda de estas lı́neas.
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