Foundations of electromagnetic theory, John R. Reitz y Frederick j

Foundations of electromagnetic theory, John R. Reitz y Frederick j

Foundations of electromagnetic theory, John R. Reitz y Frederick j: Milford, segunda edición, 1967, Addison Wesley
Publishing Company. Problema 17.3, página 380.
~ y un campo magnético uniforme B,
~ encuentra una transformación de Lorentz
Dados un campo eléctrico uniforme E
~
~
que haga paralelos a E y a B.
~ yaB
~ y determina la magnitud
Sugerencia: Escoge la velocidad ~u del sistema S en una dirección perpendicular a E
2
2
2
~
~
de u= 1 +
en términos de E ; B y E B
Solución:
~ y un campo magnético
Sea S el sistema de referencial inercial en el cual tenemos un campo eléctrico uniforme E
~
uniforme B:
~ yB
~ serán paralelos. El sistema S se moverá respecto al sistema S
Sea S el sistema de referencial inercial en el cual E
~ y B:
~
con una velocidad ~u perpendicular al plano determinado por los campos E
La transformación de Lorentz para los campos es
~0 = E
~k
~0 = B
~k
E
B
k
k
~0 =
~? + ~ B
~
~0 =
~? ~ E
~
E
E
B
B
?
?
Por la forma en que hemos escogido S tenemos
~? = E
~
E
y
~? = B
~
B
Así que los campos serán en S,
~0 =
~ +~ B
~
~0 =
~ ~ E
~
E
E
B
B
siendo
1
=p
1 u2 =c2
Las componentes paralelas a ~u serán todas cero en ambos sistemas de referencia inerciales.
Queremos que los campos en S sean paralelos, es decir que,
~ ~ E
~ =0
~ +~ B
~
B
E
Eso se traduce en
~ E
~ +~ B
~
~ =0
~ +~ B
~
~
E
E
B
o haciendo más álgebra en
~ E
~ B
~ E
~ B
~+ ~ B
~
~ E
~
~
~
~ =0
E
B
Usando estas formulas para el triple producto vectorial
~a ~b
~c = ~b (~a ~c) ~a ~b ~c
y
~b ~c = ~b (~a ~c) ~c ~a ~b
~a
la expresión nos queda
~ B
~ E
~ E
~ B
~ E
~ +E
~ ~ E
~
~
~ =0
~ B
~
~ B
~ +B
~ ~ B
~
E
Por la elección que hicimos de ~u tenemos
~ B
~ =~ E
~ =0
así que llegamos a la expresión
~ B
~ E
~ B
~ ~ E2 + B2
~
~ =0
E
Usando ahora la formula
~a ~b
~c d~ = ~a ~b d~ ~c
~a ~b ~c d~
escribimos
~ B
~ E
~ B
~
~ = ~ B
~ E
~ ~
~ ~ E
~
pero como
~a ~b ~c = ~b (~c ~a) = ~c ~a ~b
es claro que el último término es cero,
~ B
~ ~ =B
~ ~ ~ =0
Así que hasta ahora la expresión va en
~ B
~ B
~ ~ E2 + B2
~ E
~ ~ =0
E
o trivialmente
~ B
~ ~ E2 + B2 + ~ E
~ B
~ ~ =0
E
Por último tenemos
1
~ ~ = 2 E
~ B
~
B
~ B
~ son paralelos.
dado que por construcción ~ y E
Por tanto, nuestra expresión se reduce a
~ B
~ ~ E2 + B2 + 2 E
~ B
~ =0
E
o
2
~ = 1+
~ B
~
E
E2 + B2
que nos lleva a la respuesta …nal para la velocidad del sistema de referencia inercial S respecto al sistema de referencia
inercial S,
1+ 2 ~
~
~u = c 2
E B
E + B2
~ E
~
~ ~ = ~ E
~
B
2