SEPARATA DE COMPETENCIA IV

Carrera de Contabilidad
SEPARATA DE MATEMÁTICA
Año 2011 Ciclo I
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objetivo perseguido, de artículos o de breves extractos de obras lícitamente publicadas, a
condición de que tal utilización se haga conforme a los usos honrados y que la misma no sea
objeto de venta u otra transacción a título oneroso, ni tenga directa o indirectamente fines
de lucro”
SESIÓN 1
LOS NÚMEROS ENTEROS
El conjunto de los números enteros representado por: Z= {…,-3.-2-1, 0,1,2,3…} es una
extensión de los números naturales.
OPERACIONES ENTRE NÚMEROS ENTEROS
ADICIÓN
a + b = c, donde a, b y c є Z
a; b: Sumandos
c: Suma
PROPIEDAD: La suma de dos números enteros es otro entero
NOTA: La adición de los números enteros debe contemplar lo siguiente:
a) La suma de dos números enteros positivos es positivo.
Ejemplo:
8 + 4 = 12
b) La suma de dos números enteros negativos es otro negativo.
Ejemplo.
-7 + -10 = -17
c) La suma de un número entero positivo y otro negativo será positivo o negativo, de
acuerdo al signo del número mayor.
Ejemplos:
-3 + 8 = 5
-16 + 9 = -7
SUSTRACCIÓN
a – b = c, donde a, b y c є Z
a: Minuendo
b:
Sustraendo
c: Diferencia
PROPIEDAD: Para obtener la diferencia de dos números enteros, al minuendo se
suma el opuesto del sustraendo, es decir:
a – b = a + (-b)
Ejemplos:
 - 7- 9
= -7 +
(-9)
 -12 - -16
= -12 +
(16) = 4
 32 – 8
= 32 + (-8)
 15 - -6
= 15 +
= -16
= 24
(6) = 21
2
MULTIPLICACIÓN
a . b = c, donde a, b y c є Z
a:
Multiplicando
b:
Multiplicador
c:
Producto
PROPIEDAD: El producto de dos números enteros es otro entero.
NOTA:
1. La multiplicación tiene la siguiente regla de signos:
 (+) (+) = +
 (-) (-)
=+
 (+) (-)
=-
 (-) (+) = 2. El producto de enteros se puede representar de la siguiente manera:
(a)(b) = a*b
Ejemplos:
o (-5)(-4) = 20
o (-3)(7) = -21
o (5)(-8) = -40
o (-3)(-2)(4)(-6) = -144
o (-2)(-1)(5) =10
POTENCIACIÓN
Es una multiplicación abreviada, es decir:
3.3.3.3.3.3=36
Generalizando tenemos:
a.a.a.a.a……a = a n ; “n” factores
a n= p
a:
Base
n:
Exponente
p:
Potencia
PROPIEDADES:
1)
(-a) EXPONENTE PAR = +p;
2)
(-a) EXPONENTE IMPAR = - p;
3)
(a)0 = 1; a ≠0;
4)
1
(a) = a;
a
a
(a)
6)
(a)-n =
1
;
an
Z+
a
Z
Z
EXPONENTE PAR O IMPAR
5)
Z+
a
a
= +p;
a
Z+
Z
3
RADICACIÓN
Es una operación inversa de la potenciación es decir:
n
n: Índice de la raíz
a =b
a: Radicando o cantidad sub radical.
b: Raíz
PROPIEDADES:
1) n a = ± b, "n" par o impar, a z+
2) n a Z, "n" par, a Z 3) n a = -b, "n" impar, a Z -
DIVISIÓN
El cociente de dos números enteros es otro número entero.
a : b = c, donde a, b, y c є Z, siendo b ≠0
a:
Dividendo
b:
Divisor
c:
Cociente
NOTA: La regla de signos para la división es la siguiente:
(+) :
(+) =
+
(- ) :
(- ) =
+
(+) : (- ) =
-
(- ) : (+) =
-
Ejemplos:
(+4) : (-2) = -2
(-20) : (-5) = +4
EJERCICIOS
01) -4 + 5 + -7 – 8 + 12 – 8 =
02) -20 + 13 + - 8 + 9 -18 – 20 + 30 – 15 =
03) -3 – (5 + -7 + 12) + (-3 + 9 -12 )=
04) (-2 + 5 + 3)(-7 + 4 - 2) =
05) (-125) : (25) =
06) (-64) : (-16) =
07) (-2)2 + (-3)3 – (7)2 + 5 0 =
08) 120 – (4)(5)-(4)(2) + 60 :( -12 : 4)=
09) (6 + 121 - 42 : 2)2 - 152 + 92 =
10) 14 + 20 - 18 - (-2)(3) + (16)(3) =
11) 90 - 120 - (-2 * 4 + -3 * 9 + 4 * 5) =
4
12) (-32 + (5 * -4 - (-6 * 3))2 + (-40 ) =
13) (-2 * 4 + 3 * -7 + 5 * 6) - (12 * 5 + (-4)3 ) =
14) - 25 : -5 - (-28 : 7 + -3 * 2 + (-5)2 ) - (-8)2 =
15) 625 : -25 + 3 1000 + -900 : 30 + (-1)3
16) (-7)2 + (-121 : 11 + 48 : 16)2 + (-20)2 =
17) (-36 : 22 + -3 : 3 + (-50 : 10 + -39 : 13)) =
18) - 35 : 7 + -(2 * -5 + 9 * 2 + -62 - 32 + 43 ) =
19) 65 : -13 + 9 * 7 + -(10 * 8 + (-3)3 - (-2)4 ) =
20) Si A = 4, B = - 10, C = 28, hallar :
•A -B-C
• (A2 - 4B) : C
• (A2 - B2 - C)
LA CALCULADORA CIENTÍFICA
Es una herramienta auxiliar para obtener en forma inmediata, diversos cálculos aritméticos
como financieros, con el apoyo de los docentes se conocerán no solo las funciones básicas
sino, como almacenar datos de una fórmula financiera, para obtener el valor numérico
respectivo.
EJERCICIOS
I
1. Si Va =
1+i
n
-1
a) Halle el valor de Va, siendo I = 235.50; n = 14; i = 0,035
b) Halle el valor de Va, siendo I = 5,554.33; n = 2/5; i = 0,024
2. Hallar el Valor de “M” si H=2.500,63 i=15% y n=0,5:
M=
H
1 +I n
3. En la siguiente formula hallar: I = Va [(1 + i)n – 1)]=
Si: Va = 10.000; i = 0,035; n = 20.
4. Sea: Vf = Va(1 + i)n
Hallar el valor de Vf para: Va = S/. 12.000; i = 0,035; n = 24
1
5. Si Va = Vf.
n=
1+i
Hallar el valor numérico en el siguiente caso: Vf= 7.000; n = 8; i = 0,02
SESIÓN 2
LOS NÚMEROS RACIONALES
a
/a Z b Z
b
FRACCIÓN: Indica las partes en que se ha dividido un todo o unidad. Es una división en forma
indicada de dos números enteros, y se expresa así.
El conjunto de números racionales está definido por: Q =
5
a
, además b≠0
b
TÉRMINOS DE UNA FRACCIÓN
Numerador
a
b
Denominador
NOTA: Recordar, el numerador indica las partes que se toman de un todo fraccionado. El
denominador representa las partes que se dividen un todo.
Ejemplo:
7
7 son las partes
tomadas, de las 12 en
que se ha dividido la
unidad
12
Finalmente diremos, el resto de la anterior fracción es
5
12
=
12 7
12
OPERACIONES CON FRACCIONES
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS
Recordemos que las fracciones homogéneas se caracterizan porque tienen el mismo
denominador y se procede a sumar o restar de acuerdo al siguiente esquema:
a c a±c
± =
b b
b
Ejemplos:
1)
2)
2 1 2+1 3
+ =
= =1
3 3
3
3
6 2 4
- =
9 9 9
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS
Las fracciones heterogéneas se caracterizan por tener diferentes denominadores, para sumar
o restar podemos considerar el siguiente procedimiento:
a
±
c
b d
=
ad ± bc
bd
NOTA: El esquema anterior se aplica cuando se tienen dos fracciones.
Ejemplos:
3 2 7 * 3 + 5 * 2 21 + 10 31
+ =
=
=
5 7
5*7
35
35
6
5 1 3 * 5 - 9 *1 15 - 9 6
- =
=
=
9 3
9*3
27
27
NOTA: Cuando hay más de dos fracciones se debe obtener el mcm de los denominadores.
Ejemplos:
2 1 2 40 + 15 - 24 31
mcm = 60
+ - =
=
3 4 5
60
60
-7 -5 -11 -42 + -20 - (-33) -29
mcm=12
+ =
=
2 3 4
12
12
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
Para esta operación recordar que el producto es igual a la multiplicación de los numeradores
sobre los denominadores:
a c a*c
* =
b d b*d
Ejemplo:
3 4 3 * 4 12 2
* =
=
=
5 6 5 * 6 30 5
2 3
6
2
3
=
FRACCIÓN DE FRACCIÓN: Recordar que de =
, es decir, la palabra “de”
5 7
35
5
7
significa multiplicar fracciones.
POTENCIA DE UNA FRACCIÓN
Al igual que en los números enteros la potenciación es una multiplicación abreviada donde se
tiene un mismo factor que se repite “n” veces:
a a a
a
x x .......n veces =
b b b
b
n
an
= n donde b
b
0; n >0
Ejemplo:
2
2
5
22 4
= 2=
25
5
NOTA:
a
b
0
= 1 ; si
a
0
b
Ejemplo:
-7
9
0
=1
POTENCIA DE UNA FRACCIÓN CON EXPONENTE NEGATIVO
En este caso se invierten los términos de la fracción y el exponente será positivo.
a
b
-n
=
b
n
a
Ejemplo:
7
2
-4
=
3
3
2
4
=
81
16
RAÍZ DE UNA FRACCIÓN
Una consecuencia de la potenciación es la operación de radicación, tenemos:
n
n
a
= n ; donde b
b
b
a
0
Ejemplos:
4
9
3
8
27
=
=
2
3
2
3
DIVISIÓN DE FRACCIONES
El cociente de dos fracciones se obtiene multiplicando al dividendo por el inverso del divisor:
a c a d a*d
: = * =
b d b c b*c
Ejemplo:
5 3 5 4 5 * 4 20 10
: = * =
=
=
6 4 6 3 6 * 3 18 9
OBSERVACIÓN:
a
a c b Producto de extremos a * d
1) : = =
=
b*c
b d c
Producto de medios
d
3
5 = 3 * 6 = 18 = 9
Ejemplo:
4 5 * 4 20 10
6
1 b
2) =
a a
b
Ejemplo:
1 5
=
7 7
5
NOTA: Al simplificar fracciones se debe tener en cuenta lo siguiente:
a)
b)
x+z
x*z
x-z
x *a
= nunca se hace esto
= nunca se hace esto
8
c)
d)
x+z
x-z
x*z
z*a
= nunca se hace esto
= esto es correcto
EJERCICIOS
1) Efectuar :
1
1+
1
1+
1
1+
1+
1
3
3
2 +1
1
13
5+
1
1+
3
11
12
1+
2) Simplificar:
3) Resuelve:
5-2
1
4
*
5
7
-2
1
7
2
4) Efectuar:
1
2+
5
2
P=
*
1 1 27
+
20 5
5) Resolver:
1 1
+
3 5 *
1 2
2 15
6) Resolver:
7) Efectuar:
5
9
-2
1
* 2
3
1 1
-1
1
1
3
4
*
*
1
1 1
12
16
6 18
1
+
1
2*3 3*4
+
1
4*5
9
8) Simplificar:
1 1 1 1
3 4 4 5
1
1
+
3*4 4*5
2
1 5
3 +1 - 2 *2
6
6 8
9) Efectuar:
10) Efectuar:
1 1
5
2 3
:
1 1 12
4 5
11) Resolver:
2
3
3 +7
5
5
6 3
5 -3
4 2
9:
12) Efectuar:
-1
1
4 1
* *
1
5 6
3
1 1
8 12
SESIÓN: 3
RAZONES Y PROPORCIONES
RAZÓN: Es la comparación que existe entre dos cantidades. Esta comparación se puede
establecer:
a) Por diferencia
b) Por cociente
RAZÓN ARITMÉTICA: Es la comparación de dos cantidades mediante una diferencia.
Ejemplo:
La razón aritmética de 28 libros y 10 cuadernos, será:
28 -10 = 18
Se puede afirmar que 28 libros exceden en 18 al número de cuadernos; o, la razón aritmética
es 18.
Generalizando:
A – B = K (razón)
A: Antecedente
B: Consecuente.
RAZÓN GEOMÉTRICA: Las cantidades se comparan mediante un cociente.
10
Ejemplo:
La razón geométrica de 28 libros y 10 cuadernos será:
28
10
=
14
5
(razón)
Generalizando:
A
B
= K (razón), de donde:
A=BK
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA: Es la comparación de dos razones geométricas.
Es decir:
a
b
=
c
d
se lee: “a “ es “b” como “c” es a ”d”
a y d, se denominan EXTREMOS de la proporción.
b y c, se denominan MEDIOS de la proporción.
PROPIEDAD FUNDAMENTAL
Si
a
b
=
c
d
entonces ad = bc
El producto de extremos es igual al producto de medios.
EJERCICIOS
1) Hallar los valores “x”, “y” en las siguientes proporciones:
a)
b)
x
3
x
y
=
=
y
4
2
7
; si x + y = 35
; si x + y = 18
c)
d)
4
=
x
5
y
x+y
y
; si y – x = 20
=
17
5
; si x – y = 105
2) Hallar los valores de “a” y “b”, si:
a)
b)
e)
a
2
a
b
a
5
=
=
=
b
3
1
3
b
4
; a + b = 25
c)
; si a + b = 28
d)
; a2 - b2 = 36
f)
a 1
= ; b – a = 30
b 3
a
b
7
a
= 2 ; a2 + b2 = 45
=
4
b
; a + b = 88
11
3) Se tiene que:
17
A
=
19
B
=
21
C
y además : A+2B+C = 152; Hallar A + B + C
PROBLEMAS
1) En un auditorio hay 400 personas; de las cuales 240 son mujeres. ¿En qué relación se
encuentran el número de hombres al número de mujeres?
2) Dos números están en la relación de 3 a 4 y sumados dan 56. Hallar el mayor de dichos
números.
3) Dos números se diferencian en 5; si la razón es 3/2, determinar el número menor.
4) En una caja de caramelos hay de los sabores fresa y limón. Si por cada caramelo de fresa
hay 3 caramelos de limón. ¿Cuántos caramelos de fresa hay; si en total existen 80
caramelos?
5) En una canasta el número de plátanos es al número de manzanas como 2 es a 1. Si hay
dos docenas de plátanos. Hallar el número de manzanas.
6) En un corral por cada 3 patos hay 2 conejos y por cada conejo hay 2 gallinas. Si se tiene 12
patos. Determinar el número de gallinas.
7) En un salón de clases por cada 10 alumnas hay 9 alumnos. Después que se retiran 8
alumnas y 3 alumnos, por cada 4 alumnas hay 5 alumnos. Hallar el número de alumnas
que había al inicio.
8) En una fiesta hay 56 personas entre hombres y mujeres de tal manera que el número de
mujeres es al número de hombres como 3 es a 4. Se retiran 6 mujeres. ¿Cuántos hombres
deben retirarse para que la relación de mujeres a hombres sea de 3 a 5?
9) Luis recibe 240 soles de su padre, enseguida compra un pantalón y dice: “lo que gaste y
no gaste están en la relación de 5 a 11”. ¿Cuánto le queda luego de hacer la compra?
10) Dos números están en la relación de 2 a 5, pero agregando 175 a uno de ellos y 115 al
otro, ambos resultados son iguales. Hallar el número mayor.
REPARTO PROPORCIONAL
Es la operación que consiste en dividir o repartir una cantidad en partes que sean
directamente o inversamente proporcionales a ciertos números llamados índices de la
proporcionalidad.
TIPOS DE REPARTO
Puede ser:
DIRECTO
1) REPARTO SIMPLE
INVERSO
2) REPARTO COMPUESTO
12
REPARTO SIMPLE
El reparto proporcional es simple cuando la división o reparto se hace en base a un conjunto
de números llamados índice de proporcionalidad, puede ser: Directo o inverso
REPARTO SIMPLE DIRECTO
En este tipo de reparto la cantidad a repartir se realiza en forma directamente proporcional
(D.P.) a los números índices.
Ejemplo:
Repartir 280 en partes D.P. a los números: 2; 5 y 7.
SOLUCIÓN:
Sean A, B y C las partes a repartir y como son D.P. a los números índices (2, 5 y 7) tenemos:
A B C
= = =k
2 5 7
De donde:
A = 2k
B =5k
C =7k
Como la suma de las partes resulta el todo, tenemos:
A+B+C
Reemplazando:
= 280
2k + 5k + 7k = 280
14k = 280
280
k =
14
k = 20
Luego las partes serán:
A =2k =2(20) =40
B =5k =5(20) =100
C =7k =7(20) =140
REPARTO SIMPLE INVERSO
En este caso la cantidad que se va a repartir se hace en forma inversamente proporcional a
los índices, invirtiendo los mismos y luego se procede a repartir en forma directa como en el
caso anterior.
PROCEDIMIENTO:
a) Los números índices se invierten.
b) Se saca el MCM de los denominadores (los números índices invertidos)
c) Se multiplican a todos los números índices invertidos por el mcm y por la constante “K”.
d) Se efectúa luego el reparto en forma D.P. (directamente proporcional).
Ejemplo: Repartir 380 en forma IP a 2; 5 y10
13
PARTES
380
D.P. (ÍNDICES)
I.P.
.
A
=
2
P
1/2 (10k)
5k
B
=
5
1/5 (10k)
2k
C
=
10
1/10(10k)
k
.
mcm (2;5 y 10 =10)
Luego:
8k
5k +2k +k =380
8k =380
380
k =
8
k =47,50
A
= 5(47,50) =237,50
B =2(47,50) =95
C =1(47,50) =47,50
REPARTO COMPUESTO
Consiste en repartir una cantidad en forma DP e IP a la vez.
PROCEDIMIENTO:
1) El reparto IP se transforma a DP invirtiendo los índices, luego se multiplica por los
índices DP
2) Se multiplican luego los productos anteriores por el mcm de los denominadores.
3) El reparto se realiza con los nuevos índices.
Ejemplo:
Repartir 1.288 en forma DP a 2 y 5, a la vez y a la vez IP a 10 y 90
1288
<>
PARTES
DP
IP
A
2
10
<>
2(1/10)(90) = 18K
B
5
90
<>
5(1/90)(90) =
DP
5K
23K
mcm (10; 90 = 90)
< > : equivale
Luego:
23k = 1.288
1288
= 56
K=
23
Las partes son:
A =18K = 18(56) =1008
B = 5K= 5(56) = 280
14
PROBLEMAS
1) Al repartir S/. 76.700 en tres partes DP a 3; 5 y 6 e IP a 72 ; 128 ; 200 ;
respectivamente. Determinar ¿Cuál es la diferencia entre las dos mayores partes?
2) Un padre desea repartir una propina de S/. 504 entres sus hijos en forma proporcional a
sus edades que son 15; 9 y 18 años, respectivamente. ¿Cuánto recibirá cada hijo?
3) En una competencia de ciclismo se reparte S/. 2.775 entre los tres primeros puestos en
forma inversamente proporcional al tiempo empleado que fueron 24, 30 y 36 minutos.
¿Qué cantidad de dinero recibieron cada uno de los primeros puestos?
4) Repartir 5.800 en partes directamente proporcionales a 5, 14 y 20.
5) Una persona reparte entre tres niños S/. 3.600 en forma inversamente proporcional a sus
edades, que son 8; 12; 14 años respectivamente ¿Cuánto le tocó a cada uno?
6) Una casa comercial tiene tres deudas en diferentes bancos. Al primero le debe S/.1.800, al
segundo S/. 5.500 y al tercero S/. 3.000. Si su haber es de S/. 4.500. ¿Cuánto abonará a
cada banco?
7) Una empresa tiene un local valorizado en S/.68.000 y dos autos valorizados en S/. 3.500
cada uno, se decide vender todo para poder cumplir con las tres obligaciones, de tal
manera que se repartirá de la siguiente manera al primero 12 partes, al segundo 8 partes
y al tercero 4 partes. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?
8) Repartir 150 en tres partes que sean a la vez directamente proporcionales a 2/3, 4/5 y
2/7 e inversamente proporcionales a 1/6, 3/10 y 5/14.
9) Una empresa deberá repartir S/. 4.800 entre cuatro empleados tomando en cuenta sus
inasistencias, si estas fueron 2; 4; 6; 8; determinar cuánto le correspondió a cada uno.
10) Una entidad desea realizar una obra benéfica entre cuatro centros educativos, en base a
una puntuación, determinada por el desempeño del equipo de docentes y personal
administrativo que labora en estos centros; la cantidad que se repartirá será S/. 12.000 y
el puntaje de cada centro fue 12, 10; 8 y 6 puntos respectivamente. ¿Cuánto recibió cada
centro?
REGLA DE COMPAÑÍA
La regla de compañía tiene como finalidad el reparto de ganancias o pérdidas entre los
diversos socios que conforman una empresa o negocio; es un caso particular del reparto
proporcional.
Este reparto es directamente proporcional a los capitales y al tiempo que estuvo cada socio
en dicho negocio.
Ejemplo:
Tres socios forman una empresa; el primero aporta S/. 2.000 en dos años; el segundo aporta
S/. 3.000 en cuatro años; y el tercero aporta S/. 1.000 en cinco años. ¿Cuánto corresponde a
cada socio, sabiendo que la ganancia es S/. 42.000?
SOLUCIÓN:
Este problema lo resolvemos como los problemas de reparto proporcional.
Sean A; B y C los tres socios.
15
SOCIOS
CAPITALES (C)
TIEMPO (T)
(C)(T)
A =
2 000
2 años
4 000
< > (4k)
G: 42 000 B =
3 000
4 años
12 000
< > (12k)
C =
1 000
5 años
5 000
<>
(5k)
21k
< > : equivale
21k = 42 000
42000
K=
= 2000
21
SOCIO A : 4K = 4(2 000) = 8 000
SOCIO B : 12K = 12(2 000) = 24 000
SOCIO C :
5K = 5(2 000) = 10 000
PROBLEMAS
1) Katy, Gabriela y María, aportaron S/. 2.100; S/. 700 y S/. 1.400, por medio año; año y
medio; dos años respectivamente para realizar un negocio si la ganancia fue S/. 3.600.
¿Cuánto le toca a cada socia por su inversión?
2) Tres amigos se asociaron para invertir en un restaurant aportando cada uno los siguientes
capitales: S/. 40.000; S/. 8.000 y S/. 24.000, si obtuvieron una utilidad de S/. 48.000 y
trabajaron 2; 3 y 1 año respectivamente. ¿Cuánto recibe el que aportó mayor capital?
3) En un negocio Luisa, Juana y Fiorella aportaron S/. 3.000; S/. 12.000 y S/. 21.000.
respectivamente; después de tres meses de iniciado el negocio, Juana se retira, si al
término de los 6 meses de iniciada la actividad comercial la utilidad de Fiorella excede a la
de Luisa en S/. 2.808. ¿Cuánto de utilidad le corresponde a Juana?
4) Una persona inicia un negocio, con un cierto capital, después de cinco meses acepta un
socio el cual aporta S/. 100 menos que el primero, tres meses después acepta a otro socio
el cual invierte S/. 500, si el negocio duro un año al final del cual el primero y el segundo
ganaron S/. 180 y S/. 70, respectivamente. ¿Hallar la ganancia del tercer socio?
5) Tres socios forman un negocio aportando capitales que están en la relación de 2; 3 y 4, si
la utilidad total fue S/. 18.000. Hallar la menor ganancia.
6) Katty, Susan, Carla y Rosa aportaron S/. 8.400; S/. 8.100; 6.500 y S/. 5.400
respectivamente en un negocio; si la actividad comercial fracasó y las dos primeras
pierden S/. 720 menos que lo que pierden las dos últimas. ¿Cuánto pierde Carla?
7) Se han asociado tres personas aportando la primera S/. 2.000 durante seis meses; la
segunda S/. 4.000 durante ocho meses y la tercera S/. 6.000 durante diez meses, al
finalizar la operación obtuvieron una ganancia de S/. 5.200. ¿Cuánto le corresponde a
cada socio?
8) Dos socios forman una compañía aportando S/. 2.000 y S/. 5.000 respectivamente. Al
cabo de 3 meses ingresa otro socio aportando cierto capital, si el negocio duró año y
medio; cuando se repartieron las utilidades le tocó igual parte a los que aportaron mayor
capital. ¿Cuál fue el capital impuesto por el tercer socio?
9) Tres personas forman una sociedad, el primero aportó S/. 6.000, el segundo S/. 4.000
durante 8 meses y el tercero S/. 2.000 durante 14 meses. Al repartir las utilidades de
16
S/.10.000, proporcionales al capital y el tiempo, el segundo y el tercero recibieron juntos
S/. 5.000. ¿Qué tiempo estuvo colocado el capital del primero?
10) Eduardo inaugura una empresa aportando S/. 5.000; a los 4 meses Desiré aporta los 3/4
de lo aportado por Eduardo más S/. 1.500; a los 8 meses Rolando aportó 1/5 de lo que
habían aportado los dos socios anteriores. Al cabo de dos años ganaron S/. 12.600.
Determinar cuánto ganó cada uno?
SESIÓN 4
REGLA DE TRES
DEFINICIÓN
La regla de tres es el procedimiento que permite hallar un término desconocido en una
proporción geométrica donde intervienen dos o más magnitudes (magnitud es todo aquello
que puede ser medido y expresado mediante un número y una unidad), que tienen una
relación de proporcionalidad. La regla de tres puede ser simple o compuesta
REGLA DE TRES SIMPLE: La regla de tres simple puede ser directa o inversa.
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
Las magnitudes son directamente proporcionales.
VALORES:
a
b
c
x
Como son DP, entonces su cociente es constante, es decir:
a c
b*c
= entonces : x =
a
b x
Ejemplo:
Si 4 cuadernos cuestan S/. 48. ¿Cuánto costarán 6 cuadernos?
SOLUCIÓN:
4
S/. 48
6
x
A más cuadernos más desembolso de dinero, por lo tanto estas cantidades son directamente
proporcionales.
x=
48 * 6
4
=
288
4
= S / .72
Seis cuadernos cuestan S/. 72 soles.
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
Las magnitudes son inversamente proporcionales.
VALORES
m
p
n
x
Como son inversamente proporcionales IP, el producto de sus valores es constante, es decir:
m * n = p * x, en donde despejando “x”, tenemos:
17
x=
m *n
p
Ejemplo:
Si 6 obreros demoran 20 días para realizar una obra. ¿Cuántos días demorarían 8 obreros en
hacer la misma obra en las mismas condiciones?
6 ob.
20 D
8 ob.
X
A mayor número de obreros entonces, menos número de días tardaran en realizar la obra,
por lo tanto las cantidades son inversamente proporcionales, entonces:
6 * 20 = 8 * x, donde despejan
Se tardarán 15 días en terminar la obra.
REGLA DE TRES COMPUESTA
En este caso utilizaremos el método de las líneas, el cual considera lo siguiente:
CAUSA: Es todo aquello que se realiza o ejecuta en una obra, pudiendo ser efectuada por
trabajadores, máquinas, etc.
CIRCUNSTANCIA: Es el tiempo, la forma, como se produce o como se fabrica algo.
EFECTO: Es todo lo realizado, lo producido, lo consumido, lo gastado, etc.
PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN
La forma más adecuada será la siguiente:
CAUSA
CIRCUNSTANCIA
EFECTO
a
b
c
d
e
x
El valor de “x” se obtiene mediante la siguiente expresión:
x=
(d)(e)(c)
(a)(b)
Ejemplo:
Para pavimentar 180 metros de pista, 18 obreros tardan 21 días. ¿Cuántos días se
necesitarán para pavimentar 120 metros de la misma pista con 4 obreros menos?
CAUSA
CIRCUNSTANCIA
EFECTO
18 ob
21 d.
180 m.
14 ob
x d.
120 m.
x=
18 * 21 *120
14 *180
=
45.360
2.520
= 18
18
PROBLEMAS
1) Por dos horas y media de prácticas en una conocida Institución Financiera ubicada en
Lima, un egresado del IFB ha cobrado S/. 40. ¿Cuánto cobrará por 8 horas?
2) Cinco obreros descargan la arena contenida en un camión en una hora y media. ¿Cuánto
tardarían en hacerlo 2 obreros?
3) Un salón de clases del IFB conformado por 40 alumnos ha decidido realizar un
campamento y han llevado provisiones para 7 días. ¿Para cuántos días habrá comida si se
incorpora al campamento 30 alumnos más?
4) Se ha estimado que debería haber 2 libros de matemáticas por cada 50 alumnos
matriculados en el curso para consulta en la Biblioteca del IFB. ¿Calcula cuántos libros se
necesitarán si son 450 los alumnos que llevan este curso?
5) Un Supermercado está vendiendo en oferta 350 gramos de jamonada de ternera a S/.5
¿Cuántos kilos podré comprar con S/. 40?
6) Un ómnibus de la empresa “Viaje seguro” a la velocidad de 80 km/h se demora 9 horas en
cubrir la ruta Lima-Huarmey. ¿Cuánto tardará un auto en recorrer la misma distancia a
120 km/h.?
7) Por un trabajo contable de 5 días se gana S/. 390. ¿Cuánto ganaré por 20 días de trabajo?
8) Una planta embotelladora llena 1.200 botellas por minuto. ¿Cuántas cajas de 12 botellas
se llenarán en 1 hora y media?
9) Un automóvil de carrera que va a 120 km/h tarda 20 minutos en recorrer una distancia
entre dos ciudades. ¿A qué velocidad debe ir para hacer la misma distancia en 12
minutos?
10) El IFB ha organizado una maratón donde se tiene que recorrer 21 km. un alumno ha
recorrido en los 8 primeros minutos de su carrera 2,4 km. Si mantiene esa misma
velocidad en todo su recorrido, ¿Cuánto tardará en completar toda la carrera?
11) Un padre decide dejar una herencia a sus hijos de tal forma que a cada uno le
corresponda una cantidad proporcional a su edad. Al mayor que tiene 20 años, le
corresponde 50.000 dólares. ¿Cuánto le dará a sus otros dos hijos de 18 y 12 años de
edad? ¿A cuánto asciende el monto total de la herencia?
12) Si ocho secretarias tardan 3 horas para digitar 72 páginas. ¿Cuánto tardarán 6 secretarias
para digitar 90 páginas?.
13) Para construir 600 metros de una obra, 30 obreros han trabajado 12 días a
razón de
10 h/d. Cuantos días de 6 horas necesitaran 36 obreros de igual rendimiento para hacer
900 metros de la misma obra?
14) Cuarenta y cuatro obreros trabajando 10h/d han empleado 12 días para
hacer una
zanja de 440m. de largo, 2m. de ancho y 1,25m. de profundidad. ¿Cuánto tiempo más
emplearan 24 obreros trabajando 8 h/d para cubrir otra zanja de 200m. de largo, 3m. de
ancho y 1m. de profundidad?
15) Trabajando 10 h/d durante 15 días, 5 hornos consumen 50 toneladas de carbón. ¿Cuántas
toneladas serían necesarias para mantener trabajando 9 h/d durante 85 días, 3 hornos
más?
16) Se contrató una obra para ser terminada en 20 días por 15 obreros que trabajan 8 h/d.
Habían trabajado ya 5 días, cuando se acordó que la obra quedase terminada 3 días antes
del plazo estipulado para lo cual se contrataron 5 obreros más. Diga si la jornada deberá
aumentar o disminuir y en cuanto.
17) Si 7 excavadoras mueven 882m3 de tierra en 6 horas. ¿Cuántos m3 moverán 10
excavadoras en 3 horas?
19
18) Si 15 personas hacen un trabajo en 14 días, trabajando 8 horas diarias, ¿Cuántas personas
serán necesarias para hacer el mismo trabajo en 8 días trabajando 2 horas diarias?
19) Una familia de 4 personas ha pagado por 5 días de vacaciones 460 dólares. ¿Cuánto
habrían pagado 9 personas por 4 días?
20) Una familia de 9 personas ha pagado por 7 días de vacaciones en el Cusco 2.079 dólares.
Si una familia ha estado de vacaciones 6 días y pagado 990 dólares. ¿Cuántas personas
tiene la familia?
21) Diez vacas consumen en 6 días un total de 1.320 kg. de forraje. Si tenemos 1.386 kg. de
forraje, ¿Cuántas vacas pueden comer durante 9 días?
22) Dieciséis obreros trabajando 9 horas diarias en 12 días hacen 60 sillas. ¿Cuántos días
necesitarán 40 obreros trabajando una hora diaria menos para hacer un ciento de las
mismas sillas?
EL CAMBIO MONETARIO
En toda sociedad la moneda constituye el instrumento de cambio para la adquisición
bienes o servicios. Todo bien es medido en unidades de la unidad monetaria.
de
NOTAS:
1. En las diversas actividades comerciales se le reconoce como un medio para cancelar
deudas.
2. Es un medio que nos permite tener dinero en una entidad financiera para alguna
necesidad futura.
3. El Banco Central de Reserva, es el ente autónomo que fija la política monetaria en un país,
asimismo establece las condiciones para el sistema de cambio monetario.
4. EL BCR establece el tipo de cambio monetario en relación a la monea de un país que
generalmente tiene mayor desarrollo, estabilidad económica y baja inflación.
5. Las monedas utilizadas para el tipo de cambio en los últimos años son: El Dólar
Americano, el Marco Alemán, el Yen Japonés, el Franco Suizo, últimamente el Euro, el
Yuan
6. La fortaleza de una moneda se presenta cuando el precio aumenta en relación a una
moneda extranjera, o el tipo de cambio baja.
7. Una moneda local es fuerte si el tipo de cambio baja. Si el tipo de cambio sube la moneda
local es débil.
PRINCIPALES DIVISAS
MONEDA
COMPRA S/.
VENTA S/.
DÓLAR CANADIENSE
DÓLAR AMERICANO
EURO
FRANCO SUIZO
20
LIBRA ESTERLINA
YEN
YUAN
DÓLAR HONG KONG
Complete el cuadro anterior con el cambio del día
EJERCICIOS
Resolver los siguientes casos haciendo uso del tipo de cambio del día.
S/.
DÓLAR
HONGK
DÓLAR
A
DÓLAR
C
YUAN
YEN
EURO
FRANCO LIBRA
S
EST
100
1.253
3.450
4.657
6.957
6.453
1.046
5.204
6.875
SESIÓN 5-6:
PORCENTAJE
POR CIENTO : Es la cantidad que se toma de cada 100 unidades.
Ejemplo:
1) El 4 por ciento será:
4
= 0,04 = 4%
100
2) El 12% de jóvenes gustan de la gaseosa “A”, significa que de cada 100 jóvenes, 12 prefieren
la gaseosa “A”.
OBSERVACIONES :
1. El resultado de hallar el por ciento de un número se denomina porcentaje:
21
FRANCO
SUIZO
Ejemplo:
5% de 280 =
5
100
* 280 = 0,05(280) = 14
2. Si una cantidad disminuye o aumenta en “a%”, entonces tenemos:
(100 - a)%
(100 +a)%
Ejemplo:
Si una cantidad aumenta en 18% se tiene 118%
Si una cantidad disminuye en 7% se tiene 93%
DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS
El primer descuento (o aumento) se aplica a la cantidad inicial y a partir del segundo
descuento (o aumento), se aplica a la cantidad que ha quedado del descuento (o aumento)
anterior:
ab
AU = a + b +
%
100
DU = a + b -
ab
100
%
Ejemplos:
Determinar el aumento y descuento único del 5% más el 3%
AU = 5 + 3 +
DU = 5 + 3 -
5*3
100
5*3
100
% = 8,15%
% = 7,85%
FIJACIÓN DE PRECIOS
Toda empresa debe fijar un precio a sus productos o servicios.
Precio de venta es la cantidad de dinero que se cobra por un producto y/o servicio, incluye el
impuesto de ley (IGV)
Para fijar el precio se debe tener en cuenta todos los costos asociados con la producción y
comercialización del producto, el que se expresa por unidad de producto, y luego se le
agrega un margen de utilidad con el fin de obtener una ganancia. La ganancia puede
expresarse también como un porcentaje del costo o del valor de venta.
COSTO + MARGEN DE UTILIDAD (%) = VALOR DE VENTA
VALOR DE VENTA + I.G.V. = PRECIO DE VENTA
PROBLEMAS
1)
2)
3)
4)
5)
Hallar el 18% de 1800
Hallar el 0,008% de 0,2
Hallar el 20% del 40% de 1600
Hallar el 53% de 200
Hallar el 0,08% de 0,05% de 40.000
22
6) ¿Cuándo recibiré más? :
Si me dan el 17% de 200
Si me dan el 0,08% de 40 000
Si me dan los 5/6 % DE 3000
7) El 50% del 40% del 30% de 600 es :
8) En una fábrica se han hecho 1.000 productos, el 60% de ellos lo hace la maquina “A” y el
resto “B”. Si se sabe que el 5% de lo fabricado por “A” son defectuosos y el 4% de “B”
también. ¿Cuántos defectuosos hay en total?
9) ¿A cómo debo vender lo que me costó S/. 332 para ganar el 17% del valor de venta?
10) Una empresa encuestadora, manifiesta que en el horario que pasan un noticiero 3 de cada
5 televisores encendidos sintonizan dicho programa. ¿Qué % representan dicha sintonía?
11) La población de cierta ciudad fue de 65.200 habitantes, si la tasa de mortalidad fue de 8%.
¿Cuántos fallecidos hubo en dicha ciudad?
12) El precio de un horno microondas es S/. 420. El vendedor descuenta el 10%, pero por una
pequeña “YAYA”, rebaja el 5% adicional. ¿Cuánto se pagó finalmente por el horno?
13) En una de las galerías de Gamarra se ofrecen descuentos sucesivos del 20% y 30% en la
sección de ropa. ¿Cuál sería el descuento único?
14) El precio de una lavadora es S/.4.200 se ganó el 14% del costo más el 5% del valor de venta.
¿Cuánto costó la lavadora?.
15) En una fiesta se observa que el 20% de los asistentes son hombres y de las mujeres el 75%
están casadas. Si hay 8 mujeres solteras. ¿Cuántos hombres habían en la fiesta?
16) De 60 empleados que hay en una empresa el 40% son mujeres. Cierto día faltó a trabajar el
50% de las mujeres y el 25% de los varones. ¿Cuántos asistieron a trabajar?
17) Si soledad se retiró del casino con S/.240, habiendo perdido primero el 20% y luego
ganando el 50% de lo que le quedaba. ¿Con cuánto fue al casino?
18) Si un televisor tiene un precio que corresponde al 20% menos de otro similar cuyo precio es
S/. 1.200.00. ¿Cuál es el precio del primer televisor?
19) Un confeccionista recibe como pago S/. 28.000 por hacer 700 uniformes de una empresa.
El metro de tela cuesta S/. 12. Hay dos clases de uniforme el de hombre y el de mujer.
Para el de hombre se necesitan 2,5 m. y para el de mujer 2 m. El
material
de
tela
trabajada cuesta S/. 3,50 para ambos uniformes. ¿Qué porcentaje del monto recibido
queda como ganancia, si la empresa cuenta con 500 hombres y 200 mujeres?
20) Sobre la venta de cierto articulo existe un impuesto del 10%, y una vez que este impuesto
ha sido cargado se aplica otro impuesto del 4% sobre el total. Si el articulo está marcado en
S/. 250. ¿Cuánto habrá que pagar por el?
21) Un fabricante confecciona un producto a un costo de S/. 20, el precio es S/. 32,5. Expresar
la utilidad como porcentaje del precio de costo y precio de venta.
22) ¿A qué precio debe venderse un artículo, sabiendo que su costo fue S/.1.300 y que el
margen de utilidad será del 20% del valor de venta?
23) Encontrar el valor de factura, dado:
a) Precio de lista = S/. 750, con descuento. del 30% y 10%.
b) Precio de lista = S/. 950, con descuento. del 15%, y 5%.
24) Una empresa gráfica tiene un costo de S/.15 por la edición de un diccionario que lanzará
próximamente, el margen de utilidad (MU) que aplican es del 10% de su costo. Hallar el
valor de venta del libro.
25) Una casa de hospedaje sabe que su costo unitario diario, por habitación simple, es de S/. 20
y su MU es de 10% del valor de venta. Hallar el valor de venta de la habitación por día.
23
26) Un taller de confección de polos publicitarios sabe que su costo unitario es de S/. 40, su MU
lo considera como un 50% del costo. Hallar el precio.
27) Una empresa de producción de componentes para computadoras tiene un costo total de
S/. 35.000 y produce 500 artículos, su MU es de 70% del valor de venta. Hallar el valor de
venta de cada unidad.
28) Una empresa vitivinícola tiene costos fijos de S/. 5.000 y costos variables de S/. 10.000.
Fabrica 1.500 botellas y establece un MU del 30% del costo. Hallar el precio de venta
unitario.
29) La agencia de Publicidad “AKM” tiene los siguientes costos para la instalación de afiches:
Alquiler de local S/. 3.000; servicios de luz, agua y teléfono S/. 2.000; insumos publicitarios
S/. 1.000; mano de obra S/. 5.000. El Margen de utilidad es del 40% del costo y se
confeccionan 800 afiches. Hallar el precio de cada afiche.
30) Para un concierto musical una empresa de espectáculos compró una determinada marca de
refresco en lata a un costo de S/. 2,35 cada unidad y la vendieron a un precio de S/. 4,50.
Hallar:
a) El MU sobre el costo.
b) El MU sobre el valor de venta.
31) Un Supermercado vende, en su sección de alimentos preparados, ensaladas a S/. 15,49 por
kilo, aplicando un MU del 12,5 % del costo. Halle el costo del kilogramo de ensalada.
32) Una importadora de vehículos compra un determinado modelo a un costo de $ 8.453,95 y
lo venden con un MU del 37,45% del valor de venta. Hallar el valor de venta.
33) Una fábrica de toallas de baño tiene un costo total de S/. 20.000 y produce 1.000 unidades,
su MU es de 60% del costo, Hallar el valor de venta de cada unidad.
34) Una empresa fabricante de USB tiene un costo total de S/. 10.000 y fabrica 1.600
componentes, su MU es de 10% del costo. Hallar el precio unitario.
35) Una empresa fabrica 200 extinguidores y tiene los siguientes costos: alquiler de local S/.
4.000, servicios S/. 3.000, en total; materia prima S/. 4 por artículo, mano de obra S/. 5 por
artículo. El margen de utilidad es del 20% del costo. Hallar el precio de venta y el total de
IGV pagado.
PORCENTAJE Y PLANILLAS
A continuación se plantean una serie de problemas para lo cual deberá consignarlos
siguientes datos:
Remuneración Básica
Asignación Familiar
%
Descuento por AFP (Promedio)
%
Pago por las dos primeras horas extras
%
Pago de horas extras a partir de la 3º hora
%
Descuento por Impuesto de 5º Categoría
%
Descuento por impuesto de 4º Categoría
%
Aporte Essalud del empleador
%
24
PROBLEMAS
1) Un trabajador tiene una remuneración básica y en la semana laboro durante tres días de 4
p.m. hasta las 5,30 p.m., de 4 p.m. hasta las 6 p.m. y de 4 p.m. hasta las 7,30 p.m. ¿Cuál
será su remuneración semanal, está afiliado al SNP y no tiene familia?
2) Un operario que labora en remalle de prendas percibe un jornal de S/.28 diarios y tiene
familia, además tiene las siguientes horas extras: lunes de 4 p.m. a 6 p.m.; martes de 4
p.m. a 5,30 p.m. calcular su ingreso neto semanal, sabiendo que está afiliado a una AFP.
3) Un empleado percibe un sueldo mensual de S/. 1.200, tiene familia y está afiliado a una
AFP, determinar su ingreso neto.
4) Una Asistente en Contabilidad percibe un sueldo de S/. 1.600, tiene familia, está afiliada al
SNP, y recibió un adelanto de S/. 400, tuvo horas extras de 4 p.m. a 7,30 p.m., determinar
el ingreso neto mensual.
5) Un asistente de producción en una fábrica de calzado percibe un ingreso mensual de S/.
4.500, no tiene familia y está afiliado a una AFP, además laboró un lunes de 3 p.m. a 4,30
p.m., viernes de 3 p.m. a 6,30 p.m. determinar su sueldo neto.
6) Un asistente de gerencia financiera percibe un ingreso mensual de S/. 4.500, tiene familia
y está afiliado al SNP. Calcular el ingreso neto, además del descuento mensual por
impuesto de 5º categoría.
SESION 7-8
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
EXPRESION ALGEBRAICA
Es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las
operaciones aritméticas.
Las partes de una expresión algebraica separadas por los signos + ó – se llaman términos de
la expresión.
ELEMENTOS DE UN TERMINO ALGEBRAICO
± 3x 2 y5
EXPONENTES
VARIABLES
SIGNO
COEFICIENTE
TERMINOS SEMEJANTES
Son aquellos términos cuya variable es idéntica.
Ejemplo:
En la expresión: 7x - 8 + 4x + x²- 3 + x + 9 x2
Los términos semejantes son:
7x; 4x; x
-8 ; -3
25
x2 ; 9 x2
ADICION Y SUSTRACCION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
En los siguientes casos comenzamos por asociar los términos semejantes antes de
consolidarlos en un sólo término.
El uso de la propiedad asociativa y distributiva de la suma permite simplificar las expresiones
semejantes cuando sumamos o restamos expresiones algebraicas.
Ejemplos:
(x + 2x ) +( 3x – 7)= x + 3x+ 2x - 7= 6x - 7
(9x³ -11x ² +18x -1) + (x ² + 6x + 5 ) = 9x³ + -11x² + x ² +18x +6x + -1+ 5
= 9x ³ -10x ² + 24 x + 4
NOTA: Para hallar la diferencia entre dos polinomios al minuendo se le suma el opuesto del
sustraendo, es decir:
A (x) - B (x)= A (x) + [- B (x)]
Ejemplo:
A(x) = 3x2 – 5x + 9
B (x) = -7x2 + 9x – 1
A(x) – B(x) = (3x2 – 5x + 9) + (7x2 – 9x + 1)
A(x) – B (x) = 3x2 – 5x + 9 + 7x2 – 9x + 1
A(x) – B (x) = 10x2 – 14x + 10
MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Para multiplicar expresiones algebraicas nos valemos de la propiedad distributiva y de la
propiedad asociativa.
Aplicar la propiedad distributiva significa que cada término de una de las expresiones se
multiplicará por cada término de la otra expresión y luego se suman todos esos productos.
Ejemplo: Hallar el producto de:
(X + 2)(3x -1) = (x) (3x) + (x) (-1) + (2) (3x) + (2) (-1) = 3x² - x + 6x -2 = 3x ² + 5x – 2
PRODUCTOS ESPECIALES
(a + b)² = a ² +2ab +
(a - b)² =
b²
a ² - 2ab + b ²
(a b)(a b) a 2 b 2
(x + a)(x + b) = x2+(a + b)x + ab
(ax + b)(cx + d)=acx2+(ad + bc)x + bd
Ejemplos:
a) (x + 3)2 = x2 + 2(x)(3) + 32
= x2 + 6x + 9
26
b) (x5 - 2)2 = (x5 )2 - (2)(x 5 )(2) + 22
= x10 - 4x5 + 4
c) (x + 6)(x - 6) = x 2 - 62 = x 2 - 36
d) (a - 10)(a + 10) = a2 - 10 2 = a2 - 100
e) (x + 6)(x + 9) = x2 + (6 + 9)x + (6)(9)
= x2 + 15x + 54
f) (x - 6)(x - 10) = x2 + (-6 - 10)x + (-6)(-10)
= x2 + (-16)x + 60
= x2 - 16x + 60
EJERCICIOS
1) Dados:
P(x) = 4x2 - 5x + 3
;
Q(x) = 2x3 - x 2 + 5
Hallar: P (x ) + Q (x)
2) Sean:
P(x) = 5x 4 - 3x + 1
;
Q(x) = x 4 - 3
Hallar: P (x) – Q (x)
3) Si :
P(x) = x 4 - x3 + 3
;
Q(x) = x 4 - x3 - 3
Hallar: 2P(x) – Q (x)
4) Efectuar “E + F”, si:
E = 1 + x - x2
F = x2 - x - 1
5) Efectuar la multiplicación de los siguientes polinomios:
a)(x2 - 4x + 2)(x - 1)
b)(x 4 - 8x3 + 4x 2 + 5x - 5)(4x - 3)
c)(x + 2y - z)(2x - y + 3z)
d)(0,3x - 0,4y)(0,6x - 0,8y)
e)
1 2 3 3
x - y
2
8
5 2 2
x - y
6
5
27
6) Efectuar en forma directa:
a) (a + 3)2 =
b) (b - 4)2 =
c) (x + 6)(x - 2) =
d) (2x 4 + 5y 3 )2 =
e) (x + 5)(x - 5) =
f) (3x2 + 4y 2 )2 =
g) (2a - 3b)2 =
h) (x + 9)(x - 13) =
i) (2x - 3)(5x - 4) =
7) Efectuar: (x + 2)2 - 2(x + 1)2 + x2
8) Determinar A+B; si:
A = (x + 4)2 - (x + 3)(x + 6)
B = (x + 7)2 - (x + 11)(x + 5)
9) Si a-b = b – c = 6; hallar:
10) Si:
11) Si:
M=
(a - b)2 + (b - c)2 + (a - c)2
2
(a + 3b)(a - 3b) = 0 ; hallar el valor de:
a2 + b2 = 60
a
2
b
Hallar el valor de: M =
(a - b)2
2
a.b = 10
12) Simplificar:
M=
a+b a+c b+c
;
+
+
c
b
a
si : a + b + c = 0
SESIONES 9-10
ECUACIONES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE
DEFINICIÓN
Una ecuación de primer grado es aquella cuyo mayor exponente de su variable es uno,
verificando la igualdad para un valor determinado de su incógnita o variable. Una ecuación
de primer grado, reducida, adquiere la siguiente forma:
a x + b = 0, a
0
Esta ecuación se denomina ecuación lineal, donde “x” es la incógnita; a, b єR, (coeficientes).
Ejemplo:
10x + 1
=
4x +2
28
Ejemplos:
1) Resolver la siguiente ecuación:
3 2x + 1 - 2(2x - 1) + 4 = 2 1 + 2(3 - x)
Se sugiere seguir los siguientes pasos:
a) Efectuar primero las operaciones que se encuentran dentro del corchete, es decir:
3 2x + 1 - 4x + 2 + 4 = 2 1 + 6 - 2x
b) Se reducen los términos semejantes, dentro de los signos de agrupación:
3 3 - 2x + 4 = 2 7 - 2x
c) Efectuamos la multiplicación de “3” y “2” por sus respectivos corchetes:
9 - 6x + 4 = 14 - 4x
d) Agrupamos las variables en el lado izquierdo de la igualdad y los términos
independientes al lado derecho, cuidando de cambiar el signo de las mismas:
-6x + 4x = 14 - 9 - 4
e) Culminamos las operaciones pendientes:
-2x = 1
f) Finalmente la solución de la ecuación estará representada por
1
x=2
2) Hallar el valor de “x” en la siguiente expresión:
1-
2x - 3
4
=
2 - 5x
3
- 3x
Para este caso se sugiere:
a) Multiplicar la igualdad por el común denominador, en este caso 12:
12 1 -
2x - 3
4
2 - 5x
= 12
12(1) - 12
3
2x - 3
4
- 3x ; luego tendremos:
= 12
2 - 5x
3
- 12(3x)
b) Efectuamos los productos indicados y/o simplificamos:
12 - 3(2x - 3) = 4(2 - 5x) - 36x
c) Culminadas las multiplicaciones pendientes, tendremos:
12 - 6x + 9 = 8 - 20x - 36x
d) Finalmente procedemos como en el ejemplo anterior:
36x + 20x - 6x = 8 - 12 - 9
56x - 6x = 8 - 21
50x = -13
x=-
13
50
29
COSTOS FIJOS Y COSTOS VARIABLES
En la producción de cualquier bien intervienen dos tipos de costos que se conocen como
costos fijos y costos variables.
COSTOS FIJOS: (CF)
Son los costos que un empresario debe tomar en cuenta sin importar la cantidad producida
del artículo; es decir, no depende del nivel de producción.
Ejemplos de costos fijos son las rentas; intereses sobre préstamos; pago de servicios (agua,
luz, teléfono).
COSTOS VARIABLES: (CV)
Son los costos que dependen del nivel de producción; es decir, de la cantidad de artículos
producidos.
Ejemplos de costos fijos son los costos de materiales y la mano de obra.
COSTO TOTAL: (CT)
El costo total está dado por:
CT = CV + CF
INGRESO: (I)
Es lo que se recibe por la venta de un bien particular y se expresa así:
I = (Pv) . (q)
Donde:
I
: Ingreso
Pv : Precio de venta por unidad
q
: Número de unidades
UTILIDAD (U) La utilidad está dado por:
U = I – CT
Ejemplos:
1) Una empresa fabrica un producto que tiene costos variables de S/. 5 por unidad y costos
fijos de S/. 80.000. Cada unidad tiene un precio de venta de S/. 12. Determine el número de
unidades que deben venderse para que la compañía obtenga utilidades de S/. 60.000.
SOLUCIÓN:
Sea “x” el número de unidades que deben ser vendidas.
DATOS:
CV = S/.5x
CF = S/. 80.000
PV = S/. 12x
U = S/. 60.000
Como el costo variable por unidad es de S/. 5; en “x” será: 5x
30
El ingreso: I = (Pv). (q) = 12x
(1)
El CT. = CV + CF = 5x + 80.000
(2)
Sabemos que:
U = I – CT
(3)
Reemplazando 1 y 2 en 3
Tenemos:
U = 12x – (5x + 80.000)
Por condición del problema U = 60.000
Entonces: 12x – (5x + 80.000) = 60.000
Resolviendo: 12x – 5x – 80.000 = 60.000
7x = 60.000 + 80.000
7x = 140.000
140.000
x=
= 20.000
7
RESPUESTA: Se deben de vender 20.000 unidades para obtener 60.000 dólares de utilidades.
2) Un empresario dispone de $ 14.000. Planea invertir parte del dinero en bonos libres de
impuestos con un interés del 6% y el resto en bonos sujetos a impuestos con un interés de
9%. Desea ganar $ 1.005 por año en intereses de la inversión. Encuentre la cantidad que
debe invertir a cada tasa de interés.
SOLUCIÓN:
Sea “x” la cantidad invertida al 6%; la otra inversión será: (14.000 – x), a una tasa
en un año.
I1 = 6% x
I2 = (14.000 - x) 9%
I1 = 0,06 x
I2 = 0,09 (14.000 - x)
del 9%;
Como el interés total es igual a $ 1.005 y es igual a:
I = I1 + I2
1.005 = 0,06x + 0,09 (14.000 – x)
1.005 = 0,06x + 1.260 – 0,09x
- 0,06x + 0,09x = 1.260 – 1.005
0,03x = 255
255
x=
0,03
x = 8.500
RESPUESTA: El empresario debe invertir $ 8.500 al 6% y $ 5.500 al 9%.
EJERCICIOS
1)
2)
Hallar i en la ecuación: 14.851,72 = 4.000 (1 + i)5
1
En la ecuación hallar “S”: 4.000 = S •
(1.30)5
31
x x
- =6
2 4
3)
Hallar “x” en:
4)
Resuelva la ecuación:
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
5p + 1
=
3p - 3
+
9p - 3
3(p + 1) 3(p + 1) 3(p + 1)
Hallar “p” en la ecuación: 113.900 = p ( 1 + 0,02 x 17)
x
1
Hallar “x” en:
+5= -x
6
3
x
x + 10
Hallar “x”:
= 2+
4
10
x-2 x x+3
Hallar “x” en:
+ =
5
3
3
2x - 3 x - 8 x + 1
Hallar “x” en:
+
=5
5
2
3
Hallar “i” en la ecuación: 1.899,77 = 1.800 (1 + i)27
Con una calculadora hallar el valor de “x” aproximando el resultado al
9,06 x + 3,59 (8x – 5) = 12,07x + 0,5612
x - 4 3x - 1 5x - 2
Hallar el valor de “x”:
=1
10
5
2
Si se cumple que: a = 1 – b. Hallar: (a2 + b) – (a + b2)
Hallar “x” si:
x2 - 5x + 7
x2 - 4x + 10
a+b 4
a
Si:
= ; Hallar:
a-b 5
b
centésimo:
=1
PROBLEMAS
1) Carolina tiene S/. 120 y pierde 3 veces consecutivos 1/2; 1/3 y 1/4, de lo que le iba
quedando ¿Con cuanto se queda?
2) Luego de regalar los 2/3 de mi dinero y enseguida perder los 2/17 del resto, me quedaron
S/. 450 ¿Cuánto tenía al inicio?
3) Luego de ganar 3 veces consecutivos 1/5 del dinero que iba acumulando tengo 2.160 soles
¿Con cuánto inicie el juego ?
4) Se va a repartir S/. 3.600. Si a Pedro le corresponde 5/9 del total y sólo ha recibido 3/8 de
su parte ¿Cuánto le falta recibir?
5) Mario reparte su fortuna entre sus 4 hijos al mayor le da la mitad; al segundo le da 1/3 del
resto, al tercero le da 1/4 de lo que queda. Si el último recibió S/. 600 ¿Cuánto recibió el
segundo?
6) Compro un terno con los 3/8 de mi dinero y un reloj por S/. 200. Si lo invertido ha sido los
2/5 de mi dinero ¿Cuánto tenía?
7) Di a mi hermano los 2/7 de lo que tenía y a mi primo S/. 38. Si con esto he dispuesto de los
5/8 de mi dinero. ¿Cuánto tenia?
8) Si me pagaran una cantidad que me deben; equivalente a los 2/7 de lo que tengo, podría
gastar S/.30 y me quedarían S/. 150. ¿Cuánto tengo?
9) He recibido S/. 50 después de haber gastado 2/3 de lo que tenía al principio y tengo ahora
S/. 4 más que al principio ¿Cuánto tenia?
10) Un padre reparte S/.48 entre sus dos hijos los 3/7 de la parte que dio al mayor equivale a
los 3/5 de la parte que dio al menor. ¿Cuánto dio a cada uno?
32
11) Dos hermanos pagan una deuda que asciende a los 2/5 de S/. 55.000, la parte que pago el
menor equivale a los 2/9 de la parte que pago el mayor ¿Cuánto pago cada uno?
12) Cuando vendo un auto en S/.18.000 gano los 2/7 del costo. ¿En cuánto tendría que
venderlo para ganar los 2/5 del costo?
13) Si gastara los 2/5 de lo que tengo y donara S/. 22 me quedaría con los 2/7 de lo que tengo.
¿Cuánto me queda?
14) Una propiedad es de tres personas al primero corresponde 5/12, al segundo 1/3, y al
tercero 1/4, si se vende en S/. 75.000. ¿Cuánto corresponde a cada uno?
15) Si doy a mi hermano los 2/5 de lo que tengo menos S/. 2, me quedarían S/. 11. ¿Cuánto
tengo?
16) Usted recibe como sueldo un cheque por S/. 592 cada semana. Si sus deducciones por
impuestos; retiro; cuota sindical y seguro médico constituyen 26% de su salario ¿Cuál es su
salario semanal antes de las deducciones?
17) Carmen Luján invirtió S/. 20.000 de dos maneras: una parte al 6% y otra al 4%. En total ganó
S/. 1.040 en intereses en un año ¿Cuánto invirtió al 4%.
18) José recibió S/. 52.000 por la venta de un terreno. Invirtió una parte al 5% de interés y el
resto al 4% de interés. Ganó un total de S/. 2.290 en intereses en un año ¿Cuánto invirtió al
5%?
19) Una compañía fabrica un producto a un costo variable de $ 2,20 por unidad. Si los costos
fijos son de $ 95.000 y si cada unidad se vende a $ 3 ¿Cuántas unidades deben ser vendidas
para que la compañía tenga una utilidad de $ 50.000?
20) Una empresa fabrica un producto que tiene costos variables a $ 6 por unidad y costos fijos
de $ 80.000. Cada unidad tiene un precio de venta de $ 10. Determine el número de
unidades que deben venderse para que la compañía obtenga utilidades de $ 60.000?
ECUACIONES CON DOS VARIABLES
Es un conjunto de dos ecuaciones de primer grado que presenta la siguiente expresión:
ax + by = c (1)
ex + fy = d
(2)
Dónde: “x”; “y” son las variables o incógnitas, a; b; c; e; f son los coeficientes.
Ejemplo:
4x + 5y = 335
9x + 14y = 850
VARIABLES: “x” e “y”
COEFICIENTES: 4; 5; 9; 14; 335; 85
A este conjunto de ecuaciones se le llama sistema de dos ecuaciones lineales en las variables
“x” e “y” que consiste en hallar sus valores, para que al reemplazarlas sean verdaderas
simultáneamente.
MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE DOS ECUACIONES SIMULTANEAS
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Se sugieren los siguientes pasos:
1) Se despeja una variable de cualquier ecuación.
2) El valor de la variable en el paso (1), se reemplaza en la otra ecuación y obtenemos una
ecuación de una variable.
33
Mostraremos este método con el ejercicio anterior:
......(1)
2x + 3y = 12 ......(2)
3x - 4y = 1
Despejamos “x” en la ecuación (1)
3x = 1 + 4y
x=
1 + 4y
3
…………….(3)
Reemplazamos (3) en (2) así:
2x + 3y = 12
1 + 4y
2•
3
2(1 + 4y)
3
+ 3y = 12
+ 3y = 12
MCM: 3
2(1 + 4y) + 9y = 36
2 + 8y + 9y = 36
17y = 36 – 2
17y = 34
34
y=
17
y=2
Reemplazamos el valor de “y” en cualquiera de las ecuaciones dadas (1) ó (2) en nuestro caso
lo haremos en (1).
3x – 4y = 1
3x – 4(2) = 1
3x – 8 = 1
3x = 1 + 8
3x = 9
9
x=
3
x=3
Cs 3,2
MÉTODO DE IGUALACIÓN
Se procede así:
1) Se despeja una misma incógnita en ambas ecuaciones.
2) Luego se igualan, obteniéndose un valor, que luego será reemplazado en una de las
ecuaciones.
34
Ejemplo:
Resolver el sistema empleando el método de igualación:
3x - 4y = 1...................(1)
2x + 3y = 12.................(2)
Despejamos “x” de (1) y (2)
En (1):
x=
En (2):
x=
1 + 4y
3
12 - 3y
2
Igualamos ambas expresiones:
1 + 4y 12 - 3y
=
3
2
Resolvemos la ecuación hallando “y”
2(1 + 4y) = 3(12 – 3y)
2 + 8y = 36 – 9y
8y + 9y = 36 – 2
17y = 34
34
y=
=2
17
Reemplazamos este valor en (1) ó (2); lo haremos en (1):
3x – 4y = 1
3x – 4(2) = 1
3x – 8 = 1
3x = 1 + 8
3x = 9
Cs: 3,2
MÉTODO DE REDUCCIÓN
Se sugieren los siguientes pasos:
1. Se igualan los coeficientes de una de las variables de las dos ecuaciones, procurando que
sean inversos aditivos.
2. Al sumar ambas ecuaciones se eliminará una de las incógnitas.
3. Se resuelve la ecuación obtenida en el paso y tenemos el valor de una incógnita.
4. Luego reemplazamos el valor de esta incógnita en cualquiera de las ecuaciones dadas y
obtenemos el valor de la otra variable.
35
Ejemplo:
Resolver el sistema, empleando el método de reducción:
3x - 4y = 1.................(1)
2x + 3y = 12...............(2)
Vamos a igualar los coeficientes de “y”.
Multiplicando la ecuación (1) por 3:
9x – 12y = 3
Multiplicando la ecuación (2) por 4:
8x + 12y = 48
Sumamos la ecuación (1) y (2):
17x = 51
x=
51
17
x=3
=3
Reemplazando: x = 3 en cualquiera de las ecuaciones: (1) ó (2)
En nuestro caso reemplazaremos en (1).
3x – 4y
=1
3(3) – 4y = 1
9 – 4y
=1
- 4y = 1 – 9
- 4y = - 8
y=
-8
=2
-4
Cs: 3;2
NOTA: Como observarás cualquier método elegido, nos permite obtener el mismo resultado.
EJERCICIOS
1.
Al resolver:
x+y=5
Hallar x-1 + y-1
x-y =1
2.
Al resolver:
x+y=4
Hallar:
x-y=2
3.
x+y
Si:
2
3
x - 5y = 1
55
3
33
Hallar: (x + y)
3x - y = 2
2
36
4.
Si:
7u - 3v - 10 = 0
35u - 6v - 1 = 0
5.
Si:
3x - 7y = 2
2x + 3y = 9
6.
Hallar: u-1
Calcular: M=
y + z = 13
Hallar: M =
z + x = 18
9.
2
x-z+y
z-x-2
Al resolver:
a+b = 7
b+c = 3
c+d= 4
d+ e = 2
a+e = 4
8.
x-y
Si:
x+y=7
7.
y+x
Calcular: P =
a-b-c
a- d- e
Si:
x 2 - y 2 = 36
x + y = 12
Hallar:
x 2 - y 2 = 16
x+y =8
Hallar: xy + yx
x
y
Resolver :
10. Dado:
a +b = 7
b + c = -5
c+d=8
d+ e = 3
a+e =9
Si: 2M – 2P + 2K = 6.
Además: M = P = K.
11. Al resolver el sistema:
x + y = -5
y + z = -7
x + z = -8
Hallar: M =
a.b - c.d
e
Hallar: M2 + P2
Hallar: (z)3 – (y)3 – (x)2
12. Si se sabe que:
37
w = a+3
z = a+6
k = 3a
Además M=w+z=z+k.
Hallar: “M”
13. Si:
a b a b
+ = + =1.
4 6 3 9
Hallar el valor de P =
b3 - a
14. Resolver:
2x = 9y
7x + 27 =18y
15. Resolver:
x+y =7
x y
+ =3
2 3
16. Resolver:
x
y
+
= -2
3
4
4x 3y
+
= -1
3
4
17. Resolver:
1
x - 2y =10
5
3
3x + y = 27
2
PROBLEMAS
1) Carlos ahorra en billetes de S/. 50 y de S/. 100 para hacer un obsequio a su prima; al abrir
su alcancía logra contar 200 billetes que hacer un total de S/. 1.400; suma con la cual
compra el presente ¿Cuántos billetes de S/. 50 y de S/. 100, ahorró Carlos ?
2) Cinco veces lo que tiene A menos tres veces lo que tiene B es igual a S/.7. Tres veces los
que tiene B es igual a S/. 45. ¿Cuánto tiene cada uno?
3) El resultado de una prueba de matemática básica es como sigue: “Los 2/3 de los alumnos
aprobados es igual al triple de los desaprobados; si al número de aprobados se quita la
quinta parte de los desaprobados resulta 43 ¿Cuántos alumnos aprobaron y cuántos
desaprobaron?
4) En un banco que tiene 3 pisos, hay 112 clientes en el primer y segundo piso; 116 en el
segundo y tercer piso; 118 en el primer y tercero piso. ¿Cuántos clientes hay en el primer
piso?
5) El costo de 5 ejemplares de un libro y 4 lapiceros es de S/. 32; y el costo de 6 ejemplares y
3 lapiceros, ambos del mismo tipo anteriormente mencionados es de S/. 33. Hallar el
costo de cada artículo.
38
6) Una compañía produce dos modelos de bicicletas, el modelo RQZ y el modelo WRT. El
modelo RQZ requiere 2 horas de ensamblaje y el modelo WRT requiere 3 horas de
ensamblaje. Las partes para el modelo WRT cuestan $ 25 por bicicleta y las partes para el
modelo RQZ cuestan $ 30 por bicicleta. Si la compañía tiene un total de 34 horas de
tiempo para ensamblaje y $ 365 disponibles por día para esos dos modelos ¿Cuántos de
cada modelo pueden hacerse en un día?
7) Si al doble de la edad de Naomi sumamos el triple de la de Abril obtenemos 77 años. Si el
triple de la edad de Naomi sumamos el doble de la de Abril resulta 78 años. ¿Qué edad
tiene cada una?
8) Tengo S/. 1.650 y deseo comprar zapatos y camisas. Si compro dos camisas y un par de
zapatos me sobran S/. 500, pero si compro un polo y dos pares de zapatos me faltan S/.
500. ¿Cuánto cuesta cada par de zapatos y cada camisa?
9) Si el mayor de dos números se divide entre el menor, el cociente es 2 y el residuo 2 y si el
triple del menor se divide entre el mayor, el cociente es 1 y el residuo 3. ¿Cuáles son los
números?
10) Hace 4 años, la edad de Andrea era 4 veces la de su hijo y dentro de 9 años excederá en
dos años al doble de la de este último. ¿Qué edad tiene cada uno?
SESIÓN 11
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
DEFINICIÓN
Es una ecuación de la forma:
2
a x + b x + c = 0; donde: a, b, c R , a 0
Si al polinomio anterior le faltará alguno de sus términos tendremos una ecuación cuadrática
incompleta
MÉTODOS DE SOLUCIÓN
Si la ecuación es completa se puede aplicar uno de los siguientes métodos:
MÉTODO DEL ASPA
Si la ecuación se puede factorizar y presenta una de las siguientes formas:
x2+bx+c=0 ó ax2+bx+c=0
Las raíces de la ecuación se pueden obtener aplicando el método del aspa.
Recordemos:
1. Se traza un aspa debajo del polinomio.
2. El producto de los extremos nos debe reproducir los términos en x2 y el término
independiente.
3. Al multiplicar en aspa los productos obtenidos debe ser igual al término central.
4. Se iguala a cero el producto de los binomios obtenidos en forma horizontal, para obtener
los dos valores de la ecuación tomando en cuenta el siguiente teorema:
ab 0
a 0
b 0
Veamos algunos ejemplos ilustrativos:
1) x2 - 5x + 4 =
0
39
x
-4 = -4x
x
-1 = -x
-5x
(x - 4)(x - 1) = 0
x-4=0
x=4
x-1=0
x=1
2) 20x2 27x 14 0
5x
2 8x
4x
- 7 -35x
(5x 2)(4x - 7) 0
-2
5x 2 0 x
5
7
4x 7 0 x
4
FORMULA GENERAL
Si la ecuación no se puede factorizar, la formula general permite conocer la solución de la
misma
b2 - 4ac
2a
2
b - 4ac : discrimina nte
-b
x
Además: “a” es el coeficiente de x2 (cuadrático); b es el coeficiente de x (lineal); c es el término
independiente.
Ejemplo:
Resolver la siguiente ecuación:
2x2 + 3x - 1=0;
a = 2; b = 3; c = -1
x
x
x
x1
3
(3)2 4(2)( 1)
2(2)
3
9 8
4
3
17
4
1,1
0,28
4
3 4,1
4
7,1
x2
4
1,78
40
EJERCICIOS
1)
Resolver las siguientes ecuaciones mediante factorización:
a) x 2 5x 6 0
b) x
2
c) x
2
d) x 2
f) 30x 2
3x 2 0
g) 5x
x 1 0
2
2
24 2x
9x 14 0
h) x
2x 3 0
i) 6x 1 9x 2
e) 2x 2 5x
7x 12 0
j) x 2
2
4x 4
2) Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas empleando la formula general. En
las raíces no sean exactas aproximar a dos decimales.
a) 2x 2 10x 12 0
d) x 2
b) 4x 2 8x 12 0
e) 4k 2
c) 3x 2 9x 6 0
f) r 2
x 7
j)
x 1
x 3
x 2
5
k)
g) 3k 2 k
4x 2
6
h) 8x 2 8x 3
i) 5x(x 2) 6 3
2k 1
3r 5
x 8
x 7
caso
5x 3
1
2
m)
3x 1 x 1
x 2 x 5
2
3
3) Use una calculadora y la formula cuadrática para encontrar las soluciones aproximadas de
las siguientes ecuaciones:
a) 4,42x 2 10,14x 3,79
b) 3x 2 82,74x 570,4923
c) 7,63x
2
2,79x
2
25,87x
d) 8,06x
0
0
5,32
25,047256
PROBLEMAS
1)
a)
b)
c)
d)
2)
a)
b)
c)
d)
Un fabricante puede vender “x” unidades de un producto cada semana a un precio de
“p” dólares por unidad, donde p = (200-x). Si el costo de producir estas “x” unidades es:
(2.800 + 45x) dólares. Hallar:
¿Cuántas unidades deben venderse cada semana para generar un ingreso de $ 9.600?
¿A qué precio por unidad se generará un ingreso semanal de $ 9.900?
¿Cuántas unidades debe el fabricante producir y vender cada semana para obtener una
utilidad de $ 3.200?
¿A qué precio por unidad el fabricante obtendrá una utilidad semanal de $ 3.150?
Cada semana una compañía puede vender “x” unidades se su producto a un precio de
“p” dólares cada uno, en donde p = (600-5x). A la compañía le cuesta (8.000+75x)
dólares producir “x” unidades.
¿Cuántas unidades debe vender la compañía cada semana para generar un ingreso de $
17.500?
¿Qué precio por unidad debe cobrar la compañía para obtener un ingreso semanal de $
18.000?
¿Cuántas unidades debe producir y vender cada semana para obtener una utilidad
semanal de $ 5.500?
¿A qué precio por unidad la compañía generará una utilidad semanal de $ 5.750?
41
3)
Una empresa que produce cereal para desayunos encontró que su costo de operación
en dólares es c=40x+150 y sus ingresos en dólares son I=65x-x2. Para qué valor o valores
de “x” serán iguales los costos y los ingresos.
4) El ingreso mensual “I” de cierta compañía está dado por I= (800p-7p2) , donde “p” es el
precio en dólares del producto que fabrica esa compañía. ¿A qué precio el ingreso será
de $10 000 si el precio debe ser mayor de $ 50.
5) El gerente de una tienda de bicicletas sabe que el costo de vender “x” bicicletas es C=
(20x + 60) y el ingreso de vender “x” bicicletas es I = (x2 - 8x). Encuentre el punto de
equilibrio de “x” (igualar los ingresos y los costos).
6) Una compañía fabrica los productos “A” y “B”. El costo de producir cada unidad “A” es
$2 más que el de “B”. Los costos de producción de “A” y “B”, son $100 y $ 150
respectivamente, y se hacen 25 unidades más de “A” que de “B”. ¿Cuántas unidades de
cada producto se fabrican?
7) Suponga que unos clientes comprarán “q” unidades de un producto cuando el precio es
de (80-q)/4 dólares cada uno. ¿Cuántas unidades deben ser vendidas a fin de que el
ingreso por ventas sea de $ 400?
8) Una compañía inmobiliaria es propietaria de 90 departamentos, cada uno de los cuales
puede ser rentado en 350 dólares mensuales. Sin embargo por cada 10 dólares
mensuales de aumento en la renta se tendrán dos desocupados sin posibilidades de ser
rentados. La compañía quiere recibir 31.980 dólares mensuales de rentas. ¿Cuál debe
ser la renta mensual de cada departamento?
SESIÓN 12-13
EL PLANO CARTESIANO
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
• Está formado por dos rectas perpendiculares entre sí. (ejes coordenados) que se
intersectan en un punto llamado origen de coordenadas.
• Al intersectarse, forman cuatro cuadrantes. En el primer cuadrante el eje x; el eje y son
positivos. Los demás cuadrantes se establecen en sentido anti horario.
• A cada punto del plano se le asocia un par ordenado: (x , y)
• Permite especificar y ubicar puntos en el plano.
y
SEGUNDO CUADRANTE
(- , +)
PRIMER CUADRANTE
(+ , +)
x´
x
TERCER CUADRANTE
(-, +)
CUARTO CUADRANTE
(+, -)
y´
42
ECUACIÓN DE LA RECTA
LÍNEA RECTA
Es un conjunto de puntos tal que, tomados de dos en dos darán una misma pendiente sin
importar que pares de puntos se elijan y además las ordenadas de cada punto que la
conforman están relacionadas con sus respectivas abscisas mediante una ecuación de primer
grado con dos variables: “x” e “y”. La ecuación de la recta queda determinada si se conocen
dos condiciones:
a)
Un punto y la pendiente
b)
Dos puntos
L
y
P1 (x1; y1)
P2 (x2; y2)
P3 (x3; y3)
x
0
m P1 P2 = m P2 P3 = m P1 P3 = Constante
OBSERVACIÓN:
1) Cuando se verifica lo anterior se dice que los puntos son “COLINEALES”.
2) La mayor o menor inclinación de una línea recta con respecto al eje xx´, se denomina
PENDIENTE
ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y TIENE UNA PENDIENTE
Sea una recta “L” que pasa por el punto P1(x1;y1) y tiene una pendiente “m” su ecuación es:
y - y1 = m(x - x1)
43
L
y
m (pendiente)
y
P(x, y)
P1 (x1; y1)
y1
x1
x
x
DEMOSTRACIÓN
1)
Tomamos un punto P(x, y) de la recta “L”.
2)
Hallamos su pendiente mediante la siguiente expresión:
3)
Efectuando:
4)
Cambiando miembros: y – y1 = m (x – x1)
m=
m(x – x1) = y - y1
y y1
x x1
lqqd
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 (3; 4) y que tiene una pendiente igual a
2
SOLUCIÓN:
Se debe de observar que como la pendiente m = 2 es positiva la recta L forma un ángulo
agudo con el eje “x”. Aplicando la fórmula:
y – y1 = m(x – x1)
y – 4 = 2(x – 3)
RESOLVIENDO:
y - 4 = 2x – 6
Transponiendo todo a un solo miembro:
2x – y – 6 + 4 = 0
2x – y – 2 = 0
L
y
m=2
P1 (3, 4)
x
44
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
Lo expuesto anteriormente nos permite obtener la ecuación general de la recta cuya
expresión es:
Ax + By + C = 0
Cuando la ecuación se escribe así, decimos que está en la forma general donde “A” y “B” no
pueden ser cero simultáneamente.
NOTA:
1) Si tenemos la ecuación general de la recta, el valor de la pendiente será:
Ax + By + C = 0
A
;B 0
B
m=2) La intersección con el eje “y” es.
-
C
B
Si C = 0 la recta pasa por el origen
Si B = 0 la recta es vertical
Si A = 0 la recta es horizontal
Ejemplo:
Hallar la ecuación general de la recta que pasa por A(6, 8) y su pendiente es 2.
SOLUCIÓN:
Aplicamos la fórmula (punto – pendiente).
y – y1 = m(x –x1)
Reemplazando:
y – 8 = 2 (x – 6)
Operando:
y – 8 = 2x – 12
Transponiendo y reduciendo:
2x – y – 12 + 8 = 0
45
2x – y – 4 = 0
La ecuación tiene la forma general:
Ax + By + C = 0
2x – y – 4 = 0
La representación gráfica de la ecuación anterior será:
y
2X
–
Y–
4=
0
A(6, 8)
x
X
(0, -4)
OBSERVACIÓN: La pendiente según lo explicado anteriormente se obtiene a partir de la
ecuación general aplicando la fórmula:
A
B
m=Dónde:
A = 2; B = - 1
m=-
2
1
2; m = 2
La intersección con el eje “y” se obtiene aplicando:
Así:
C
B
C = - 4; B = -1
-
4
1
4
Ejemplo:
Dada la ecuación: 4x – 2x + 8 = 0. Hallar su pendiente y la intersección con el eje “Y”.
SOLUCIÓN:
4x – 2y + 8 = 0
Identificamos:
46
A =4
B =-2
C=8
Pendiente:
m=-
A
B
4
2
2
Intersección con “y”:
-
C
B
8
2
4
ECUACIÓN DE LA RECTA APLICADA A LA ECONOMÍA Y ADMINISTRACIÓN
En su forma más elemental la oferta y demanda se representan mediante dos rectas.
Observa el gráfico:
y
O
A:
T
R
(Precios)
FE
O
DE
0
MA
N
DA
:D
(Cantidades)
x
La demanda tiene pendiente negativa.
La oferta tiene pendiente positiva
En administración y economía se utiliza solamente el primer cuadrante del plano
cartesiano.
En el eje “x” se colocan las cantidades demandadas.
En el eje “y” se colocan los precios
Ejemplo:
A un precio de S/. 12 por unidad, una empresa ofrecerá 4.000 polos al mes, a S/. 14 cada
unidad la misma empresa producirá 9.000 polos al mes. Determina la ecuación de la oferta,
suponiendo que es lineal.
SOLUCIÓN:
47
1) Construimos un diagrama:
Precios
Q(9.000;14)
14
P(4.000;12)
12
x
4.000
9.000
Cantidades
2) Hallamos la pendiente de la recta que pasa pro los puntos P y Q.
14 - 12
2
1
m=
=
=
9.000 - 4.000 5.000 2.500
3) Hallamos la ecuación de la oferta utilizando la forma (punto – pendiente)
y – y1 = m (x - x1)
4) Reemplazamos (x1, y1) por uno, cualesquiera de los puntos “P” o “Q” en nuestro
ejemplo vamos a usar el punto “P” (4.000;12):
y – 12 =
1
(x - 4.000)
2.500
Efectuando:
2.500 (y – 12) = (x – 4.000)
Efectuando operaciones tenemos:
2.500y – 30.000 = x – 4.000
Haciendo las transposiciones del caos, tenemos:
x – 2.500y – 4.000 + 30.000 = 0
x – 2.500y +26.000 = 0
La ecuación de la oferta de los polos es:
x – 2.500y + 26.000 = 0
Ejemplo:
Se venden 10 calculadoras cuando su precio es de S/. 80 y 20 calculadoras cuando el precio
es de S/. 60 ¿Cuál es la ecuación de la demanda?.
SOLUCIÓN:
1) Trazamos una gráfica:
48
Precio y
80
P (10, 80)
Q (20, 60)
60
0
20
10
X
(Cantidad
2) Hallamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos P y Q
60 - 80 -20
m=
=
= -2
20 - 10 10
3) Hallamos la ecuación de la demanda utilizando la forma (punto – pendiente)
y – y1 = m (x – x1).
4) Reemplazamos (x1;y1) por cualesquiera de los puntos P o Q en nuestro caso lo haremos con
el punto: P (10,80).
y – 80 = - 2 (x – 10)
y – 80 = -2x + 20
5) Transponiendo el 2º miembro al primero tenemos:
2x + y – 80 – 20 = 0
2x + y – 100 = 0
6) La ecuación de la demanda de las calculadoras es:
2x + y – 100 = 0
PROBLEMAS
1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1; –3) y pendiente 2.
2) Se tiene una recta que pasa por los puntos A (–2; 5) y B (3; –2).Determine su pendiente
3) Dadas las rectas:
L: pasa por (2, –3) y (4, 2)
P: pasa por (–4, 3) y tiene pendiente –2
Determinar la ecuación de la recta “L” y “P”.
4) Un fabricante de detergentes observa que las ventas son de 10.000 paquetes a la semana
cuando el precio es de S/. 1,20 por paquete; pero cuando el precio se reduce a S/. 1,10
por paquete, las ventas se incrementan a 12.000 paquetes. Hallar y graficar la ecuación de
la demanda.
5) Un fabricante de televisores advierte que, a un precio de SI. 1.500 por televisor, las ventas
ascienden a 2.000 televisores al mes. Sin embargo, a SI. 1. 450 por televisor, las ventas
son de 2.400 unidades. Determine la ecuación de demanda y trazar la gráfica respectiva.
49
6) A un precio de SI. 2,50 por unidad, una empresa ofrecerá 8.000 polos al mes; y a un precio
de SI. 4,00 por unidad, la misma empresa producirá 14.000 polos al mes. Determine la
ecuación de oferta y trazar la gráfica.
7) A un precio de S/. 5,00 por unidad, una empresa pondrá a la venta 5.000 linternas
eléctricas de plástico cada mes; y al precio de S/. 3,50 cada una, ofrecerá 2.000 unidades.
Determine la ecuación de la oferta para este producto y trazar la línea respectiva.
8) Un fabricante de herramientas puede vender 300 martillos al mes a S/. 2,00 c/u, mientras
que solo puede venderse 2.000 martillos a S/. 2,75 c/u. Determinar y graficar la ecuación
de la demanda .
9) Suponga que un fabricante de zapatos colocará en el mercado 50 pares cuando el precio
es de S/. 35 por par y 35 pares cuando cuestan S/. 30. Determinar y graficar la ecuación
de la oferta.
10) Suponga que los clientes demandaran 40 unidades de un producto cuando el precio es de
S/. 12, y 25 unidades cuando el precio es de S/. 18. Encontrar la ecuación de la demanda
suponiendo que es lineal, y el precio por unidad cuando son requeridas 30 unidades.
11) Para “x” mil pólizas, una compañía de seguros afirma que su ingreso mensual en dólares
está dado por : I=125x, y su costo mensual en dólares está dado por C=100x+5000
a) Trace la gráfica de las ecuaciones de ingresos y costos sobre los mismos ejes.
b) Encuentre el punto de equilibrio (I=C).
c) A partir de la gráfica estime el ingreso y el costo cuando “x” =100 (100 mil pólizas).
12) El costo de fabricar 100 polos a la semana es de S/. 700 y el de 120 polos es de S/. 800.
Determinar la ecuación de costos.
SESIÓN 14
PROGRESIONES
SUCESIONES: Colección de números dispuestos uno a continuación de otro
Ejemplo:
*1,3,5,7,9
*2,4,9,-6
*3,6,12,24,
En cada uno de los casos anteriores es posible encontrar una regla que permita determinar el
siguiente número o término
Una sucesión en general se escribe:
a1 ,a2 ,a3,...an-1 , an
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Sucesión en la cual cada término después del primero se obtiene sumando al término
anterior una cantidad constante llamada razón o diferencia común
FORMULAS
an = a1 + (n - 1)r
Sn =
Sn =
a1 + an n
2
2a1 + (n - 1)r n
2
50
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Es una sucesión en la cual cada término después del primero, se obtiene multiplicando el
anterior por una cantidad constante llamada razón o cociente común.
FORMULAS
an = a1rn-1
a
r= n
an-1
a (rn - 1)
Sn = 1
r -1
a
r = n-1 n
a1
n=
Log
an
a1
Log r
+1
PROBLEMAS
1. El Sr. Pérez contrajo una deuda con una tienda donde venden autos, comprometiéndose a
pagar el valor total de un auto en 45 meses, aportando 170 dólares el primer mes; 172 el
segundo mes, 174 el tercer mes y así sucesivamente. ¿Cuál es el valor total del auto?
2. La empresa ¨ Teos” arroja pérdidas desde hace dos años, descubriendo que cada mes las
perdidas aumentan S/. 1.300 más que el mes anterior. Si en el último mes la perdida fue
de S/.30.700. ¿Cuánto fue lo que perdió el tercer mes luego de iniciado el decaimiento?
3. Una empresa instala una máquina con un costo de S/. 1.700. El valor de la máquina se
deprecia anualmente en S/. 150. Determine una expresión para el valor de la maquina
después de “n” años. Si el valor de desecho es de S/. 200.¿ Cuál es el tiempo de vida útil
de la maquina?
4. Los pagos mensuales que Alicia efectúa al banco por un préstamo forman una PA. Si sus
pagos sexto y décimo son de S/. 345 y S/. 33, respectivamente.¿ De cuánto será su
decimoquinto pago al banco?
5. Un individuo está de acuerdo en pagar una deuda libre de interés de S/. 5.800 en cierto
número de pagos, cada uno de ellos (empezando por el segundo) debiendo exceder al
anterior por S/. 20. Si el primer pago es de S/. 100, calcule cuántos pagos deberá efectuar
con objeto de finiquitar la deuda.
6. Los pagos mensuales de Esteban al banco ocasionados por un préstamo forman una PA.
Si el octavo y el decimoquinto pagos son de S/. 153 y S/. 181 respectivamente. ¿Cuál será
su vigésimo pago?
7. En el problema anterior suponga que Esteban pagó un total de S/. 5.490 al banco. Calcule
el número de pagos que efectúo al banco. ¿De cuánto fue su último pago al banco?
8. Una compañía manufacturera instala una máquina a un costo de s/. 15.000. Al cabo de 9
años la máquina tiene un valor de S/. 1.420. Suponiendo que la depreciación anual es
constante, Calcule la depreciación anual.
9. Un hombre salda un préstamo de S/. 900 pagando S/. 80 en el primer mes y después
aumentando el pago en S/. 50 cada mes.¿ Cuánto tiempo le tomará liquidar su préstamo?
10.Si una máquina tiene un costo de S/. 2.000 y ésta se deprecia anualmente S/. 160. ¿Cuál
es la vida útil de la máquina si su valor de desecho fue de S/. 400?
11.Determinar el término doceavo de una progresión geométrica, sabiendo que el primer
término es 1 y la razón es 3.
51
12.El quinto término de una progresión geométrica es 81 y el primero es 1. Halla los cinco
primeros términos de dicha progresión.
13.En una progresión geométrica de primer término 7 y razón 2, un cierto término es 28.672.
¿Qué lugar ocupa dicho término?
14.Hallar tres números en progresión geométrica sabiendo que la suma es 26 y su producto
216.
15.Tres números en progresión geométrica suman 525 y su producto vale un millón. Calcular
dichos números.
16.Determina cuatro números en progresión geométrica de manera que los dos primeros
sumen 0,5 y los dos últimos 0,125.
SESIÓN 15-16-17
EL INTERÉS SIMPLE
DEFINICIÓN
Es el ingreso o beneficio que percibe el acreedor por el dinero que presta También se puede
definir así:
Interés = Valor futuro - capital
Ejemplo: Si García recibió un préstamo de Martínez por la suma de S/. 5.200, vencido el plazo
de seis meses, pagó la suma de 6.240. Hallar el interés.
Interés = 6.240 – 5.200 = 1.040
S/. 1.040 es el ingreso o beneficio que percibe Martínez por el dinero prestado a García; esto
se llama “INTERÉS”.
NOTA: El interés se calcula teniendo en cuenta:
La cantidad de dinero prestado ó depositada.
La tasa
El tiempo
TASA DE INTERÉS: (i) representa el costo del dinero ajeno y relaciona el beneficio con el
capital prestado ó depositado.
i=
Beneficio ó Interés
Capital
Para el problema anterior se tiene que la tasa de interés, se calcula así:
i=
1.040
5.200
= 0,2 = 20%
i = 20%
Nota: La tasa se da en porcentaje pero para los cálculos financieros se transforma a decimal
o tanto por uno.
52
INTERÉS SIMPLE
Se dice que una operación financiera se maneja bajo el concepto de interés simple cuando
los intereses liquidados no se suman periódicamente al capital.
Sus características son las siguientes:
1) El capital inicial no varía durante todo el tiempo de la operación financiera ya que los
intereses no se suman al capital inicial.
2) Como consecuencia de lo anterior, la tasa de interés siempre se aplicará sobre el mismo
capital, es decir, sobre el capital inicial.
3) Por la misma razón, puede decirse que los intereses serán siempre iguales en cada
período.
FORMULA PARA CALCULAR EL INTERÉS SIMPLE
I = Va.n.i
De esta fórmula se derivan las siguientes fórmulas:
Va =
I
i.n
i=
I
Va.n
n=
I
Va.i
Nota: Estas fórmulas no son necesarias que las recuerdes se obtienen despejando de la
formula principal.
Dónde:
I = Interés Total
Va = Capital inicial, stock inicial, principal, valor actual…
i = Tasa (expresada en forma decimal), que se aplica al capital.
n = Periodo de tiempo
OBSERVACIÓN:
Siempre debe haber coincidencia, entre la tasa de interés y el tiempo.
Si la tasa es anual, el tiempo debe ser expresado en años.
Si la tasa es mensual el tiempo debe ser expresado en meses.
Si la tasa es diaria, el tiempo deberá estar expresado en días.
Ejemplo: Hallar el interés total producido por un depósito de S/. 60.000 colocado durante 1
año y 8 meses con tasa mensual simple del 3%.
SOLUCIÓN:
I=?
Va = S/. 60.000
n = 1 año 8 meses
53
i = 3% (mensual)
La tasa la convertimos a decimal:
3
i = 3% =
= 0,03
100
Debe haber armonía ó coherencia entre tasa y tiempo.
Veamos:
n = 1 año 8 meses lo llevamos todo a meses (1 año = 12 meses)
n = 12 meses + 8 meses = 20 meses
n = 20 meses
i = 0,03 mensual
“hay coherencia”
Aplicamos la fórmula:
I = Va.n.i
I = (60.000) (0,03) (20)
I = 36.000
El beneficio ó interés será S/. 36.000
El monto a pagar será:
Monto Final = Capital Inicial + Intereses
Monto Final = 60.000 + 36.000 = 96.000
Formalizaremos esto mediante una fórmula que nos permite calcular el monto directamente:
MONTO SIMPLE (VF)
Sabemos que:
Pero:
VF = Va + I
I = Va.n.i
(1)
(2)
Reemplazando (2) en (1)
Tenemos:
VF = Va + Va.n.i
Sacando factor común “Va” en el 2º miembro tenemos:
VF = Va (1 + ni)
54
Dónde:
VF = Monto; Valor final; stock final
Va = Principal; capital
i = Tasa de interés
n = Plazo
Ejemplo: Hallar el monto en el problema anterior aplicando la fórmula:
VF = 60.000 (1 + 0,03.(20))
Efectuando la multiplicación y luego la suma dentro del paréntesis.
VF = 60.000 (1 + 0.6)
VF = 60.000 (1.6) = 96.000
Podemos graficar el resultado anterior en un diagrama de flujos.
i=3%=0,03
n=1año 8 meses = 20 meses
VF=96.00
0
.
Va=60 000
PROBLEMAS
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Un hombre tomó prestado S/.120 por 5 meses y le cobran el 9% anual de interés ¿Cuánto
interés pagó?.
Se pide calcular la tasa de interés simple bimestral a la que estuvo colocado un capital de
S/. 5.400 que se transformó en S/. 9.700 al cabo de 2 años 1 mes y 17 días.
Sandra tomó prestados S/.3.600 por 9 meses al 11¼ % anual de interés simple.
a) ¿Cuánto será el interés que se deba sobre este principal ?
b) ¿Cuánto tiene que liquidar después de 9 meses?
Una persona que ahorra puso su capital en un tiempo de 2 años 7 meses y 5 días en una
entidad financiera que pagaba el 0,11% diario. Al finalizar el plazo retiró el capital y los
intereses que éste le había originado invirtiendo todo el monto en un negocio que le paga
el 20% trimestral en un año con los que acumuló S/.80.000. Hallar el capital inicial.
Si se carga un interés de S/. 85 sobre un préstamo de S/. 3.000 por 4 meses ¿Cuál es la
tasa de interés?
Una inversión paga S/.3,40 de intereses cada 6 meses. Si la tasa es el 8% anual ¿Cuánto
importa el principal si permaneció en el banco 2 años?
Encuentre el número de días entre:
a) 15 de marzo y 29 de julio
b) 15 de octubre y 18 marzo
c) 13 de febrero y 7 de julio
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Una corporación petrolera solicitó un préstamo de S/.1´800.000 con fecha 18 de agosto y
cancela el 13 de octubre del mismo año. El Banco aplica una tasa de interés simple anual
de 10,35%. Determine el monto que se cancelará al vencimiento.
Calcule el interés simple de un capital de S/. 17.000 soles depositado en una institución
financiera desde el 3 de marzo al 27 de noviembre del mismo año, a una tasa de interés
de 3,5% mensual.
Qué capital colocado a una tasa anual del 20% producirá un interés simple de S/. 1.777,77
en el período comprendido entre el 17 de abril al 17 de agosto del mismo año.
Una corporación accede a un préstamo de S/. 4´300.000 que fue desembolsado el 3 de
octubre. Si la tasa de interés simple fijada fue del 20,5% anual y hasta la fecha de
cancelación generó S/. 79.012,50 de intereses. Hallar la fecha de pago.
Se solicitó un préstamo de S/. 2´200.000, que fue desembolsado el día 14 de octubre,
acordándose una tasa de interés del 12% anual que generó hasta la fecha de pago
S/.42.533,33, por concepto de intereses. Determinar la fecha de pago.
Si deseo ganar un interés simple de S/. 300 en el período comprendido entre el 4 de abril
y 31 de mayo ¿Qué capital debo colocar en un banco que paga una tasa mensual del
0,28%?
¿Cuál es la tasa de interés simple mensual aplicada para que un capital de S/. 8.000
colocado a 2 años y 6 meses haya ganado S/. 60?
¿Cuál será el capital que habrá producido un interés simple de S/. 850,40 al 12% semestral
en 7 trimestres.
Un capital de S/. 12.000 ha producido S/. 541,68 de interés simple al 12,5% anual.
Determinar el tiempo de la operación.
Un capital de S/. 3.250 se ha incrementado en un 10% por un interés simple del 25%
anual. Hallar el tiempo.
El 12 de marzo del 2009 se otorgó un préstamo de S/. 16.000. La tasa anual simple fue de
39%. El 25 de setiembre del mismo año se pagó el préstamo y sus intereses devengados.
Hallar el total que se pagó.
¿Cuál es el valor futuro que ha producido un capital de S/. 5.000 del 6 de abril al 26 de
junio del mismo año a una tasa mensual del 0,82%?
¿A qué tasa mensual un capital de S/. 10.000 se habrá convertido en un monto de S/.
11.500 si el capital original fue colocado a interés simple durante 3 meses?
¿A qué tasa mensual se invirtió un capital de S/. 2.000 colocado a interés simple el 20 de
abril cuyo monto al 18 de junio fue S/. 2.500?.
¿Qué importe debe ser invertido a una tasa de interés del 24% anual para alcanzar un
valor futuro de S/. 3.000 dentro de 45 días?
Se tiene un valor actual que se divide en tres partes. La primera se coloca al 5% anual; la
segunda al 4% anual y la tercera al 3% anual. Al final del año se retiran S/. 15.926,40.
Determinar las partes, si la primera es igual a los 3/5 de la segunda y la tercera igual a la
suma de las dos anteriores.
Un capital colocado durante un cierto plazo al 4% daría un monto de S/. 14.400. Colocado
durante un año menos al 5% el mismo capital daría un interés de S/. 2.400. Calcular el
valor actual y el plazo.
Dos valores actuales iguales se colocan de la siguiente manera: el primero en e! banco
R&Q al 24% anual durante 85 días; el segundo en el banco S&W durante 60 días al 28 %
anual. Por ambas operaciones se recibió un interés de S/. 500.¿Cuál fue el importe de
cada capital?
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Dos valores actuales difieren en S/. 250. El más elevado se coloca al 6% anual durante 8
meses y el segundo al 5% anual durante 6 meses. El interés producido por el primer valor
actual es el doble del producido por el segundo. Hallar el primer y segundo valor actual
además de sus intereses.
Un valor actual de S/. 5.000 se coloca al 4% anual. Un segundo valor actual de S/. 4.800 es
colocado al 5% anual. Calcular el plazo en que el valor actual del primero será igual al del
segundo.
DESCUENTO SIMPLE
Es el pago anticipado de un título valor, traspasando o endosando el documento a otra
persona o institución financiera. Endosado el documento se paga el importe del mismo
deduciendo los intereses anticipadamente por el tiempo que falta para el vencimiento del
título valor.
En el presente trabajo estudiaremos el descuento simple, que se aplica tomando en cuenta el
valor nominal o futuro del documento, el número de periodos antes del vencimiento, la tasa
adelantada.
FORMULAS:
D = VF.i.n
VF=
D
i=
in
D
VFn
n=
D
VFi
NOTA: Tomar como base año de 360 días y mes de 30 días.
Ejemplo: Calcular el descuento de un documento el 3 de marzo cuyo vencimiento es el 18 de
julio, a una tasa del 1,25% mensual, además el valor nominal es S/. 8.000.
SOLUCIÓN:
VF= S/. 8.000
I=1,25% mensual
n= del 3 de marzo al 18 de julio tenemos: 137 días
D = VF.i.n
D = (8.000)(0,0125)(137/30)
D = S/. 456.66
CONCLUSIÓN:
El interés adelantado es S/. 456.66 y el valor líquido que recibe el endosante o girador es:
VL=VF – D
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VL = 8.000 – 456.66 = S/. 7.543,34
PROBLEMAS
1.
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6.
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8.
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10.
11.
Una letra de S/.6.000 se descuenta faltando 45 días antes del vencimiento a una tasa del
24% anual. Hallar el descuento.
A un título valor faltando 60 días para su vencimiento, le descuentan S/.450, a una tasa de
descuento anual del 18%. Determinar el valor nominal.
El descuento de una letra que vencerá en 25 días es S/. 180, a una tasa del 28% anual.
Calcular el valor nominal del documento.
Un pagaré presentado para el descuento 20 días antes del vencimiento disminuye en 4%
su valor nominal que es S/. 12.500. Determinar la tasa anual de descuento.
Cuántos días antes del vencimiento se presenta una letra, cuyo valor nominal es S/. 8.500
y se recibió S/. 8.000, a una tasa del 7,5% anual.
Determinar el valor líquido de un pagaré por S/. 12.400, presentado a una entidad
financiera 90 días antes de su vencimiento a una tasa de descuento del 18% anual.
La empresa GUSTOS S.A. presenta una letra girada el 3 de mayo y vencimiento el 03 de
setiembre por S/. 15.000 para ser descontada; el banco establece una tasa anual del 19%,
asimismo el abono en cuenta corriente será al tercer día de presentado el documento.
Determina el abono en cuenta corriente.
Una empresa debe cancelar una letra por S/. 12.500, el 30 de julio y lo hace el 05 de
agosto, debiendo abonar un 10% anual de interés moratorio, más 19% de interés
compensatorio. Determinar el importe final de la liquidación.
Se cancela una letra por S/. 3.560, el 18 de julio, cuyo vencimiento fue el 09 de julio, por
lo que deberá pagar 44,92% anual de interés moratorio, y 19,56% anual por interés
compensatorio, y 2% por gastos de protesto sobre el importe de la letra. Determinar el
total de la liquidación.
Un pagaré por S/. 45.000 cuyo vencimiento fue el 06 de junio se canceló el 15 de junio,
debiendo abonar 47% anual por interés moratorio, 15,25% anual por interés
compensatorio, además 2% comisión de protesto y S/. 17,70 de portes. Calcular el
importe de la liquidación.
Una letra por S/. 5.600 cuyo vencimiento fue el 06 de junio se renueva el 15 de junio por
el 40% a 60 días vencimiento, el banco cobra 44,92% de interés por renovación (aplicable
sobre el nuevo saldo de la letra), 96,70% por interés compensatorio, 13,40% anual por
interés moratorio, 1% por comisión de renovación (sobre el nuevo saldo de la letra), 2%
por gastos de protesto; determinar la cantidad total cancelada.
ECUACIÓN DE VALOR
La cancelación de una deuda pactada entre un acreedor y un deudor, a un nueva fecha de
cancelación, nos lleva a plantear una ECUACIÓN DE VALOR, debemos anotar que las
obligaciones pendientes de pago se dirigen hacia la fecha de cancelación ( por lo general),
denominada fecha focal.
Ejemplo: Un confeccionista contrae una deuda por S/. 18.400, que se cancelará en 8 meses, a
una tasa de interés del 14,5% anual. El deudor acuerda abonar S/. 8.500 a los 4 meses; S/. 6
000 a los 6 meses. Determinar con cuánto cancelará su deuda.
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SOLUCIÓN:
Nos valemos del horizonte temporal:
X
8.500
6.000
abr
4 meses
2 meses
2 meses
18.400
14,5% anual
Tal como se ha señalado debemos dirigir todas las cantidades hacia la fecha de cancelación,
entonces tenemos:
0,145
0,145
0,145
18.400 1 +
(8) = 8.500 1 +
(4) + 6.000 1 +
(2) + X
12
12
12
De lo anterior podemos afirmar que en la ecuación del valor el monto del préstamo por lo
ocho meses, se iguala con los pagos efectuados a los cuatro meses, este capital hasta la
cancelación tendrá un interés por 4 meses hasta la fecha de cancelación igualmente el último
pago efectuado tendrá un interés de dos meses. Continuamos:
18.400 1,09666667 = 8.500 1,04833333 + 6.000 1, 02416667 + X
20178,66 = 8910,83 + 6145,00 + X
20178,66 = 15055,83 + X
X = 5122,83
PROBLEMAS
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4.
Un pequeño confeccionista accede a un préstamo por S/. 10.500 para ser cancelado en
un año, a un interés del 14,25% anual. Conviene con la entidad financiera abonar S/. 3.500
el cuarto mes; S/. 3.000 el sétimo mes y S/. 2.000 el noveno mes. Se pide calcular con
cuanto cancelará la obligación.
La empresa RGT, recibe un préstamo de S/. 18.400, a una tasa del 16,25% anual.
Cancelable en un año y medio. El deudor acuerda con la financiera, abonar S/. 3.500 a los
tres, seis, nueve, doce, quince meses respectivamente, Determinar con cuanto cancelará
la deuda.
Un fabricante de zapatillas recibe un préstamo por S/. 15.000, pagaderos en dos años, a
una tasa del 18,35% anual. El deudor desea cancelar está obligación en 4 partes iguales a
intervalos de tiempo iguales, la financiera acepta la propuesta. Calcular a cuanto
ascenderán estos pagos.
Desiré desea tener su propia empresa y recibe un préstamo de S/. 35.000, deuda que
debe ser cancelada de la siguiente manera el 10% del préstamo al momento de recibir el
mismo. En seis meses S/. 10 000, pasados cuatro meses S/. 12 000.El plazo convenido es
dos años y la tasa de interés 16,45% anual. Determinar con cuánto cancelará el total de la
obligación.
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Ud. recibe un préstamo por S/. 4.000 a 200 días, al 28% anual. Si realiza un pago de S/.
1.500, el día 100. a)¿Cuál es el monto con que se cancelaría el préstamo?. Si se paga S/.
1.800, el día 80 y S/. 1.800, el día 160.
Una empresa recibe un préstamo de S/. 20.000, cancelable en tres años, abonando S/.
8.000 al término del 1º y 2do. año. ¿Con cuánto cancela el préstamo si le imponen 1,25%
quincenal?.
La Cía. M&L, recibe un crédito por S/. 15.000, para ser cancelado en 4 años, y abona S/.
5.000 al final del 2do y 3er año, si la tasa es 0,85% mensual. Determinar con cuánto
cancelará el préstamo.
Una empresa tiene dos obligaciones de S/. 7.500 que vencerá en 2 meses y S/. 6.500 que
vencerá en 4 meses, al 32,5% anual, acude a la entidad financiera para refinanciar y poder
cancelar todo el importe en un solo monto en 8 meses. Determinar cuál fue el importe
final.
Una Cía. Tiene una serie de obligaciones de S/. 2.000 que vencerán en 2, 4 y 6 meses, al
38% anual, y desea cancelar las mismas en el tercer mes. Determinar el importe final
cancelado.
Un accede a un préstamo por S/. 5.000 para adquirir un artefacto, el mismo que deberá
abonar el 8% al momento de firmar el pagaré, siendo el plazo 18 meses al 12,5% anual, si
se abona S/. 1.800 a los 8 meses; S/. 2.000 a los 14 meses. Determinar con cuánto
cancelará la obligación.
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