Solución numérica para una clase de problemas

Transcripción

Tesis de Doctorado
Solución numérica para una clase de
problemas
provenientes de modelos cuánticos
Por
Néstor H. Biedma
Trabajo de Tesis para optar al Título de
Doctor en Matemática Computacional e Industrial
Director
Dr. Mariano De Leo
Facultad de Ciencias Exactas
Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires
Tandil, 4 de julio de 2016
DMCI
Doctorado en Matemática Computacional e Industrial
2
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Dedicatoria
Dedicado a
mi madre Holanda y mi padre Jorge Hugo
mis hijos Luis Ariel y Nestor Alejandro
mi amigo Mariano
mi esposa Debora
mi amigo que ya no está físicamente, Luis Natalini
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4
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Agradecimientos
Citando a Bernardo de Chartres, Newton esboza en una carta a Robert
Hooke, Si he logrado ver más lejos, ha sido porque he subido a hombros de
gigantes. Esto intenta caracterizar el proceso colectivo en la construcción del
conocimiento cientíco, y nunca lo he encontrado más cierto que a la hora de
agradecer profundamente lo que otros gigantes han hecho por llevarme hasta
aquí. Si bien Mariano De Leo, es sucientemente alto para tomarlo como un
gigante, no es esa la característica que lo distingue como tal, sino su inmensa
generosidad y humildad más allá de su gran capacidad académica, fortalezas
con las que me llevo en hombros hasta lograr la presente producción. Sin embargo, no ha estado sólo en esa tarea, mi madre, Holanda Guzman, que es
pequeña de contextura, pero tiene un inmenso desapego, entrega y amor, cualidades que la hacen otra gigante que me ha puesto en sus hombros desde mi
nacimiento, sin dejar de acompañarme, aún en mis desaciertos. Otros colosos
han estado para que pudiera lograr mi objetivo, gracias inconmensurables a:
El director de esta querida carrera, Pablo Lotito, que tan diligentemente y con
profundo profesionalismo y desinterés abrió el sendero para que pudiera desenvolverme en nuestra casa de altos estudios, que ahora es mi alma mater y de
la que estoy inmensamente orgulloso.
Mi padre, Jorge Hugo Biedma, que de una u otra forma siempre colaboró con
mi formación y mis proyectos.
Mis hijos Luis Ariel Biedma y Néstor Alejandro Biedma, quienes soportaron
todo lo que les he dado, sin dejar de acompañarme, siendo dos estrellas guías.
Mi esposa Debora Constanza Bertoia, quien siempre fue una inspiración y combustible para mi desarrollo.
Mi amigo Santiago Roberto Suñer, siempre dándome ánimo y cariño, en particular en los momentos más duros.
Mi alumno Juan Manuel Rioseco, un pilar estructural de cualquier empresa
que me proponga, con gran humildad siempre dispuesto a ayudar.
Mis alumnas Agustina Azua y Milena Manzetti, que con su vivacidad, espontaneidad y cariño me trajeron alegría y luz en momentos de tristeza y oscuridad.
A todos ustedes les prometo esforzarme para intentar estar a vuestras alturas
y continuar dándole a otros lo que ustedes me dieron a mí.
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Índice general
Índice de guras
9
Índice de tablas
11
Resumen
13
Introducción
17
1. Existencia de dinámica
23
El problema en su contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Abreviaturas y Símbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Preliminares y leyes de conservación . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Resolución numérica vía métodos espectrales de descomposición
temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Marco general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. El caso bajo estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Descomposición espectral: caso discreto . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Funciones de Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Autofunciones y autovalores . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Espectro continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. La teoría de Weyl-Stone-Titchmarsh-Kodaira . . . . . .
1.4.2. Descomposición espectral del operador lineal . . . . . .
2. Cómputo de los coecientes de Fourier
Resumen . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Cuadraturas . . . . . . . . .
2.2. Obtención de polinomios . .
2.3. Algoritmos Híbridos . . . .
2.4. La Resolución del Problema:
ritmo de GolubWelsch . . .
2.5. Acerca de la implementación
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
Procedimiento de
. . . . . . . . . .
de los algoritmos
7
. . . . . . . . .
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Stieljes y Algo. . . . . . . . .
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3. La evolución
Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Evolución del término lineal: expresión matricial . .
3.3. Evolución del término no lineal: expresión matricial
3.4. Algoritmo: expresión matricial . . . . . . . . . . . .
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71
71
72
4. Cálculo de estados fundamentales: un problema de optimización
75
Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Planteo del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Evolución de los problemas parciales: expresión matricial . . .
4.2.1. Problema parcial (P1) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Algoritmos para obtención del estado fundamental: versión matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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81
. 83
Conclusiones y desafíos
87
Bibliografía
89
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Índice de guras
1.1. Funciones de Airy: Ai(x) línea llena y Bi(x) línea punteada. .
1.2. Denición de λM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Autofunciones pares: φ0 (x) línea llena, φ2 (x) trazo discontinuo
y φ4 (x) línea punteada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Autofunciones impares: φ1 (x) línea llena, φ3 (x) trazo discontinuo y φ5 (x) línea punteada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 33
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. 37
. 38
2.1. Distribución de los nodos en la semirrecta [0, +∞) . . . . . . . . 63
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Índice de cuadros
2.1. Hardware y Software empleados en las experiencias. . . . . . .
2.2. Tiempo empleado para obtención de coecientes por medio de
proceso de Stieljes y el algoritmo Golub-Welsh. . . . . . . . .
2.3. Tiempo empleado para obtención de coecientes por medio del
algoritmo de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Primeros coecientes αk y βk sobre 200 calculados. Expresados
con 40 dígitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Primeros nodos y pesos sobre 200 calculados. Expresados con
40 dígitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 62
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3.1. Precisión para diferentes cantidades de nodos y autofunciones . 70
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Resumen:
Se ofrecen aquí soluciones numéricas para obtener: la evolución de cargas
asociada a la ecuación de SchrödingerPoisson y el estado fundamental, minimizante de la energía H . Ambos problemas son atacados desde la perspectiva
de los métodos espectrales de descomposición temporal. La evolución se descompone iut = Lq u + V (|u|2R) · u donde Lq φ = −φxx + q|x|φ, q > 0, denido
en D(Lq ) = {φ ∈ H 1 (R) : |x||φ(x)|2 dx < +∞}, y V (|u|2 ) es un operador
de multiplicación (real) denido a partir de una integral. Los ujos parciales
serán entonces los generados por el operador Lq y las soluciones de la ecuación
ivt = V (|v|2 )v. El ujo parcial para Lq surge de la descomposición espectral,
expresable mediante las funciones de Airy. Para la parte no lineal, el obstáculo
a superar es el cálculo de la integral que dene a V. Se diseña un algoritmo
híbrido simbólico-numérico que provee una cuadratura gaussiana que calcula
todas las integrales involucradas. Complementariamente, se ofrece la descomposición espectral para L− (φ) = −φxx − |x|φ.
El mínimo de H se obtiene planteando una ecuación de evolución sobre
la esfera unitaria de L2 (R). Como ∇H(φ) = L+ φ + V (|φ|2 ) · φ, los nodos y
los pesos hallados permiten descomponer el campo de velocidades con ujos
parciales computables. Finalmente, se comprueba que el estado fundamental
obtenido evoluciona manteniendo (aproximadamente) ja la distribución de
cargas, propiedad que caracteriza al estado fundamental.
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Numerical solution for a class of problems
stemming from quantum models
Abstract: In this work numerical solutions are given for the Schrödinger
Poisson equation, and the related ground states, which are minimizers of the
energy H . In both cases the key ingredient are the time-splitting spectral
methods. The evolution is given by iut = Lq u +
V (|u|2 ) · u where Lq φ =
R
−φxx + q|x|φ, q > 0 with D(Lq ) = {φ ∈ H 1 (R) : |x||φ(x)|2 dx < +∞}, and
V (|u|2 ) is a (real) multiplication operator involving an integration in the whole
line. The partial ows are given by the unitary group generated by Lq and the
solutions of the non linear problem ivt = V (|v|2 )v. Tha partial ow given by
Lq is constructed using the spectral decomposition which is given by means
of the Airy functions. Concerning the non linear term, the challenge is given
by the computation of the integral involved in the multiplication operator V.
Both cases are treated by means of a Gaussian quadrature obtained using an
hibrid symbolic-numeric algorithm. It is also given the spectral decomposition
L− (φ) = −φxx − |x|φ.
The minimizer is obtained by rst posing a Cauchy problem into the unitary
sphere of L2 (R). Since ∇H(φ) = L+ φ + V (|φ|2 ) · φ, the related partial ows are
computed from the nodes and weights previously obtained. Eventually, it is
checked that the computed ground state evolves in such a way that the charge
density is constant.
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Introducción
El problema en su contexto
En mecánica cuántica la evolución del sistema (en el caso lineal) está gobernada por la ecuación de Schroedinger
d
ψ = iLψ
dt
(1)
donde ψ, el estado o la función de onda, es un vector en un espacio de Hilbert
H y L es un operador autoadjunto, llamado hamiltoniano, típicamente no
acotado, ver [18], Cap. VIII.11, pág. 303. Como ejemplo básico se destaca
Lψ = −4ψ + V · ψ
(2)
donde V (x) es una función denida en un abierto Ω ⊆ Rd , con un abuso de
lenguaje también usaremos la notación V (x) para el operador de multiplicación
respectivo, que en lo sucesivo llamaremos potencial. Así, el operador laplaciano
−4 resulta ser el hamiltoniano de la partícula libre y por lo tanto será llamado
energía cinética; el hamiltoniano se presenta, entonces, como la suma entre un
término cinético correspondiente a una partícula libre, habitualmente dado por
el operador laplaciano, y un término que modela la interacción a través de la
función potencial V . Dado que, en general, el hamiltoniano es un operador
no acotado forma parte del problema indicar cuál es el dominio en el que se
lo dene. En el caso del laplaciano la elección típica es el espacio de Sobolev
H 2 (Ω), las funciones denidas en el abierto conexo Ω cuyas derivadas parciales
hasta orden 2 son cuadrado integrables. Para este trabajo resulta especialmente
importante el caso unidimesional en el que Ω = R, asimismo es relevante desde
el punto de vista del desarrollo de modelos matemáticos para el movimiento de
cargas en dispositivos semiconductores, ver [6] y las referencias allí presentadas,
la situación en que el potencial V es autoconsistente esto es, que toma en cuenta
el potencial electrostático generado por la propia carga |ψ|2 . Especícamente,
que el potencial sea autoconsistente signica que la función de onda ψ satisface
la ecuación de Poisson Vxx = D − |ψ|2 , donde D es una función regular positiva
17
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localizada llamada perl de dopaje. Aprovechando que la solución fundamental
es 12 |x| podemos expresar al potencial V mediante la convolución:
1
V = |x| ∗ D − |ψ|2 ,
2
lo que pone en evidencia que el potencial V es una no linealidad de naturaleza
no local, también conocido como potencial de tipo Hartree.
El problema de Cauchy cuya solución numérica es el objeto del presente
trabajo está dado por
1
iut (x, t) = −uxx (x, t) + |x| ∗ D(x) − |u(x, t)|2 ,
2
u(x, 0) = u0 (x)
x ∈ R, t > 0
(3)
(4)
El buen
R planteo2 global de este problema en el espacio de trabajo H := {φ ∈
H (R) : |x||φ(x)| dx} para el caso en que el perl de dopaje supere a la carga
total, kDkL1 (R) − ku0 k2L2 (R) > 0, está probado en [6], donde además de mostrar
la existencia global de soluciones, la unicidad de las mismas y la dependencia
continua en los datos de entrada se presentan dos leyes de conservación: la
conservación de la carga total, kuk2L2 (R) (t) = ku0 k2L2 (R) , y la conservación del
funcional de energía H, denido por
1
1 |x|
1 |x|
2
H(φ) = hφx ; φx i + h
∗ D φ; φi − h
∗ |φ| φ; φi
2
2
2
4
2
1
Bajo estas condiciones es posible plantear el problema de optimización con
restricciones: hallar φ∗ ∈ H tal que kφ∗ k2L2 (R) = 1 y H(φ∗ ) ≤ H(φ) para
cualquier φ ∈ H con kφk2L2 (R) = 1. La relación que existe entre éste y el
problema de Cauchy dado por (3) es muy fácil de expresar. La única solución
del problema con dato inicial φ∗ está dada por e−iEt φ∗ (x), donde E es el valor
mínimo para el funcional de energía. Cabe mencionar que en la literatura los
mínimos de la energía son llamados estados fundamentales. La existencia de
estados fundamentales para el problema (3) está probada en [5].
En este trabajo se toma en consideración el problema de hallar soluciones numéricas tanto para la ecuación (3) como para la obtención de estados
fundamentales, en ambos casos desde una perspectiva de diseño de algoritmos
basados en métodos espectrales de descomposición temporal. La idea detrás de
los métodos de descomposición temporal es la de aplicar en forma alternada los
ujos parciales relacionados con una descomposición del operador que origina
la dinámica, cuya versión lineal está dada por el teorema de Lie para aproximar la exponencial de la suma de operadores lineales que no conmutan. Son
conocidos los métodos simplécticos, pongamos por caso el método de Strang de
18
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orden 2, que preservan la estructura Hamiltoniana, ver [17] y las referencias allí
citadas. La principal desventaja que ofrecen es que su aplicación a problemas
no conservativos está condicionada al orden de convergencia: es sabido que métodos de orden superior a 3 requieren de un paso hacia atrás en el tiempo, ver
[12]. En un trabajo reciente, ver [8], se desarrollan métodos de descomposición
temporal basados en el proceso de extrapolación y denominados anes que sin
estar diseñados para conservar la energía muestran un desempeño comparable con los métodos simplécticos pero además no requieren de pasos negativos
para conseguir órdenes altos de convergencia, lo que los hace apropiados para
tratar problemas disipativos como el relacionado con el método de descenso de
gradiente para obtener estados fundamentales.
La posibilidad de aplicar estos métodos, en lo que se reere al operador
lineal, requiere del conocimiento más o menos explícito de la descomposición
espectral del operador. Para el problema (3) el operador lineal, luego de un
cambio de escala, está dado por L+ φ = −φxx + |x|φ cuya descomposición espectral puede expresarse a partir de las funciones de Airy, ver [7] y [20]. El
desafío entonces está dado por la obtención de los respectivos coecientes de
Fourier o, más especícamente, del cómputo de las integrales (en toda la recta)
asociadas a los mismos vía cuadraturas Gaussianas. Esta dicultad se resuleve
mediante la implementación de un algoritmo híbrido simbólico-numérico, ver
los trabajos de Gautschi [10, 11] y de Milanovic [13, 14] junto con la reformulación del concepto de mal condicionamiento introducido por Kaltofen en
[15].
El trabajo está dividido de la siguiente manera: en el Capítulo 1 se plantea
la existencia de dinámica, se ofrecen las reformulaciones apropiadas, se plantea
la resolución vía la aplicación de métodos espectrales de descomposición temporal, y se presenta la descomposición espectral del operador lineal, se adjunta
también la descomposición espectral para el caso supercrítico, según la nomenclatura introducida en [6], que da lugar a un operador con espectro continuo.
En el Capítulo 2 se desarrollan los pormenores concernientes a la obtención
de los nodos y los pesos de una cuadratura Gaussiana que permita obtener
los coecientes de Fourier y se expresan los ujos parciales ya truncados en
su versión matricial. En el Capítulo 3 se presenta el algoritmo que da la evolución del problema (3) en su versión matricial. El Capítulo 4 está dedicado
al problema de la obtención de los estados fundamentales. Las conclusiones y
los nuevos desafíos se plantean en el Capítulo 5 junto con los algoritmos (en
pseudo-código), los grácos y las animaciones (disponibles en pdf de realidad
aumentada).
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Abreviaturas y Símbolos
A lo largo del presente trabajo haremos uso de los siguientes términos que, a
pesar de estar adecuadamente informados al momento de su uso, consideramos
adecuado dejarlos agrupados en esta sección para referencia futura.
z ∗ será el conjugado de z. R(z) la parte real e I(z) la parte imaginaria,
respectivamente, del complejo z .
d
f
dt
será la derivada temporal.
∂x g = g 0 = gx serán empleadas indistintamente para indicar derivadas
espaciales.
R
L2 (Ω) := {f : Ω 7→ C : Ω |f (x)|2 dx < +∞}. El Respacio de funciones de
cuadrado integrable, con la norma kf k2L2 (Ω) := Ω |f (x)|2 dx. Funciones
denidas en un abierto Ω ⊆ Rd con valores complejos. En este trabajo consideraremos, básicamente, Ω = R y, ocasionalmente, Ω = J un
intervalo.
R
L2µ (J) := {f ∈ L2 (J) : J |x| · |f (x)|2 dx < +∞}. El espacio de funciones
de cuadrado integrables en el intervalo J, quedó dicho que en general
consideraremos JR = R, para la medida dada por el peso |x|. La norma
sera kf k2L2µ (Ω) := Ω |x| · |f (x)|2 dx.
R
H 1 (J) := {f ∈ L2 (J) : J |fx |2 < ∞}. El espacio de Sobolev de funciones
de cuadrado integrable en J hasta la derivada de orden 1, con la norma
kf k2H 1 (J) := kf k2L2 (J) + kfx k2L2 (J) .
H 2 (R) := {f ∈ L2 (R) : fx , fxx ∈ L2 (R)}. El espacio de Sobolev de
funciones con derivadas de cuadrado integrable hasta orden 2, con la
norma kf k2H 2 (R) := kf k2L2 (R) + kfx k2L2 (R) + kfxx k2L2 (R) .
Eventualmente, usaremos la denición
equivalente (ver [9], Th. 6.1, p.
R
1
2
2
191) H R(R) := {f ∈ L (R) : R |k| · |F(f )|2 < ∞} y H 2 (R) := {f ∈
L2 (R) : R |k|4 · |F(f )|2 < ∞}. Donde F(f ) la transformada de Fourier
de la función f, ver (5) más abajo.
C0 (R) := {f : R 7→ C : continua y lı́m|x|→+∞ f (x) = 0}, con la norma
kf kC0 (R) := sup{|f (x)| : x ∈ R}.
R
H := {f ∈ H 1 (R) : |x| · |f |2 < ∞} = H 1 (R) ∩ L2µ (R), con la norma
kf k2H = kfx k2L2 (R) + kf k2L2µ (R) .
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Observación: La Transformada de Fourier que tomaremos en cuenta en
este trabajo es aquella que preserva el producto interno de L2 (R). En tal caso,
la fórmula para la inversa es completamente simétrica y se obtiene a partir de
la anterior por conjugación, ver [1]:
Z
1
F(f )(k) = √
f (x)e−ikx dx .
(5)
2π R
Z
1
F(f )(k)eikx dk .
(6)
f (x) = √
2π R
Los detalles acerca de la denición para funciones con decaimiento rápido
y su extensión al espacio de funciones de cuadrado integrable pueden verse en
[19], Ch. IX The Fourier Transform.
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Capítulo 1
Existencia de dinámica
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Resumen
En esta capítulo dejaremos establecidas las cuestiones técnicas y los resultados relacionados con: la existencia global de soluciones, leyes de conservación,
resolución numérica vía métodos espectrales de descomposición temporal y la
descomposición espectral necesaria para formular tales métodos. En lo que se
reere a la obtención numérica de soluciones aproximadas, objeto del presente
trabajo, la tarea comporta varias etapas. En este capítulo nos dedicamos a la
primera de ellas que se ocupa de expresar la solución exacta como un límite
de expresiones computables en términos de integrales.
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1.1.
Preliminares y leyes de conservación
El problema de evolución cuya resolución numérica es objeto del presente
trabajo está dado por las siguientes ecuaciones, los detalles pueden verse en
[6],
i
d
u(x, t) = −uxx (x, t) + V (x) · u(x, t), x ∈ R
dt
Ecuación de Schrödinger
Ecuación de Poisson
Vxx (x, t) = D(x) − |u(x, t)|2 ,
Dato inicial
u(x, 0) = φ0 ,
donde D es una función regular positiva localizada llamada perl de dopaje.
Aprovechando que 21 |x| es la solución fundamental para la ecuación de Poisson
unidimensional podemos escribir el potencial V como la siguiente convolución:
1
V (x) = |x| ∗ D − |u(x, t)|2
2
Debido a la dicultad de tratamiento de bajas frecuencias en el caso unidimensional los resultados de buen planteo se basan en la descomposición siguiente:
i
d
u(x, t) = −uxx (x, t) + q|x|u(x, t) + V∞ (u)(x) · u(x, t)
dt
u(x, 0) = φ0
(1.1)
(1.2)
donde q = kDkL1 (R) − kuk2L2 (R) es un parámetro y V∞ (u) está dado por
Z
1
V∞ (u)(x) =
(|x − y| − |x|) D(y) − |u(y, t)|2 dy
(1.3)
R 2
Para cada q ∈ R − {0} introducimos la notación Lq para representar el
operador Lq (φ) := −φxx + q|x|φ. Según el signo de q se tienen dos situaciones
de naturaleza diferente: Para q > 0, llamado caso subcrítico, el operador Lq
tiene espectro discreto con base de autofunciones expresables a partir de las
funciones de Airy, ver [20], los detalles serán desarrollados en la Sección 1.3;
mientras que para q < 0, caso supercrítico, el espectro del operador es continuo.
En este último caso, la descomposición espectral ofrecida en la Sección 1.4 es
original.
Veamos, a continuación, las dos leyes de conservación que serán de utilidad
en lo sucesivo, relacionadas con las cantidades: carga y energía. Incluimos la demostración de la conservación de la carga, la conservación de la energía sale de
manera completamente similar aplicando un resultado previo que consignamos
a continuación.
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Lema 1.1 Sean f, g ∈ H 1 (R) := {φ ∈ L2 (R) : R |φx (x)|2 dx < ∞} y sea h·; ·i
el producto interno de L2 (R). Entonces vale la identidad:
R
(1.4)
hf ; gx i = −hfx ; gi
Demostración.
Z
R
La fórmula de integración por partes establece que:
+∞ Z
∗
∗
− fx (x)g ∗ (x)dx
f (x)(g )x (x)dx = (f (x)g (x)) −∞
R
+∞
de modo que lo único por demostrar es que el término de borde (f (x)g ∗ (x)) −∞
se anula. Pero eso es consecuencia del Lema de Sobolev que establece que
H 1 (R) ⊆ C0 (R), el conjunto de funciones continuas que tienden a cero en
innito, ver [9], Ch. 6, p. 194.
Pasemos, entonces, a la conservación de la carga.
Teorema 1.1 Sea u(x, t) una solución del problema (1.1) para q ∈ R cualquiera. Entonces kuk2L2 (R) = kφ0 k2L2 (R) . En otras palabras, la carga total es una
cantidad conservada.
Demostración.
Alcanza con ver que la derivada temporal de kuk2L2 (R)
es nula. Comenzamos calculando la correspondiente derivada, donde Rz es la
parte real del complejo z :
d
d
kuk2L2 (R) = hu; ui
dt
dt
= 2Rhut ; ui
y usamos que u verica
d
u
dt
= iuxx − iV u
d
kuk2L2 (R) = 2Rhut ; ui
dt
= 2Rhiuxx − iV u; ui
= 2Rhiuxx ; ui − 2RhiV u; ui .
Ahora bien, usando la simetría del operador i∂x podemos reescribir el primer término de la siguiente manera:
2Rhiuxx ; ui = 2Rhux ; iux i
Z
2
= 2R i |ux (x, t)| dx
R
=0
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Para el segundo término la situación es similar, pero aquí usamos que V (x)
es real:
Z
2
2RhiV u; ui = 2R −i V (x)|u(x, t)| dx
R
=0
Concluimos, entonces, que la derivada temporal de la carga total es nula.
La otra ley de conservación está relacionada con el uncional de energía
denido como:
1 |x|
1 |x|
1
2
∗ D φ; φi − h
∗ |φ| φ; φi
(1.5)
2
2
2
4
2
El siguiente teorema establece que la energía total se conserva a lo largo de
la trayectoria. Como expresado anteriormente la demostración es similar a la
presentada para la conservación de la carga y será omitida.
Teorema 1.2 Sea q ∈ R y sea u(x, t) una solución del problema (1.1). Entonces E(u)(t) = E(φ0 ). En otras palabras, la energía total es una cantidad
conservada.
Finalizamos esta sección con un sencillo resultado que establece que la
(sub)familia de operradores lineales Lq del problema (1.1) dada por q > 0
puede representarse con la instancia particular q = 1; en cuyo caso el correspondiente operador será denotado por L+ := −∂x2 +|x|. Algo similar ocurre con
la (sub)familia de operadores Lq con q < 0 cuyo estudio puede obtenerse a partir del caso q = −1, análogamente introducimos la notación L− := −∂x2 − |x|.
En ambos casos mostraremos cómo resolver la ecuación lineal iut = Lq u a
partir de una solución de la ecuación iut = L+ u o iut = L− u según el signo de
q.
Especícamente, mostraremos que una solución para el caso q = 1 permite
construir una solución para el caso q > 0 arbitrario.
Lema 1.2 Sea ψ± (x, t) una solución de la ecuación iut = −uxx ± |x|u. Sea
β > 0 y sea ψβ± (x, t) = ψ ± (±βx, β 2 t). Entonces ψβ± satisface la ecuación
i(ψβ± )t = −(ψβ± )xx ± β 3 |x|ψβ± .
27
(1.6)
DMCI
Demostración.
Realizando los cambios de variables r = ±βx y s = β 2 t, tenemos que
dr
= ±β , y ds
= β 2 . Calculamos
ψβ± (x, t) = ψ ± (r, s). Asimismo tenemos que dx
dt
las derivadas:
i
d ±
ds d ±
ψβ = i
ψ
dt
dt ds
d
= i ψ±β 2
ds
dr
dx
±
= ±β(ψ )r
(ψβ± )x = (ψ ± )r
(ψβ± )xx = ±β
ψ±
2
= (±β)
(r, s)
r
x
±
ψrr
(r, s)
d
Por otro lado ψ ± (r, s) es una solución de la ecuación i ds
u(r, s) = −urr (r, s)±
2
|r|u(r, s), multiplicamos ambos miembros por β , reemplazamos por las identidades previamente obtenidas y concluimos
i
i
d ±
±
ψ (r, s) = −ψrr
(r, s) ± |r|ψ ± (r, s)
ds
d ±
±
ψ (r, s)β 2 = −β 2 ψrr
(r, s) ± β 2 |r|ψ ± (r, s)
ds
d
i ψβ± (x, t) = −(ψβ± )xx (x, t) ± β 3 |x|ψβ± (x, t)
dt
Por lo que ψβ± satisface la ecuación (1.6).
1.2.
1.2.1.
Resolución numérica vía métodos espectrales de descomposición temporal
Marco general
En esta sección consideramos la ecuación
iut = L+ u + V∞ (u) · u ,
(1.7)
donde V∞ está denido por la identidad (1.3), y describimos la propuesta de
resolución numérica empleando métodos de descomposición temporal. Como
28
DMCI
este marco de referencia será empleado nuevamente para obtener estados fundamentales hacemos una breve presentación acerca del funcionamiento de estos
métodos. Los detalles pueden consultarse en el texto de E. Hairer et al, ver
[17], más orientado a métodos simplécticos, para métodos anes los detalles
pueden consultarse en [8].
Sea H un espaciio de Hilbert y sean A : D(A) 7→ H y B : D(B) 7→ H dos
operadores (no necesariamente lineales) para los cuales existen: el ujo Φ(t)
asociado a la ecuación iut = A(u) + B(u), el problema completo, y los ujos
parciales: ΦA (t), asociado al problema ivt = A(v), y ΦB (t), asociado a iwt =
B(w); asumiremos, nalmente, que todos los ujos están denidos globalmente.
La idea de los métodos de descomposición temporal es aproximar Φ(t), el ujo
total a tiempo t, mediante la aplicación de los ujos parciales ΦA y ΦB . El
modo en que se aprovechan los ujos parciales depende del tipo de método
que se diseñe. En este trabajo haremos uso de dos familias complementarias:
los métodos simplécticos que conservan la estructura hamiltoniana y se basan
en la aplicación alternada de los ujos, ver más abajo, y los métodos anes
que comportan una suerte de extrapolación.
A continuación detallamos las características de cada método. Para el caso
simpléctico y para un paso temporal pequeño h > 0, el ujo discreto ΦDiscr (h)
se dene mediante la identidad:
ΦDiscr (h) = ΦB (bm h) · ΦA (am h) · · · ΦB (b1 h) · ΦA (a1 h)
en el cual el esquema de descomposición temporal dado por los coecientes
(reales) a1 , . . . , am y b1 , . . . , bm satisface la condición a1 + . . . + am = b1 + . . . +
bm = 1. Es conocido que para métodos cuyo orden de convergencia es mayor
que 2 los coecientes no pueden ser todos positivos, ver [12]. Dado que un
coeciente negativo comporta un paso temporal hacia el pasado, los métodos
simplécticos de orden alto no son apropiados para problemas irreversibles,
como lo es el problema de optimización.
El algoritmo que desarrollamos en este trabajo hace uso en varias ocasiones
del método de Strang, cuyo orden global es h2 y está denido por m = 2,
a1 = a2 = 1/2 y b1 = 1, b2 = 0. Para facilitar la referencia futura
ΦStrang (h) = ΦA (h/2) · ΦB (h) · ΦA (h/2)
(1.8)
Para el caso afín, el ujo discreto Φh , con orden de convergencia h2s , se
dene a partir de los operadores auxiliares Φ+ = ΦB · ΦA , Φ− = ΦA · ΦB y
± m
Φ±
m = (Φ ) como sigue:
Φh =
s
X
−
γm Φ+
m (h/m) + Φm (h/m)
m=1
29
DMCI
donde los coecientes satisfacen las identidades, para s = 1 sólo la primera:
1/2 =
s
X
γm
m=1
0 = γ1 + 2−2k γ2 + · · · + s−2k γs
1≤k ≤s−1
El caso s = 2 será usado para el diseño del algoritmo por lo que dejamos
la expresión para referencia futura, notar que γ1 = − 16 y γ2 = 32 :
1
ΦAn4 (h) = − (ΦB (h) · ΦA (h) + ΦA (h) · ΦB (h)) +
6
2
(ΦB (h/2) · ΦA (h/2))2 + (ΦA (h/2) · ΦB (h/2))2
3
(1.9)
Los métodos anes están diseñados para superar las limitaciones de los
métodos simplécticos en lo concerniente a problemas irreversibles; asimismo,
y a pesar de que el diseño no procura conservar la energía, los experimentos
numéricos muestran que su desempeño frente a la energía es similar al de los
métodos simplécticos, ver [8].
1.2.2.
El caso bajo estudio
Veamos, entonces, cómo se expresa el método que nos proponemos implementar para resolver el problema (1.7). La misma ecuación provee los problemas parciales: por un lado el que está asociado al operador lineal L+ con
D(L+ ) = H dada por
(1.10)
ivt = −vxx + |x|v
v(0) = v0
y por otro lado, la ecuación asociada al término no lineal
(1.11)
iwt = V∞ (w)w
w(t0 ) = w0
A continuación nos ocuparemos de expresar el ujo de cada uno de los
problemas parciales en términos de integrales, cuyo cómputo efectivo es el
objeto del Capítulo 3.
Para la ecuación no lineal haremos uso de la siguiente ley de conservación:
Lema 1.3 Si w(x, t) es solución de la ecuación
|w(x, t0 )|.
30
(1.11)
entonces |w(x, t)| =
DMCI
Demostración.
Multiplicando por w∗ (x, t) (el complejo conjugado de
w(x, t)) a ambos lados de (1.11) obtenemos: en el lado derecho la función
V∞ (w)(x, t)|w(x, t)|2 , que resulta ser real puesto que V∞ lo es. Para el lado
izquierdo tenemos que iwt w∗ = i 12 R(|w|2 )t , y por lo tanto es una función puramente imaginaria. Concluimos, entonces, que (|w|2 )t = 0.
La ley anterior nos permite dar la expresión para la solución de (1.11).
Teorema 1.3 Para t0 ∈ R y w0 ∈ C(R, C) arbitrarios la ecuación (1.11)
admite una única solución w ∈ C(R × R, C) que está dada por la expresión
w(x, t) = w0 (x)e−itV∞ (w0 )
donde V∞ (w0 )(x) =
1
2
R
R
(1.12)
(|x − y| − |x|) (D(y) − |u(y, t)|) dy.
Demostración.
Es una consecuencia inmediata del Lema 1.2.2 ya que
V∞ (w) = V∞ (w0 ) de donde la ecuación (1.11) se convierte en una ecuación
ordinaria (lineal de orden 1) en la que x es un parámetro.
Para la ecuación lineal la situación se traslada a establecer la autoadjuntez del operador: una vez demostrada la autoadjuntez del operador lineal la
existencia de la dinámica está garantizada por el cálculo funcional que permite
denir el correspondiente grupo unitario UL (t), ver [18], Teorema VIII.5, p.
262, que permite resolver la correspondiente ecuación de evolución y posee las
siguientes propiedades, ver [18], Teorema VIII.7, p. 265.
Teorema 1.4 Sea A un operador autoadjunto con dominio denso D(A) en
un espacio de Hilbert H, sea B(H) := {L : H 7→ H, operadores acotados} y
sea UA : R 7→ B(H) la curva de operadores (acotados) denida por el cálculo
funcional aplicado a e−itx . Entonces UA satisface:
(a) UA (t) es unitario para cada t ∈ R.
(b) UA (s + t) = UA (s)UA (t) para s, t ∈ R.
(c) Para φ ∈ H vale kUA (s)φ − UA (t)φkH → 0 cuando s → t.
UA (t)φ − φ
= −itAφ.
t→0
t
(d) Para φ ∈ D(A) vale lı́m
(e) Si φ ∈ H y existe lı́m
t→0
límite vale −itAφ.)
UA (t)φ − φ
entonces φ ∈ D(A). (Por lo tanto, el
t
31
DMCI
Observación 1.1 En otras palabras, para un operador autoadjunto L : D 7→
L2 (R) con D un subespacio denso de L2 (R), la única solución para el problema
de evolución iut = Lu con u(x, 0) = u0 (x), está dada por u(x, t) = UL (t)u0 (x),
donde UL (t) es el grupo unitario generado por el operador −iL.
En la sección siguiente nos ocupamos de demostrar que los operadores
L+ := −∂x2 + |x| y L− := −∂x2 − |x| son (esencialmente)autoadjuntos en H : el
primero con espectro discreto y el segundo con espectro continuo.
1.3.
1.3.1.
Descomposición espectral: caso discreto
Funciones de Airy
Comenzamos esta sección estableciendo la relación que existe entre las funciones de Airy y la dinámica de una partícula sometida a un campo de fuerzas
d
u = −uxx + xu
constante. Consideremos la ecuación, denida para x ∈ R : i dt
−iλt
y busquemos una solución especial de la forma u(x, t) = e
ϕ(x). En tal caso la ecuación para la función auxiliar ϕ(x) y el parámetro λ se obtiene por
reemplazo directo:
i(−i)λe−iλt ϕ = −e−iλt ϕ00 + xe−iλt ϕ
λϕ = −ϕ00 + xϕ
−ϕ00 + (x − λ)ϕ = 0
Para cada λ ∈ R el cambio de variable x
x − λ convierte la ecuación
anterior en la (llamada) ecuación de Airy, los detalles pueden verse en [20],
Ch. 2:
−ϕ00 + xϕ = 0
Formalmente, podrían obtenerse soluciones de la ecuación de Schrödinger (libre) desplazando soluciones de la ecuación de Airy una cantidad λ arbitraria.
Ahora bien, la ecuación de Airy posee una base de soluciones {Ai(x), Bi(x)}
representadas en la Figura 1.1, ver [20], Ch. 2. Cabe destacar que el comportamiento de ambas funciones cerca de −∞ es similar: oscilaciones con período de
corte y amplitud comparables. Por otro lado, el comportamiento cerca de +∞
es bien distinto: Ai(+∞) := lı́m Ai(x) = 0 y Bi(+∞) := lı́m Bi(x) = +∞.
x→+∞
x→+∞
Lo que nos interesa saber es si Ai es o no cuadrado integrable para ver si la
solución especial que motivó el desarrollo de esta sección está bien denda. Las
32
DMCI
Figura 1.1: Funciones de Airy: Ai(x) línea llena y Bi(x) línea punteada.
respuestas están contenidas en las identidades que desarrollamos a continuación; las que, entre otras cosas, muestran que los desarrollos formales no son
necesariamente rigurosos.
Comenzamos por la ecuación básica que verica la función Ai y multiplicamos por ella misma para obtener:
Ai00 −x Ai = 0
Ai Ai00 −x Ai2 = 0
Integrando en el intervalo genérico (a, b), previo uso de la fórmula de integración por partes, conseguimos la siguiente expresión:
Z b
Z b
00
Ai Ai dx −
x Ai2 dx = 0
a
a
b Z b
Z b
2
Ai Ai0 −
(Ai0 ) dx −
x Ai2 dx = 0
a
a
a
que puede expresarse:
Z b
Z b
0 2
(Ai ) dx +
x Ai2 dx = Ai(b) Ai0 (b) − Ai(a) Ai0 (a)
a
(1.13)
a
a partir de la cual deducimos que Ai ∈ H 1 ((a, +∞)) ∩ LR2µ ((a, +∞)) para
∞
cualquier a ∈ R, donde L2µ ((a, +∞)) := {φ ∈ L2 ((a, +∞)) : a |x| · |φ(x)|2 <
+∞}.
33
DMCI
Tomemos ahora la ecuación básica que verica la función Ai y multipliquemos por 2 Ai0
Ai00 −x Ai = 0
2 Ai0 Ai00 −2x Ai0 Ai = 0
0
0 2
(Ai ) − 2x Ai0 Ai = 0
e integramos en el intervalo genérico (a, b) para obtener:
b Z b
2x Ai0 Ai dx
(Ai ) =
0 2
(1.14)
a
a
Aplicando integración por partes en el lado derecho conseguimos la expresión:
b Z b
Z b
0
2
(2x Ai)0 Ai dx
2x Ai Ai dx = 2x Ai −
a
a
a
b Z b
Z b
2
2
2 Ai dx −
2x Ai0 Ai dx
= 2x Ai −
a
a
Z
2
a
a
b Z b
b
0
2
2 Ai2 dx
2x Ai Ai dx = 2x Ai −
a
a
que puede reformularse, gracias a la igualdad (1.14):
Z
b
a
b
b
0 2
Ai dx = x Ai − (Ai ) 2
2
a
a
Especializando en (a, +∞) obtenemos la fórmula
Z
+∞
2
Ai2 dx = (Ai0 (a)) − a (Ai(a))2
(1.15)
a
que será utilizada en la próxima sección para calcular explícitamente las constantes de normalización.
Esto deja saldado el problema del comportamiento de la función Ai en las
semirectas que contengan al +∞. Queda aún por analizar el comportamiento
de ambas funciones en el −∞, análisis que depende fuertemente de las funciones generalizadas de Airy Ai(z) y Bi(z) denidas en el plano complejo según
se indica en [20].
34
DMCI
Lema 1.4 Sean {Ai(z), Bi(z)} las extensiones complejas de las funciones de
Airy. Entonces valen las siguientes fórmulas asintóticas, donde z ∈ C.
(a) Ai(z) ∼ e−z
(b) Bi(z) ∼ ez
3/2
3/2
R(z) → +∞
(1.16)
R(z) → +∞
(1.17)
(c) Ai(z) ∼
sen( π4 + 23 (−z)3/2 )
√
π(−z)1/4
R(z) → −∞
(1.18)
(d) Bi(z) ∼
cos( π4 + 23 (−z)3/2 )
√
π(−z)1/4
R(z) → −∞
(1.19)
A partir de las identidades (c) y (d) del lema anterior concluimos que Ai y
Bi no son funciones de cuadrado integrable en −∞ y no pueden ser utilizadas
para construir soluciones.
1.3.2.
Autofunciones y autovalores
En esta sección nos dedicaremos a construir una familia de autofunciones
para el operador formal L+ (φ) = −φxx + |x|φ que serán obtenidas a partir de
la función de Airy Ai que, según lo descripto en la sección anterior satisface
la identidad − Ai00 +x Ai = 0 junto con las condiciones iniciales Ai(+∞) =
Ai0 (+∞) = 0 (sabemos que no podemos acercarnos al −∞.) La idea será
construir autofunciones en dos familias complementarias mediante traslaciones
y extensiones adecuadas sean pares o impares denidas por puntos en los que
Ai o bien se anula, caso impar, o bien alcanza su máximo y su mínimo, caso
par. Finalmente, por cuestiones de decaimiento, ver (a) y (b) del Lema 1.4,
usaremos la rama que contiene a +∞.
Sean, pues, 0 < ζ0 < ζ1 < · · · % +∞, y 0 < ω0 < ω1 < · · · % +∞ los
ceros de Ai 0 (−x) y Ai(−x) respectivamente; con ellos denimos λ2N = ζN ,
λ2N +1 = ωN , ver Figura 1.2.
Antes de pasar a la denición de las autofunciones cabe hacer la siguiente
observación.
Observación 1.2 A partir de la estimación (c) del Lema 1.4 podemos deducir
que la sucesión {λM }M ∈N0 verica la siguiente fórmula asintótica: λM ∼ M 2/3 .
A continuación denimos la siguiente familia de funciones: φM : R → R
con M = 0, 1, 2, . . .
(
c2N Ai(|x| − λ2N )
M = 2N,
(1.20)
φM (x) =
c2N +1 sgn(x) Ai(|x| − λ2N +1 ) M = 2N + 1,
35
DMCI
AiH-xL
Λ0
Λ1 Λ2 Λ3 Λ4 Λ5 Λ6 Λ7
Figura 1.2: Denición de λM
donde cM es una sucesión (acotada) de constantes de normalización que ofreceremos luego. Ver las Figuras 1.3 y 1.4.
El plan será el siguiente: en primer lugar veremos que cada una de las
funciones φM es una autofunción del operador L+ . A continuación mostraremos
cuál es el espacio en el que está denido el operador formal como así también
explicaremos el motivo por el cual ese espacio es natural para el problema.
Finalmente, calcularemos las constantes de normalización.
Comencemos por las funciones pares, para lo cual tomemos M = 2N y calculemos (φ2N )xx , anticipando que por simplicidad omitiremos la constante de
normalización. Debido a la singularidad en el origen de la función |x| comenzamos planteando el caso x 6= 0, para el cual valen las igualdades (|x|)x = sgn(x)
y (|x|)xx = (sgn(x))x = 0 que usaremos a continuación:
(Ai(|x| − λ2N ))xx = (Ai0 (|x| − λ2N ) sgn(x))x
= Ai00 (|x| − λ2N )(sgn(x))2
= Ai00 (|x| − λ2N )
Ahora bien, dado que Ai satisface la ecuación de Airy y llamando z =
|x| − λ2N tenemos que Ai00 (|x| − λ2N ) = (|x| − λ2N ) Ai(|x| − λ2N ). Reagrupando
términos conseguimos la expresión:
(Ai(|x| − λ2N ))xx = (|x| − λ2N ) Ai(|x| − λ2N )
λ2N Ai(|x| − λ2N ) = − (Ai(|x| − λ2N ))xx + |x| Ai(|x| − λ2N ),
a partir de la cual deducimos que la función Ai(|x| − λ2N ) es una autofunción
de L+ con autovalor λ2N .
36
DMCI
Figura 1.3: Autofunciones pares: φ0 (x) línea llena, φ2 (x) trazo discontinuo y
φ4 (x) línea punteada.
Para M = 2N + 1 la situación es similar:
(sgn(x) Ai(|x| − λ2N +1 ))xx = (sgn(x) Ai0 (|x| − λ2N +1 ) sgn(x))x
= Ai00 (|x| − λ2N +1 ) sgn(x)
Con un similar cambio de variable z = |x| − λ2N +1 tenemos que Ai00 (|x| −
λ2N +1 ) = (|x| − λ2N + 1) Ai(|x| − λ2N +1 ). Reagrupando términos conseguimos
la expresión:
(sgn(x) Ai(|x| − λ2N +1 ))xx = sgn(x)(|x| − λ2N +1 ) Ai(|x| − λ2N +1 )
λ2N +1 sgn(x) Ai(|x| − λ2N +1 ) = − (sgn(x) Ai(|x| − λ2N +1 ))xx +
|x| sgn(x) Ai(|x| − λ2N +1 ),
a partir de la cual deducimos que la función Ai(|x|−λ2N +1 ) es una autofunción
de L+ con autovalor λ2N +1 .
Antes de pasar al cálculo los coecientes de normalización cabe destacar que
para cualquier valor de M vale que |x|−λM ≥ −λM y por lo tanto φM (x) toma
en cuenta una semirrecta que contiene a +∞; la identidad (1.13) nos permite
deducir que φM tiene en R laRregularidad y el decaimiento de la función Ai en
[−λM , +∞) : φM ∈ H 1 (R) y R |x|φ2M (x)dx < ∞, respectivamente.
37
DMCI
Figura 1.4: Autofunciones impares: φ1 (x) línea llena, φ3 (x) trazo discontinuo
y φ5 (x) línea punteada.
R
Sean L2µ (R) := {φ ∈ L2 (R) : kφk2L2µ (R) := R |x| · |φ(x)|2 dx < ∞} y H :=
R
{φ ∈ H 1 (R) : R |x| · |φ(x)|2 dx < ∞} munido de la norma kφk2H := kφx k2L2 (R) +
kφk2L2µ (R) .
La identidad siguiente establece que este espacio es
ma:
natural para el proble-
kφk2H = hφx ; φx i + hφ ; |x|φi
= hφ ; −φxx i + hφ ; |x|φi
= hφ ; L+ φi
Con estas deniciones e identidades podemos establecer el siguiente resultado:
Lema 1.5 Para cada M ∈ N vale que φM ∈ H. Además, vale que kφM k2H =
λM
Pasemos, nalmente, a calcular las constantes de normalización. Para ello
38
DMCI
apelamos a la paridad de la función |φM | para todo M y a la identidad (1.15):
Z +∞
Z
2
|φM (x)|2 dx
|φM (x)| dx = 2
R
Z0 +∞
Ai2 (x − λM )
=2
Z0 +∞
Ai2 dz
=2
−λM
0
2
= 2 (Ai (−λM )) + 2λM (Ai(−λM ))2
Dado que dependiendo de la paridad de M se anula uno de los términos de
la identidad anterior, podemos expresarla
Z
|φ2N (x)|2 dx = 2c22N λ2N (Ai(−λ2N ))2
Z R
2
|φ2N +1 (x)|2 dx = 2c22N +1 (Ai0 (−λ2N +1 )
R
Para que la constante cM sea de normalización requerimos que se cumpla
la identidad que corresponda con la paridad de M :
c2N = (2λ2N )−1/2 |Ai(−λ2N )|−1 ,
−1
c2N +1 = 2−1/2 |Ai0 (−λ2N +1 )|
.
En denitiva, hemos demostrado que la familia {φM : M = 0, 1, 2, . . .} es
una base ortonormal de L2 y ortogonal con respecto al producto interno de H
1/2
(con norma kφM kH = λM ) formada por autofunciones del operador L+ : H 7→
L2 (R) cuyos autovalores están dados por la sucesión 0 < λ0 < λ1 < λ2 % +∞.
Ver Teorema 1.5.
La diagonalización de L+ se consigue haciendo el correspondiente desarrollo
en serie generalizada de Fourier, como sigue. Para ϕ ∈ L2 (R) denimos el
M −ésimo coeciente de Fourier mediante la fórmula ϕ(M
b ) = hϕ ; φM i. La
función ϕ puede ser sintetizada mediante la expresión
ϕ=
+∞
X
ϕ(M
b )φM ,
M =0
que debe entenderse como una identidad en el sentido de vectores de L2 (R)
(pero no, necesariamente, como igualdades para cada x ∈ R). A partir de esta
identidad la acción del operador L+ es muy fácil de expresar:
L+ ϕ =
+∞
X
ϕ(M
b )λM φM (x)
M =0
39
(1.21)
DMCI
Concluimos el capítulo con la vericación de la autoadjuntez de L+ : H 7→
L2 (R); que, a partir de la identidad (1.21) y de la caracterización provista por
el Teorema VIII.3, p256 en [18], es inmediata.
Sea f ∈ L2 (R) veamos cómo construir una función u ∈ H que satisfaga
(L+ + i)u = f, el caso L+ − i es completamente similar. Para ello escribimos
P
P b
b(M )φM , donde la sucesión {fb(M )}M ∈N0 es
f =
M u
M f (M )φM , y u =
un dato mientras que la sucesión {b
u(M )}M ∈N0 es la incógnita. Aplicamos la
identidad (1.21) y obtenemos
(L+ + i)u =
=
+∞
X
M =0
+∞
X
u
b(M )(λM + i)φM
fb(M )φM ,
M =0
a partir de la cual podemos despejar (unívocamente): u
b(M ) = (λM +
b
i) f (M ). La función u estará dada por la expresión:
−1
u=
+∞
X
1 b
f (M )φM ,
λ
M +i
M =0
Veamos que u ∈ H. Para ello basta recordar que la norma de H es la
energía asociada al operador L+ por lo que resulta que basta con vericar la
identidad hu ; L+ ui < ∞. Aplicando las propiedades del producto escalar y
usando la ortonormalidad de la familia {φM }M ∈N0 obtenemos:
kuk2H = hu ; L+ ui
+∞ X
+∞
X
=
u
b(M ) (b
u(K))∗ λK hφM ; φK i
=
M =0 K=0
+∞
X
|b
u(M )|2 λM
M =0
+∞
X
λM
=
|λM + i|2
M =0
2
b
f (M )
Finalmente, usando que para todo M ∈ N0 vale la estimación |λ λM+i|2 ≤ 1
M
2
P b
2
junto con la identidad de Parseval M f (M ) = kf kL2 (R) , concluimos que
kuk2H = hu ; L+ ui ≤ kf k2L2 (R) < ∞.
Recopilamos lo hecho en el siguiente teorema.
40
DMCI
Teorema 1.5 Sea H := {φ ∈ L2 (R) : φx ∈ L2 (R) , R |x| · |φ|2 < ∞} y sea
L+ : H 7→ L2 (R) el operador dado por L+ (φ) = −φxx + |x|φ. Asimismo, sean
{λM }M ∈N0 la sucesión de ceros de Ai (M impar) y Ai0 (M par), y {φM }M ∈N0
la familia de funciones denidas por (1.20).
Entonces
R
(a) 0 < λ0 < λ1 < · · · < λN % +∞ son autovalores de L+ con autofunciones
{φM : M = 0, 1, 2, . . .}.
(b) La familia de autofunciones {φM : M = 0, 1, 2, . . .} forma una base
ortogonal tanto para el producto interno usual de L2 (R) como el de H y
1/2
además: kφM kL2 (R) = 1 y kφM kH = λM
.
(c) Para ϕ ∈ L2 (R), la sucesión {ϕ(M
b ) := hϕ ; φM i : M ∈ N0 } está bien
denida y verica:
ϕ=
kϕk2L2 (R) =
L+ ϕ =
+∞
X
M =0
+∞
X
M =0
+∞
X
ϕ(M
b )φM
|ϕ(M
b )|2
ϕ(M
b )λM φM .
M =0
(d) El operador L+ denido en H es autoadjunto.
(e) Para q > 0 el operador Lq (φ) = −φxx + q|x|φ denido en H es autoadjunto en L2 (R).
La autoadjuntez del operador L+ nos permite aplicar los resultados de
existencia y unicidad establecidos por el Teorema 1.4 y la Observación 1.1 en
lo que respecta a la existencia de dinámica para la ecuación
i
d
u = −uxx + |x|u
dt
(1.22)
con dato inicial φ0 ∈ H. Más aún, a continuación mostraremos cómo el punto
(c) del Teorema 1.5 nos permite ofrecer una expresión en serie para la única
solución.
P b
Tomemos φ0 ∈ L2 (R) y escribamos φ0 (x) =
M φ0 (M )φM (x). De la
misma
manera
escribimos
la
expresión
en
serie
para
la solución: u(x, t) =
P
b(M )(t)φM (x). Reemplazando en la ecuación (1.22) obtenemos un sisteM u
ma de (innitas) ecuaciones para las incógnitas u
b(M ), que son las coordenadas
41
DMCI
de la solución u en la base de autofunciones {φM : M ∈ N0 }, una ecuación
para cada coordenada:
i
d
u
b(M )(t) = λM u
b(M )(t)
dt
u
b(M )(0) = φb0 (M )
cuya única solución está dada por u
b(M )(t) = φb0 (M )e−iλM t . Una vez halladas
las coordenadas, podemos sintetizar la solución:
u(x, t) =
+∞
X
(1.23)
φb0 (M )e−iλM t φM (x)
M =0
Hemos demostrado el siguiente resultado:
Teorema 1.6 Para φ0 ∈ H cualquiera existe una única solución para la ecuación (1.22) y está dada por la expresión (1.23) donde {φb0 (M ) : M ∈ N0 } es la
sucesión de coordenadas de φ0 en la base de autofunciones {φM : M ∈ N0 }.
Observación 1.3 La identidad (1.23) permite controlar el error de truncado, mediante la evaluación de la proyección de la solución sobre el subespacio
generado por {φ0 , . . . , φK }, que llamaremos ProyK (u(t)):
+∞
2
X
|ErrTrunc|2 = φb0 (M )e−iλM t φM (x)
M =K+1
=
+∞
X
L2 (R)
|φb0 (M )|2
M =K+1
= kφ0 k2L2 (R) − kProyK (u(t))k2L2 (R)
1.4.
1.4.1.
(1.24)
Espectro continuo
La teoría de Weyl-Stone-Titchmarsh-Kodaira
En este capítulo tomamos en cuenta el operador L− denido formalmente
a través de la fórmula L− (φ) = −φxx − |x|φ y exhibimos algunos resultados relacionados con su descomposición espectral. Cabe destacar que, a diferencia de
los resultados presentados en los capítulos anteriores que están sucientemente
consolidados en la literatura, estos resultados son novedosos.
El ingrediente principal en este capítulo está dado por el general expansion theorem válido para ecuaciones diferenciales singulares de segundo orden,
42
DMCI
(conocida como la teoría de Titchmarsh-Kodaira-Weyl-Stone), que está bien
desarrollada en el Ch. 5 de [21]. Antes de pasar al análisis del operador L−
indicamos a continuación los resultados principales de la teoría vinculados con
la respectiva ecuación diferencial de segundo orden, donde λ es un número
complejo con I(λ) > 0:
(1.25)
− ∂x2 u − |x| u = λ u , x ∈ R .
Teorema 1.7 (Ver [21] Th 43.4 y Remark 2) El punto x = +∞ está en el
limit point case si y sólo si para todo λ ∈ C con I(λ) > 0 existe una solución
v(x, λ) de la ecuación (1.27) tal que v ∈
/ L2 ([0, +∞)).
La matriz de densidad involucrada en la descomposición espectral se expresa en términos de las funciones reales m1 (k), m2 (k) que, en nuestro caso
se construyen como sigue (ver [21], Ch. 5). Primero tomamos una base de soluciones {v1 (x, λ), v2 (x, λ)} de la ecuación (1.27) obedeciendo las condiciones
canónicas v1 (0, λ) = 1, v10 (0, λ) = 0 y v2 (0, λ) = 0, v20 (0, λ) = 1. A partir
de esta base, se calcula para cada λ ∈ C con I(λ) > 0, la función compleja
v1 (x, λ)
.
M2 (λ) = lı́m −
x→+∞
v2 (x, λ)
Finalmente, las funciones se denen como sigue: m2 (k) := I(M2 (k)) y
m1 (k) := I(−M2 (k)−1 ) = m2 (k)|M2 (k)|−2 , donde M2 (k) es la restricción de
M2 a la recta real.
Observación 1.4 A efectos de evitar confusión, cuando la ecuación diferencial (1.27) se entienda como un problema de autovalores, el parámetro (real)
será llamado k. Si no es el caso, el pámetro (complejo) será llamado λ.
Teorema 1.8 La matriz de densidad d% : R → R2×2 asociada a la ecuación
(1.27) para λ = k ∈ R está dada por
1
d%(k) =
2π
Demostración.
1.4.2.
m2 (k)|M2 (k)|−2
0
0
m2 (k)
.
(1.26)
Ver [21] Th. 48.2, Eq. (48.2), identidad (48.1) y Th. 48.3.
Descomposición espectral del operador lineal
En esta sección daremos la descomposición
espectral del operador L− :
R
2
1
H 7→ L (R), donde H := {φ ∈ H (R) : R |x||φ(x)|2 dx} y
L− (u) := −∂x2 u − |x| u,
43
x ∈ R.
DMCI
Para ello comenzamos construyendo el sistema fundamental
para la ecuación
− ∂x2 u − |x| u = λ u, x ∈ R ;
de soluciones
(1.27)
obtenida imponiendo condiciones iniciales canónicas. A continuación mostraremos que los extremos de la recta real |x| = +∞ están, ambos, en el limit
point case. Finalmente, calcularemos la función real m2 (k), y con ella, la correspondiente matriz de densidad. Esto nos permitirá concluir que L− , denida
en D(L− ) = H es un operador autoadjunto cuyo espectro es absolutamente
continuo y está dado por Σ(L− ) = Σac (L− ) = R, donde Σ(L) denota el espectro de L− y Σac (L− ) denota el espectro absolutamente continuo de L− .
En el marco de la dinámica de una partícula cuántica cuyo hamiltoniano sea
L− lo que signica es que el espectro está formado únicamente por estados de
scattering.
Comenzamos presentando el siguiente resultado preliminar:
Lema 1.6 La función, denida para z ∈ C mediante la fórmula ω(z) :=
Ai(z) Bi0 (z) − Bi(z) Ai0 (z) es constante. Más aún,
ω(z) = ω0 = 2
√
−1
3 Γ(1/3) Γ(2/3)
.
Demostración.
La demostración es inmediata consecuencia de la conservación del wronskiano, para lo cual basta con calcular la derivada de ω, usar
la ecuación que satisfacen ambas funciones y ver que se cancelan todos los términos. La constante se obtiene evaluando en 0 y usando los valores numéricos
correspondientes (ver [20]).
La constante ω0 nos permite construir el sistema fundamental de soluciones,
como lo expresa el siguiente resultado.
Lema 1.7 Sea λ ∈ C un número complejo arbitrario y sean Ai(z), Bi(z) las
extensiones complejas de las funciones de Airy. Consideremos las funciones
complejas:
Bi0 (λ)
Ai0 (λ)
v1 (x, λ) =
Ai(λ − |x|) −
Bi(λ − |x|)
ω0
ω0
Bi(λ)
Ai(λ)
v2 (x, λ) = sgn(x)
Ai(λ − |x|) − sgn(x)
Bi(λ − |x|)
ω0
ω0
(1.28)
(1.29)
Entonces, para cada λ ∈ C, el conjunto {v1 (x, λ); v2 (x, λ)} es un sistema fundamental de soluciones para la ecuación diferencial de segundo orden
denida en −∞ < x < +∞ :
−u00 − |x|u = λu .
44
(1.30)
DMCI
con datos iniciales canónicos v1 (0, λ) = 1, v10 (0, λ) = 0 y v2 (0, λ) = 0,
v20 (0, λ) = 1.
Demostración.
Dado que ambas funciones Ai(λ − |x|) y Bi(λ − |x|) satisfacen la ecuación (1.30) en cada una de las semirectas (−∞, 0) y (0, +∞),
lo único que tenemos que elegir son los cuatro coecientes (dependientes del
parámetro λ) a− (λ), b− (λ) ya+ (λ), b+ (λ) tales que la función
(
a− (λ) Ai(λ − |x|) + b− (λ) Bi(λ − |x|) x < 0
v(x, λ) =
a+ (λ) Ai(λ − |x|) + b+ (λ) Bi(λ − |x|) x > 0
tenga derivada continua en el origen. Una sencilla cuenta nos permite expresar
esa restricción a través de la identidad que permite expresar un par de ellos a
partir de los restantes:
a− (λ)
b− (λ)
=
0
0 Ai(λ) Bi(λ)
Bi2 (λ)
a+ (λ)
0
0
,
b+ (λ)
− Ai2 (λ)
− Ai(λ) Bi(λ)
(1.31)
Cada par de condiciones iniciales permite obtener el (único) valor para a+
y b+ que permite construir cada una de las funciones.
Para conseguir la transformación unitaria que da origen a la descomposición
espectral del operador L− := −∂ 2 − |x| necesitamos construir la matriz de
densidad, para lo cual necesitamos de algunos resultados previos.
Lema 1.8 Sea t → +∞ y sea z(t) = a − t + ib donde a ∈ R y b > 0 están
jos. Consideremos también (−z)3/2 = |z|3/2 ei3/2Arg(−z) , donde Arg(·) denota
el argumento principal. Entonces, para cada α ∈ [0, 2π], vale:
2
2
1/2
3/2
lı́m sen(α + (−z)3/2 )2e−b|z| e−i 3 |z| = eiα
t→+∞
3
Demostración.
(1.32)
Sea θ = Arg(−z). De acuerdo con la hipótesis tenemos que
θ → 0 cuando t → +∞. En cuyo caso, cos( 23 θ) → 1 y sen( 32 θ) ∼ 32 θ = 32 I(−z)
, lo
|z|
3/2
3/2
1/2
que conduce a la estimación (−z) ∼ |z| − ib|z| . El resultado
se obtiene
1
−d i(c−π/2)
d −i(c+π/2)
aplicando la identidad sen(c + id) = 2 e e
−e e
.
Lema 1.9 Los puntos |x| = +∞ están ambos en el limit point case.
45
DMCI
Demostración
. A partir del Theorem 1.7 será suciente con mostrar un
par de soluciones de la ecuación (1.27) que no pertenezcan a L2 (I ± ), donde I ±
representan cada una de las dos semirectas I + := [0, +∞) y I − := (−∞, 0].
Tomemos v± (x, λ) = Ai(λ − |x|) para x ∈ I ± y consideremos una extensión
a toda la recta usando la identidad (1.31). Armamos que ambas funciones
v± (x, λ) no pertenecen al espacio L2 (I ± ).
Sea z = λ − |x|, como |x| → +∞ tenemos que R(z) → −∞. Usando,
entonces, la estimación del Lemma 1.8 obtenemos que |v(x, λ)|2 = | Ai(z)|2 ∼
1/2
2−1 |z|−1/2 e2I(λ)|z| → +∞.
Con esto estamos en condiciones de calcular las funciones auxiliares m1 (k),
m2 (k).
Lema 1.10 En el contexto del Theorem 1.8 y llamando ω0 al wronskiano
(constante) de la ecuación de Airy (ver Lemma 1.6) las funciones reales m1 (k)
y m2 (k) están dadas por la expresión:
m1 (k) =
(Ai0 )2 (k)
ω0
+ (Bi0 )2 (k)
and m2 (k) =
ω0
.
Ai (k) + Bi2 (k)
2
Demostración.
Siguiendo el esquema de trabajo propuesto en Lemma 1.9
de [21], Ch. 5, identidad (48.2) comenzamos calculando la función compleja
M2 (λ). Dado que los puntos del borde x = ±∞ están ambos en el limit point cav (t, λ)
se, la función M2 (λ) puede obtenerse como el límite M2 (λ) = − lı́m 1
,
t→+∞ v2 (t, λ)
donde v1 (x, λ) y v2 (x, λ) están dados por la expresión (1.28). Usando la estimación (1.8) y la identidad cos(z) = sen(z + π/2) obtenemos
lı́m Bi(λ − t)2z 1/4 e−I(λ)|z|
t→+∞
lı́m Ai(λ − t)2z 1/4 e−I(λ)|z|
t→+∞
1/2
1/2
2
e−i 3 |z|
2
e−i 3 |z|
3/2
3/2
= eiπ/4
= e−iπ/4 ,
a partir de lo cual concluimos que
Ai0 (λ) + i Bi0 (λ)
.
M2 (λ) =
Ai(λ) + i Bi(λ)
Como q(x) = |x| es una función par, la teoría asegura que M1 (λ) =
−M2 (λ). A continuación hacemos la restricción al parámetro real k :
M2 (k) =
Ai0 (k) + i Bi0 (k)
,
Ai(k) + i Bi(k)
Finalmente, la armación se deduce directamente de las identidades m2 (k) =
I(M2 (k) y m1 (k) = I(−M2 (k)−1 ).
46
DMCI
Observación 1.5 Dado que W (Ai(k), Bi(k)) = W (Ai(0), Bi(0)) 6= 0 las funciones m1,2 : R → R son ambas continuas (de hecho son analíticas). Esto
expresa el hecho que el espectro del operador L− es absolutamente continuo;
esto permite expresar a la matriz de densidad d%(k) como %0 (k)dk.
Finalmente tenemos la expresión:

ω0
0
2
1  (Ai ) (k) + (Bi0 )2 (k)
%0 (k) =

2π



ω0
2
2
Ai (k) + Bi (k)
Podemos, entonces, enunciar el resultado principal de esta sección que consiste en una especie de transformada de Fourier relacionada con la matriz de
densidad %0 (k) dada por la siguiente fórmula, válida para f ∈ L2 (R)
Z
A(f )(k) =
f (x)V (x, k)dx,
donde
(1.33)
R
1
V (x, k) := √
2π
r
ω0
v1 + i
0 2
(Ai ) (k) + (Bi0 )2 (k)
r
ω0
v2 .
Ai2 (k) + Bi2 (k)
Más explícitamente tenemos la componente par dada por la parte real R(V )
y la parte imaginaria I(V ):
R(V (x, k)) = (2πω0 )−1/2
Bi0 (k) Ai(k − |x|) − Ai0 (k) Bi(k − |x|)
p 0
.
(Ai )2 (k) + (Bi0 )2 (k)
I(V (x, k)) = (2πω0 )−1/2 sg(x)
Bi(k) Ai(k − |x|) − Ai(k) Bi(k − |x|)
p 2
.
Ai (k) + Bi2 (k)
Teorema 1.9 Sea L− := H 7→ L2 (R) el operador lineal denido por la fórmula
L− := −∂ 2 − |x|. Entonces,
(a) Para cada f, g ∈ L2 vale la identidad: hf ; gi = hA(f ) ; A(g)i. Por lo
tanto A es unitaria y A∗ está dada por
∗
Z
A (g)(x) =
g(k)V (x, k)dk,
(b) Para f ∈ H vale que A(L− (f ))(k) = kA(f )(k). Esto es, el operador
unitario A diagonaliza el operador L− .
47
DMCI
(c) El espectro de L− es absolutamente continuo y coincide con toda la recta:
Σ(L) = Σac (L− ) = R.
(d) El operador L− denido en D(L) = H es autoadjunto.
Como en el capítulo anterior, la autoadjuntez del operador L− nos permite
aplicar los resultados de existencia y unicidad establecidos por el Teorema 1.4
y la Observación 1.1 en lo que respecta a la existencia de dinámica para la
ecuación
i
d
u = −uxx − |x|u
dt
(1.34)
con dato inicial φ0 ∈ H. Más aún, a continuación mostraremos cómo el punto
(b) del Teorema 1.9 nos permite ofrecer una expresión integral para la única
solución.
Llamando u(x, t) a la solución buscada y aplicando el operador unitario A
del Teorema 1.9 obtenemos la ecuación para la transformada A(u)(k, t) :
i
d
A(u)(k, t) = kA(u)(k, t)
dt
A(u)(k, 0) = A(φ0 )(k)
en la que la variable k funciona como un parámetro (continuo en este caso). Así
como ocurre en el caso discreto, el operador unitario A desacopla las ecuaciones
para distintos valores del parámetro k y esto nos permite resolver por separado
la ecuación que le corresponde a cada valor de k. En este caso la ecuación tiene
como única solución a la función: A(u)(k, t) = e−ikt A(φ0 )(k).
La solución u se obtiene aplicando el operador inverso A∗ : u(x, t) =
A∗ e−ikt A(φ0 )(k) (x) que, usando la fórmula (1.33), puede escribirse:
ZZ
(1.35)
u(x, t) =
e−ikt φ0 (y)V (y, k)V (x, k)dydk
Hemos demostrado el siguiente resultado:
Teorema 1.10 Para φ0 ∈ H cualquiera existe una única solución para la
ecuación (1.9) y está dada por la expresión integral (1.35).
48
DMCI
Capítulo 2
Cómputo de los coecientes de
Fourier
49
DMCI
Resumen
Dedicamos este capítulo al problema de obtener numéricamente las integrales requeridas para desarrollar los algoritmos. Fundamentalmente, nos ocupamos de formular el problema de obtener los nodos y los pesos de una cuadratura
gaussiana para la medida cuyo peso es la primera de las autofunciones en el
intervalo de los reales positivos, utilizando un algoritmo simbólico-numérico.
50
DMCI
2.1.
Cuadraturas
Aquí ofrecemos un breve panorama para el marco teórico: existencia de
cuadraturas, exactitud y precisión. En este sentido cabe dar la denición de
cuadratura. Sea J un intervalo (abierto o no, acotado o no) y sea f : J → R
una función continua (a trozos) y acotada. Una cuadratura (de n+1 nodos) es
una expresión de la forma
Q(x0 , . . . , xn )(f ) =
n
X
f (xk )ωk
k=0
que sirve para aproximar la integral
Z
f (x)Ω(x)dx.
J
Donde Ω(x) es una función continua y positiva que denominaremos peso. Los
puntos {x0 , . . . , xn } ⊂ J satisfacen x0 < · · · < xn y serán llamados nodos y los
números (positivos) ω0 , . . . , ωn serán llamados pesos.
El problema de hallar una cuadratura es el de conseguir, para un intervalo
jo J y una función peso ja Ω, una familia de puntos, los nodos, y un vector
vec(ω) = (ω1 , . . . , ωn )t , cuyas componentes son los pesos.
Surgen, naturalmente, varios problemas, entre los que destacamos:
(a) la existencia de nodos y pesos,
(b) en caso armativo, cómo obtenerlos,
R
(c) el tratamiento del error: J f (x)g(x)dx − Q(x0 , . . . , xn )(f ).
Si consideramos a R[x] el conjunto de los polinomios de coecientes en R,
sean Q, R ∈ R[x] denimos el producto escalar como
Z ∞
hQ; RiΩ =
Q(x)R(x)Ω(x)dx
(2.1)
−∞
y Pn contenido en R[x] como el subespacio lineal de aquellos polinomios
que tienen grado a lo sumo n.
El siguiente lema establece la existencia de cuadraturas y ofrece un algoritmo sencillo para conseguirla. Asimismo, introduce el problema de la exactitud.
Lema 2.1 Existencia de cuadraturas
Sea Ω(x) una función medible positiva (un peso) y sean x0 , . . . , xn , n + 1
puntos distintos del intervalo J, un intervalo arbitrario que puede ser abierto,
51
DMCI
cerrado, acotado o no. Entonces existen pesos (positivos) ω0 , . . . , ωn tales que
la cuadratura asociada
Q(x0 , . . . , xn )(f ) := ω0 f (x0 ) + · · · + ωn f (xn )
satisface, para cualquier polinomio T de grado menor o igual que n, la identidad:
Z
T (x)Ω(x)dx = ω0 T (x0 ) + · · · + ωn T (xn ),
(2.2)
J
Antes de pasar a la demostración haremos un par de observaciones.
Observación 2.1 En las condiciones del resultado anterior diremos que la
cuadratura es exacta de grado n. En lo sucesivo introduciremos los vectores
ω ∈ Rn+1 y vec(f ) ∈ Rn+1 denidos como: ω(j) = ωj y vec(f )(j) = f (xj ). Con
esta notación la cuadratura se escribe como el producto matricial: ωt · vec(f )
Observación 2.2 Dado que la cuadratura se construye evaluando la función
en los nodos, si dos funciones coinciden en los nodos tendrán la misma cuadratura.
De acuerdo con la observación anterior, si los nodos {x0 , . . . , xn } y las respectivas evaluaciones {f (x0 ), . . . , f (xn )} son conocidos es posible construir el
polinomio interpolador P (de grado menor o igual que n). Así, que la cuadratura sea exacta de grado n signica que
Z
Q(x0 , . . . , xn )(P ) = P (x)Ω(x)dx,
J
identidad que permite expresar el error de la cuadratura como la integral del
error de interpolación, ya que:
Z
Z
f (x)Ω(x)dx = (P (x) + Eint (x))Ω(x)dx
J
J
Z
= Q(x0 , . . . , xn )(P ) + Eint (x)Ω(x)dx
ZJ
= Q(x0 , . . . , xn )(f ) + Eint (x)Ω(x)dx
J
Identidad a partir de la cual obtenemos la expresión para el error de la
cuadratura
Z
Ecuad := Eint (x)Ω(x)dx,
(2.3)
J
52
DMCI
Podemos, entonces, volver a la demostración del Lema 2.1 que demuestra
la existencia de cuadraturas.
Demostración
.
R
Llamemos Mk a los momentos dados por la expresión:
Mk := J x Ω(x)dx y llamemos mn ∈ R(n+1)×1 al vector de coordenadas mn =
(M0 , . . . , Mn )t . Sea V (x0 , . . . , xn ) ∈ R(n+1)×(n+1) la matriz de Vandermonde
asociada al conjunto de nodos {x0 , . . . , xn }, dada por


1 ··· 1
 x0 · · · xn 


V (x0 , . . . , xn ) =  ..
(2.4)
..
.. 
.
.
.
k
xn0 · · · xnn
Cabe destacar que esta matriz es inversible puesto que los nodos son distintos. Reemplazando en la identidad (2.2) obtenemos el sistema lineal (determinado):
V (x0 , . . . , xn ) · ω = mn ,
(2.5)
cuya única solución es el vector ω.
Observación 2.3 La demostración ofrece un algoritmo concreto que permite calcular los pesos, esto es, las componentes del vector ω, una vez que se
disponga de los nodos {x0 , . . . , xn }, según el siguiente esquema:
(1a) Calcular los números Mk :=
R
J
xk Ω(x)dx para k = 0, . . . , n.
(1b) Armar, con los nodos {x0 , . . . , xn }, la correspondiente matriz de Vandermonde V (x0 , . . . , xn ).
(2) Resolver la ecuación (2.5).
Ahora bien, una cuadratura gaussiana consiste en la elección apropiada de
nodos para los cuales la exactitud alcanza niveles más altos. Para conseguir
n
este propósito se ortogonaliza la
R base {1, . . . , x , . . .} (con respecto al producto interno hh1 (x); h2 (x)iΩ = J h1 (x)h2 (x)Ω(x)dx y se obtienen polinomios
Q0 , . . . , Qn . . . . La cuadratura entonces será Q(x0 , . . . , xn )(f ) = ω t · vec(f )
donde los vectores ω ∈ Rn+1 y vec(f ) ∈ Rn+1 se denen como en la Observación 2.1 y los nodos {x0 , . . . , xn } se eligen como los ceros del n + 1−ésimo
polinomio ortogonal Qn+1 .
Lema 2.2 En tal caso la cuadratura es exacta para todo polinomio de grado
menor o igual que 2n + 1
53
DMCI
Demostración.
Sea T ∈ R[X] un polinomio de grado 2n + 1. El algoritmo de división
garantiza la existencia de polinomios C y R tales que: T = Qn+1 C + R, el
polinomio C tiene grado n y R tiene grado a lo sumo n. Como {x0 , . . . , xn }
son los ceros de Qn+1 tenemos que T (xj ) = R(xj ) para cualquier j = 0, . . . , n;
a partir de lo cual deducimos que
Q(x0 , . . . , xn )(T ) = Q(x0 , . . . , xn )(R).
Aplicando el Lema 2.1 obtenemos que
Z
Q(x0 , . . . , xn )(R) = R(x)Ω(x)dx.
J
Por otro lado,
Z
Z
Z
T (x)Ω(x)dx = Qn+1 (x)C(x)Ω(x)dx + R(x)Ω(x)dx.
J
J
J
Ahora bien, el primer término puede escribirse como un producto interno:
hQn+1 ; CiΩ , y dado que C tiene grado n y Qn+1 es ortogonal a cualquier polinomio de grado menor o igual que n resulta que esa integral es nula:
Z
Qn+1 (x)C(x)Ω(x)dx = 0.
J
Deducimos, pues, que
Z
Z
T (x)Ω(x)dx = R(x)Ω(x)dx.
J
J
Recolectando todas las identidades conseguidas concluimos que
Z
T (x)Ω(x)dx = Q(x0 , . . . , xn )(T ).
J
Esto es, que la cuadratura es exacta para el polinomio genérico T, de grado
2n + 1.
Cerramos la subsección con el siguiente resultado que establece el control
para el error.
Lema 2.3 Para n ∈ NRjo, para un intervalo arbitrario J, y para una función
f el error Ecuad (f ) := J f (x)Ω(x)dx − Q(f ) verica la siguiente estimación,
donde T2n+1 es el polinomio interpolador para f de grado 2n + 1 en el intervalo
J:
Z
1
(2n+2)
|Ecuad (f )| ≤
kf
kL∞ (J) (x − x0 )2 · · · (x − xn )2 Ω(x)dx.
(2n + 2)!
J
54
DMCI
Demostración
. Se deduce inmediatamente a partir de la denición del
error de interpolación, pues:
Z
|Ecuad (f )| = |f (x) − T2n+1 (x)|Ω(x)dx
J
Z
1
=
|f (2n+2) (ξ(x))|(x − x0 )2 · · · (x − xn )2 Ω(x)dx
(2n + 2)! J
Z
1
(2n+2)
kf
kL∞ (J) (x − x0 )2 · · · (x − xn )2 Ω(x)dx.
≤
(2n + 2)!
J
Observación 2.4 La cantidad kf (2n+2) kL∞ (J) puede ser controlada a partir
de la desigualdad de Gagliardo-Nirenberg, ver [1] Th. 1.3.7. Para el término
integral, cabe señalar que se trata de la integral de un polinomio de grado
2n + 2, (x − x0 )2 · · · (x − xn )2 , que puede obtenerse exactamente a partir de la
cuadratura gaussiana de n+2 nodos correspondiente a los ceros del n+2-ésimo
polinomio ortogonal Qn+2 .
2.2.
Obtención de polinomios
Haremos la descripción para un intervalo genérico J, a diferencia de lo
desarrollado en la sección anterior, en este caso la fórmula es independiente del intervalo, que sólo aparece cuando se especializan los momentos, cuya
dependencia explícita ha quedado adecuadamente establecida.
Como primer paso buscaremos un algoritmo que permita calcular, para
un intervalo genérico J, la familia {Q0 , Q1 , . . . , Qn } de polinomios mónicos
ortogonales:
Qk (x) = xk + bk−1 xk−1 + · · · + b0
los polinomios ortonormales {P0 , P1 , . . . , Pn } se consiguen multiplicando por
los coecientes ak tales que Pk (x) = ak Qk (x). El primero es fácil: Q0 = 1 y
−1/2
P0 = a0 donde 1 = a20 M0 de modo que a0 = M0 . Para k ≥ 1 los coecientes
de ambas familias de polinomios se consiguen con la ayuda de la siguiente
observación.
Observación 2.5 Para cada k = 1, . . . , n y para cada 0 ≤ j < k la condición
de ortogonalidad establece la identidad
j
Z
∞
xj Qk (x)Ω(x)dx
0 = hQk ; x i =
−λ0
55
DMCI
Los polinomios Qn pueden obtenerse a partir de una fórmula recursiva de
dos términos que surge de considerar la resta Qn+1 −xQn . Veamos cómo. Dado
que los polinomios Qk son todos mónicos resulta que Qn+1 − xQn tiene grado
menor o igual que n; por otro lado, haciendo el producto interno con Qk , para
cualquier k ≤ n − 2, resulta que hxQn ; Qk i = hQn ; xQk i = 0 y, por lo tanto,
hQn+1 − xQn ; Qk i = hQn+1 ; Qk i − hQn ; xQk i
=0−0
de donde podemos deducir que Qn+1 −xQn = αn Qn +βn Qn−1 , en otras palabras
Qn+1 = xQn + αn Qn + βn Qn−1
(2.6)
Los coecientes αn y βn se obtienen, pues, haciendo el producto escalar con
Qn y Qn−1 respectivamente. Usando que a−2
n = hQn ; Qn i y demás propiedades
del producto interno conseguimos las identidades
hQn+1 − xQn ; Qn i
hQn ; Qn i
hxQn ; Qn i
=−
hQn ; Qn i
= −a2n hxQn ; Qn i
αn =
hQn+1 − xQn ; Qn−1 i
hQn−1 ; Qn−1 i
hQn ; xQn−1 i
=−
hQn−1 ; Qn−1 i
= −a2n−1 hQn ; xQn−1 i
βn =
para poder trabajar con ciertos valores necesariamente positivos que veremos en lo sucesivo, proponemos que
αn =
hxQn ; Qn i
hQn ; Qn i
βn =
hQn ; xQn−1 i
hQn−1 ; Qn−1 i
(2.7)
Quedando la expresión (2.6) como
Qn+1 = (x − αn )Qn − βn Qn−1
56
(2.8)
DMCI
Usando que xQn−1 = xn + Sn−1 , y que Qn es ortogonal a Sn−1 (pues tiene
grado menor o igual que n) deducimos:
βn = −a2n−1 hQn ; xn i
a2n−1
= 2
an
hQn ; Qn i
=
hQn−1 ; Qn−1 i
(2.9)
(2.10)
Como tenemos que βn es positivo podemos plantear que
p
an−1
βn =
an
Veamos cómo conseguir la relación a tres términos para los polinomios
ortonormales
Pn+1 = an+1 Qn+1 .
Partiendo de la relación que satisfacen los polinomios ortogonales Qn y
multiplicando por an obtenemos:
Qn+1 = (x − αn )Qn − βn Qn−1
an+1 Qn+1 = an+1 (x − αn )Qn − an+1 βn Qn−1
Qn−1
Pn
− an+1 βn
Pn+1 = an+1 (x − αn )
an
an−1
an+1
an+1
(x − αn )Pn −
βn Qn−1
Pn+1 =
an
an−1
an+1 .a2n−1
1
Qn−1
Pn+1 = p
(x − αn )Pn −
an−1 .a2n
βn+1
√
1
βn
Pn+1 = p
(x − αn )Pn − p
Qn−1
βn+1
βn+1
De aquí podemos derivar las siguientes expresiones según el valor de k
p
β1 P1 + α0 .P0 = x.P0 si k = 0
p
p
βk+1 Pk+1 + αk .Pk + βk Pk−1 = x.Pk si 0 < k < n
p
αk .Pk + βk Pk−1 = x.Pk si k = n
Sea, para cada j = 0, . . . , n, el vector V (j) dado por


P0 (rj )


V (j) =  ... 
Pn (rj )
57
DMCI
donde rj es una raíz de Pn+1 . Entonces se puede expresar la relación de los
coecientes como un problema de autovalores y autovectores pues se satisface
que


√
β
·
·
·
·
·
·
0
α
1
0
√
√
 β1 α1
β2
···
0 


 ..
.. 
..
..
..
.
.
.
 .
 · V (j) = rj · V (j)
p. 
p

 0
βn−2 p
αn−2
βn−1 
···
0
0
···
βn−1 αn−1
(2.11)
Si llamamos a la matriz de coecientes como Jn entonces tenemos que
Jn · V (j) = rj · V (j)
Si en este contexto tomamos que el vector de los pesos es
 
ω0
 .. 
Ωn+1 =  . 
ωn
Al relacionarlo con la integración tenemos que
Z
Pk (x).Ω(x).dx = Q(Pk )
=
n
X
Pk (rj ).ωj
(2.12)
j=0
=
=
p
β0 hP0 ; Pk iΩ
( √
β0 si k = 0,
0
(2.13)
si k ≥ 1,
Ahora bien, típicamente los métodos numéricos que computan la descomposición espectral (autovalores y autovectores) ofrecen una matriz unitaria cuyas
columnas son los autovectores(ya normailzados). Sea, pues, U la matriz unitaria que genera el método que busca autovalores y sea u(j) la j -ésima columna
V (j)
de U ; entonces ku(j) k2 = 1, así u(j) = σ (j) , con σ = ±1 por lo que la
kV k
igualdad entre las expresiones (2.12) y (2.13) queda como
p
diag(kV (0) k, · · · , kV (n) k) · U · Ω = β0 · e1
58
DMCI
Quedando el vector de los pesos formado como
p
Ω = β0 · U t · diag(kV (0) k−1 , · · · , kV (n) k−1 ) · e1
Así los nodos {r0 , · · · , rn } se establecen como las raíces del polinomio Pn+1 ,
que son los autovalores de la relación establecida, y los pesos {ω0 , · · · , ωn } se
calculan utilizando de cada autovector (normalizado) la primera componente,
2
.
con la siguiente expresión ωk = β0 · Vk,1
2.3.
Algoritmos Híbridos
Como lo expresan José-Javier Martínez ([16]) y Gautschi ([10]), un enfoque
novedoso consiste en el uso de Sistemas de Cálculo simbólico o CAS (Computer
Algebra System) tales como Maxima, SAGE, Mathematica, Maple, entre otros
(aunque actualmente son considerados sistemas de propósitos generales, no sólo
simbólicos), para hallar expresiones explícitas de los distintos procedimientos
que se vinculan a las cuadraturas gaussianas, en particular a los cálculos ligados
con los polinomios ortogonales. Estos sistemas contribuyen en algunos casos
a calcular en forma exacta expresiones que anteriormente se desarrollaban
con cálculos de precisión nita o aproximada. En otros casos donde no es
posible reducir el problema puramente al desarrollo de cálculos simbólicos,
estos sistemas, contribuyen a paliar la inestabilidad numérica generada por
una cantidad limitada de cifras signicativas, permitiendo aumentar de una
forma arbitraria (generalmente a costa de tiempo de cálculo, aunque en varios
casos la computación simbólica los hace más rápido) las cifras signicativas
mediante las estrategias de precisión innita que tienen incorporadas.
Los algoritmos híbridos simbólicos numéricos, según Corless, Kaltofen y Watt
([15]) tienen como principal objetivo extender el dominio de los problemas
resolubles en forma eciente combinando métodos numéricos y computación
simbólica.
En relación con este contexto Cvetovi¢ y Milovanovi¢ ([3] y [4] )argumentan
que los números de precisión innita, i.e. longitud de mantisa innita, ofrecen
una perspectiva totalmente nueva para la computación numérica. Expresan
que a pesar de que los algoritmos de tipo numérico están diseñados para que el
resultado tenga una precisión comparable con los datos de entrada, al menos se
puede chequear la condición de la computación de dicho algoritmo recurriendo
a la mantisa extendida. Con ello se puede adoptar un nuevo signicado de lo
que conocemos como algoritmo mal condicionado:
Denición 2.1 Un algoritmo es mal condicionado si necesitamos proveer una
muy alta precisión en los datos de entrada para obtener datos de salida con
una precisión especica.
59
DMCI
El mal condicionamiento generalmente es quién hace la diferencia entre la aplicabilidad o no de un algoritmo. Sabemos que la precisión arbitraria no signica
que operamos con una cantidad innita de cifras en la mantisa, pero ésta bien
puede tener unos cuantos miles de dígitos y, con la capacidad de cálculo actual,
tener un tiempo de ejecución aceptable, lo cual es la base de una buena parte
de nuestros experimentos. Al intentar obtener los nodos y los pesos mediante
el uso de la matriz de Vandermonde, como lo indicamos en la Observación 2.3
teníamos un extremado mal condicionamiento, lo cual no produjo mejoras sustanciales con el aumento a niveles de 1000 cifras signicativas en la mantisa de
los datos, así es que descartamos éste algoritmo por no aplicable. Sin embargo,
al utilizar algoritmos mal condicionados en los métodos que se mostrarán en
las secciones siguientes, esta cantidad de dígitos fue más que suciente para
obtener una buena cantidad de cifras signicativas correctas en los resultados,
por lo que se trata de algoritmos aplicables. Luego de reiteradas experiencias,
mantuvimos un nivel de estabilidad numérica aceptable operando con 400 dígitos de mantisa en los algoritmos, manteniendo una buena precisión en los
datos de salida a pesar de tener una gran cantidad de iteraciones.
2.4.
La Resolución del Problema: Procedimiento
de Stieljes y Algoritmo de GolubWelsch
Para construir una cuadratura adaptada a nuestro problema y que permita
ser abordado con el software Mathematica tomamos en cuenta el procedimiento
de Stieltjes (nombrado así por W. Gaustchi, citado también por José-Javier
Martinez, ver en [16], [10] y [11]) que hemos despelgado en la sección anterior:
la relación de recurrencia (2.8), las fórmulas para cálculos de coecientes (2.7),
(2.10) y tomando como valores de inicio
Z
β0 =
Ω(x)dx,
J
α0 =
M1
,
β0
Q0 (x) = 1,
Q1 (x) = x − a0 .
En el trabajo [16] se destaca que el procedimiento de Stieltjes puede ser
llevado a la práctica mediante el cálculo simbólico o con precisión innita,
determinando un número sucientemente elevado de cifras que contrarresten
la inestabilidad numérica de las operaciones involucradas, lo cual procedimos a
realizar con el software Mathematica. Sin embargo esto sólo es la primera parte
del proceso. La segunda parte del algoritmo consiste en tomar los coeecientes,
construir la matriz de Jacobi, tridiagonal simétrica de tamaño n × n, dada por
(2.11), y mediante el cálculo de sus respectivos autovalores y autovectores
obtener los nodos y los pesos. En forma complementaria, para conseguir los
60
DMCI
nodos y los pesos hemos ensayado con el algoritmo de Chebyschev, ver M.
Morandi Cecchi y M. Redivo Zaglia [2], que se puede sintetizar de la siguiente
manera:
Se dene el funcional c como (tomando el peso correspondiente)
Z ∞
xi Qk Ω(x)dx
c=
−∞
Dada una matriz Z cuyos elementos se plantean de la siguiente forma
zk,i = c xi Qk donde k, i = 0, 1, 2, ...
Donde los zk,i = 0 para los cuales k < i, por las condiciones de ortogonalidad
impuestas, así mismo vemos
z0,i = c xi Q0 = c xi = ci donde i = 0, 1, 2, ...
es decir que la primera la de la matriz está constituida por los momentos.
Para obtener los coecientes, multiplicamos a la expresión (2.8) por xi , tomando k = n + 1 y aplicando el funcional c en ambos miembros tenemos que
zk,i = zk−1,i+1 − αk zk−1,i − βk zk−2,i donde i = k, k + 1, k + 2, ...
(2.14)
Entonces la estrategia para obtener los coecientes (2.7) y (2.10) para k =
1, 2, ... está dada por:
zk,k+1
zk−1,k
−
zk−1,k−1
zk,k
zk,k
β=
zk−1,k−1
αk+1 =
(2.15)
(2.16)
Asumiendo necesariamente las condiciones iniciales
z−1,i = 0 donde i = 1, 2, 3, ...
c1
α1 = −
c0
β = c0
Obsérvese que a pesar de que el coeciente
β0 es arbitrario es conveniente
Z
tomar, como ya lo hemos hecho, β0 =
Ω(x)dx. También hay que destacar
J
que es necesario calcular los momentos de orden 2n si se quiere obtener n
coecientes.
61
DMCI
Para hacer efectiva la aplicación de ambos algoritmos queda aún por denir
los detalles de la función de peso y del intervalo. En este sentido, cabe destacar
la existencia del paquete OrthogonalPolynomials para el software Mathematica
que realiza la construcción de polinomios ortogonales y fórmulas de cuadratura
para casi todas las clases de medidas actualmente estudiadas, desarrollado por
Cvetovi¢ y Milovanovi¢, ver[3]. En nuestro caso la necesidad de contar con una
medida que se adecuara a la ecuación nos llevó a considerar como función de
peso a la primera de las autofunciones φ0 (x) que satisface la condición de positividad. Sin embargo, esta función (cuya fórmula es explícitamente construida
a partir de la función de Airy) no está contemplada en el Paquete citado.
Después de hacer varios ensayos con la medida φ0 (x)dx en toda la recta y
observar resultados insatisfactorios, y luego de mirar detenidamente el trabajo
de Milovanovi¢, ver [14], decidimos ensayar con la reducción a la semirecta de
los reales positivos. Así, los datos faltantes para poner en funcionamiento los
algoritmos de Golub-Welsh y Chebyshev serán los siguientes:
Ω(x) = φ0 (x)
2.5.
y
J = [0, +∞)
Acerca de la implementación de los algoritmos
A modo de cierre del capítulo presentamos algunos detalles especícos. El
Hardware empleado contó con dos máquinas con las siguientes características,
ver Cuadro 2.1:
Máquina Tipo
Microprocesador
1
Desktop
2
Notebook
Cuadro 2.1:
AMD Phenom II
X4 945
Intel Core i7
4710HQ
# Núcleos
Memoria
RAM
4
6 Gb DDR2
4
12
DDR3
Gb
S.
O.
W10
Pro
W10
Pro
Hardware y Software empleados en las experiencias.
Si bien las dos computadoras se utilizaron en todas las etapas de trabajos,
debido a que la Máquina 2 posee mejores características fue ésta la que se
utilizó para obtener los tiempos de procesamiento que se mencionan en el
presente documento.
Los siguientes cuadros muestran la cantidad de tiempo desarrollado para
obtener los coecientes (lo que consume más tiempo de cálculo). Como he-
62
DMCI
mos mencionado, en el caso del método de Chebyshev, la demora comienza a
ser excesiva por los procesos de recursividad (ver Cuadro 2.3). Por lo que se
realizaron menos experimentos con este algoritmo; se trabajó principalmente
con la combinación del método Stieljes y algoritmo de Golub-Welsh (ver tabla
2.2). La obtención de los nodos y pesos tiene tiempos bastante cortos, que
oscilan entre 20 a 60 segundos. Todos los procesos con una precisión de 400
cifras signicativas, sobre un total de 200 nodos calculados. A modo de ejemplo
que pueda abarcarse adecuadamente de un vistazo se presentan cuadros con
45 coecientes (ver Cuadro 2.4) y 45 parejas de nodos y pesos (ver Cuadro
2.5). Asimismo, en la Figura 2.1, se presenta la distribución de los 100 nodos
positivos. Los restantes nodos se obtienen por cambio de signo.
0
10
20
30
40
50
60
Figura 2.1: Distribución de los nodos en la semirrecta [0, +∞)
cantidad de
coecientes
25
30
35
40
50
100
Tiempo (en
segundos)
20606
36738
72605
75382
116766
463767
Cuadro 2.2: Tiempo empleado para obtención de coecientes por medio de
proceso de Stieljes y el algoritmo Golub-Welsh.
cantidad de
coecientes
15
20
23
25
Tiempo (en
segundos)
600
1900
32724
70600
Cuadro 2.3: Tiempo empleado para obtención de coecientes por medio del
algoritmo de Chebyshev
63
DMCI
αk
βk
1.018792971647471089017324783399743824218
1.058140637542158229611870735054929809092
2.002072305305350543685985364291710643917
0.662061964583015398914880363579980322625
2.767972881941819366245577419313986082044
1.484917144653155659647356788229574575261
3.428574318888320413617853563278227253139
2.444124741458662609375726977113450005721
4.025354640284363902210067358030872062327
3.506967973953006479710035267961078480441
4.577756360474525044006192582519284649067
4.654377311108468941017839306850368777137
5.096708018920602435966264751106752863848
5.874352558180266897828724947030677943514
5.589124630973686787052332904587925543480
7.158550972541772218199334503108265535636
6.059739183879427088395792413706265052726
8.500748374548992794970433421312477040489
6.511974503743790890852850865454910938451
9.896073469877782409958578227917279586247
6.948408708364830602649967568450831939447
11.34058260512370641407354949573224379425
7.371045544739402436600179834662260361095
12.83100176497455358724094270184544918430
7.781481743772253218103630095889775895556
14.36455925285530959917170510389636648460
8.181015918149898253101930716739508647308
15.93887156670441928658361393717783292204
8.570722321053336162534486898311499670422
17.55186244447403375607757193122712087263
8.951502481383742723894982092961177274781
19.20170360754515483025066029516970200396
9.324122367029135870142657648283295440919
20.88677025365804022618626237877195270567
9.689239771640686820239444049114097156781
22.60560689727580673141392432709255873337
10.04742491267881208367597902190639068041
24.35690066354467555629148447592083615824
10.39917620179016661706576891970498039852
26.13946007371135139477428796711612411748
10.74493250980704165076629076235988408568
27.95219795603119376606417166911500152611
11.08508283924253349203140129080276430395
29.79411750929871102666148430100884024892
11.41997404779350324662481233992467878204
31.66430081213733672404701142404305786770
11.74991708499822367860286286199295059913
33.56189925531892654705867171040296475431
12.07519207953085448869537851926058489912
35.48612550442546578408075616118952069397
12.39605252731868586571603817833792618796
37.43624669366292094361464114592638872709
12.71272876850483072509813639028661927689
39.41157861994807655399793833178629811457
13.02543089633287035823956613639075570144
41.41148075702812939560128797376184229146
13.33435120807696238340214936159783941357
43.43535194743003854749813544154263248724
13.63966628367078396214415274162699457658
45.48262665895450090870484619827346568177
13.94153875930321781499501294172265108319
47.55277171465863427120189019285218492527
14.24011884928440326037187279443710883049
49.64528342253388847536352042137969972721
14.53554565877251804212821573590738028438
51.75968504461779777455834255608470940399
14.82794832165557015900486924301995566002
53.89552455597894543654695556785406267679
15.11744699140215838033324350085856791860
56.05237265254521665970294605973280474237
15.40415370759197385418006391514728248773
58.22982097359773676696963400253752991619
15.68817315678749097981704618205303812236
60.42748051029606146547414546673969130568
15.96960334317224364273513426312702936608
62.64498017611409103174137834946022786274
Cuadro 2.4: Primeros coecientes αk y βk sobre 200 calculados. Expresados
con 40 dígitos.
64
DMCI
Nodos: Θk
Pesos: ωk
0,01010352079627290698297207264110380613488
0,01815477195394577420209765881553559848838
0,05312498276721229465015104151292564001581
0,04203072112020407636917140078198475992920
0,1300924901967475025666643060215486391089
0,06512931330471921242066813405849412295506
0,2403447936005588516814479345749920136191
0,08630833927003959320904903364242909426764
0,3830156160244463721195590336653255178544
0,1038928353700816130894664497330609995854
0,5571251906440743899830324761298779994132
0,1159142740909215406961520939659454044531
0,7616448861773047703338604365330249435056
0,1206423419676353259456244164245922681604
0,9955425972693762514002732814775121039252
0,1172203027419014942426956085495258317835
1,257812383116534914587359179565271877527
0,1061389852198909024979268454949943710436
1,547492880836071754992595736899717872339
0,08929911309459384769850724579935567965325
1,863678387909100022097423998402338027129
0,06957228683264082342669561099659126513320
2,205525351636326377276391594430447615601
0,05001281937897100242711307735440079728266
2,572256013935517444336112479692318183200
0,03305280828640793683852875228106345375508
2,963160291378155198878935380220063954108
0,02001054126398038535219723338150867886081
3,377596564764411993075011807001376758120
0,01105857082458761134263217949234369748553
3,814991816778599102550834123155168004763
0,005559286025809329046098504761579275681403
4,274841419438159405029865106278349184960
0,002533532341095363119803844336405734007337
4,756708791667500007481999205165184448698
0,001043125699947678348532244273203132226254
5,260225097349138780545077299488824414210
0,0003866884295521093233643660026839129769296
5,785089123018751881396282748672283277003
0,0001286160282721297214302666963230959687938
6,331067455535928461801602349995407450820
0,00003824751104762578071554026728302449866729
6,897995070356263194923657204759483945167
0,00001013223653281469235531254398319938644265
7,485776438943724163460646912628480191395
2,382104929183088656357730324146004113199,10−6
8,094387268888119845961465580709067963037
4,950532484603875986344421012809782817706,10−7
8,723877002633000499410961667989561031192
9,056591337858102445424992893778546664665,10−8
9,374372221218392391225028785604406222041
1,452011136929491439349028569548841398083,10−8
10,04608112966202413475447807707570280434
2,030483264636767179971810501696227523522,10−9
10,73929934301962846577247568414369399685
2,463887804828498442124522149727098491190,10−10
11,45441725051449861502580650927196320172
2,579933081298544366115707080423795558622,10−11
12,19192931494719832946308262509517290055
2,316901521728394496501936380637234260360,10−12
12,95244577409217235473428246138482584871
1,772534827825277497468714925759851146098,10−13
13,73670736220094224128157325372736458783
1,146643427451412856142116583855669162289,10−14
14,54560388156050560268569879321487229388
6,219983094377419720153343661497742022103,10−16
15,38019775471506169568343914144946401832
2,802898522506048227038205723569497704397,10−17
16,24175412195010500237488368308321791899
1,038176337980189609062811213298943510644,10−18
17,13177968722273827868911580470945473725
3,122562970124503575810767847140469696010,10−20
18,05207347592734477330959827567518947886
7,520594088988060905009780674859454113058,10−22
19,00479414742325627531325324766562528692
1,426978732402972722078027413882828059826,10−23
Cuadro 2.5: Primeros nodos y pesos sobre 200 calculados. Expresados con 40
dígitos.
65
DMCI
66
DMCI
Capítulo 3
La evolución
67
DMCI
Resumen
En este capítulo presentamos la nomenclatura que emplearemos para ofrecer la descripción matricial del algoritmo evolucionador. Algunas rutinas son
especialmente relevantes como para destacarlas: el cómputo de la carga total,
el cómputo de los coecientes de Fourier y la síntesis de la función a partir
de sus coecientes. Presentamos dos alternativas: una basada en el método de
Strang y otra basada en el método Afín de orden 4.
68
DMCI
3.1.
Nomenclatura
Presentamos la nomenclatura que se utiliza en la descripción de los algoritmos.
Θ ∈ RN el vector cuyas entradas son los nodos ordenados en forma
creciente, donde N = 2n y {Θn+1 , . . . , ΘN } son los nodos (positivos)
asociados a la medida φ0 (x)dx en el intervalo [0, +∞), obtenidos a partir del Algoritmo de Golub-Welsh como se indicó en el Capítulo 3, ver
Cuadro 2.5, allí N = 200.
ω = diag(ω1 , . . . , ωN ), la matriz diagonal cuyas entradas diagonales son
los pesos asociados a los nodos. Más precisamente, para j = 1, . . . , n
vale ωj = ωN +1−j con {ωn+1 , . . . , ωN } los pesos asociados a los nodos
{Θn+1 , . . . , ΘN }.
Φ ∈ RN ×M la matriz cuyas entradas están dadas por: Φjk = φj−1 (Θk )
donde φ0 (x), . . . , φM −1 (x) son las primeras M autofunciones de la base
ortonormal dada por la expresión (1.20) presentada en la Sección 1.3.2.
Λ = diag(λ0 , . . . , λM −1 ) la matriz cuadrada cuyas entradas diagonales
son los autovalores correspondientes.
Ω = diag( φ0ω(Θ1 1 ) , . . . , φ0ω(ΘNN ) ), una matriz diagonal auxiliar.
R ∈ RN ×M la matriz cuyas entradas son: Rjk =
|Θj −Θk |−|Θj |
Ωkk
2
Con estos elementos podemos abordar la descripción de las rutinas involucradas en cada uno de los algoritmos. Alguna de estas rutinas comporta el
análisis y la síntesis de funciones, y el cálculo de la norma L2 (R):
Análisis
Entrada:
Salida:
f ∈ CM ×1 .
Four(f ) = Φt · Ω · f
%La evaluación en los nodos
%Coecientes de Fourier (3.1)
f ∈ CM ×1 ,
InvFour(f ) = Φ · f
%Los coecientes de Fourier
%Reconstrucción (3.2)
Síntesis
Entrada:
Salida:
69
DMCI
Norma
Entrada:
Salida:
f ∈ CM ×1 ,
Norm(f ) = f t · Φ · f
%La norma L2 (R)
(3.3)
Esto da lugar a la necesidad de comprobar la consistencia, relacionada
con las siguientes identidades (aproximadas), en las que la matriz G ∈ RN ×N
satisface dvs(G) = {1, . . . , 1, 0, . . . , 0}, donde dvs(G) son los valores singulares
| {z } | {z }
de la matriz G.
M
N −M
Four(InvFour(f )) ∼ f :→kΦt · Ω · Φ − IdRM ×M k ∼ 0
InvFour(Four(f )) ∼ f :→kΩ1/2 · Φ · Φt · Ω1/2 − Gk ∼ 0
Sabiendo que para una matriz cualquiera A las matrices A∗ A y AA∗ tienen
los mismos valores singulares y tomando A = Ω1/2 · Φ en la práctica basta con
vericar la identidad:
Four(InvFour(f )) ∼ f :→kΦt · Ω · Φ − IdRM ×M k ∼ 0
(3.4)
El siguiente cuadro muestra la relación entre la cantidad de nodos N , la
precisión kΦt · Ω · Φ − IdRM ×M k2 y la cantidad de autofunciones M :
M \ N
8
16
30
50
60
90
50
1,58 × 10−14
1,92 × 10−8
70
1,18 × 10−18
3,20 × 10−16
6,89 × 10−7
100
1,07 × 10−23
1,40 × 10−23
4,00 × 10−17
6,50 × 10−6
200
9,10 × 10−38
91,20 × 10−37
1,60 × 10−37
2,11 × 10−37
3,80 × 10−31
1,68 × 10−14
Cuadro 3.1: Precisión para diferentes cantidades de nodos y autofunciones
70
DMCI
3.2.
Evolución del término lineal: expresión matricial
La expresión matricial, a los efectos de la implementación, y en función de
los resultados del Capítulo 2, ver Teorema 1.6, estará dada por:
Entrada:
f ∈ CM ×1 ,
δ>0
p = Φt · Ω · f
%dato inicial
%tamaño del paso
% Obtención de los coecientes de Fourier
h = e−iΛδ · p
g =Φ·h
Salida
% Evolución coef. Fourier a tiempo δ
% Síntesis
LinEvol(f, δ) = g
∈ CM ×1
Su aplicación puede verse en el algoritmo
3.3.
??.
Evolución del término no lineal: expresión
matricial
Para la evolución del término no lineal, es necesario indicar cuál es el perl
de dopaje, denotado por D, a partir del cual podrá calcularse en primer lugar
el operador de multiplicación V∞ (w), dado por la expresión
Z
|x − y| − |x|
(D(y) − |w(y)|2 )dy
V∞ (w)(x) =
2
para luego construir la solución en forma explícita, ver Teorema 1.3: w(x, t) =
2
w0 (x).e−i.t.V∞ (|w0 | ) Dado que V∞ actúa como operador de multiplicación la
representación matricial será a través de una matriz diagonal.
Entrada: D ∈ RN
%Perl de dopaje
%Dato de entrada
%Tamaño del paso
N
f ∈C
δ>0
gg = |f |2
vv = R · (D − gg)
%ggj = |fj |2
%Cómputo de V∞
h = diag(e−iδvv )
%(e−iδvv )j = e−iδvvj
Salida: NoLinEvol(D, f, δ) = h · f
71
DMCI
Ver la implementación en el algoritmo
3.4.
??.
Algoritmo: expresión matricial
Como quedó dicho oprtunamente, diseñamos dos algoritmos complementarios para conseguir la evolución del problema: uno basado en el método de
Strang y otro basado en el Método Afín de orden 4, descriptos en el Capítulo 2,
ver (1.8) y (1.9). La descripción matricial para el algoritmo que usa el método
de Strang y que llamaremos EvolStrang es como sigue:
Entrada: D ∈ RN
%Perl de dopaje
%Dato de entrada
%Tamaño del paso
%Cantidad de pasos
N
f ∈C
δ>0
mm ∈ N
aux = LinEvol(f, δ/2)
%Medio paso con el lineal
Para k = 1 : mm − 1
aux = LinEvol(NoLinEvol(D, aux, δ), δ)
n
%Comienzo del bucle
%Fin del bucle
aux = LinEvol(NoLinEvol(D, aux, δ), δ/2)
Salida: EvolStrang(D, f, δ, mm) = aux
Ver implementación en algoritmo
??.
El algoritmo EvolAf4 emplea el Método Afín de orden 4 y su descripción
72
DMCI
matricial es la siguiente:
Entrada: D ∈ RN
%Perl de dopaje
%Dato de entrada
%Tamaño del paso
%Cantidad de pasos
f ∈ CN
δ>0
mm ∈ N
uxAB(∗, η) = LinEvol(NoLinEvol(∗, η), η)
%ujo Lineal-NoLineal
uxBA(∗, η) = NoLinEvol(LinEvol(∗, η), η)
%ujo NoLineal-Lineal
aux = f
%inicialización
Para k = 1 : mm − 1
aux1 = uxAB(aux, δ) + uxBA(aux, δ)
%Comienzo del bucle
aux2 = uxAB(uxAB(aux, δ/2), δ/2)+
uxBA(uxBA(aux, δ/2), δ/2)
1
2
aux = − aux1 + aux2
6
3
n
%Fin del bucle
Salida: EvolAf4(D, f, δ, mm) = aux
Ver implementación en algoritmo
??.
73
DMCI
74
DMCI
Capítulo 4
Cálculo de estados fundamentales:
un problema de optimización
75
DMCI
Resumen
Este capítulo contiene los procedimientos asociados a la búsqueda de los de
estados fundamentales. En primera instancia se plantea el problema de optimización que consiste en hallar el mínimo de la energía H sobre la esfera de radio
R = 1. Este es un problema de optimización con restricciones cuya resolución
numérica conseguimos mediante la utilización como campo de velocidad a la
proyección de −∇H sobre la esfera unitaria. Comenzamos, pues, mostrando
cómo se expresa este nuevo problema de evolución para luego subdividir en
problemas parciales con el objetivo de aplicar los métodos de descomposición
temporal en su resolución. Finalmente ofrecemos el algoritmo para la aplicación
de dichos métodos en su versión matricial.
76
DMCI
4.1.
Planteo del problema
La ecuación de evolución
iut = −uxx +
|x|
2
u
∗ D − |u|
2
x ∈ R, t > 0
(4.1)
u(x, 0) = u0 (x)
tiene al funcional H como cantidad conservada, que llamamos energía y está
dada por la expresión, ver [6]:
1
1 |x|
1 |x|
2
(4.2)
∗ D φ; φi − h
∗ |φ| φ; φi
2
2
2
4
2
La demostración de este resultado puede verse en [6] y depende básicamente
de la identidad: ∇H = L donde L es el operador dado por L(φ) = −φxx +
|x|
∗ (D − |φ|2 ) φ
2
Por otro lado, la carga total kuk2L2 (R) también es una cantidad conservada.
Queda, entonces, planteado el problema de hallar estados fundamentales, que
son soluciones del problema de optimización:
Hallar φ∗ , E, tales que: E = H(φ∗ ) = mı́n H(φ)
kφk=R
Usando como campo de velocidad a la proyección de ∇H sobre la esfera de
radio R, dado por
−∇H(φ) + R−2 h∇H(φ); φiφ
obtenemos la ecuación de evolución correspondiente al método del descenso
del gradiente y que tiene a los mínimos de H como puntos de equilibrio, cuya
existencia se demuestra en [5], y que se escribe para R = 1 como sigue:
ut = −∇H(u) + h∇H(u); uiu
(4.3)
Como se establece en [8] pueden aplicarse los métodos anes allí propuestos
para obtener la evolución del sistema dado por (4.3). Para ello hacemos la
descomposición del operador ∇H = A0 + A1 según se propone en [6], donde
los operadores A0 y A1 se denen como sigue:
A0 φ = −φxx + |x|φ,
Z
|x − y| − |x|
D(y) − |φ(y)|2 dy .
A1 (φ) = φ
2
77
DMCI
Dado que R = kφkL2 (R) = 1 se requiere que kDkL1 (R) = 3 para que la constante
A = kDkL1 (R) − kφk2L2 (R) de [6] satisfaga A2 = 1.
Para el término que contiene el producto interno conviene la expresión:
L(φ) = −φxx + |x|φ +
|x|
|x|
2
∗ D − |x| φ −
∗ |φ| φ
2
2
La ecuación (4.3) se escribe:
ut = −A0 u − A1 (u) + h−uxx +
|x|
|x|
2
∗ D u; uiu − h
∗ |u| u; uiu
2
2
u(0) = u0
con el dato inicial u0 arbitrario.
Según se describe en [8] la aplicación de los métodos anes requiere del
conocimiento explícito de la evolución de cada uno de los problemas parciales:
(P 1)
(P 2)
ut = −A0 u
ut = −A1 (u)
(P 3)
4.2.
ut = h−uxx +
|x|
|x|
2
∗ D u; uiu − h
∗ |u| u; uiu
2
2
Evolución de los problemas parciales: expresión matricial
Cada uno se resuelve con una técnica diferente. Para dar la descripción
numérica incorporamos a la lista ofrecida en el Capítulo anterior la siguiente
|Θ −Θ |
matriz: R0 ∈ RN ×N con (R0 )jk = j 2 k Ωkk .
4.2.1.
Problema parcial (P1)
En este caso tenemos que A0 es un operador lineal cuya descomposición
espectral es conocida y hacemos uso de las rutinas para analizar y sintetizar
78
DMCI
funciones, ver (3.1) y (3.2):
Entrada:
f ∈ CM ×1 ,
δ>0
%dato inicial
%tamaño del paso
p = Four(f )
% Obtención de los coecientes de Fourier
% Evolución coef. Fourier a tiempo δ
% Síntesis
−δΛ
h=e
·p
g = InvFour(h)
Salida
4.2.2.
EvolP1(f, δ) = g
∈ CM ×1
Ahora la situación es diferente. Dado que queremos pasos cortos en el tiempo proponemos una solución de la forma
u(x, t) =
∞
X
ak (x)tk
k=0
Del ansatz se desprende que a0 (x) = f0 (x), el dato inicial. Como el operador
de multiplicación requiere de la función |u|2 hacemos:
|u(x, t)|2 = u(x, t)∗ u(x, t)
! ∞
!
∞
X
X
=
a∗k (x)tk
ak (x)tk
k=0
=
∞
X
tk
=
!
a∗k−j (x)aj (x)
j=0
k=0
∞
X
k=0
k
X
bk (x)tk
k=0
donde hemos llamado bk (x) =
Pk
j=0
a∗k−j (x)aj (x). Observar que b0 (x) = |a0 (x)|2 .
79
DMCI
Con esta denición el operador de multiplicación V∞ (u) se escribe:
Z
|x − y| − |x|
v∞ (u) = −
D(y) − |u(y, t)|2 dy
2
R
!
Z
∞
X
|x − y| − |x|
=
−D(y) +
bk (y)tk dy
2
R
k=0
Z
Z
∞
X
|x − y| − |x|
|x − y| − |x|
k
=
(b0 (y) − D(y)) dy +
bk (y)
t
2
2
R
R
k=1
= c0 (x) +
∞
X
ck (x)tk
k=1
|x − y| − |x|
(b0 (y) − D(y)) dy.
2
R
La ecuación ut = −A1 (u) con dato inicial f0 queda:
!
∞
∞
k
X
X
X
k
ak+1 (x)(k + 1)t =
ck−j (x)aj (x) tk
Observar que c0 (x) =
Z
k=0
k=0
j=0
a partir de la cual deducimos el siguiente algoritmo recursivo para obtener los
coecientes:
a0 (x) = f0 (x)
b0 (x) = |a0 (x)|2
Z
|x − y| − |x|
(b0 (y) − D(y))
c0 (x) =
2
R
k
k+1≥1
1 X
ak+1 (x) =
ck−j (x)aj (x)
k + 1 j=0
bk+1 (x) =
k+1
X
a∗k+1−j (x)aj (x)
j=0
Z
ck+1 (x) =
R
|x − y| − |x|
bk (y)dy
2
Para la implementación numérica necesitamos expresar las integrales correspondientes a los coecientes ck ∈ RN . Para ello aprovechamos la matriz
R.
ck+1 = R · bk
80
DMCI
Finalmente, la implementación de esta rutina requiere de un criterio de
corte para la recurrencia empleada. Dado que se procede a obtener un desarrollo en potencias del paso temporal, cuando éste sea pequeño podrá truncarse
la serie a los primeros términos. En los experimentos realizados, el desarrollo
contempló k ≤ 4.
Llamaremos EvolP2(D, f, δ) a la solución numérica de (P2) a tiempo δ.
4.2.3.
Finalmente, en esta situación aprovecharemos que los términos son homogéneos; aunque es cierto que cada uno tiene un orden diferente, los estudiamos
en conjunto. Proponemos una solución de la forma u(x, t) = p(t)f0 (x) donde
f0 (x) es el dato inicial y p(t) es una función real que verica p(0) = 1. Re∗ D,
emplazando en cada término e introduciendo el operador J = −∂x2 + |x|
2
obtenemos:
hJu; uiu = p(t)3 hJf0 ; f0 if0 ,
|x|
|x|
2
5
2
h
∗ |u| u; uiu = p(t) h
∗ |f0 | f0 ; f0 if0 .
2
2
La ecuación diferencial ordinaria que debe resolver p será:
|x|
2
∗ |f0 | f0 ; f0 i
ṗ(t) = p(t) hJf0 ; f0 i − p(t) h
2
3
5
Ahora bien, los factores a := hJf0 ; f0 i y b := h
81
|x|
2
∗ |f0 |2 f0 ; f0 i son esca-
DMCI
lares reales (y positivos) y se calculan como sigue, recordar que kDkL1 (R) = 3:
|x|
∗ D f0 ; f0 i
a = h−(f0 )xx +
2
Z Z
|x − y|
= h(f0 )x ; (f0 )x i +
D(y)dy |f0 (x)|2 dx ≥ 0
2
|x|
∗ D − |x| f0 ; f0 i
= h−(f0 )xx + |x|f0 ; f0 i + h
2
1
= hA0 f0 ; f0 i + h |x| ∗ D − kDkL1 (R) |x| f0 ; f0 i+
2 kDkL1 (R)
− 1 h|x|f0 ; f0 i
2
Z Z
∞
X
1
2
b
(|x − y| − |x|) D(y)dy |f0 (x)|2 dx+
λk |f0 (k)| +
=
2
k=0
Z
1
|x||f0 (x)|2 dx
2
Z Z
b=
|x − y|
2
|f0 (y)| dy |f0 (x)|2 dx ≥ 0
2
Hemos reformulado todas las cuentas para operar con las magnitudes conocidas. Complementariamente, cabe hacer la siguiente:
Observación 4.1 El hamiltoniano H de una función f0 puede calcularse haciendo
1
1
H(f0 ) = a − b.
2
4
Resultado que será aprovechado para controlar que la energía va disminuyendo conforme avanza el algoritmo.
82
DMCI
Energía
Entrada:
f ∈ CM ×1 ,
D ∈ RM ×1 ,
a = Four(f )∗ · Λ · Four(f ) + D∗ · R∗ · Ω · |f0 |2 +
Salida:
1
|Θ|∗ · Ω · |f0 |2
2
(4.4)
b = (|f0 |2 )∗ · R0∗ · Ω · |f0 |2
1
1
Energ(f, D) = a − b
2
4
(4.5)
La ecuación ordinaria a resolver será:
ṗ = ap3 − bp5
p(0) = 1
donde los escalares a, b dependen del dato inicial f0 y deben calcularse matricialmente como quedó sugerido anteriormente. Esta ecuación podrá resolverse
con algún integrador, tomando pasos pequeños como corresponde a los métodos del descenso del gradiente.
Llamaremos EvolP3(D, f, δ) a la solución de (P3) a tiempo δ.
4.3.
Algoritmos para obtención del estado fundamental: versión matricial
Para conseguir la evolución hemos ensayado con un método afín de orden
2 para unicar los problemas (P2) y (P3).
83
DMCI
Entrada: D ∈ RN
%Perl de dopaje
%Dato de entrada
%Tamaño del paso
%Iteraciones
N
f ∈C
δ>0
nn ∈ N
aux = f
Para k = 1 : nn
δ
δ
aux1 = EvolP2 EvolP3 D, aux,
,
nn
nn
δ
δ
aux2 = EvolP3 EvolP2 D, aux,
,
nn
nn
1
aux = (aux1 + aux2)
2
aux = aux/Norm(aux)
n
Salida: EvolNoLin(D, f, δ, nn) = aux
Una vez hecho esto, pasamos al método de Strang.
84
%Comienzo del bucle
%Método afín
%Proyectamos
%sobre la esfera
%Fin del bucle
DMCI
Entrada: D ∈ RN
%Perl de dopaje
f ∈ CN
δ>0
nn ∈ N
%Dato de entrada
%Tamaño del paso
%Cantidad sub-pasos
aux = EvolP1(f, δ/2)
%1/2 paso con lineal
Mientras Criterio de corte
aux = EvolP1(EvolNoLin(D, aux, δ, nn), δ)
aux = aux/Norm(aux)
n
%A determinar
%Composición ujos
%Proy. esfera
%Fin del bucle
aux = EvolP1(EvolNoLin(D, aux, δ, nn), δ/2)
aux = aux/Norm(aux)
Salida: EvolGS(D, f, δ, nn) = aux
85
%Proy. esfera
DMCI
86
DMCI
Conclusiones y desafíos
En el presente trabajo se presentaron sendos algoritmos diseñados para
obtener tanto la evolución como el estado fundamenal para una familia de
problemas de SchröedingerPoisson dada por iut = −uxx +q|x|+V∞ (u)u, donde
el parámetro q ∈ R es el balance entre la carga neta positiva de las impurezas
D y la carga total negativa del dato inicial u0 (x) : q = kDkL1 (R) − ku0 k2L2 (R) ;
algoritmos que contemplan el caso q = 1 como representante de la subfamilia
q > 0. Los resultados obtenidos con el algoritmo evolucionador muestran que
la dinámica es compatible con la de una distribución de cargas contenidas en
un pozo de potencial: la carga se mantiene localizada, y el centro de masa (el
momento de orden 1) presenta un movimiento oscilatorio. Ver Figuras ??, ??,
??, ??, ??, ??.
En lo que se reere al diseño, cabe destacar que en ambos casos resultó
ecaz el uso adecuado de métodos de descomposición temporal tanto simplécticos como anes. La herramienta clave para conseguir el objetivo consistió
fundamentalmente en obtener la descomposición espectral del operador lineal
asociado, parametrizado por q. Si bien es conocido que para q > 0 el correspondente operador tiene espectro discreto como así también que su descomposición espectral es expresable en términos de las funciones de Airy, la
obtención del algoritmo requiere del cómputo de los coecientes de Fourier respectivos, tarea que pudo ser resuelta satisfactoriamente tomando como marco
de referencia los algoritmos híbridos simbólico-numéricos aplicados a la obtención de nodos y pesos en la semirrecta de los números positivos tomando como
peso la primera de las autofunciones y trabajando con el software simbólico
Mathematica con alta precisión inicial; los experimentos fueron llevados a cabo con 400 cifras y el desempeño ha sido satisfactorio tanto en el tiempo de
máquina como en la precisión del resultado nal. Cabe mencionar que se han
desarrollado experimentos en los que el estado fundamental obtenido con el
algoritmo optimizador se toma como dato inicial para el algoritmo evolucionador y se observa que la evolución mantiene ja (con una alta precisión) la
distribución de cargas, lo que viene a corroborar que el resultado producido
por el optimizador es compatible con un mínimo para la energía.
En forma complementaria y como aporte incidental, se presentó la descom-
87
DMCI
posición espectral para el caso q < 0 que da lugar a un operador con espectro
continuo quedando como un desafío para investigaciones futuras la tarea de
obtener computacionalmente las expresiones integrales respectivas.
Asimismo, y pensando en posibles líneas futuras de trabajo, creemos que
el uso de software tipo CAS no tiene por que ser un limitante en tanto están
disponibles librerías de lenguajes que tratan de ser como un software de este
tipo sin dejar de ser parte de un lenguaje, tal es el caso de la librería SymPy
de Python. Dicha librería se especializa en el calculo simbólico. Si bien está
incorporada en softwares como SageMath, Galgebra entre otros, se puede usar
para trabajar directamente con el lenguaje en cualquiera de sus versiones.
Cuenta con precision arbitraria y funciones especicas para trabajar con la
funcion Airy Ai(x). Sería factible entonces implementar ambos algoritmos en
Python con base en dicha librería. Toda la información esta disponible en la
página web
http://www.sympy.org/en/index.html
Como puede apreciarse en la literatura citada, la dicultad con la que se
encuentran este tipo de experiencias es, en varios casos, con el manejo adecuado
de la medida para la obtención de los nodos y los pesos. Uno de los algoritmos
mas utilizados es el de Chebyschev y Chebyschev modicado como ya hemos
mencionado. En nuestros procesos, la implementación esta supeditada a las
dicultades de la recursividad, sin embargo esto puede subsanarse utilizando
estrategias de almacenamiento matricial y simplicar la recurrencia, aunque
no suele ser simple y ya se ha realizado en otro tipo de softwares. Este es un
punto interesante para abordar, perfeccionando la puesta en práctica de este
algoritmo en relación a nuestras investigaciones.
Finalmente, sabemos que en cierta medida la precisión arbitraria que ofrece
un entorno simbólico es una ventaja de la cual nos hemos aprovechado en el
desarrollo de los algoritmos que hemos mostrado, pero no hemos sacado partido
del potencial de la paralelización de los mismos. Por lo tanto una de nuestras
futuras líneas de trabajo es investigar la forma de congeniar estos aspectos e
indagar como sacar ventaja de los múltiples núcleos del procesador y de la
GPU (Graphic Processing Unit).
88
DMCI
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on Dierential and integral Equations, Interscience
90

Solución numérica para una clase de problemas

Transcripción

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