Backscattering inverso para la ecuación de Schrödinger en 2d y 3d

Backscattering inverso para la ecuación de Schrödinger en 2d y 3d

Backscattering inverso para la ecuación de
Schrödinger en 2d y 3d
Juan Manuel Reyes
Universidad Autónoma de Madrid
X Encuentros de Análisis Real y Complejo
Palma de Mallorca, Mayo de 2007
• EL PROBLEMA DIRECTO.
• EL PROBLEMA INVERSO.
La serie de Born de la amplitud de scattering.
Reconstrucción de las singularidades de q a partir de la aproximación de Born para los datos de backscattering.
2D.
3D.
Backscattering inverso para la ecuación de Schrödinger en 2d y 3d
EL PROBLEMA DIRECTO
Consideramos el operador de Schrödinger H = −∆+q(x) , con x ∈ Rn .
El problema directo de scattering para la ecuación de Schrödinger
consiste en encontrar la autofunción generalizada u de este operador
tal que
(H − k2)u = 0 en Rn,
u = ui + us ,
∂us(x)
− n−1
− ikus(x) = o(r 2 ) ,
(1)
∂r
cuando r = |x| → ∞ . La expresión (1) se denomina condición de
radiación de Sommerfeld saliente. Estas soluciones son la respuesta
a la acción de una onda plana incidente ui(x) = eikθ·x, x ∈ Rn, con
número de onda k, dirección de incidencia θ y energı́a k2.
Definimos la resolvente saliente del Laplaciano como el operador
R+(k2) := F −1(−| · |2 + k2 + i0)−1F ,
donde F denota la transformada de Fourier. Obsérvese que la solución
saliente us satisface la ecuación
(∆ + k2)us = qui + qus.
(2)
Aplicando el operador de la resolvente saliente a ambos lados de (2)
se obtiene la llamada ecuación integral de Lippmann-Schwinger
u(k, θ, x) = ui(k, θ, x) + R+(k2)(q(·)u(k, θ, ·)) .
(3)
La existencia y la unicidad de solución de dicha ecuación integral (y
del problema directo) ya se han estudiado y se han obtenido estimaciones a priori:
Proposición 1. Sea q ∈ Lr de soporte compacto y r > n
2 , k > 0.
n y 1 − 1 = 1 . Entonces existen una
Supongamos que 0 ≤ t ≤ 1 − 2r
p
r
p0
única solución de scattering us y una constante β > 0 tales que para
todo k > k0
n −1
t+ 2r
t
kD uskLp0 (hxi−β dx) ≤ Ck
kqkLp(hxiβ dx),
para cierta constante C independiente de todas las variables que
aparecen.
Notación: hxi := 1 + |x|2
1
2
.
EL PROBLEMA INVERSO
A partir del hecho de que la solución de scattering us satisface la
C.R.S., q tiene soporte compacto y la ecuación
(∆ + k2)us(k, θ, x) = q(x) u(k, θ, x) ,
x ∈ Rn ,
se demuestra que
us(k, θ, x) =
k
|x|
! n−1
2
eik|x|u
1−n
x
) + o(|x| 2 ) ,
∞ (k, θ,
|x|
cuando |x| → +∞ , y se obtiene la ecuación integral
x ·y
x
−ik |x|
u∞(k, θ, ) = C
e
q(y)u(k, θ, y)dy .
|x|
Rn
Z
La función u∞ : R × S n−1 × S n−1 → C se conoce como el campo lejano
x es la dirección del receptor. El proo amplitud de scattering. ω = |x|
blema inverso de scattering consiste en la recuperación del potencial
q a partir de las mediciones del campo lejano.
En el backscattering inverso se supone conocido u∞(k, θ, −θ), es decir,
la dirección del receptor se considera la opuesta a la incidente (el eco).
El problema está formalmente bien determinado.
La serie de Born de la amplitud de scattering
Substituyendo la ecuación de Lippmann-Schwinger (3) en la ecuación
integral
Z
x ·y
x
−ik |x|
u∞(k, θ, ) = C
e
q(y)u(k, θ, y)dy ,
n
|x|
R
obtenemos el llamado desarrollo en serie de Born de u∞:
u∞(k, θ, ω) = q̂(ξ) +
m
X
θ
d
Q\
j+1 (q)(ξ) + Rm(ξ),
j=1
donde ξ := k(ω − θ), el término j-ésimo viene dado por
\
θ (q)(ξ) :=
Q
j
Z
Rn
e−ikω·y (qR+(k2))j−1(q(·)eikθ·(· ))(y)dy,
(4)
y el resto por
d (ξ) :=
R
m
Z
Rn
e−ikω·y (qR+(k2))m(q(·)us(k, θ, · ))(y)dy.
Haciendo ω = −θ en (4) se deduce el desarrollo en serie de Born para
los datos de backscattering, que sin considerar el resto se escribe:
q\
B − q(ξ) =
∞
X
Q\
j+1 (q)(ξ) ,
ξ := −2kθ ,
(5)
j=1
donde qB definida por qc
B (ξ) = u∞ (k, θ, −θ) es la aproximación de Born
para los datos de backscattering y el término j-ésimo viene dado por
\
Q
j (q)(ξ) =
Z
Rn
eikθ· y (qR+(k2))j−1(q(·)eikθ·(·))(y)dy .
Nótese que expresamos ξ en un tipo de coordenadas polares. La técnica de reconstrucción de qB a partir de los datos de backscattering se
denomina Tomografı́a de Difracción.
Reconstrucción de las singularidades de q a partir de qB para
los datos de backscattering
Sea la dimensión n ∈ {2, 3} .
Teorema 1. Sean 0 ≤ α < n/2 y q ∈ W α,2(Rn) de soporte compacto.
Entonces se cumple que q − qB ∈ W β,2(Rn) + C ∞(Rn) , para todo
β <α+1
2.
Proposición 2. * Sea q ∈ W α, 2(Rn) de soporte compacto, 0 ≤ α ≤ n/2
y j ∈ {2, 3, ...}. Entonces Qj (q) ∈ W β,2(Rn) + C ∞(Rn) , para todo
β < βj , donde

3 (j − 2) + α (j − 1) ,



4
4


 (j − 3)( 3 + α ) + 1 ,
4
4
βj :=
j−2
α−1,

+
(j
−
1)

2
3 2



α
1,
1
 (j − 3)
+
+
2
3
2
* Ruiz,
si
si
si
si
1 y n = 2,
α≤2
1 ≤ α ≤ 1 y n = 2,
2
3 y n = 3,
0≤α≤4
3 ≤ α ≤ 3 y n = 3.
4
2
A.; Vargas, A. Partial recovery of a potential from backscattering data.
2D
Proposición 3. [R.V.] Sean 0 ≤ α < 1 y q ∈ W α,2(R2) de soporte
compacto. Entonces Q2(q) ∈ W β,2(R2)+C ∞(R2), para todo β < α+ 1
2.
Para q como en el teorema 1, de las proposiciones 2 y 3 se deduce
q − qB ∈ W β,2(R2) + C ∞(R2), para todo β ∈ R tal que
(
β<
1,
α+1
,
si
α
≤
2
2
1
1,
si 2 ≤ α < 1 ,
1 ≤ α < 1 . La proposición 2
mejorando el teorema 1 este hecho para 2
no suministra una estimación suficiente de Q3(q) para probar el teorema 1 en 2d. Se necesita el
Teorema 2. [Re.] Sea q ∈ W α , 2(R2) una función de soporte compacto, con 0 ≤ α < 1 . Entonces Q3(q) ∈ W β , 2(R2) + C ∞(R2) , para
cualquier β ∈ R tal que 0 ≤ β < α + 1 .
3D
Proposición 4. [R.V.] Sea q ∈ W α , 2(R3) una función de soporte com3 . Entonces Q (q) ∈ W β , 2 (R3 ) + C ∞ (R3 ) , para
pacto, con 0 ≤ α < 2
2
cualquier β ∈ R tal que 0 ≤ β < α + 1
2.
Proposición 5. [R.V.] Sea q ∈ W α , 2(R3) una función de soporte
β , 2 (R 3 ) + C ∞ (R 3 ) ,
compacto, con 0 ≤ α < 3
.
Entonces
Q
(q)
∈
W
3
2
para cualquier β ∈ R tal que 0 ≤ β < α + 1
2.
Para q como en el teorema 1, de las proposiciones 2, 4 y 5, se deduce
q − qB ∈ W β,2(R3) + C ∞(R3), para todo β ∈ R tal que
(
β<
α+1
si α ≤ 3/4 ,
2,
1 + α/3 , si 3/4 ≤ α < 3/2 ,
mejorando el teorema 1 este hecho para 3/4 ≤ α < 3/2 . La estimación
para Q4(q) de la proposición 2 en 3d puede reemplazarse por
Teorema 3. [Re.] Para q como en el teorema 1 en 3d, se cumple para
1:
todo β < α + 2
Q4(q) ∈ W β , 2(R3) + C ∞(R3) .
Algunas ideas sobre el teorema 2 (2d)
Como consecuencia de la fórmula
R+(k2)(f )(x) = v.p.
Z
Rn
eix· ξ
fˆ(ξ)
iπ d
dξ
+
dσk ∗ f (x) ,
2
2
−|ξ| + k
2k
donde dσk es la medida inducida por la medida de Lebesgue n-dimensional
sobre la esfera centrada en el origen y de radio k ∈ Z+ , se deduce
q̂(ξ)q̂(η − ξ)q̂(τ − ξ)
dξdτ
2
2
R R [ξ · (η − ξ)] [τ · (η − τ )]
Z Z
iπ
q̂(ξ)q̂(η − τ )q̂(τ − ξ)
dσ(ξ)dτ
+ 2 v.p.
|η|
τ · (η − τ )
R2 Γ(η)
Z
Z
π2
− 2
q̂(ξ)q̂(η − τ )q̂(τ − ξ) dσ(τ )dσ(ξ) ,
|η| Γ(η) Γ(η)
\
Q
3 (q)(η) = v.p.
Z
Z
|η|
donde Γ(η) denota la circunferencia de centro 2η y radio 2 .
Para estimar el término esférico resulta esencial probar lo siguiente
Z
Ωk (τ )
Z
≤C
|η|2α−3+2ε
R2
Z Z
|q̂(η − τ 0 − ξ 0)|2dσ(τ 0)dσ(ξ 0)dσ(η)
Dk (η)
|λ|2α−2+2ε|q̂(λ)|2dλ ,
donde
o
n
0
−k
Ωk (τ ) := η ∈ R : τ · (η − τ ) = 0 , |η − τ | ≥ C 2 |η| ,
(
)
|η|
−k
Dk (η) := (ξ, τ ) ∈ Γ(η) × Γ(η) : |ξ − τ | ∼ 2 |η|, |ξ − (η − τ )| ≥
.
n
100
REFERENCIAS
-Ruiz, A.; Vargas, A. Partial recovery of a potential from backscattering data. Communications in Partial Differential Equations. Vol. 30, no. 1-3, pp. 67-96 (2005).
-Ruiz, A. Recovery of the singularities of a potential from fixed angle scattering
data. Communications in Partial Differential Equations. Vol. 26, no. 9-10, pp. 17211738 (2001).
-Ruiz, A. Harmonic Analysis and Inverse Problems. Notes of the 4th Summer School
in Inverse Problems. Oulu. Finland (2002).