Cap´ıtulo 4 Grupo cociente. Homomorfismos

Cap´ıtulo 4 Grupo cociente. Homomorfismos

Capı́tulo 4
Grupo cociente. Homomorfismos
4.1.
Subgrupos normales.
Definición 4.1. Sea G un grupo (no usaremos un sı́mbolo especial para la operación.) Un subgrupo H de G es un subgrupo normal si
ghg −1 ∈ H, para todo g ∈ G y todo h ∈ H.
Teorema 46. Sea H un subgrupo de un grupo G. Son equivalentes
(a) g −1 hg ∈ H, todo g ∈ G y todo h ∈ H.
(b) gH = Hg, todo g ∈ G
(c) g −1 Hg = H, todo g ∈ G.
2
Demostración. Notar que gH = {gh | h ∈ H, Hg = {hg | h ∈ H}, g −1 Hg =
{g −1 hg | h ∈ H. Además, si g −1 hg ∈ H, todod g ∈ G y todo h ∈ H, entonces
cambiando g por g −1 tenemos(g −1 )−1 hg −1 ∈ H, luego ghg −1 ∈ H, todo g ∈ G y
todo h ∈ H.
(a) implica (b). Si x ∈ gH, entonces x = gh, algún h ∈ H y como ghg −1 ∈ H,
entonces ghg −1 = h1 ∈ H, luego x = gh = h1 g ∈ Hg. Si x ∈ Hg, entonces
x = hg, algún h ∈ H. Ahora g −1 hg = h1 ∈ H, luego x = hg = gh1 ∈ gH.
(b) implica (c). Si gH = Hg, entonces g −1 gH = g −1 Hg, luego H = g −1 Hg.
(c) implica (a). Obvio.
Teorema 47. Si G es un grupo abeliano (conmutativo) y H es un subgrupo de
G, entonces H es un subgrupo normal de G.
2
Demostración. Como G es abeliano, ghg −1 = hgg −1 = h ∈ H para todo g ∈ G y
todo h ∈ H, luego H es un subgrupo normal de G.
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CAPÍTULO 4. GRUPO COCIENTE. HOMOMORFISMOS
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?? Ejemplo 4.1. Este en un ejemplo de un subgrupo que no es normal. Obviamente
el grupo debe ser no abeliano.
Sea G = S3 . Los elementos de S3 son
(1), (1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 2, 3), (1, 3, 2)
Sea H = {(1), (1, 2)}. Con g = (2, 3) tenemos g(1, 2)g −1 = (2, 3)(1, 2)(2, 3) =
(1, 3) 6∈ H. Luego H no es un subgrupo normal.
?? Ejemplo 4.2. Sea H = {(1), (1, 2, 3), (1, 3, 2)}. Este ES un subgrupo normal de
S3 como veremos.
Para no hacer cálculo elemento por elemento, notamos que si g ∈ S3 , entonces g(1, 2, 3)g −1 = (g(1), g(2), g(3)) y g(1, 3, 2)g −1 = (g(1), g(3), g(2)) son ambos
ciclos de largo 3, luego están en H, ası́ ghg −1 ∈ H todo h ∈ H y todo g ∈ G.
Teorema 48. An es un subgrupo normal de Sn .
2
Demostración. Si g ∈ Sn es producto de m transposiciones, σ es producto de
un número par 2k de transposiciones, entonces g −1 es también producto de m
transposiciones, luego g −1 σg es poducto de m + 2k + m transposiciones, luego es
par y por lo tanto está en An .
4.1.1.
Subgrupos normales y clases laterales
Notar que si H es un subgrupo nprmal de un grupo G, entonces gH = Hg,
todo g ∈ G.
Lo anterior no ocurre cuando H no es subgrupo normal. Por ejemplo, en S4 para el subgrupo H = h(1, 2, 3, 4)i = {(1), (1, 2, 3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4, 3, 2)} tenemos
que (a) (1, 2)H: (1, 2)(1) = (1, 2), (1, 2)(1, 2, 3, 4) = (2, 3, 4), (1, 2)(1, 3)(2, 4) =
(1, 3, 2, 4), (1, 2)(1, 4, 3, 2) = (1, 4, 3), luego
(1, 2)H = {(1, 2), (2, 3, 4), (1, 3, 2, 4), (1, 4, 3)}
y
(b) H(1, 2): (1)(1, 2) = (1, 2), (1, 2, 3, 4)(1, 2) = (1, 3, 4), (1, 3)(2, 4)(1, 2) = (1, 4, 2, 3),
(1, 4, 3, 2)(1, 2) = (2, 4, 3)}, luego
H(1, 2) = {(1, 2), (1, 3, 4), (1, 4, 2, 3), (2, 4, 3)}
Ası́ (1, 2)H 6= H(1, 2).
4.1.2.
Grupo cociente.
Sea H un subgrupo normal de un grupo G (no usamos un sı́mbolo especial
para la operación.)
CAPÍTULO 4. GRUPO COCIENTE. HOMOMORFISMOS
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Denotamos por G/H el conjunto de las clases de laterales izquierdas de H en
G, es decir
G/H = {gH | g ∈ G}
Observar nuevamente que gH = Hg pues H es un subgrupo normal.
Definiremos una operación en este conjunto de clases.
Teorema 49. Sea H un subgrupo normal de un grupo G. Dados a, b ∈ G sea
(aH)(bH) = (ab)H
Esto define una operación en G/H.
2
Demostración. Si aH = cH y bH = dH, queremos probar que (ab)H = (cd)H.
Como a ∈ aH = cH, entonces a = ch1 , algún h1 ∈ H. De b ∈ bH = dH
obtenemos b = dh2 , algún h2 ∈ H. Ahora ab = ch1 dh2 y ya que dH = Hd, hay
h3 ∈ H tal que h1 d = dh3 , luego ch1 dh2 = cdh3 h2 = cdh4 , donde h4 = h3 h2 .
Tenemos entonces que ab = cdh4 y por lo tanto (ab)H = (cdh4 )H = (cd)H.
?? Ejemplo 4.3. El grupo Z12 con la operación ⊕ es un grupo abeliano ası́ que
H = hC4i es un subgrupo normal. Escribiremos los elemento del grupo cociente.
(Para simplificar la notación escribimos + en lugar de ⊕ y los elemento de Z12
los denotamos simplemente a en lugar de a.)
NOTAR que como la operación es +, las clasees se escriben a + H en lugar
de aH.
0 + H = {0, 4, 8}, 1 + H = {1, 5, 9}, 2 + H = {2, 6, 10}, 3 + H = {3, 7, 11}
Algunas operaciones: (2 + H) + (3 + H) = (2 + 3) + H = (1 + 4) + H = 1 + H
(pues 4 + H = 0 + H)
(2 + H) + (2 + H) = (2 + 2) + H = 4 + H = 0 + H
?? Ejemplo 4.4. En el grupo A4 el subgrupo H = {(1), (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)}
es un subgrupo normal.
Los elementos de A4 son
(1)
(1,2)(3,4)
(1,3)(2,4)
(1,4)(2,3)
(1,2,3)
(1,2,4)
(1,3,2)
(1,3,4)
(1,4,2)
(1,4,3)
(2,3,4)
(2,4,3)
Las clases laterales de H en A4 son:
(1, 2, 3)H = {(1, 2, 3), (1, 3, 4), (2, 4, 3), (1, 4, 2)},
(1, 2, 4)H = {(1, 2, 4), (1, 4, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 4)}
(1, 3, 2)H = {(1, 3, 2), (2, 3, 4), (1, 2, 4), (1, 4, 3)},
(1, 3, 4)H = {(1, 3, 4), (1, 2, 3), (2, 1, 4), (2, 4, 3)}
(1, 4, 2)H = {(1, 4, 2), (2, 4, 3), (1, 3, 4), (1, 2, 3)},
(1, 4, 3)H = {(1, 4, 3), (1, 2, 4), (2, 3, 4), (1, 3, 2)}
(2, 3, 4)H = {(2, 3, 4), (1, 3, 2), (1, 4, 3), (1, 2, 4)},
(2, 4, 3)H = {(2, 4, 3), (1, 4, 2), (1, 2, 3), (1, 3, 4)}
(1)H = H
(1, 2)(3, 4)H = H
(1, 3)(2, 4)H = H
(1, 4)(2, 3)H = H
CAPÍTULO 4. GRUPO COCIENTE. HOMOMORFISMOS
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Los elementos del grupo cociente A4 /H son
H = (1)H, (1, 2, 3)H, (1, 3, 2)H.
Teorema 50. Sea H un subgrupo normal de un grupo G. El conjunto G/H es
un grupo con la operación
(aH)(bH) = (ab)H
para todo a, b ∈ G
Este grupo se llama grupo cociente de G módulo H.
2
Demostración. Es rutina comprobar que la operación en G/H es asociativa. Si e
es la identidad de G, entonces eH es la identidad de G/H, y si a−1 es el inverso
de a en G, entonces a−1 H es el inverso de aH en G/H.
4.2.
Homomorfismos
Esta parte trata sobre la funciones entre dos grupos. Interesan las funciones
que presenvan las operaciones entre los grupos.
Definición 4.2. Dado un grupo G con operación ∗ y un segundo grupo H con
operación ?, un homomorfismo de G en H es una función
φ : G → H con la propiedad φ(a ∗ b) = φ(a) ? φ(b)
para todo a, b ∈ G.
?? Ejemplo 4.5. Sea (R× , ·), donde R× = {x ∈ R | x 6= 0} y · es la multiplicación
usual en R. Este es un grupo. Otro grupo es (Z, +). La función f : Z → R× ,
f (z) = 2z es un homomorfismo pues para a, b ∈ Z,
f (a + b) = 2a+b = 2a · 2b = f (a) · f (b)
a b
?? Ejemplo 4.6. El conjunto G1 = {
| a, b ∈ R, a2 + b2 6= 0} es un grupo
−b a
con la operación de multiplicación de matrices. Otro grupo es el conjunto C× , de
los números complejos excluyendo el número 0, con la operación de multiplicación.
La función
a b
×
f : C → G1 , f (a + bı) =
−b a
es un homomorfismo.
?? Ejemplo 4.7. Una función del grupo Z6 , con la operación ⊕, en el mismo grupo
es
α : Z6 → Z6 , α(n) = n ⊕ 1
Esta función no es un homomorfismo pues α(2) = 3, α(4) = 5 y α(2 ⊕ 4) =
α(0) = 1, mientras que α(2) ⊕ α(4) = 3 ⊕ 5 = 8 = 2 6= α(2 ⊕ 4).
CAPÍTULO 4. GRUPO COCIENTE. HOMOMORFISMOS
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Teorema 51. Sean (G, ∗) y (H, ?) grupos y sea e la identidad de G y e00 la
identidad de H. Sea α : G → H un homomorfismo. Entonces
1. α(e) = e00
2. α(g −1 ) = (α(g))−1 , para cada g ∈ G
3. α(g n ) = (α(g))n , para todo g ∈ G y para todo n ∈ Z.
2
Demostración. 1. α(e) = α(e ∗ e) = α(e)
starα(e) y multiplicando ambos lados de esta relación por (α(e)−1 se obtiene
α(e) = e00 .
2. Sea g ∈ G. De e00 = α(e) = α(g ∗ g −1 ) = α(g) ? α(g −1 ) se infiere que
α(g −1 ) = (α(g))−1
3. Sea g ∈ G. Claramente α(g 1 ) = (α(g))1 , α(g 2 ) = α(g ∗ g) = α(g) ? α(g) =
(α(g))2 , y por inducción α(g n ) = (α(g))n , para todo natural n. También α(g −n ) =
α((g −1 )n ) = (α(g −1 ))n = ((α(g))−1 )n = (α(g))−n
Teorema 52. Sean (G, ∗) y (H, ?) grupos y sea e la identidad de G y e00 la
identidad de H. Sea α : G → H un homomorfismo. Entonces
1. Si S es un subgrupo de G, entonces
α(S) = {α(s) | s ∈ S}
es un subgrupo de H.
2. Si T es un subgrupo de H, entonces
α−1 (T ) = {x ∈ G | α(x) ∈ T }
2
es un subgrupo de G.
Demostración.
1. Sean x, y ∈ α(S). Entonces existen a, b ∈ S tales que α(a) = x, α(b) = y.
Dado que S es un subgrupo, a ∗ b ∈ S y, por definición, α(a ∗ b) ∈ α(S). Como
α es un homomorfismo: x ? y = α(a) ? α(b) = α(a ∗ b) ∈ α(S). También x−1 =
(α(a))−1 = α(a−1 ) ∈ α(S) pues a−1 ∈ S.
2. Si x, y ∈ α−1 (T ), entonces, por definición, α(x) ∈ T , α(y) ∈ T luego
α(x ∗ y) = α(x) ? α(y) ∈ T y por lo tanto x ∗ y ∈ α−1 (T ). También, si α(x) ∈ T ,
entonces α(x−1 ) = (α(x))−1 ∈ T , luego x−1 ∈ α−1 (T ).
Definición 4.3. Sean (G, ∗) y (H, ?) grupos y sea e la identidad de G y e00 la
identidad de H. Sea α : G → H un homomorfismo. Llamamos núcleo o Kernel
de α al conjunto ker(α) definido por
ker(α) = {x ∈ G | α(x) = e00 }
Teorema 53. El núcleo ker(α) de un homomorfismo α de un grupo (G, ∗) en
un grupo (H, ?) es un subgrupo normal de G.
2
CAPÍTULO 4. GRUPO COCIENTE. HOMOMORFISMOS
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Demostración. ker(α) es un subgrupo de G pues ker(α) = α−1 ({e00 }), donde e00 es
la identidad de H.
Para probar que es un subgrupo normal: Sean g ∈ G y a ∈ Ker(α). Entonces
α(g∗a∗g −1 ) = α(g)?α(a)?α(g −1 ) = α(g)?e00 ?α(g −1 ) =α(g)?α(g −1 ) =α(g∗g −1 ) =
α(e) = e00 , luego g ∗ a ∗ g −1 ∈ Ker(α)
Definición 4.4. Sean (G, ∗) y (H, ?) grupos. Un homomorfismo α : G → B es un
isomorfismo si α es un función biyectiva.
Decimos que (G, ∗) y (H, ?) son isomorfos si existe un isomorfismo de G en
H.
Teorema 54. Si α : G → H es un isomorfismo, entonces α−1 : H → G es un
isomofismo.
2
Demostración. α−1 es biyectiva. Para probar que es homomorfismo, dados x, y ∈
H existen a, b ∈ G tales que α(a) = x, α(b) = y. Como α es homomorfismo,
x ? y = α(a) ? α(b) = α(a ∗ b), luego α−1 (x ? y) = a ∗ b = α−1 (x) ∗ α−1 (y).
Teorema 55 (Teorema del isomorfismo). Sean (G, ∗) y (H, ?) grupos y sea
α : G → H un homomorfismo. Entonces
1. ker(α) es un subgrupo normal de G
2. α(G) es un subgrupo de H.
3. La función α : G/ ker(α) → α(G), α(g ker(α)) = α(g) es biyectiva.
4. La función α : G/ ker(α) → α(G) (del punto anterior) es un isomorfismo.
2
Demostración. 1. y 2. ya se probaron.
3. Sea K = ker(α). Primero hay que probar α es una función. Si g1 K = g2 K,
entonces g1 = g2 ∗ k, algún k ∈ K, luego α(k) = e00 y α(g1 ) = α(g2 ∗ k) =
α(g2 ) ? α(k) = α(g2 ). Esto implica α(g1 ∗ K) = α(g2 K∗).
La función α es inyectiva. Si α(g1 ∗ K) = α(g2 ∗ K), entonces α(g1 ) = α(g2 ), y
ya que α es un homomorfismo α(g2−1 ∗g1 ) = e00 , luego g2−1 ∗g1 ∈ K y g1 ∗K = g2 ∗K.
La función α es epiyectiva. Si x ∈ α(G), entonces existe g ∈ G tal que α(g) =
x, luego α(g ∗ K) = x.
4. α((g1 ∗ K) ∗ (g2 ∗ K)) = α((g1 ∗ g2 ) ∗ K) = α(g1 ∗ g2 ) = α(g1 ) ? α(g2 ) =
α(g1 ∗ K) ? α(g2 ∗ K)
4.3.
Teorema de Cayley
Este teorema afirma que todo grupo finito es isomorfo a un subgrupo de un
grupo Sn , para algún natural n. Primero a cada elemento de un grupo G le
asociaremos una función biyectiva.
Teorema 56. Dado un conjunto no vacı́o X, el conjunto SX de todas las funciones biyectivas de X en X es un grupo con la operación ◦ de composición de
funciones.
2
CAPÍTULO 4. GRUPO COCIENTE. HOMOMORFISMOS
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Demostración. Ejercicio.
Teorema 57. Dado un grupo (G, ∗),
1. Para cada g ∈ G la función αg : G → G, αg (x) = g ∗ x es biyectiva.
2. La funci´’on inversa de αg es αg−1 .
3. Dados a, b ∈ G, αa ◦ αb = fa∗b (◦ es la operación de composición de funciones.)
4. El conjunto {αg | g ∈ G} es un subgrupo de (SG , ◦).
2
Demostración. Ejercicio.
Teorema 58 (Teorema de Cayley). Si G es un grupo finito de orden n, entonces
G es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico Sn .
2
Demostración. La función α : G → SG , α(g) = αg es un homomorfismo. Si
g ∈ ker α, entonces α(g) es la identidad de SG , luego αg (x) = g ∗ x = x, todo
x ∈ G, de donde g = e. Ası́ α es inyectiva y por el teorema del isomorfismo, G es
isomorfo con α(G), que es un subgrupo de SG .
Ahora si G es un grupo de orden n, veremos que SG es isomorfo con Sn . Si
|G| = n, entonces existe una función biyectiva β : G → Nn y también β −1 : Nn →
G es biyectiva. Dado σ ∈ Sn , la función β −1 ◦ σ ◦ β : G → G es una biyección y
la función Sn → SG , σ 7→ β −1 ◦ σ ◦ β es también una biyección, luego Sn y SG
son isomorfos y por lo tanto G es isomorfo a un subgrupo de Sn .
FIN FIN