Problema Propuesto por: Roland Hablutzel

Problema Propuesto por: Roland Hablutzel

Problema Propuesto por: Roland Hablutzel - Venezuela
Tema: Geometrı́a, Triángulos, Ortocentro, Reflexiones
Una lı́nea I es dibujada por el otrocentro del triángulo acutángulo ABC.
Pruebe que las reflexiones de I por los lados son concurrentes.
(Bulgaria 2000, Problema 1)
Solución Propuesta por: Gabriel Reyes - El Salvador
Usando: Reflexión del Ortocentro, Teorema de Pascal
Probaremos el resultado para la figura que se muestra; los demás casos son
completamente análogos. Sean ABC el triángulo y H el ortocentro. Hagamos
que las alturas AH, BH y CH corten nuevamente al circuncı́rculo en D, E y
F respectivamente. La clave de la prueba consiste en aprovechar el hecho de
que D, E y F son las reflexiones de H sobre BC, CA y AB, respectivamente,
lo cual implica que las rectas DX, EY y F Z son las reflexiones en cuestión.
Supongamos ahora que la recta L interseca a BC, CA y AB en X, Y y
Z respectivamente. Sea P el segundo punto de intersección de F Z con el
circuncı́rculo del triángulo ABC. Entonces, aplicando el teorema de Pascal
al hexágono ABEP F C, se sigue que la intersección de AC y EP está sobre
la recta ZH, es decir, AC y EP se cortan en Y . Pero dado que E es la
reflexión de H sobre AC, resulta que la recta EY es la reflexión de L sobre
AC. Ahora bien, usando el teorema de Pascal en el hexágono ADP EBC,
vemos que BC y DP se cortan sobre la recta HY , es decir, BC y DP se
intersecan en X. Pero como D es la reflexión de H sobre BC, tenemos que
la recta DX es la reflexión de L sobre BC. Concluimos que DX, EY y F Z
son concurrentes en P .
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