Desigualdades de una variable

Profr. Efraín Soto Apolinar.
Desigualdades de una variable
Nosotros ya sabemos que podemos ordenar los números de un conjunto, bien de mayor a menor,
bien de menor a mayor.
Este orden está definido por la definición de las desigualdades siguientes.
Definicion
Desigualdad
Una desigualdad es una expresión de la forma:
a>b
que se lee «el número a es mayor que el número b», y esto es verdadero siempre que la diferencia a − b
resulta ser un número positivo. Otra desigualdad es:
Definición
1
a<b
que se lee «el número a es menor que el número b», y es verdadera siempre que la diferencia a − b es un
número negativo.
Indica CIERTO o FALSO para cada una de las desiguadades.
Ejemplo 1
• 2>1
Para que sea verdadero, se requiere que 2 − 1 sea positivo. Y 2 − 1 = 1, luego es VERDADERO.
• 2<5
Esto es VERDADERO, porque 2 − 5 es negativo.
• 10 > 20
Esto es FALSO, porque 10 − 20 = −10 es negativo.
• 10 < 20
Es VERDADERO, porque 10 − 20 = −10 es negativo
Cuando incluimos una variable en la desigualdad, podemos preguntarnos: «¿para qué valores de la
variable la desigualdad resulta ser verdadera?»
Solución de una desigualdad
La solución de una desigualdad es el conjunto de todos los valores de la(s) variable(s) que hacen que la
desigualdad sea verdadera.
Propiedades de las desigualdades
Así como la igualdad tiene algunas propiedades, la desigualdad también tiene algunas propiedades
que nos facilitan su tratamiento algebraico para la solución de problemas.
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Definición
2
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Propiedades de las desigualdades
Suponga que se cumple a > b, x > y, y sea c cualquier número real (constante). Entonces, también se
cumplen:
Definición
3
i) a + c > b + c.
ii)
iv) a + x > b + y.
a
d
> , supuesto que c > 0.
c
c
v)
iii) a · c > b · c, supuesto que c > 0.
Ejemplo 2
a
d
< , supuesto que c < 0.
c
c
vi) a · c < b · c, supuesto que c < 0.
Indica si se siguen cumpliendo cada una de las desigualdades, dado que la original es cierta.
• Considerando que x > 2, entonces,
• x + 7 > 9, se cumple, por la propiedad (i).
• También,
x
2
> , se cumple, porque 3 > 0. (prop. ii)
3
3
• Igualmente, 5 x > 10, se cumple porque 5 > 0 (prop. iii).
• Dado que 5 > 3, se cumple: x + 5 > 5 por la propiedad (iv).
• Como −3 < 0, si x > 2, se sigue que: −
x
2
< − por la propiedad (v).
3
3
• De manera semejante, se cumple: −3 x < −6, por la propiedad (vi).
Como puedes ver, las propiedades de las desigualdades son prácticamente las mismas que las
propiedades de la igualdad, con la diferencia de que cuando multiplicamos o dividimos por un
número negativo el sentido de la desigualdad cambia.
Siempre debes tener eso en cuenta.
Definición
4
Tricotomía
Dados dos números reales a, b satisfacen una y solamente una de las siguientes condiciones:
a<b
a=b
a>b
En palabras, la tricotomía nos indica que entre Aarón y Benjamín, bien Aarón es menor que
Benjamín, bien ambos tienen la misma edad, bien Aarón es mayor que Benjamín. No pueden
ocurrir dos o tres de esas condiciones simultáneamente.
En otras palabras, la tricotomía me dice: « o tengo tu edad, o eres mayor que yo, o eres menor que yo.»
Es imposible que se satisfagan dos de esas condiciones al mismo tiempo y mucho menos las tres.
Interpretación Geométrica
En matemáticas muchas veces nos ayuda a entender mejor un concepto conocer una interpretación
geométrica del mismo.
Supongamos que x > 2. Geométricamente tenemos:
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x>2
−1
0
1
2
3
x
4
Ahora elegimos un número que satisfaga esa desigualdad, digamos x = 3. Entonces, 3 > 2 se
satisface.
Como puedes ver, la parte que se ha marcado con la linea en zig-zag incluye al punto x = 3,
porque este punto satisface la desigualdad.
Sin embargo el punto x = 2 no está incluido en este conjunto porque por tricotomía, 2 ≯ 2. Luego,
2 no tasisface la desigualdad x > 2.
2 ≯ 2 se lee: «2 no
es mayor que 2».
La propiedad (vi) también tiene una interpretación geométrica.
Si multiplicamos la desigualdad por un número negativo, cualquiera, digamos −1, entonces el
sentido de la desigualdad cambia: −3 < −2.
Observa que los valores de la desigualdad: x < −2 son el reflejo respecto del origen (del eje x) de
la desigualdad x > 2.
Geométricamente:
x < −2
−4
x>2
−3 < −2
−1
0
1
2 > 3
x
4
Observa que el círculo que indica el inicio de la solución de la desigualdad está vacío. Esto se
justifica con la tricotomía: dado que 2 ≯ 2, 2 no satisface la desigualdad x > 2.
Créditos
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Albert
Einstein
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 22 de agosto de 2010.
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Profr. Efraín Soto Apolinar.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
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