La Transformación de Zhukovskiy

La Transformación
de Zhukovskiy
Sonia Serrano Galiano
Métodos Matemáticos I
Nº exp: 05262
Curso 2007-2008
Acerca de la vida de Zhukovskiy
Nikolay Egorovich Zhukovskiy (1847 - 1921) fue un gran ingeniero mecánico ruso, precursor de la
aerodinámica e hidrodinámica moderna. Tales fueron sus descubrimientos y aportaciones que fue
apodado por Lenin como "el padre de la aviación soviética" y el cráter de la Luna Zhukovskiy fue
nombrado así en su honor.
Zhukovskiy nació en 1847 en la localidad rusa de Orekhovo. En 1868 se
graduó en la Facultad de Física y Matemáticas de la Universidad de
Moscú y desde 1872 fue profesor de matemáticas y mecánica en la
Escuela Técnica Imperial.
Sus primeros estudios se centraron en el efecto Magnus provocado por los
cilindros en rotación. En 1902, construyó el primer túnel de viento. En
1904 fundó en Kachino, cerca de Moscú, el primer instituto de
investigación aerodinámica de Europa, que en diciembre de 1918 se
convertiría en el famoso TsAGI (Instituto Central de Aerohidrodinámica)
por decreto del gobierno soviético, siendo Zhukovskiy nombrado su
primer director.
Publicó numerosos resultados de sus investigaciones sobre diversos temas (aerodinámica,
aeronáutica, hidráulica, mecánica, matemáticas, astronomía) y sus perfiles para planos de
sustentación y la condición hoy conocida como de Kutta-Joukovsky, sobre la circulación que
genera un perfil en movimiento, se cuentan entre sus trabajos más célebres.
Transformación de Zhukovskiy
La transformación de Zhukovskiy en el plano complejo permite convertir un cilindro circular (su
sección) en una familia de superficies sustentadoras (perfiles aerodinámicos), y del mismo modo
una corriente fluida entorno al cilindro en una corriente fluida entorno al perfil. Esto permite
estudiar el problema de gran complejidad de la velocidad y la presión entorno a un perfil,
obteniendo con ello su sustentación, a partir de un caso mucho más sencillo de resolver como es el
de velocidad y presión entorno a un cilindro.
La transformación de Zhukovskiy es la más simple de un conjunto de transformaciones de la
forma:
  f (z)  z 
a1 a 2
a
 2  33  
z
z
z
Éstas modifican el plano sensiblemente para valores pequeños de z, pero su influencia tiende a 0 a
medida que el módulo de z crece.
La transformación de Zhukovskiy tiene la expresión:
  f ( z)  z 
b2
z
2
Ésta convierte una circunferencia de radio a > |b| en la forma de un perfil aerodinámico.
La derivada de la transformación es:
df ( z )
b2
 1
dz
z
Podemos observar que se anula en dos puntos: z = b y z = -b. En éstos, la transformación no es
conforme, es decir, no conserva los ángulos entre dos curvas que pasen por esos puntos.
Una transformación conforme en todo el plano z, aplicada a una circunferencia, no podría generar
un perfil con un borde de fuga afilado, porque cualquier quiebre en la curva violaría la conservación
de ángulos que impone la condición de conforme. Pero en este caso, si uno de los puntos de la
circunferencia es z = ± b, la imagen de ese punto se transforma en el borde de fuga del perfil. En el
ejemplo de la figura, es el punto z = -b. Como el punto z = +b queda en el interior del círculo, su
imagen queda dentro del perfil, y no afecta su forma, ni el campo de flujo alrededor del mismo.
Expresando la función f(z) en función de las coordenadas obtendremos:
2
u  iv  x  iy 
b ( x  iy )
x2  y2
⇒



b2

 u  x  1  2
2 
x

y




2

b
 v  y  1 

2
2 


x  y 


(1)
Las coordenadas de los puntos del círculo original se obtienen de la ecuación del mismo:
z cil  z c  ae it , con 0 ≤ t < 2π
Las coordenadas del centro del círculo quedan determinadas por su radio, a, y el ángulo β que
muestra la figura, de modo que el punto z = -b sea una de las intersecciones de la circunferencia con
el eje real:
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A continuación analizaremos algunos casos particulares con el fin de observar cómo influyen estos
parámetros en la forma de los perfiles generados.
1) Transformación del círculo centrado en el origen:
En el caso general, con |b| < a, la transformación es conforme en todos los puntos del círculo. La
ecuación de este círculo es:
(2)
z  aei , con 0 ≤ θ < 2π o bien x 2 + y2 = a2
Si despejamos x e y en función de u y v (ecuaciones (1)) y considerando (2), queda:


u


b
1 
a

2
2






2


v
 

b
1 
a

2
2






2
es decir:
 a
2


u


b2
a 

a
2




v
 


b2

a 


a






2
1
que es la ecuación de una elipse.
En el caso límite en que b = a, el círculo se transforma en el segmento del eje real -2a ≤ u ≤ 2a. Se
observa que si b = a, los puntos z = b y z = -b pertenecen a la circunferencia, y se transforman en
= 2a y = -2a respectivamente. En este caso no es aplicable la ecuación de la elipse, ya que el
4
denominador del segundo término se anula. Pero la transformación es muy sencilla en coordenadas
polares:
  z
 e i  e  i
a2
a2
i
 i

 ae i 

ae

ae

2
a
z
2
ae i


  2 a  cos 

0 ≤ θ < 2π
Al variar , el segmento es recorrido dos veces: desde 2a a -2a y viceversa.
2) El centro de la circunferencia está en (0, yc):
La ecuación de la misma es por lo tanto:
x2+ (y − yc) 2= a2
Esta circunferencia se transforma en el arco de circunferencia en  indicado, entre 2a y -2a, que
cruza el eje v en 2yc. Los puntos z = b y z = -b caen sobre la circunferencia original, y se convierten
en los extremos del arco.
La ecuación correspondiente es:
 
u 2  v  yc  a 2

2

a2 

  y c 
y c 

2
para
v≥0
También aquí, el límite para yc → 0 es el segmento u[-2a, 2a].
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3) El centro de la circunferencia está en (xc, 0). (Corresponde al parámetro β = 0)
La transformación da un perfil simétrico. El punto z = -b se convierte en el ω= -2b, que es el borde
de fuga del perfil. La imagen del punto z = b queda en ω= +2b, en el interior del perfil. El borde de
ataque es la imagen del punto z = 2a - b (cruce con el eje x), y es el punto del plano transformado
b2
2 a  b   b 2

2 a  b 
2 a  b 
2
  2 a  b  
sobre el eje real. Es simple demostrar que este valor es
mayor o igual que 2b, y sólo es igual si a = b.
4) Caso general: circunferencia con centro en (xc, yc):
Se transforma en un perfil no simétrico.
De los ejemplos vistos, se puede inferir que los parámetros que determinan la forma del perfil son
las coordenadas del centro de la circunferencia. En particular:
- La coordenada xc, relacionada con el cociente b/a, determina el espesor del perfil resultante. Los
casos en que el centro cae sobre el eje y, con xc = 0, dan arcos sin espesor.
- La coordenada yc, relacionada con el ángulo β, determina la curvatura de la línea media del perfil.
Los casos en que el centro cae sobre el eje x (β = 0) dan perfiles simétricos, es decir, su línea media
es un segmento de la recta que constituye el eje de simetría.
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Para probar estas conclusiones de forma “práctica” y ver las variaciones en la corriente fluida
entorno a un perfil dependiendo de su forma se puede hacer uso de la simulación Java que aparece
en la siguiente página: http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/map.html
Construcción gráfica del perfil Zhukovskiy:
Con las actuales calculadoras o plantillas de cálculo es muy sencillo representar gráficamente los
perfiles de Zhukovskiy. Sin embargo como curiosidad presentaré aquí una antigua construcción
gráfica, sin calcular componentes, que sigue los siguientes pasos:
1) Desde el origen de coordenadas (o) se marca el punto z = -b.
2) Desde z = -b, con el ángulo β y a una distancia a, se ubica el centro del cilindro, al que
llamaremos Q.
3) Con centro Q y radio a, se traza la circunferencia C1, que es la que se quiere transformar.
4) El segmento oQ y el eje y determinan el ángulo δ.
5) Con el mismo ángulo δ medido desde el eje y hacia la dirección negativa de x, se traza oM ,
donde M es el punto de intersección con oQ .
6) Con centro en M y radio (b) M , se traza la circunferencia C2.
7) Para trazar el perfil, se dan valores a θ desde 0 a 2π. Con θ, se determina sobre C1 el punto P1:
b 2 b 2 i

e
z
r
8) La suma vectorial de ambos (por el método gráfico del paralelogramo), da el punto P’ que
pertenece al perfil, y es la imagen de P1. Recorriendo todos los valores de θ, queda dibujado el
perfil Zhukovskiy.
z = reiθ, y con -θ, sobre C2 queda el punto P2:
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Conclusiones:
Aunque la aportación de Zhukovskiy fue muy útil en los inicios de los estudios de sustentación de
perfiles aerodinámicos, el método seguido por este ingeniero ruso no tiene en la actualidad mucha
aplicación práctica, debido a las razones siguientes:
1. Es una técnica inversa pues se parte de una familia de soluciones conocidas, el cilindro con
circulación, y aplicando la transformación se obtiene una familia de perfiles transformados; este
procedimiento requiere una cierta capacidad de cálculo, hoy en día trivial, pero que hace años tenia
que hacerse de modo manual.
2. Los perfiles obtenidos mediante transformación de Zhukovskiy tienen en cualquier caso borde de
salida de retroceso, lo que estructuralmente es un inconveniente.
3. Los perfiles de Zhukovskiy suelen presentar un mal comportamiento en la entrada en perdida, ya
que en estos perfiles el mínimo de presion está muy cerca del borde de ataque en el extradós. Su
resistencia aerodinámica es demasiado grande, y el coeficiente de sustentación máximo pequeño.
4. En este modelo se desprecia el efecto de la viscosidad, y no puede por tanto predecir la
resistencia ni el comportamiento del perfil en las proximidades de la entrada en pérdida.
A pesar de estos inconvenientes, la transformación de Zhukovskiy se incluye en muchos textos de
estudio por su simplicidad, que facilita el aprendizaje conceptual, y por ser la primera explorada
analíticamente.
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