Orbitas Periódicas en Sistemas Tridimensionales

Orbitas Periódicas en Sistemas Tridimensionales

Órbitas Periódicas en Sistemas Tridimensionales
Lineales a Trozos
Elisabeth Garcı́a Medina, Soledad Fernández Garcı́a
Dpto. de Matemática Aplicada II, Universidad de Sevilla
[email protected],[email protected]
Resumen
En esta comunicación nos centramos en el estudio de las órbitas periódicas
reversibles en el sistema lineal a trozos

 ẋ = y,
ẏ = z,
(1)

ż = 1 − y − λ(1 + λ2 )|x|,
donde λ > 0, que puede ser considerado como una versión lineal a trozos del
conocido sistema de Michelson [3]. Focalizamos nuestro análisis en las orbitas
periódicas reversibles que intersecan al plano de separación {x = 0} en exactamente dos puntos. Llamaremos RP2-órbita a una óbita de esta clase y para
ellas presentamos el siguiente resultado.
Theorem 1. Existen dos valores 0 < λC < λF para los que se satisfacen las
siguientes condiciones:
1. Si λ ∈ (0, λC ), entonces el sistema (1) tiene una única RP2-órbita con
periodo menor que 4π.
2. Para λ = λC , el sistema (1) posee exactamente dos RP2-órbitas con periodos menor que 4π. Además, sus periodos son diferentes y la que tiene
mayor periodo cruza el plano de separación {x = 0} de forma tangencial.
3. Si λ ∈ (λC , λF ), el sistema (1) posee exactamente dos RP2-órbitas con
periodo menor que 4π.
4. Para λ = λF , el sistema (1) tiene una única RP2-órbita con periodo
menor que 4π.
5. Si λ > λF , entonces el sistema (1) no posee RP2-órbitas con periodo
menor que 4π.
Algunas de estas órbitas periódicas están relacionadas con conexiones globales cuya existencia se ha probado en los trabajos [1, 2].
Sección en el CEDYA 2011: EDO. Sección especial
Bibliography
[1] V. Carmona, F. Fernández-Sánchez y A. E. Teruel, Existence of a reversible T-point
heteroclinic cycle in a piecewise linear version of the Michelson system. SIAM J. Appl.
Dyn. Syst. 7 (2008) 1032–1048.
[2] V. Carmona, E. Garcı́a-Medina, F. Fernández-Sánchez y A.E. Teruel. Existence of homoclinic connections in continuous piecewise linear systems, Chaos 20, 013124 (2010).
[3] D. Michelson, Steady solutions of the Kuramoto–Sivashinsky equation. Phys. D 19
(1986) 89–111.