Producto de Kronecker y potencias de matrices.

Producto de Kronecker y potencias de matrices.

UMA 2016
Eberle–Redondo
Producto de
Kronecker
Producto de Kronecker y potencias de
matrices.
Raices
cuadradas de
Kronecker
Potencias de
Kronecker
El cubo
Matriz vec por bloques
M.G. Eberle – M.J. Redondo
Departamento de Matemática
Resultados
Conclusiones
Universidad Nacional del Sur
Bahı́a Blanca – septiembre de 2016
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
UMA 2016
Argentina
1 / 23
Producto de Kronecker
UMA 2016
Producto de Kronecker
Eberle–Redondo
Producto de
Kronecker
Dadas A = (aij ) ∈ Kn×m , B = (bij ) ∈ Kp×q
Producto de Kronecker
Raices
cuadradas de
Kronecker
Potencias de
Kronecker
El cubo
A ⊗ B = (aij B)ij
cada bloque (aij B) esta en Kp×q y A ⊗ B ∈ Knp×mq .
Matriz vec por bloques
Resultados
Conclusiones
Se realiza entre matrices de cualquier orden.
No es conmutativo.
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
UMA 2016
Argentina
2 / 23
Producto de Kronecker
UMA 2016
Producto de Kronecker
Eberle–Redondo
Producto de
Kronecker
Dadas A = (aij ) ∈ Kn×m , B = (bij ) ∈ Kp×q
Producto de Kronecker
Raices
cuadradas de
Kronecker
Potencias de
Kronecker
El cubo
A ⊗ B = (aij B)ij
cada bloque (aij B) esta en Kp×q y A ⊗ B ∈ Knp×mq .
Matriz vec por bloques
Resultados
Conclusiones
Se realiza entre matrices de cualquier orden.
No es conmutativo.
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
UMA 2016
Argentina
2 / 23
Producto de Kronecker
UMA 2016
Ejemplo
Eberle–Redondo
Producto de
Kronecker


1 2
1 −2


Si A = 3 4 y B =
, entonces
−1 3
5 6
Raices
cuadradas de
Kronecker
Potencias de
Kronecker
El cubo


 

1B 2B



C = A ⊗ B = 3B 4B = 


5B 6B

Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
1 −2
2 −4
−1
3 −2
6
3 −6
4 −8
−3
9 −4
12
5 −10
6 −12
−5
15 −6
18
UMA 2016

Matriz vec por bloques
Resultados







Conclusiones
Argentina
3 / 23
Producto de Kronecker
UMA 2016
Propiedades
Eberle–Redondo
Producto de
Kronecker
Dadas las matrices A, B, C y D, α ∈ K
(A ⊗ B) ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C);
(αA) ⊗ B = A ⊗ (αB) = α(A ⊗ B);
Raices
cuadradas de
Kronecker
Potencias de
Kronecker
El cubo
Matriz vec por bloques
(A + B) ⊗ C = A ⊗ C + B ⊗ C;
Resultados
A ⊗ (B + C) = A ⊗ B + A ⊗ C;
Conclusiones
(A ⊗ B)T = AT ⊗ B T ;
(A ⊗ B)−1 = A−1 ⊗ B −1 ;
A ⊗ B = 0 ⇐⇒ A = 0 ó B = 0.
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
UMA 2016
Argentina
4 / 23
Producto de Kronecker
UMA 2016
Eberle–Redondo
Dada la matriz X , vec(X ) es el vector obtenido al apilar
las columnas de X .


x
 y 
x z

X =
=⇒ vec(X ) = 
 z 
y t
t
Producto de
Kronecker
Raices
cuadradas de
Kronecker
Potencias de
Kronecker
El cubo
Matriz vec por bloques
Resultados
Dadas las matrices A, X y B
Conclusiones
AX = B ⇐⇒ (I ⊗ A) vec(X ) = vec(B).
A ⊗ X = B??
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
UMA 2016
Argentina
5 / 23
Producto de Kronecker
UMA 2016
Eberle–Redondo
Dada la matriz X , vec(X ) es el vector obtenido al apilar
las columnas de X .


x
 y 
x z

X =
=⇒ vec(X ) = 
 z 
y t
t
Producto de
Kronecker
Raices
cuadradas de
Kronecker
Potencias de
Kronecker
El cubo
Matriz vec por bloques
Resultados
Dadas las matrices A, X y B
Conclusiones
AX = B ⇐⇒ (I ⊗ A) vec(X ) = vec(B).
A ⊗ X = B??
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
UMA 2016
Argentina
5 / 23
Producto de Kronecker
UMA 2016
Eberle–Redondo
Dada la matriz X , vec(X ) es el vector obtenido al apilar
las columnas de X .


x
 y 
x z

X =
=⇒ vec(X ) = 
 z 
y t
t
Producto de
Kronecker
Raices
cuadradas de
Kronecker
Potencias de
Kronecker
El cubo
Matriz vec por bloques
Resultados
Dadas las matrices A, X y B
Conclusiones
AX = B ⇐⇒ (I ⊗ A) vec(X ) = vec(B).
A ⊗ X = B??
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
UMA 2016
Argentina
5 / 23
Producto de Kronecker
UMA 2016
Eberle–Redondo
Dada la matriz X , vec(X ) es el vector obtenido al apilar
las columnas de X .


x
 y 
x z

X =
=⇒ vec(X ) = 
 z 
y t
t
Producto de
Kronecker
Raices
cuadradas de
Kronecker
Potencias de
Kronecker
El cubo
Matriz vec por bloques
Resultados
Dadas las matrices A, X y B
Conclusiones
AX = B ⇐⇒ (I ⊗ A) vec(X ) = vec(B).
A ⊗ X = B??
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
UMA 2016
Argentina
5 / 23
Producto de Kronecker
UMA 2016
Eberle–Redondo
H ARDY, YORICK, On Kronecker quotients. Electron.
J. Linear Algebra 27 (2014)
Propone hallar una operación tal que
A (A ⊗ B) = B.
Producto de
Kronecker
Raices
cuadradas de
Kronecker
Potencias de
Kronecker
El cubo
Matriz vec por bloques
Resultados
O JEDA , I GNACIO, Kronecker square roots and the
block vec matrix. Amer. Math. Monthly 122 (2015)
Conclusiones
Establece condiciones para que A sea B ⊗ B para
alguna matriz B.
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
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6 / 23
Raices cuadradas de Kronecker
UMA 2016
Eberle–Redondo
Definición
Producto de
Kronecker
Sea A = (Aij ) ∈ Kmp×nq una matriz en bloques
Aij ∈ Kp×q . La matriz vec por bloques de A
correspondiente a la partición dada es la matriz mn × pq




A1
vec(A1j )T
 A2 


 :




vec (p×q) (A) = 
 :  , Aj =  :

 : 
vec(Amj )T
An
Raices
cuadradas de
Kronecker
Potencias de
Kronecker
El cubo
Matriz vec por bloques
Resultados
Conclusiones
Si p = q = 1, vec (p×q) (A) = vec(A).
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
UMA 2016
Argentina
7 / 23
Raices cuadradas de Kronecker
UMA 2016
Eberle–Redondo
Definición
Producto de
Kronecker
Sea A = (Aij ) ∈ Kmp×nq una matriz en bloques
Aij ∈ Kp×q . La matriz vec por bloques de A
correspondiente a la partición dada es la matriz mn × pq




A1
vec(A1j )T
 A2 


 :




vec (p×q) (A) = 
 :  , Aj =  :

 : 
vec(Amj )T
An
Raices
cuadradas de
Kronecker
Potencias de
Kronecker
El cubo
Matriz vec por bloques
Resultados
Conclusiones
Si p = q = 1, vec (p×q) (A) = vec(A).
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
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7 / 23
Raices cuadradas de Kronecker
UMA 2016
Ejemplo
Eberle–Redondo
Producto de
Kronecker

x
 y
Sea A = 
 s
w
vec
Raices
cuadradas de
Kronecker

z
t 
 entonces
u 
v
(2×2)
(A) =
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
x
s
Potencias de
Kronecker
El cubo
Matriz vec por bloques
Resultados
y
w
z t
u v
UMA 2016
Conclusiones
.
Argentina
8 / 23
Raices cuadradas de Kronecker
UMA 2016
Eberle–Redondo
Producto de
Kronecker
Teorema (Ojeda, 2015)
Si A ∈
2
2
Km ×n
yB∈
Km×n
entonces:
i) A = B ⊗ B si y sólo si vec (m×n) (A) = vec(B)vec(B)T ,
ii) si A = B ⊗ B entonces vec (m×n) (A) es simétrica y
tiene rango 1.
Raices
cuadradas de
Kronecker
Potencias de
Kronecker
El cubo
Matriz vec por bloques
Resultados
Conclusiones
Si m = n = 1 y A = (−1), vec (1×1) (A) = (−1). Es
simétrica y de rango 1, pero A no tiene raı́ces reales
cuadradas de Kronecker.
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
UMA 2016
Argentina
9 / 23
Raices cuadradas de Kronecker
UMA 2016
Eberle–Redondo
Producto de
Kronecker
Teorema (Ojeda, 2015)
Si A ∈
2
2
Km ×n
yB∈
Km×n
entonces:
i) A = B ⊗ B si y sólo si vec (m×n) (A) = vec(B)vec(B)T ,
ii) si A = B ⊗ B entonces vec (m×n) (A) es simétrica y
tiene rango 1.
Raices
cuadradas de
Kronecker
Potencias de
Kronecker
El cubo
Matriz vec por bloques
Resultados
Conclusiones
Si m = n = 1 y A = (−1), vec (1×1) (A) = (−1). Es
simétrica y de rango 1, pero A no tiene raı́ces reales
cuadradas de Kronecker.
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
UMA 2016
Argentina
9 / 23
Raices cuadradas de Kronecker
UMA 2016
Eberle–Redondo
Producto de
Kronecker
Teorema (Ojeda, 2015)
2
2
Km ×n ,
con K = R ó C. Supóngase que
Sea A ∈
vec (m×n) (A) es simétrica y de rango 1.
i) Existe una matriz B ∈ Cm×n tal que A = B ⊗ B.
Km×n
ii) Si B, C ∈
son tales que A = B ⊗ B = C ⊗ C,
entonces C = B ó C = −B.
Raices
cuadradas de
Kronecker
Potencias de
Kronecker
El cubo
Matriz vec por bloques
Resultados
Conclusiones
iii) Si K = R existe B ∈ Rm×n tal que
A = B ⊗ B ⇐⇒ tr vec (m×n) (A) > 0.
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
UMA 2016
Argentina
10 / 23
Raices cuadradas de Kronecker
Ejemplo
Sea B =


B⊗B =

UMA 2016
Eberle–Redondo
x z
y t
x 2 xz xz z 2
xy xt yz tz
xy yz tx tz
y 2 ty ty t 2


Producto de
Kronecker

x
 y 

vec(B) = 
 z 
t



Raices
cuadradas de
Kronecker
Potencias de
Kronecker
El cubo
Matriz vec por bloques

x2
 xy
vec (2×2) (B ⊗ B) = 
 xz
tx

x(x
 y(x
= 
 z(x
t(x
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
xy
y2
yz
ty
y
y
y
y
xz
yz
z2
tz
z
z
z
z
Resultados

xt
ty 

tz 
t2

Conclusiones
t)
t) 
 = vec(B) ⊗ vec(B)T
t) 
t)
UMA 2016
Argentina
11 / 23
Potencias de Kronecker
UMA 2016
Eberle–Redondo
Nos preguntamos:
¿Qué ocurre si se trata de un cubo?
¿Qué condiciones debe cumplir A para que exista B
con
A=B⊗B⊗B
Producto de
Kronecker
Raices
cuadradas de
Kronecker
Potencias de
Kronecker
El cubo
cuando K = R?
Más generalmente, si
Matriz vec por bloques
⊗n
B=B
⊗ · · · B}
| ⊗ B{z
Resultados
Conclusiones
n veces
cómo debe ser A para que
A = ⊗n B
y cómo debe ser para que la solución exista en R?
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
UMA 2016
Argentina
12 / 23
Potencias de Kronecker
El cubo
UMA 2016
El cubo
Eberle–Redondo
Producto de
Kronecker






3
⊗ B=





x3
x 2y
x 2y
xy 2
x 2y
xy 2
xy 2
y3
x 2z
tx 2
xyz
txy
xyz
txy
y 2z
ty 2
x 2z
xyz
tx 2
txy
xyz
y 2z
txy
ty 2
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
xz 2
txy
txz
t 2x
yz 2
tyz
tyz
t 2y
x 2z
xyz
xyz
y 2z
tx 2
txy
txy
ty 2
UMA 2016
xz 2
txz
yz 2
tyz
txz
t 2x
tyz
t 2y
xz 2
yz 2
txz
tyz
txz
tyz
t 2x
t 2y
z3
tz 2
tz 2
t 2z
tz 2
t 2z
t 2z
t3












Raices
cuadradas de
Kronecker
Potencias de
Kronecker
El cubo
Matriz vec por bloques
Resultados
Conclusiones
Argentina
13 / 23
Potencias de Kronecker
El cubo
UMA 2016
Eberle–Redondo

vec (2×2) (⊗3 B)11
x3
 x 2y
= 
 x 2z
tx 2
 2
x (x
 xy(x
= 
 xz(x
xt(x

x(x
 y (x
= x
 z(x
t(x
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
x 2y
xy 2
xyz
txy
x 2z
tx 2

y
y
y
y
z
z
z
z
xyz txy 

xz 2 txz 
txz t 2 x

t)
t) 

t) 
t)
y
y
y
y
z
z
z
z

t)
t) 

t) 
t)
UMA 2016
Producto de
Kronecker
Raices
cuadradas de
Kronecker
Potencias de
Kronecker
El cubo
Matriz vec por bloques
Resultados
Conclusiones
Argentina
14 / 23
Potencias de Kronecker
El cubo
UMA 2016
Eberle–Redondo

vec (2×2) (⊗3 B)21
x 2y
 xy 2
= 
 xyz
txy

xy(x
 y 2 (x
= 
 yz(x
yt(x

x(x
 y(x
= y
 z(x
t(x
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
xy 2
xyz
y3
y 2z
y 2 z yz 2
ty 2 tyz

y z t)
y z t) 

y z t) 
y z t)
y
y
y
y
UMA 2016
z
z
z
z

txy
ty 2 

tyz 
t 2y
Producto de
Kronecker
Raices
cuadradas de
Kronecker
Potencias de
Kronecker
El cubo
Matriz vec por bloques
Resultados
Conclusiones

t)
t) 

t) 
t)
Argentina
15 / 23
Potencias de Kronecker
El cubo
UMA 2016
Eberle–Redondo

vec (2×2) (⊗3 B)12
x 2z
 xyz
= 
 xz 2
txz

xz(x
 yz(x
= 
 z 2 (x
zt(x

x(x
 y (x
= z
 z(x
t(x
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
xz 2
xyz
y 2 z yz 2
yz 2 z 3
tyz tz 2

y z t)
y z t) 

y z t) 
y z t)
y
y
y
y
UMA 2016
z
z
z
z

txz
tyz 

tz 2 
t 2z
Producto de
Kronecker
Raices
cuadradas de
Kronecker
Potencias de
Kronecker
El cubo
Matriz vec por bloques
Resultados
Conclusiones

t)
t) 

t) 
t)
Argentina
16 / 23
Potencias de Kronecker
El cubo
UMA 2016
Eberle–Redondo

vec (2×2) (⊗3 B)22
tx 2
 txy
= 
 txz
t 2x

xt(x
 yt(x
= 
 zt(x
t 2 (x

x(x
 y (x
= t
 z(x
t(x
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
txy
ty 2
tyz
t 2y
t 2x

y
y
y
y
z
z
z
z
txz
tyz t 2 y 

tz 2 t 2 z 
t 2z t 3

t)
t) 

t) 
t)
y
y
y
y
z
z
z
z

t)
t) 

t) 
t)
UMA 2016
Producto de
Kronecker
Raices
cuadradas de
Kronecker
Potencias de
Kronecker
El cubo
Matriz vec por bloques
Resultados
Conclusiones
Argentina
17 / 23
Potencias de Kronecker
El cubo
UMA 2016
Eberle–Redondo
vec (2×2)
 vec (2×2)

 vec (2×2)
vec (2×2)

(⊗3 B)11 (⊗3 B)21 (⊗3 B)12 (⊗3 B)22

 
x
x(x y

 y   y(x y
 = 
 

 z  ⊗  z(x y
t
t(x y
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)

z
z
z
z

t)
t) 

t) 
t)
z
z
z
z

Producto de
Kronecker
Raices
cuadradas de
Kronecker
Potencias de
Kronecker
El cubo
Matriz vec por bloques

x(x
 y(x
= vec(B) ⊗ 
 z(x
t(x
=
y
y
y
y
t)
t) 

t) 
t)
Resultados
Conclusiones
⊗2 vec(B) ⊗ vec(B)T
UMA 2016
Argentina
18 / 23
Potencias de Kronecker
Matriz vec por bloques
UMA 2016
vec por bloques
Eberle–Redondo
Dada una matriz A de dimensión 2n × 2n , con estructura
2 × 2 en bloques, siendo cada bloque de dimensión
2n−1 × 2n−1 :


A11 A12
,
A=
A21 A22
se vuelve a particionar en bloques cada uno de los
bloques Aij , siguiendo una estructura 2 × 2, donde cada
bloque es de dimensión 2n−2 × 2n−2 .
Al cabo de n − 2 particiones el proceso se agota, siendo
los últimos bloques obtenidos de dimensión 4 × 4.
Se han obtenido un total de 22n−4 bloques.
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
UMA 2016
Producto de
Kronecker
Raices
cuadradas de
Kronecker
Potencias de
Kronecker
El cubo
Matriz vec por bloques
Resultados
Conclusiones
Argentina
19 / 23
Potencias de Kronecker
Matriz vec por bloques
UMA 2016
Eberle–Redondo
Con el alfabeto {11, 21, 12, 22} se ordenan los bloques
obtenidos en orden lexicográfico
o
n
Ax1 , Ax2 , · · · , Ax22n−4
Producto de
Kronecker
Raices
cuadradas de
Kronecker
Potencias de
Kronecker
El cubo
Matriz vec por bloques
donde cada xi es una palabra de longitud n − 2.
Para cada uno de dichos bloques se calcula
Resultados
Conclusiones
vec (2×2) (Axi ) .
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
UMA 2016
Argentina
20 / 23
Potencias de Kronecker
Matriz vec por bloques
UMA 2016
Eberle–Redondo
Siendo entonces
Producto de
Kronecker
vec por bloques

vec [2×2] (A)
vec (2×2) Ax1
vec (2×2) Ax2


=
 :
 :
vec (2×2) Ax22n−4






Raices
cuadradas de
Kronecker
Potencias de
Kronecker
El cubo
Matriz vec por bloques
Resultados
Conclusiones
Si A es 4 × 4 entonces
vec [2×2] (A) = vec (2×2) (A).
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
UMA 2016
Argentina
21 / 23
Potencias de Kronecker
Matriz vec por bloques
UMA 2016
Eberle–Redondo
Siendo entonces
Producto de
Kronecker
vec por bloques

vec [2×2] (A)
vec (2×2) Ax1
vec (2×2) Ax2


=
 :
 :
vec (2×2) Ax22n−4






Raices
cuadradas de
Kronecker
Potencias de
Kronecker
El cubo
Matriz vec por bloques
Resultados
Conclusiones
Si A es 4 × 4 entonces
vec [2×2] (A) = vec (2×2) (A).
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
UMA 2016
Argentina
21 / 23
Resultados
UMA 2016
Resultados
Eberle–Redondo
Producto de
Kronecker
Raices
cuadradas de
Kronecker
Teorema
Sea A ∈ K2
n ×2n
y B una matriz 2 × 2, entonces:
El cubo
Matriz vec por bloques
⊗n B
i) A =
si y sólo si
vec [2×2] (A) = ⊗n−1 vec(B) ⊗ vec(B)T ,
⊗n B
ii) A =
si y sólo si cada bloque Axi de
es simétrico y de rango 1.
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
Potencias de
Kronecker
UMA 2016
Resultados
Conclusiones
vec [2×2] (A)
Argentina
22 / 23
Conclusiones
UMA 2016
Eberle–Redondo
Producto de
Kronecker
Se proponen resultados para potencias en general
que, al ponerlos en el contexto de los cuadrados de
Kronecker, coinciden con los resultados de Ojeda.
Pendientes:
Demostración de los resultados.
Encontrar las condiciones necesarias para poder
resolver el problema en K = R.
Extender los resultados a matrices de dimensión
m × m.
Eberle–Redondo (Universidad Nacional del Sur)
UMA 2016
Raices
cuadradas de
Kronecker
Potencias de
Kronecker
El cubo
Matriz vec por bloques
Resultados
Conclusiones
Argentina
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