Portadilla, indice y abstract

ABSTRACT
RESUMEN
1. INTRODUCCIÓN
1
2. VECTORES EN COORDENADAS CURVILÍNEAS GENERALES
2.1 Concepto de invariancia
2.2 Coordenadas curvilíneas rectangulares y generales
2.3 Versiones de un mismo vector en coordenadas generales
7
7
7
9
3. VERSIÓN COVARIANTE DE LAS ECUACIONES DE HIDRODINÁMICA
3.1 Versiones de las ecuaciones fundamentales
3.2 Ecuaciones en coordenadas rectangulares para flujo bidimensional horizontal
3.3 Deducción de la versión covariante de las ecuaciones de hidrodinámica
3.4 Modelos de turbulencia
3.5 Condiciones de frontera y datos iniciales
19
19
20
23
37
37
4. ESQUEMA DE DIFERENCIAS FINITAS
4.1 Metodología de cálculo
4.2 Discretización de las ecuaciones
4.3 Condiciones de frontera
4.4 Filtro numérico y condición de estabilidad
39
40
42
48
51
5. CALIBRACIÓN Y VERIFICACIÓN DEL MODELO NUMÉRICO
5.1 Flujo en una curva horizontal
5.2 Efecto de un espigón en el flujo de un canal rectangular
5.3 Obstáculo de forma irregular
5.4 Flujo en un canal horizontal con curvatura compuesta
53
53
58
64
75
6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
79
7. RECONOCIMIENTO
81
8. REFERENCIAS
83
APÉNDICE A
A.1 Base covariante unitaria
A.2 Base dual o recíproca de la covariante unitaria
A.3 Base contravariante unitaria
A.4 Base dual o recíproca de la contravariante unitaria
A.5 Resumen de las versiones de vectores de base locales
89
89
91
95
96
99
APÉNDICE B
B.1 Base covariante del vector q
B.2 Base contravariante del vector q
B.3 Base covariante unitaria
B.4 Base dual o recíproca de la covariante unitaria
B.5 Base contravariante unitaria
B.6 Base dual de la contravariante unitaria
103
105
107
108
110
112
114
APÉNDICE C
117
ABSTRACT
This paper deals with the development of a horizontal two-dimensional mathematical model of a
free surface flow under subcritical regimen designed for the calculation of velocity fields in water
bodies whose depth is considerably less than the width of its free surface and whose boundaries
are curved and irregularly aligned.
The convenience of using general curvilinear coordinate systems to represent curved boundaries
adequately is discussed. Since the use of these types of coordinates entail little known concepts,
this paper clarifies in detail the fundamental ideas of the different existing forms of expressing
vectors with general curvilinear coordinates.
The choice of the covariant version with physical components of the hydrodynamic equations is
discussed, a deduction being made of each term in the general coordinate system. In the
hydrodynamic equations are included the terms that take into account the effect of turbulence,
which permits the adequate prediction of flow regions with separation and recirculation. Two
turbulence models are presented.
The system of partial differential equations with curvilinear coordinates is solved by means of
MacCormack´s scheme of finite differences. The numerical model is calibrated and verified with
five cases of laboratory measurements.
Among the more relevant contributions of this paper are the explanations of the various ways of
expressing a vector with general curvilinear coordinates, the selection and deduction of the most
expedient version of the hydrodynamic equations with curvilinear coordinates and the comparison
of the numerical model results with the laboratory results.
RESUMEN
Este informe trata el desarrollo de un modelo matemático de flujo bidimensional horizontal a
superficie libre en régimen subcrítico, diseñado para calcular el campo de velocidades en cuerpos
de agua cuya profundidad es notablemente menor que el ancho de su superficie libre, y cuyas
fronteras son curvas o con alineamiento irregular.
Se discute la conveniencia de usar sistemas de coordenadas curvilíneas generales para representar
de forma adecuada las fronteras curvas. Dado que el uso de este tipo de coordenadas requiere
de conceptos que son poco conocidos, el trabajo aclara con detalle los conceptos fundamentales
sobre las distintas versiones que existen para expresar vectores en coordenadas curvilíneas
generales.
Se discute la selección de la versión covariante con componentes físicos de las ecuaciones de
hidrodinámica, que es la versión usada en el presente trabajo, y se hace la deducción de cada uno
de los términos que forman la versión de las ecuaciones en coordenadas generales. En las
ecuaciones de hidrodinámica se incluyen los términos que toman en cuenta el efecto de la
turbulencia, lo cual permite predecir en forma adecuada zonas de flujo con separación y
recirculación. Se presentan dos modelos de turbulencia.
El sistema de ecuaciones diferenciales parciales en coordenadas curvilíneas se resuelve con el
esquema de diferencias finitas de MacCormack. El modelo numérico se calibró y verificó con
cinco casos de mediciones de laboratorio.
Entre las contribuciones más relevantes de este trabajo están las explicaciones de las distintas
formas de expresar un vector en coordenadas curvilíneas generales, la selección y deducción de la
versión más adecuada de las ecuaciones de hidrodinámica en coordenadas curvilíneas generales,
así como la comparación de los resultados del modelo numérico con mediciones hechas en
laboratorio.
1. INTRODUCCIÓN
En muchos estudios de hidráulica y de calidad del agua se requiere conocer con detalle el campo
de velocidades de un flujo a superficie libre. Ejemplos de estos estudios son: el efecto en las
características del flujo al colocar pilas de puente o espigones en un río, la estimación de la
erosión y el depósito de sedimento en cauces, el cálculo del transporte y la dispersión de
contaminantes en un río, lago, estuario o marina, la predicción de la demanda bioquímica de
oxígeno y oxígeno disuelto en almacenamientos, etc. Para resolver en forma adecuada estos
problemas es necesario predecir con suficiente aproximación el campo de velocidades.
En la actualidad es común el uso de modelos matemáticos en la solución de problemas de flujos a
superficie libre. Dependiendo del problema que se desea resolver, se pueden usar modelos
unidimensionales, bidimensionales o tridimensionales. En general, se usa un modelo unidimensional
cuando no se necesita el campo de velocidades, y es suficiente con obtener la variación espacial y
temporal de la cota del agua en un flujo a superficie libre; ejemplos de este tipo de estudios son
los de tránsito de avenidas en ríos y estuarios, sistemas de canales y redes de drenaje, y el efecto
en el almacenamiento de una marina o laguna que está conectada al mar por medio de un canal.
Cuando además es indispensable conocer el campo de velocidades, se usa un modelo
bidimensional o tridimensional.
Debido a que en muchos flujos a superficie libre el componente vertical de la velocidad es mucho
menor que los horizontales, y la distribución vertical de la velocidad es casi uniforme en la mayor
parte de la profundidad del flujo, es factible usar modelos de flujo bidimensional horizontal; en
otros casos, los componentes de la velocidad más importantes son el horizontal y el vertical, por
lo que se emplean modelos de flujo bidimensional vertical. Cuando los tres componentes de la
velocidad son importantes es necesario usar modelos tridimensionales. En este trabajo se da
énfasis a los modelos bidimensionales horizontales, pues con ellos es posible resolver gran
cantidad de problemas prácticos; además, la teoría presentada puede ser fácilmente generalizable
1
a modelos bidimensionales verticales o tridimensionales.
Se han desarrollado varios modelos numéricos para predecir el campo de velocidades
suponiendo que el flujo es bidimensional horizontal (2DH); la mayoría de ellos se basan en la
ecuación de continuidad y en las ecuaciones de cantidad de movimiento en coordenadas
rectangulares. Hansen (1962) fue de los primeros en publicar un modelo matemático de flujo
2DH; posteriormente, Leendertse (1967) presentó el desarrollo de un modelo para calcular la
propagación de ondas de periodo largo en estuarios y costas. Kuipers y Vreugdenhil (1973)
extendieron el modelo de Leendertse para calcular el flujo secundario. Otros modelos del tipo
2DH citados ampliamente en la literatura son el de Falconer (1976), el cual se basa en el de
Leendertse, y el de Flokstra (1977), quien indicó que es imposible modelar flujos con circulación
si no se incluye el efecto de la turbulencia.
Algunos otros modelos matemáticos muy conocidos aparecen en los textos de Cruickshank y
Zumaya (1974), Cruickshank y Zumaya (1977), Abbott (1979), Falconer (1980), Ponce y
Yabusaki (1981), Benqué et al (1982) y García y Kahawita (1986), entre muchos otros, quienes
proponen distintos esquemas de diferencias finitas para resolver las ecuaciones diferenciales
parciales que gobiernan el flujo a superficie libre.
Uno de los últimos modelos publicados que usan coordenadas rectangulares es el de Tingsanchali
y Maheswaran (1990), quienes incluyen el modelo k-e para calcular el efecto de la turbulencia
generada por un espigón en el campo de flujo; estos autores presentan algunas correcciones al
modelo original k-e y a la resistencia al flujo para obtener una calibración adecuada de los
resultados del modelo con las mediciones de laboratorio realizadas por Rajaratnam y
Nwachukwu (1983). El modelo de Yulistiyanto et al (1998) lo emplean para modelar el efecto
de una pila cilíndrica en un flujo; incluyen un procedimiento para calcular los esfuerzos debidos al
fenómeno de la turbulencia, y validan su modelo numérico con las mediciones experimentales
realizadas por Yulistiyanto (1997). Se considera que los resultados obtenidos son bastante
buenos, excepto en la zona cercana a la pared de la pila. Se hace notar que el modelo numérico
se basa en la versión conservativa de las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento en
coordenadas rectangulares, las cuales se resuelven con el esquema de diferencias finitas de
MacCormack.
Los resultados obtenidos con modelos que utilizan sistemas de coordenadas rectangulares
representan un avance importante; sin embargo, gran cantidad de trabajos (Roache, 1972; Pope,
1978; Demirdzic et al, 1987; Rodi et al, 1989; Dammuller et al, 1989; Borthwick y Akponasa,
1997, y muchos otros) permiten concluir que el uso de sistemas de coordenadas rectangulares
2
para representar fronteras con curvatura o con alineamiento distinto a la dirección de los ejes
rectangulares, requiere hacer aproximaciones que pueden introducir grandes errores.
Una manera de resolver el problema que presentan las fronteras de forma irregular o con
curvatura es usar los métodos de elemento finito; sin embargo, como puede verse, por ejemplo,
en Weare (1976), Demirdzic et al (1987), Karki y Patankar (1988), Nielsen y Skovgaard
(1990) y Melaaen (1992), estos métodos tienen las desventajas de que consumen más tiempo y
recursos de cómputo.
En Thompson et al (1985) e innumerables estudios desarrollados en ingeniería mecánica y
aeronáutica durante los últimos 20 años, se muestra la conveniencia de emplear sistemas de
coordenadas curvilíneas para representar en forma adecuada fronteras definidas por curvas o con
alineamiento diferente al de los ejes rectangulares; la ventaja radica en que al disponer de una
malla de coordenadas curvilíneas ajustada a las fronteras, el espacio físico se puede representar
en el llamado plano computacional, el cual se define con un plano o conjunto de planos
rectangulares, donde el tamaño lateral de las celdas que componen la malla rectangular es unitario
y adimensional. Los métodos para la elaboración del conjunto de mallas en coordenadas
curvilíneas se describe con detalle, por ejemplo, en Thompson et al (1985), Knupp y Steinberg
(1993), Mejía y Berezowsky (1996), entre otros. En el plano computacional, se pueden aplicar
los métodos de diferencias finitas para resolver ecuaciones diferenciales en forma similar a como
se aplican en coordenadas rectangulares con espaciamiento lateral constante, aprovechando de
esta forma la experiencia que se ha ganado al resolver ecuaciones diferenciales en coordenadas
rectangulares con métodos de diferencias finitas o volumen finito. De esta manera, el uso de las
coordenadas curvilíneas incluye la ventaja que tienen los métodos de elemento finito para la
definición de fronteras de forma irregular, y la posibilidad de usar los métodos de diferencias
finitas que se emplean para resolver las ecuaciones diferenciales en coordenadas rectangulares,
los cuales han sido estudiados ampliamente y son relativamente sencillos.
La desventaja de usar coordenadas curvilíneas generales es que aumenta el número de términos
de las ecuaciones de hidrodinámica.
Dos de los primeros modelos matemáticos publicados para calcular el flujo bidimensional
horizontal con sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales ajustados a las fronteras son el de
Pope (1978) y el de Kalkwijk y De Vriend (1980), quienes usan las ecuaciones de flujo 2DH
para calcular el campo de flujo con régimen permanente en canales con fronteras curvas. Entre los
modelos publicados más recientes que usan coordenadas curvilíneas ortogonales está el de
Shankar et al (1997), quienes emplean los llamados componentes físicos e incluyen un modelo de
3
turbulencia de orden cero.
Se ha hecho notar que cuando la forma de las fronteras es muy irregular, es casi imposible
obtener una malla curvilínea que cumpla con la condición de ortogonalidad. En estos casos, no
conviene emplear métodos para mallas ortogonales, pues se inducen errores en los cálculos; esta
desventaja se elimina al usar las coordenadas curvilíneas generales, con lo que no se requiere
cumplir con la condición de ortogonalidad, y el modelo matemático tiene mayor generalidad,
además de que la generación de mallas curvilíneas generales es más sencilla que cuando se tiene
que cumplir con la condición de ortogonalidad.
Debido a que gran cantidad de problemas de ingeniería hidráulica tratan con ríos, lagunas,
estuarios, etc, que están definidos por fronteras de forma irregular, es más recomendable emplear
sistemas de coordenadas curvilíneas generales. Con base en la información consultada por los
autores de este trabajo, se cree que Johnson (1980) fue el primero en publicar un modelo de
hidrodinámica que usa coordenadas curvilíneas generales ajustadas a las fronteras, el cual es de
los más ampliamente citados en la literatura.
Se hace notar que cuando se utilizan coordenadas curvilíneas generales se dispone de diversas
formas de expresar vectores: entre las más conocidas están la covariante y la contravariante, cuyo
significado físico es muy diferente cuando las coordenadas no son ortogonales. Puesto que tanto
la velocidad del flujo como las ecuaciones dinámicas se expresan con componentes de un vector,
también se tienen distintas versiones de las ecuaciones de hidrodinámica en coordenadas
curvilíneas generales. El manejo adecuado de los conceptos fundamentales de estas coordenadas
es importante tanto para entender la trasformación de las ecuaciones diferenciales que gobiernan
el flujo a superficie libre, como en la selección de la versión más adecuada para el cálculo del
correspondiente campo de velocidades.
Entre los últimos modelos matemáticos de hidrodinámica en coordenadas curvilíneas generales
que se han publicado están el de Molls y Chaudhry (1995), quienes calculan en forma simultánea
el régimen subcrítico y supercrítico en canales con fronteras curvas. La versión de las ecuaciones
en coordenadas curvilíneas la obtienen con base en la regla de la cadena, y para modelar la
turbulencia se supone que la viscosidad turbulenta es constante. Otro modelo es el presentado
por Borthwick y Akponasa (1997) quienes indican que su modelo se basa en la versión
contravariante con componentes físicos, e incluyen el efecto de la turbulencia asignando un valor
constante a la viscosidad turbulenta.
En este trabajo, se presenta el desarrollo de un modelo matemático para calcular el flujo
4
bidimensional horizontal a superficie libre con régimen subcrítico. El modelo utiliza un sistema de
coordenadas curvilíneas generales. En el cap 2 se describen las principales versiones que hay para
expresar vectores en coordenadas curvilíneas; se considera que la explicación de dichos
conceptos permite aclarar muchas de las discusiones presentadas en otros trabajos publicados,
con respecto al tipo de componentes que se deben usar para expresar tanto los componentes de
la velocidad como las ecuaciones de hidrodinámica en coordenadas curvilíneas generales.
En el cap 3 se describe la trasformación de la versión rectangular de las ecuaciones de
hidrodinámica a la versión covariante con componentes físicos. En el modelo se incluyen los
términos que se requieren para tomar en cuenta el efecto de la turbulencia.
El cap 4 presenta un esquema de diferencias finitas; aquí se ha escogido el de MacCormack para
discretizar y resolver las ecuaciones de hidrodinámica en coordenadas curvilíneas, junto con las
condiciones de frontera. Este esquema es de tipo explícito de segundo orden en el espacio.
En el cap 5 se demuestra la bondad del modelo numérico desarrollado en este estudio. Para ello,
se escogieron mediciones de laboratorio de dos campos de velocidades reportadas en la
bibliografía, donde se acepta la hipótesis de que el flujo es bidimensional horizontal. Con base en
los respectivos datos de los experimentos y el modelo matemático desarrollado, se calcularon los
campos de velocidades correspondientes a las distribuciones horizontales de la velocidad, las
cuales se compararon con las mediciones de laboratorio. Además, se hicieron experimentos en el
canal de pendiente variable del Instituto de Ingeniería, UNAM, y basándose en los datos medidos
del campo de velocidades de esas pruebas se revisó el funcionamiento del modelo numérico
desarrollado. En estos casos se hace notar la forma cómo se define la malla para el cálculo del
campo de velocidades.
Finalmente, las conclusiones y recomendaciones forman el cap 6.
5
6
2. VECTORES EN COORDENADAS CURVILÍNEAS GENERALES
Se presentan primero los conceptos fundamentales necesarios para describir las
relaciones que hay entre los sistemas de coordenadas rectangulares y curvilíneos, y
después se explican las dos principales versiones, llamadas covariante y contravariante,
que hay para expresar vectores en coordenadas curvilíneas generales.
2.1 Concepto de invariancia
En un sistema de coordenadas dado, un punto P queda definido por el conjunto de
coordenadas pj. Si se define otro sistema de coordenadas, el mismo punto P queda
determinado por otro conjunto de coordenadas pj, pero la ubicación del punto P no se
modifica al usar el nuevo sistema de coordenadas; por ello, se dice que un punto es un
invariante.
Considérese ahora un par de puntos (P1 , P2 ) que definen al vector q; este vector, en un
sistema de referencia particular, está determinado por el conjunto de componentes qj
asociados a los ejes del sistema de coordenadas y al correspondiente conjunto de
vectores base ej, los cua les tienen las direcciones de los ejes. Si se utiliza otro sistema de
coordenadas, el mismo vector q queda determinado por otro conjunto de componentes
qj y el correspondiente conjunto de vectores base ej, pero en ambos sistemas de
coordenadas el vector conserva la misma magnitud y dirección; por tanto, un vector es
también un ente físico invariante.
2.2 Coordenadas curvilíneas rectangulares y generales
En un sistema de coordenadas curvilíneas generales, en cada punto del sistema se
identifican dos grupos de vectores base locales: un grupo de estas bases se distingue
porque los vectores base son tangentes a los ejes curvilíneos, y el otro porque los
7
vectores base son perpendiculares a dichos ejes. Además, es posible obtener vectores
base unitarios, y sus respectivas bases duales. En este trabajo, se demuestra que existen
seis versiones para expresar un mismo vector en este tipo de coordenadas. A
continuación, se presentan las dos principales versiones de cada grupo, y las otras cuatro
se incluyen en el apéndice A.
Se hace notar que el conocimiento correcto de estos conceptos es primordial para
expresar las ecuaciones fundamentales en coordenadas curvilíneas, puesto que tanto
éstas como la velocidad se expresan con componentes vectoriales.
En la fig 2.1 se muestran los sistemas de coordenadas rectangulares (X, Y) y curvilíneas
generales (ξ, η); estos sistemas están relacionados por las funciones de trasformación
ξ = ξ (X, Y) y η = η (X, Y).
η
Y
ξ
X
Fig 2.1 Sistemas de coordenadas rectangulares (X, Y)
y curvilíneas generales (ξ, η)
El sistema de coordenadas (ξ, η), se define de tal manera que los ejes son
adimensionales y las mallas construidas en dicho sistema tienen espaciamiento unitario;
véase por ejemplo, Thompson et al (1985), Knupp y Steinberg (1993) o Mejía y
Berezowsky (1996). En Anderson (1995) se demuestra con detalle que cuando el
determinante del Jacobiano de la trasformación es diferente de cero, se pueden obtener
8
las funciones inversas; éstas se denotan como X = X (ξ, η) e Y = Y (ξ, η). El
determinante del Jacobiano, J, de la trasformación inversa es
J =
∂X ∂Y
∂X ∂Y
−
∂? ∂?
∂? ∂?
(2.1)
Nótese que las unidades del Jacobiano son [L2 ] y geométricamente se interpreta como el
área de un cuadrilátero de la malla. A los términos que forman la expresión 2.1 se les
conoce como los métricos de la trasformación inversa. También en Anderson (1995) se
demuestra que los métricos de las trasformaciones directa e inversa se relacionan con
las expresiones siguientes
∂?
1 ∂Y
=
;
∂X
J ∂?
∂?
1 ∂X
=−
;
∂Y
J ∂?
∂?
1 ∂Y
;
= −
∂X
J ∂?
∂?
1 ∂X
=
∂Y
J ∂?
(2.2)
2.3 Versiones de un mismo vector en coordenadas generales
Sea el vector de posición r mostrado en la fig 2.2, definido en el plano rectangular
como función de las coordenadas rectangulares
r = X (? , ? ) e x + Y (?, ? ) e y
η
Y
(2.3)
eη
q
eξ
ξ
P
ξ variable
η constante
ξ constante
η variable
r (X, Y)
ey
ex
X
Fig 2.2 Vectores base covariantes
9
donde ex y ey son los vectores unitarios (adimensionales) asociados a las direcciones de
los ejes rectangulares X e Y respectivamente. Y sea q otro vector que tiene su origen
donde termina el vector r. El vector q expresado con coordenadas rectangulares es
q = u ex + v e y
(2.4)
Para los fines de este trabajo, el vector q representa la velocidad del flujo en el punto P;
por tanto, los componentes rectangulares u y v tienen unidades de [L T-1 ]. En caso de
trabajar con otro vector, por ejemplo, fuerza, sus componentes tendrían las unidades
correspondientes. A continuación, se describe primero cómo se expresa un vector en
función de los vectores base locales covariantes y componentes contravariantes, y
después, el mismo vector expresado con los vectores base locales contravariantes y
componentes covariantes.
2.3.1 Base local covariante
El vector q se puede expresar en función de vectores base locales covariantes y
componentes contravariantes como
q = u? e? + v? e?
(2.5)
donde eξ y eη se conocen como los vectores base locales covariantes en el punto P, y uξ
y v η son los componentes contravariantes del vector. Las derivadas parciales del vector
de posición r con respecto a las coordenadas curvilíneas, definen a los vectores base
locales covariantes en el punto P, es decir
e? =
∂r ∂X
∂Y
=
ex +
ey
∂? ∂?
∂?
e? =
∂r ∂X
∂Y
=
ex +
ey
∂? ∂?
∂?
(2.6)
El vector eξ es tangente al eje curvilíneo ξ , y eη es tangente al eje curvilíneo η, ambos
en el punto P, como se muestra en la fig 2.2. Se hace notar que estos vectores base
locales covariantes, en general, no son unitarios y tienen unidades de longitud [L]. Al
escribir las expresiones 2.6 en forma de ecuaciones lineales, los métricos de la
trasformación inversa se pueden expresar en notación matricial como
 ∂X
 ∂?
CV = 
 ∂X
 ∂?

10
∂Y 
∂? 

∂Y 
∂? 
(2.7)
La matriz CV se puede interpretar como aquella que permite obtener, en cualquier punto
del plano (ξ, η), los componentes de los vectores base locales covariantes a partir de los
vectores base del sistema rectangular. Por definición, a los vectores cuyos componentes
son obtenidos con la matriz CV se les denomina covariantes y se les denota con un
subíndice.
Para obtener las expresiones que relacionan a los componentes rectangulares con los
componentes contravariantes del vector q se aplican las expresiones siguientes
[
]
[
u = u? e? + v? e? ⋅ e x
]
v = u? e? + v? e? ⋅ e y
(2.8)
Al sustituir las expresiones 2.6 en 2.8, y después de desarrollarlas, se obtienen los
componentes rectangulares del vector q en función de los métricos inversos de la
trasformación y de los componentes contravariantes del mismo vector:
u=
∂X ? ∂X ?
u +
v
∂?
∂?
v=
∂Y ? ∂Y ?
u +
v
∂?
∂?
(2.9)
Las expresiones 2.9 se pueden tratar como un sistema lineal de ecuaciones, de donde se
despejan los componentes contravariantes en función de los componentes rectangulares:
u? =
1 ∂Y
1 ∂X
u−
v
J ∂?
J ∂?
v? = −
1 ∂Y
1 ∂X
u+
v
J ∂?
J ∂?
(2.10)
De estas expresiones se deduce que las unidades de los componentes contravariantes
son [T-1 ]. Asimismo, al escribir las expresiones 2.10 con notación matricial, los
elementos métricos de la trasformación inversa quedan en la matriz siguiente
 1 ∂Y
 J ∂?
CT = 
 − 1 ∂Y
 J ∂?

− 1 ∂X 
J ∂? 

1 ∂X 
J ∂? 
(2.11)
Los componentes obtenidos con la matriz CT, por definición, se dice que son
contravariantes y se les denota con un superíndice.
A primera vista parecería que los nombres covariante y contravariante tienen una
interpretación física de oposición; sin embargo, no es así. Una discusión del tema puede
11
verse por ejemplo en el cap 5 de http://www.mathpages.com/rr/s5-02/5-02.htm o en
Truesdell (1953).
El cuadrado del módulo del vector q se obtiene del producto escalar sobre sí mismo, es
decir
q
(
2
) (
= u ? e? + v ? e? ⋅ u ? e? + v ? e?
)
(2.12)
Al desarrollar la expresión 2.12, se tiene que la magnitud de q en función de los
vectores base locales covariantes y componentes contravariantes está dada por
q =
( )
2
g11 u ?
( )
+ 2 g12u ? v ? + g 22 v ?
2
(2.13)
donde
g 11
 ∂X
= e ? ⋅ e ? = 
 ∂?
2

 ∂Y 
 +  

 ∂? 
2
g 22
 ∂X
= e ? ⋅ e ? = 
 ∂?
2

 ∂Y 
 + 


 ∂? 
2
(2.14)
g 12 = e ? ⋅ e ? =
∂X
∂?
∂X
∂Y
+
∂?
∂?
∂Y
∂?
g 21 = e ? ⋅ e ? = g12
A g 11, g 12 y g 22 se les conoce como los elementos del tensor métrico covariante;
nótese que éstos están en función de los vectores base locales covariantes. La raíz
cuadrada del determinante del tensor métrico covariante, definido como g * , es igual al
Jacobiano J, y ambos son iguales al área de la superficie de un cuadrilátero en el sistema
de coordenadas curvilíneas; por tanto
J = g * = g11 g 22 − g12 2
(2.15)
Además, el ángulo θ1 entre los dos vectores base locales covariantes se obtiene de
e ? ⋅ e ? = e ? e? cos ? 1
(2.16)
2.3.2 Base local contravariante
El vector q en función de los vectores base locales contravariantes y componentes
covariantes se expresa de la manera siguiente:
12
q = u? e? + v? e ?
(2.17)
donde eξ y eη forman también una base local de vectores del sistema de coordenadas
curvilíneas. A estos vectores base se les conoce como contravariantes, y a los
componentes uξ y v η que los acompañan como covariantes. En este caso, eξ es
perpendicular al eje curvilíneo dado por ξ constante, y eη es perpendicular al eje η
constante, como se muestra en la fig 2.3. Estos se obtienen al aplicar el operador
gradiente como sigue:
e ? = ∇? ( X , Y ) =
Y
∂?
∂?
ex +
ey
∂X
∂Y
e ? = ∇? ( X , Y ) =
∂?
∂?
ex +
ey
∂X
∂Y
(2.18)
η
e
η
q
e
ξ
P
r (X, Y )
ξ
X
Fig 2.3 Vectores base contravariantes
Al sustituir las igualdades de 2.2 en 2.18, se obtiene que los vectores base
contravariantes se expresan como sigue:
e? =
1 ∂Y
1 ∂X
ex −
ey
g * ∂?
g * ∂?
e? = −
13
1 ∂Y
ex +
g * ∂?
1 ∂X
ey
g * ∂?
(2.19)
Con ayuda de la notación matricial las ecs 2.19 se pueden expresar como una ecuación
matricial, de donde se deduce que la matriz de coeficientes es idéntica a la definida
como CT (ec 2.11). Por ello, esta base local de vectores recibe el nombre de
contravariante. Estos vectores base locales tampoco son unitarios ni adimensionales;
para este caso sus unidades son [L-1 ]. Nuevamente, para obtener las expresiones que
relacionan a los componentes rectangulares del vector velocidad q con los componentes
covariantes, se aplica el producto escalar del vector q con los vectores base del sistema
rectangular como sigue:
[
]
[
u = u? e ? + v ? e ? ⋅ e x
]
v = u? e ? + v ? e ? ⋅ e y
(2.20)
Al sustituir las expresiones 2.19 en 2.20 y después de desarrollarlas, se obtienen los
componentes rectangulares en función de los métricos inversos y de los componentes
covariantes del vector q
u=
1 ∂Y
1 ∂Y
u? −
v? ;
g* ∂?
g * ∂?
v= −
1 ∂X
u? +
g* ∂?
1 ∂X
v?
g * ∂?
(2.21)
Las ecs 2.21 se pueden manejar como un sistema lineal, de donde se despejan los
componentes covariantes como sigue:
u? =
∂X
∂Y
u+
v
∂?
∂?
v? =
∂X
∂Y
u+
v
∂?
∂?
(2.22)
Nótese que las unidades de los componentes covariantes de las ecs 2.22 son [L2 T-1 ]; si
las ecs 2.22 se expresan como una ecuación matricial, la matriz de coeficientes es
idéntica a la CV definida por la ec 2.7.
El cuadrado del módulo del vector en función de los vectores base locales
contravariantes y componentes covariantes se obtiene al aplicar el producto escalar del
vector con respecto a sí mismo, como sigue:
q
2
(
) (
= u? e ? + v? e? ⋅ u? e ? + v? e?
)
(2.23)
Al desarrollar esta expresión se tiene que
q =
g 11 u? + 2 g 12u ? v? + g 22v ?2
2
14
(2.24)
donde g 11 , g 12 y g 22 se conocen como los elementos del tensor métrico contravariante,
y se obtienen de la manera siguiente:
g 11 = e ? ⋅ e ? =
g 22
;
g*
g 22 = e ? ⋅ e ? =
g11
;
g*
g 12 = e ? ⋅ e ? = −
g 12
g*
(2.25)
Es importante aclarar que los vectores base locales contravariantes también se conocen
como vectores base recíprocos o base dual de los vectores base covariantes, ya que entre
estas dos bases se cumplen las igualdades siguientes:
e? ⋅ e ? = 1 ; e? ⋅ e ? = 1 ; e? ⋅ e? = 0 ; e? ⋅ e ? = 0
(2.26)
A partir de las expresiones 2.26, conocidos los vectores base covariantes, se pueden
obtener los vectores base contravariantes y viceversa. Por tanto, se puede demostrar que
el tensor métrico contravariante es el inverso del tensor métrico covariante, por lo que
se cumple que el producto escalar de estos dos tensores es el tensor identidad.
2.3.3 Bases unitarias y sus correspondientes bases duales
Distintos investigadores, por ejemplo Borthwick y Akponasa (1997), han considerado
que no es conveniente utilizar la forma covariante o contravariante para trasformar las
ecuaciones de coordenadas rectangulares a curvilíneas. Esto se debe a que tanto los
vectores base locales como los correspondientes componentes tienen unidades y escalas
diferentes con respecto a los del sistema rectangular. Se ha encontrado que estas
diferencias producen problemas en los métodos de solución para resolver las ecuaciones
de hidrodinámica en coordenadas curvilíneas generales. Para evitar esta desventaja se
ha propuesto dividir a los vectores base entre su módulo; de esta manera se tienen
vectores base unitarios con componentes, llamados físicos, que tienen unidades y
escalas iguales a las que se tienen en el sistema rectangular. A los componentes de las
bases unitarias y adimensionales se les denota con un subíndice (o superíndice) entre
paréntesis, como puede verse en el apéndice A.
Cada una de estas dos nuevas bases locales de vectores unitarios, la covariante y la
contravariante, tienen sus correspondientes bases recíprocas; así, la base dual de los
vectores base covariantes unitarios se obtiene de
e ? ⋅ E ? = 1 ; e? ⋅ E ? = 1 ; e ? ⋅ E ? = 0 ; e ? ⋅ E ? = 0
15
(2.27)
De manera similar, la base dual de los vectores base contravariantes se obtiene de
e ? ⋅ Eξ = 1 ; e ? ⋅ Eη = 1 ; e ? ⋅ Eξ = 0 ; e ? ⋅ Eη = 0
(2.28)
Así, se dispone en total de seis formas diferentes para expresar un vector en
coordenadas curvilíneas generales. En la tabla 2.1 se incluyen las expresiones de los
vectores base unitarios covariantes y contravariantes, sus correspondientes bases
recíprocas y también los correspondientes componentes que los acompañan. En el
apéndice A, al final de este trabajo, se deducen las expresiones de dicha tabla, y en el
apéndice B se explica con un ejemplo numérico la forma de expresar un mismo vector
en función de cada una de las seis bases posibles.
16
TABLA 2.1 VERSIONES DEL VECTOR q EN FUNCIÓN DE BASES UNITARIAS
Y RECÍPROCAS
Base covariante unitaria
Base dual de la covariante unitaria
q = u (?) e(?) + v (?) e(?)
q = U ? E ? + V? E ?
e(?) =
1 ∂X
ex +
g 11 ∂?
1
∂Y
ey
g 11 ∂?
E =
g11 ∂Y
ex −
g * ∂?
g11 ∂X
ey
g* ∂ ?
e(?) =
1
∂X
ex +
g 22 ∂?
1
∂Y
ey
g 22 ∂?
E =−
g 22 ∂Y
ex +
g * ∂?
g 22 ∂X
ey
g * ∂?
g11 ∂Y
u−
g * ∂?
u
(? )
=
v
(?)
=−
?
?
g 11 ∂X
v
g * ∂?
g 22 ∂Y
u+
g * ∂?
1
∂X
u+
g 11 ∂?
U? =
g 22 ∂X
v
g * ∂?
V? =
Base contravariante unitaria
1
∂X
u+
g 22 ∂?
e (?) = −
1
∂Y
ex −
g 22 ∂?
1
∂Y
ex +
g11 ∂?
1
∂Y
v
g 22 ∂?
Base dual de la contravariante unitaria
q = u ( ? ) e (? ) + v ( ? ) e ( ? )
e (?) =
1 ∂Y
v
g 11 ∂?
q = U ? E? + V ? E ?
1
∂X
ey
g 22 ∂?
1
∂X
ey
g11 ∂?
E? =
g 22 ∂X
ex +
g* ∂ ?
g 22 ∂Y
ey
g * ∂?
E? =
g11 ∂X
ex +
g * ∂?
g11 ∂Y
ey
g* ∂ ?
u (? ) =
g 22 ∂X
u+
g * ∂?
g 22 ∂Y
v
g * ∂?
U? =
v( ? ) =
g11 ∂X
u+
g* ∂ ?
g11 ∂Y
v
g* ∂ ?
V? = −
17
1 ∂Y
u−
g 22 ∂?
1 ∂X
v
g 22 ∂?
1
∂Y
u+
g 11 ∂?
1
∂X
v
g 11 ∂?
3. VERSIÓN COVARIANTE DE LAS ECUACIONES DE HIDRODINÁMICA
3.1 Versiones de las ecuaciones fundamentales
Existen varias versiones de las ecuaciones fundamentales de hidráulica, por lo que
cuando se desea resolver algún problema se debe escoger la más adecuada. Para
identificar las diferentes versiones de las ecuaciones conviene hacer la clasificación
siguiente.
3.1.1 Versiones conservativas y no conservativas
Se define como la versión conservativa de una ecuación a aquella que se obtiene al
aplicar un principio (de masa o cantidad de movimiento) a un volumen de control que
permanece fijo con respecto a un sistema de referencia. Las ecuaciones así obtenidas
cumplen con la expresión conocida como divergencia de una función. En caso de que el
volumen de control sea móvil, y que dicho volumen conserve su masa invariante
mientras que su volumen y forma cambian, se dice que la ecuación es no conservativa.
Conviene aclarar que aunque las ecuaciones obtenidas, la conservativa y la no
conservativa, son equivalentes desde el punto de vista matemático, algunos términos de
la versión no conservativa no representan el concepto físico que se está tratando.
3.1.2 Versiones integrales y diferenciales
Cuando se acepta que las variables del flujo son funciones discontinuas, se requieren
ecuaciones integrales, mientras que cuando las variables son continuas, las ecuaciones
pueden ser integrales o diferenciales. Con base en las definiciones anteriores, existen
versiones conservativas integrales y conservativas diferenciales, y versiones no
conservativas integrales y no conservativas diferenciales. Una discusión detallada de
estos conceptos y la deducción de cada una de las versiones de las ecuaciones
19
fundamentales se puede consultar en Anderson (1995). En la misma publicación se
muestra la forma de deducir una versión cualquiera a partir de otra.
Por lo anterior, se requiere usar versiones integrales de las ecuaciones cuando las
variables del flujo pueden ser funciones discontinuas, mientras que si se tiene la
seguridad de que las variables son continuas se pueden usar versiones integrales o
diferenciales. Esto es fundamental para la selección del método numérico que se
emplee.
3.2 Ecuaciones en coordenadas rectangulares para flujo bidimensional horizontal
En gran cantidad de textos se puede ver que a partir de la segunda ley de Newton se
deducen las versiones conservativas y no conservativas de las ecuaciones de Navier–
Stokes para flujos tridimensionales (véase, por ejemplo, Daily y Harleman, 1966; Maza
y García, 1984; Anderson, 1995, etc).
A partir de las ecuaciones de Navier–Stokes, Reynolds (1895) obtuvo las ecuaciones de
cantidad de movimiento para un fluido newtoniano, en función de valores medios
temporales de los componentes del vector velocidad y de la presión; a dichas
expresiones se les conoce como ecuaciones de Reynolds. La derivación de estas
ecuaciones se muestra, por ejemplo, en Hinze (1959) y Daily y Harleman (1966).
Cuando las dimensiones en planta de un flujo a superficie libre son notablemente
mayores en comparación con la profundidad del mismo, se acepta que la velocidad
media del flujo se puede representar en forma adecuada únicamente con sus dos
componentes horizontales. Con base en esta suposición, las ecuaciones de Reynolds se
integran sobre toda la profundidad del flujo con la regla de Leibnitz. Las ecuaciones
resultantes son conocidas como las ecuaciones de cantidad de movimiento para flujos
bidimensionales horizontales a superficie libre. La derivación detallada de estas
ecuaciones queda fuera de los objetivo s del presente trabajo, pero se puede consultar,
por ejemplo, en Kuipers y Vreugdenhil (1973), Abbott (1979) o Chaudhry (1993). Para
su derivación se hacen las hipótesis siguientes:
a) La densidad es constante por lo que el fluido es incompresible
b) La distribución de la velocidad es uniforme en toda la profundidad del flujo
c) Tanto el componente vertical de la velocidad como la aceleración son despreciables
20
d) El fondo del canal es rígido y de pendiente suave
e) Los esfuerzos de fricción en el fondo se pueden calcular con fórmulas de flujo
uniforme.
Además, en este trabajo, se considera que el efecto de la turbulencia se puede modelar
en forma adecuada con los esfuerzos de Boussinesq, y que no hay discontinuidades en
el flujo, como saltos hidráulicos o frentes de onda, por lo que se puede usar la versión
diferencial de las ecuaciones de cantidad de movimiento, llamadas también ecuaciones
dinámicas, las cuales junto con la ecuación de continuidad se conocen como ecuaciones
de hidrodinámica para flujos bidimensionales horizontales a superficie libre.
La versión conservativa diferencial de la ecuación de continuidad es
∂H ∂uh ∂vh
+
+
=0
∂t
∂X
∂Y
(3.1a)
La versión conservativa de los componentes de las ecuaciones de cantidad de
movimiento son, respectivamente (véase Chaudhry, 1993):
∂uh ∂u 2 h ∂uvh
∂ h2
∂ h
∂ h
+
+
+g
= gh( S ox − S fx ) +
T xx +
Txy
∂t
∂X
∂Y
∂X 2
∂X ?
∂Y ?
(3.1b)
∂vh ∂uvh ∂v 2 h
∂ h2
∂ h
∂ h
+
+
+g
= gh( S oy − S fy ) +
Txy +
Tyy
∂t
∂X
∂Y
∂Y 2
∂X ?
∂Y ?
(3.1c)
donde u y v son los componentes rectangulares de la velocidad, con distribución vertical
uniforme, los cuales se definen como
u=
1 h
u ( Z )dZ
h ∫0
y
v=
1 h
v( Z ) dZ
h ∫0
u(Z) y v(Z) son las distribuciones verticales de la velocidad, H es la cota de la superficie
libre del agua, h el tirante, Sox y Soy las pendientes de la plantilla del canal en las
direcciones de los ejes X e Y, respectivamente, Sfx y Sfy las pendientes de la línea de
energía también en las direcciones de los ejes X e Y, ρ la densidad del agua, g la
aceleración de la gravedad y Txx, Txy y Txy los esfuerzos de turbulencia, los cuales se
discuten a continuación.
21
En Kuipers y Vreugenhil (1973) y Flokstra (1977) se explica que cada uno de los
esfuerzos efectivos, es decir Txx, Txy y Tyy, están formados por tres partes que son: los
esfuerzos viscosos laminares, los turbulentos debidos a las variaciones en el tiempo y en
un mismo punto de la velocidad, y los que incluyen el efecto de que la distribución
vertical de la velocidad no es uniforme. Dado que los esfuerzos turbulentos son más
importantes que los demás (véase, por ejemplo, Rastogi y Rodi, 1978), en este trabajo
sólo se consideran los esfuerzos turbulentos, los cuales se pueden expresar con el
concepto de Boussinesq (1877) de la llamada viscosidad turbulenta como sigue:
T xx = 2 ? ? t
∂u
;
∂X
T yy = 2 ? ? t
∂v
;
∂Y
∂u ∂v 
+

T xy = ? ? t 
 ∂Y ∂ X 
(3.2)
donde vt es la llamada viscosidad turbulenta, la cual es una variable por determinar.
Cunge et al (1980) y Chaudhry (1993), indican que las ecs 3.1b y 3.1c son estrictamente
conservativas cuando los términos del lado derecho de las ecs son nulos.
A partir de las expresiones 3.1 se puede obtener la correspondiente versión no
conservativa; para ello, se desarrollan las derivadas de 3.1b y 3.1c, y se usa la ecuación
de continuidad 3.1a para eliminar algunos términos; de esta manera se obtienen las
expresiones siguientes:
∂u
∂u
∂u
∂H
g u
1  ∂
∂

2
2
+u
+v
+g
= 2
u +v +
hTxx +
hTxy 

∂t
∂X
∂Y
∂X C h
? h  ∂X
∂Y

(3.3a)
∂v
∂v
∂v
∂H
g v
1  ∂
∂

2
2
+u
+v
+g
= 2
u +v +
hTxy +
hT yy 

∂t
∂X
∂Y
∂Y C h
? h  ∂X
∂Y

(3.3b)
donde la pendiente de la línea de energía se calcula con la fórmula de Chezy; y C es el
coeficiente de fricción de Chezy. Esta versión ha sido ampliamente usada en distintos
trabajos de investigación, como por ejemplo: Ponce y Yabusaki (1981), Tingsanchali y
Maheswaran (1990), Borthwick y Barber (1992) y Borthwick y Akponasa (1997), entre
otros.
Las expresiones 3.3 son los componentes rectangulares de la versión diferencial no
conservativa de las ecua ciones de cantidad de movimiento, integradas en la
profundidad. Estas expresiones también se conocen como ecuaciones dinámicas,
precisamente porque estrictamente sus términos no representan el concepto de
conservación de cantidad de movimiento, como en las ecs 3.1b y 3.1c.
22
3.3 Deducción de la versión covariante de las ecuaciones de hidrodinámica
En el cap 2 se explicó que un vector se puede expresar de distintas formas cuando se
usan coordenadas curvilíneas. Puesto que las ecuaciones dinámicas son componentes
vecto-riales, éstas se pueden expresar también ya sea como componentes covariantes o
contravariantes en un sistema de coordenadas curvilíneas generales. En la fig 3.1 se
muestra una clasificación de las principales versiones que hay de las ecuaciones de
hidrodinámica en función del tipo de coordenadas.
Rectangulares
Coordenadas
Ortogonales
Componentes
físicos
Curvilíneas
Covariante
Componentes
no físicos
Generales
Componentes
físicos
Contravariante
Componentes
no físicos
Fig 3.1 Clasificación de las ecuaciones de hidrodinámica
En general, la mayoría de los últimos trabajos publicados de modelos numéricos que
usan coordenadas curvilíneas generales utilizan componentes contravariantes físicos
para representar a la velocidad; por ejemplo, en Demirdzic et al (1987) y Takizawa et al
(1992) se usan los componentes contravariantes físicos de la velocidad; Segal et al
(1992) utilizan como variables dependientes a los componentes contravariantes de la
velocidad multipli-cados por el Jacobiano de la trasformación; Melaaen (1992) utiliza
los componentes contravariantes proyectados sobre las direcciones de los vectores base
contravariantes; He y Salcudean (1994) y He et al (1996) emplean también los
componentes contravariantes físicos.
23
Aunque parece ser que hay cierta preferencia por usar los componentes contravariantes
físicos para representar a la velocidad en los modelos numéricos desarrollados, los
autores del presente trabajo consideran que, con base en la interpretación geométrica de
las distintas formas de expresar un vector, es mejor usar la versión covariante con
componentes físicos, como se mostró en el cap 2; los vectores base contravariantes
físicos son perpendiculares a los ejes curvilíneos, lo que garantiza que el cálculo del
flujo de masa que pasa por una sección trasversal se haga de manera correcta, esto
facilita revisar la conservación de masa. Dicha condición no se cumple cuando se usa la
versión contravariante, puesto que en ese caso los correspondientes vectores base
locales covariantes son tangentes (pero no necesariamente perpendiculares) a los ejes
curvilíneos.
Para simplificar la notación de los métricos se hacen las definiciones siguientes:
xξ =
∂X
∂Y
∂X
∂Y
; y? =
; x? =
; y? =
∂?
∂?
∂?
∂?
Como se demuestra en el apéndice A, los componentes cova riantes físicos, u(?) y v (?), y
los componentes rectangulares, u y v, del vector velocidad están relacionados por las
expresiones
u( ? ) =
g 22
v( ? ) =
g*
g 11
g*
x? u +
x? u +
g 22
g*
g11
g*
y? v
(3.4a)
y? v
(3.4b)
o en forma inversa
u=
v= −
y?
g 22
x?
g 22
u( ? ) −
u( ? ) +
y?
g11
v( ? )
x?
g 11
v( ? )
(3.5a)
(3.5b)
En las expresiones 3.4, se observa cómo se obtienen los componentes covariantes
físicos del vector velocidad en función de los componentes rectangulares; de manera
24
similar se obtienen los componentes covariantes físicos de las ecuaciones dinámicas en
coordenadas curvilíneas generales. Así, para obtener tales ecuaciones en función de las
coordenadas del sistema curvilíneo, se siguen estos tres pasos.
a) Con base en la regla de la cadena, todas las derivadas parciales con respecto a las
coordenadas rectangulares se sustituyen por derivadas parciales con respecto a las
coordenadas curvilíneas.
b) Los componentes rectangulares de la velocidad se sustituyen por sus
correspondientes componentes covariantes físicos dados por las ecs 3.5. Las
ecuaciones así obtenidas siguen siendo las ecuaciones dinámicas en las direcciones
del sistema rectangular.
c) A los componentes rectangulares de la ecuación dinámica obtenidas en el inciso
anterior, se les aplica la trasformación dada por las ecs 3.4, con lo cual se obtienen
las ecuaciones dinámicas en dirección perpendicular a los ejes curvilíneos, en
términos de las coordenadas curvilíneas y de los componentes covariantes físicos.
Con base en la regla de la cadena, las derivadas parciales de una función cualquiera
f(X, Y) se expresan en función de las coordenadas curvilíneas y los parámetros métricos
como sigue:
y ∂ f
y ∂ f
∂f
= ?
− ?
∂X
g* ∂ ?
g* ∂ ?
(3.6a)
∂f
x? ∂ f
x? ∂ f
=−
+
∂Y
g* ∂ ?
g* ∂ ?
(3.6b)
3.3.1 Ecuación dinámica en la dirección normal al eje curvilíneo ? constante
A continuación, se deduce con detalle cada uno de los términos que forman la versión
covariante con componentes físicos de la ecuación dinámica en la dirección normal al
eje curvilíneo ? constante, en coordenadas curvilíneas generales.
Aceleración local
Con base en las ecs 3.4, los componentes rectangulares de la aceleración local se
expresan como (primer término de las ecs 3.3a y 3.3b)
25
ALX =

g 11
∂ u ∂  g 22
=
xξ u( ? ) +

x ? v( ? )
∂ t ∂ t  g *
g*

(3.7a)
ALY =
∂v ∂
=
∂t ∂t
 g 22

g 11

y ? u( ? ) +
y ? v( ? )
g*
 g *

(3.7b)
El término de la aceleración local en la dirección normal al eje ? constante se obtiene
como sigue (véase ec 3.4a)
AL =
g 22
g*
g 22
x ? ALX +
g*
(3.8)
y? ALY
Al sustituir las ecs 3.7 en la 3.8, y puesto que los parámetros métricos no cambian con
el tiempo, se puede tomar como factor común a las derivadas parciales de los
componentes covariantes físicos de la velocidad, es decir
AL =
( x ? y ? − x ? y ? ) ∂u (? )
g*
∂t
g 22 ( − x ? y ? + x? y ? ) ∂v( ? )
+
g 11
g*
∂t
(3.9)
Después de simplificar algunos términos en 3.9, se obtiene
AL =
∂ u( ? )
∂t
(3.10)
Aceleración convectiva
La parte convectiva de la ecuación dinámica en la dirección del vector ex se define
como (segundo y tercer sumandos de la ec 3.3a)
ACX = u
∂u
∂u
+v
∂X
∂Y
(3.11a)
y con respecto a la dirección del vector ey es (segundo y tercer términos de la ec 3.3b)
ACY = u
∂v
∂v
+v
∂X
∂Y
(3.11b)
Al aplicar la regla de la cadena en las ecs 3.11, y tomar como factor común las
derivadas parciales de los componentes rectangulares u y v, se obtiene
26
ACX =
ACY =
( y ? u - x? v ) ∂u
∂?
g*
( - y ? u + x ? v ) ∂u
∂?
g*
+
( y ? u - x? v ) ∂v
( - y? u + x? v) ∂v
+
∂?
∂?
g*
g*
(3.12a)
(3.12b)
La aceleración convectiva en la dirección normal al eje ξ constante se obtiene como
(ec 3.4a)
AC =
g 22
g*
g 22
x ? ACX +
g*
y ? ACY
(3.13)
Al sustituir las ecs 3.12 y los componentes rectangulares de la velocidad que están fuera
de las derivadas parciales en función de los componentes covariantes, en la ec 3.13
resulta
AC =
g 22  y ?

g *  g *
g 22  − y ?

g *  g *
 y?
 x?
y?

u(?) −
v( ? )  −
 g

g 11
g*
 22

 y?
 x?
y?

u( ? ) −
v(?)  +
 g

g11
g*
22


 − x?
  ∂u
x?
∂v 

u(?) +
v ( ? )   x ?
+ y ?  +
 g
  ∂?
∂? 
g 11
 22

 − x?
  ∂u
x?
∂v 


u(?) +
v ( ? )   x ?
+ y?
 g
  ∂?
∂
?
g

22
11


(3.14)
Al desarrollar la expresión 3.14 y sustituir algunos parámetros métricos por los correspondientes elementos del tensor métrico covariante, ecs 2.14, se llega a
(
AC = u (? ) + g (12) v ( ? )
(v
(?)
+ g (12) u ( ? )
)
 ∂u
∂v 
x?
+ y?  +

g *  ∂?
∂? 
)g
22
g 11 g 22
g*
 ∂u
∂v 
 x ? ∂? + y ? ∂? 


donde
g
(12 )
=e
(?)
⋅e
(? )
=
− g12
g11 g 22
= cos ? 2
Se hace notar que θ2 es el ángulo entre los vectores base locales e(?) y e(?).
27
(3.15)
Para facilitar la explicación de la deducción de los términos que forman la aceleración
convectiva en coordenadas curvilíneas, a continuación, se trabaja primero con los
términos de las derivadas parciales con respecto a ξ de la ec 3.15, y más tarde, con los
términos de las derivadas parciales con respecto a η de la misma ecuación.
Los términos de las derivadas parciales con respecto a ξ de la ec 3.15, se expresan con
las ecs 3.5 como sigue:

y?
∂u
∂  y?
= x? 
u (? ) −
v( ? ) 

∂?
∂?  g 22
g11

(3.16a)

x?
x?
∂v
∂ 
= y?  −
u(?) +
v(?) 

∂?
∂? 
g 22
g11

(3.16b)
x?
y?
Al desarrollar primero cada una de las derivadas, después de sustituir algunos de los
elementos del tensor métrico covariante y factorizar, se llega a que
g 22
g*
 ∂u
∂v 
 x ? ∂? + y ? ∂?  =


g 22 ∂u( ? )
∂?
g*
+
g 22  ∂ y ?
∂ x? 
− y?
x?
 u( ? ) +
g *  ∂? g 22
∂? g 22 
g 22  ∂ x ?
∂ y? 
− x?
 y?
v ( ? )
g *  ∂? g11
∂? g 11 
(3.17)
Se puede demostrar que para la expresión anterior se cumple que
g 22
g*
 ∂ y?
∂ x? 
− y?
x?
=
∂? g 22 
 ∂? g 22
g 22
g*
1 ∂
g 22
g ∂?
Γ122 −
(3.18a)
y
g 22
g*
 ∂ x?
∂ y? 
− x?
 y?
=
∂? g 11 
 ∂? g11
g 22
g * g11
Γ121
(3.18b)
donde
[
Γ122 = x? y ?? − y ? x??
]
y
[
Γ121 = x ? y ?? − y ? x??
]
forman parte del conjunto de los llamados símbolos de Schwarz–Christoffel de segunda
especie (véase Warsi, 1981).
28
Al sustituir las expresiones 3.18 en 3.17, se obtiene
 g

1 ∂
g 22
+  22 Γ122 −
g 22 u( ? ) −
Γ121 v ( ? ) (3.19)


g * ∂?
g* ∂?
g* g 11
 g*

Procediendo de manera similar, las derivadas de los componentes rectangulares con
respecto a η (ec 3.15), se escriben como
g 22
g*
g 22 ∂u ( ? )
 ∂u
∂v 
 x ? ∂? + y ? ∂?  =



y?
∂u
∂  y?
= x? 
u( ? ) −
v(?) 

∂?
∂?  g 22
g 11

(3.20a)

x?
x?
∂v
∂ 
= y?
−
u(?) +
v(?) 

∂?
∂? 
g 22
g 11

(3.20b)
x?
y?
Nuevamente, al desarrollar las derivadas de las ecs 3.20 y factorizar se obtiene
g 11 g 22  ∂u
∂v 
x?
+ y?  =

g*
∂? 
 ∂?
g 11 ∂u (? )
∂?
g*
g 11 g 22  ∂
x?
g*
 ∂?
+
y?
g 22
− y?
∂ x? 
 u( ? ) +
∂? g 22 
g 11 g 22  ∂ x?
∂ y? 
− x?
 y?
 v( ? )
g*
∂? g11 
 ∂? g11
(3.21)
Se puede demostrar que para la expresión 3.21 se cumple que
g 11 g 22  ∂ y ?
∂ x? 
− y?
x?
=
g*
∂? g 22 
 ∂? g 22
g11  2
Γ22 −
g * 

1 ∂
g 22 

g 22 ∂?

(3.22a)
y
g 11 g 22  ∂ x?
g 22 2
∂ y? 
− x?
Γ12
 y?
=−
g*
∂? g 11 
g*
 ∂? g11
(3.22b)
donde
[
Γ222 = x ? y ?? − y? x ??
]
y
[
Γ121 = x ? y ?? − y ? x??
]
también forman parte del conjunto de expresiones conocidas como los símbolos de
Schwarz–Christoffel. Así, al sustituir las expresiones 3.22 en 3.21, se obtiene que
29
g 11 g 22  ∂u
∂v 
x?
+ y?  =

g*
∂? 
 ∂?
−
g 11 ∂u ( ? )
g*
∂?
g 22
Γ12 v( ? )
g*
g11  2
Γ22 −
g * 
+

1 ∂
g 22  u (? ) +
g 22 ∂?

2
(3.23)
Finalmente, los términos que forman la aceleración convectiva en coordenadas
curvilíneas se obtienen al sustituir las expresiones 3.19 y 3.23 en 3.15, de donde
(
AC = u (? ) + g (12) v (? )
(
+ v( ? ) + g (12) u( ? )
)
)
g 22  ∂u( ? )  2

+ Γ12 −

g *  ∂?

g11  ∂u ( ? )  2

+ Γ22 −

g*  ∂?

1
g 22
1
g 22
∂ g 22
∂?
∂ g 22
∂?

u ( ? ) −



u( ? ) −


g 22
g 11

Γ121 v ( ? )  +


Γ122 v( ? ) 
g11

g 22
(3.24)
Los símbolos de Christoffel de segunda especie toman en cuenta que los vectores base
contravariantes unitarios cambian de dirección a lo largo de los ejes curvilíneos. Estos
términos dependen de la geometría de la malla y son independientes de las variables
hidrodinámicas; por tanto, sus valores permanecen constantes mientras las coordenadas
del sistema curvilíneo permanezcan fijas. En estos términos se incluye el efecto de la
curvatura de la malla.
Gradiente hidráulico
Con base en la regla de la cadena, los términos del gradiente hidráulico en las
direcciones de los vectores ex y ey se definen respectivamente como
∂H
g  ∂H
∂H 
=
y?
− y?

∂X
∂ ? 
g*  ∂ ?
(3.25a)
∂H
g 
∂H
∂H 
=
− x?
+ x?

∂Y
∂?
∂ ? 
g* 
(3.25b)
GHX = g
GHY = g
El gradiente hidráulico en la dirección normal al eje ? constante se expresa como
(ec 3.4a)
GH =
g 22
g
x? GHX +
30
g 22
g
y ? GHY
(3.26)
Al sustituir 3.25 en 3.26, se obtiene
GH =
g  ∂H
∂H 
− y?
 y?

∂? 
g *  ∂?
g 22
g*
g 
∂H
∂H 
+ x?
− x ?

∂?
∂? 
g* 
x? +
g 22
g*
y?
(3.27)
Al desarrollar y agrupar términos en la expresión anterior, se obtiene
GH = g
g 22
g*

∂H
∂H
∂H
∂H 
 x? y ? ∂? − x ? y ? ∂? − x ? y? ∂? + x ? y ? ∂? 


(3.28)
Al tomar como factores comunes a los términos de las derivadas parciales, la expresión
anterior se reduce a
GH = g
g 22
g*

∂H 
 ( x ? y ? − x ? y ? ) ∂? 


(3.29)
de donde
GH = g
g 22 ∂H
g * ∂?
(3.30)
Resistencia al flujo
El efecto de la fricción en las direcciones de los vectores ex y ey se expresa
respectivamente de la manera siguiente
g u
SFX = 2 | V |
(3.31a)
C h
SFY =
g v
|V |
C2 h
(3.31b)
donde
V = u 2 + v 2 = u (2? ) + 2 g (12) u ( ? ) v (? ) + v (2? )
La resistencia al flujo en la dirección normal al eje curvilíneo ? se obtiene como sigue
SF =
g 22
g*
x ? SFX +
31
g 22
g*
y ? SFY
(3.32)
Nuevamente, al sustituir las expresiones 3.31 en 3.32, se tiene
SF =
g 22
g*
x?
g u
|V |+
C2 h
g 22
g*
y?
g v
|V |
C2 h
(3.33)
Al sustituir 3.5 en 3.33 se obtiene
SF =
 y?

y?
g 22 g 1


|
V
|
x
u
−
v
?
(? )
(?) +
2


h
g* C
g11
 g 22

 − x?

x?
g 22 g 1


|
V
|
y
u
+
v
?
(?)
(?)
2


h
g* C
g 11
 g 22

Después de desarrollar y factorizar, de la expresión anterior se obtiene
SF =

x y
g 1
 x? y ? u ( ? ) − ? ?
|
V
|
2

g*
C h

g 22
g11
v( ? ) −
x? y?
g*
u (? ) +
x? y?
g 22
g*
g11

v(?) 


(3.34)
Al reducir términos semejantes se llega a
SF =
u
g 1
| V | ( ? ) ( x? y ? − x? y ? )
2
g*
C h
(3.35)
con base en las ecs 2.1 y 2.14 la expresión anterior se simplifica como
SF =
g u(?)
V
C2 h
(3.36)
Términos de turbulencia
Los componentes que toman en cuenta el efecto de la turbulencia en las direcciones de
los vectores ex y ey son respectivamente
TURX =
- 1  ∂ h T xx ∂ h T xy 

+

? h  ∂ X
∂ Y 
(3.37a)
TURY =
- 1  ∂ h T xy ∂ h T yy 

+

? h  ∂ X
∂ Y 
(3.37b)
El efecto de la turbulencia en la dirección normal al eje curvilíneo ? constante se
expresa como
32
TUR =
g 22
g*
g 22
x? TURX +
g*
(3.38)
y ? TURY
Al sustituir las expresiones 3.37 en 3.38 se obtiene
TUR =
g 22
g*
x?
− 1  ∂hTxx ∂hTxy

+
? h  ∂X
∂Y

+


g 22
g*
y?
− 1  ∂hTxy ∂hTyy

+
? h  ∂X
∂Y




(3.39)
Al aplicar la regla de la cadena en la expresión 3.39, y después de ordenar términos, se
obtiene que el efecto de la turbulencia en la dirección normal a ? constante se expresa
como sigue
TUR =
-1
?h
g 22  x ?

g *  g *
-1
?h
g 22  ( x?2 − y ?2 ) ∂(hT xy ) y ?
+

∂?
g * 
g*
g*
 ∂hT xx
∂hTxx
 y ?
− y?
∂?
∂?

 ( y ? y ? − x? x ? ) ∂(hT xy )
 +
+
∂? 
g*

∂hT yy
∂hTyy

 − x?
+ x?
∂?
∂?




(3.40)
El esfuerzo Txx se expresa con base en la regla de la cadena como
T xx = 2 ? ? t
 y ? ∂u
y ? ∂u 
∂u
= 2?? t 
−

∂X
g * ∂? 
 g * ∂?
(3.41)
Al sustituir el componente u por sus componentes en coordenadas curvilíneas se tiene
T xx = 2?? t


y?
y? ∂  y?
y?
∂  y ?

u (? ) −
v( ? )  − 2?? t
u(?) −
v(?) 


g * ∂?  g 22
g11
g * ∂?  g 22
g 11


y?
(3.42)
Procediendo de manera similar con los otros esfuerzos, Txy y Tyy, se llega a las
expresiones siguientes:
T xy = − ?? t
+ ?? t


y?
x? ∂  y ?
y?
∂  y ?

u (? ) −
v ( ? )  + ?? t
u(?) −
v( ? )  +


g * ∂?  g 22
g11
g * ∂?  g 22
g11


x?


x?
y ? ∂  − x?
x?
∂  − x ?

u(?) +
v ( ? )  − ?? t
u( ? ) −
v(?) 


g * ∂?  g 22
g 11
g * ∂?  g 22
g 11


y?
33
(3.43)


x?
x? ∂  − x ?
x?
∂  − x?

u(?) +
v ( ? )  + 2?? t
u(?) +
v ( ? )  (3.44)


g * ∂?  g 22
g11
g * ∂?  g 22
g 11


x?
T yy = −2?? t
Estos son todos lo términos trasformados que forman la ecuación dinámica en la
dirección normal al eje curvilíneo ? constante.
Conviene aclarar que la versión de las ecuaciones de hidrodinámica en coordenadas
curvilíneas que se deduce en este trabajo es parecida a la usada por Borthwick y
Akponasa (1997), aunque ellos la llaman versión contravariante. Los autores del
presente trabajo consideran que esta versión debe ser llamada covariante física, puesto
que, como se demostró en el cap 2, los componentes que acompañan a los vectores base
contravariantes unitarios reciben el nombre de componentes covariantes físicos. Esta
confusión de nomenclatura aparece en muchos otros artículos técnicos sobre el tema.
De manera similar, se obtienen todos los términos que forman la ecuación dinámica en
la dirección normal al eje curvilíneo ? constante. Ambas expresiones se escriben a
continuación.
3.3.2 Resumen de las ecuaciones dinámicas en coordenadas curvilíneas generales con
componentes físicos
Ecuación dinámica en la dirección normal al eje curvilíneo ξ constante
∂u ( ? )
(
+ u( ? ) + g (12) v( ? )
∂t
(
+ v( ? ) + g (12) u( ? )
+g
+
-1
?h
)
)
g 22  ∂u ( ? )  2

+ Γ12 −
g *  ∂? 
g11  ∂u ( ? )  2

+ Γ22 −

g*  ∂?

g 22 ∂H
g u(?)
+ 2
g * ∂? C h
g 22  x ?

g *  g*
1
g 22
1
g 22
∂ g 22
∂?
∂ g 22
∂?

u ( ? ) −



u( ? ) −


g 22
g11

Γ121 v ( ? )  +


Γ122 v( ? )  +
g11

g 22
u (2? ) + 2 g (12) u (? ) v( ? ) + v(2? ) +
 ∂hTxx
∂hTxx
 y ?
− y?
∂?
∂?

34
 ( y ? y ? − x? x ? ) ∂(hT xy )
 +
+
∂? 
g*

-1
+
?h
y? 
∂hTyy
∂hTyy
g 22  ( x ?2 − y ?2 ) ∂(hT xy )
 − x ?
+
+ x?

∂?
∂?
∂?
g * 
g*
g* 



(3.45)
Ecuación dinámica en la dirección normal al eje curvilíneo η constante
∂v ( ? )
(
+ u( ? ) + g (12) v( ? )
∂t
(
+ v( ? ) + g (12) u( ? )
+g
+
-1
?h
)
g 22  ∂v ( ? )  1

+ Γ11 −
g *  ∂? 
g11  ∂v ( ? )  2

+ Γ12 −
g*  ∂? 
g11 ∂H
g v(?)
+ 2
g * ∂? C h
g11  x ?

g *  g*
-1
+
?h
)
1
g11
1 ∂ g11 
v (? ) −
g 11 ∂? 
∂ g 11 
v −
∂?  ( ? )
g 11
g 22
g11
g 22

Γ122 u (? )  +


1
Γ22
u(?)  +

u (2? ) + 2 g (12) u ( ? ) v ( ? ) + v (2? ) +
 ∂hTxx
∂hTxx
 yη
+ y?
∂?
∂?

 ( y ? y ? − x ? x ? ) ∂ (hT xy ) 
 +
+
∂? 
g*

g11  ( x ?2 − y ?2 ) ∂ (hT xy ) y ?
+

∂?
g * 
g*
g*
∂hT yy
 ∂hTyy
 x ?
− x?
∂?
∂?




(3.46)
3.3.3 Ecuación de continuidad en coordenadas curvilíneas
La forma conservativa de las derivadas parciales de una función f(X, Y) se expresa como
sigue:
∂f
1  ∂
∂

=
( y? f ) −
( y? f )

∂X
∂?
g* ∂ ?

∂f
1  ∂
∂

=
−
(x ? f ) +
(x ? f )

∂Y
∂?
g*  ∂ ?

(3.47a)
(3.47b)
Al aplicar las ecs 3.47 a la versión rectangular de la ecuación de continuidad, ec 3.1,
resulta
∂H
1 ∂
∂

1  ∂
∂

+
( y ? hu ) − ( y ? hu)  +
− ( x ? hv) + ( x? hv ) = 0


∂t
∂?
∂?
g*  ∂?
g *  ∂?


35
(3.48)
Si se aplica la propiedad asociativa a la suma de los operadores de las derivadas
parciales en esta ecuación, se tiene
∂H
1 ∂
1 ∂
+
( y ? u h − x? v h)
(− y ? u h + x? v h) = 0
∂t
g * ∂?
g * ∂?
Al sustituir los componentes rectangulares del vector
correspondientes componentes covariantes físicos, se obtiene
(3.49)
velocidad
por
sus

 − x?

y?
x?
∂H
1 ∂   y ?
+
 y? h
u (? ) −
v( ? )  − x ? h
u (? ) +
v( ? )   +

 g

∂t
g * ∂?   g 22
g11
g 11

 22

+
 y?

 − x?

y?
x?
∂ 
 − y ? h
u(?) −
v (? )  + x? h
u(?) +
v ( ? )  = 0
 g

 g

g * ∂? 
g 11
g11
22
 22



1
(3.50)
Esta última expresión se factoriza como se muestra a continuación:
2
2

x? x? + y? y?
∂H
1 ∂  x? + y?
+
hu ( ? ) −
hv( ? )  +

∂t
g* ∂?  g 22
g 11

2
2

x? x ? + y ? y ?
1 ∂  x? + y ?
+
hv ( ? ) −
hu ( ? )  = 0

g* ∂?  g 11
g 22

Con base en las igualdades 2.14, la ec 3.51 se escribe como

∂H
1 ∂  g 22
g
+
hu ( ? ) − 12 hv ( ? )  +

∂t
g* ∂?  g 22
g 11

(3.51)

1 ∂  g11
g
hv ( ? ) − 12 hu ( ? )  = 0

g * ∂?  g 11
g 22

(3.52)
o bien

∂H
1 ∂ 
+
 g 22  hu (? ) −

∂t
g* ∂? 

g12
g11 g 22


1 ∂ 
hv ( ? )  +
 g11  hv ( ? ) −


g * ∂? 


g 12
g 11 g 22

hu( ? )  = 0


Finalmente, al sustituir la ec 3.11 en esta última expresión, se obtiene la versión
diferencial, en coordenadas curvilíneas con componentes covariantes físicos, de la
ecuación de continuidad
36
∂H
1 ∂
+
∂t
g * ∂?
[
)]
(
g 22 hu( ?) + g (12 ) hv( ? ) +
1 ∂
g * ∂?
[
(
)]
g11 hv( ? ) + g (12) hu( ?) = 0
(3.53)
Los términos donde está como factor g (12) , son el complemento del flujo neto en la
dirección normal a los ejes curvilíneos no ortogonales. En caso de que las coordenadas
fueran ortogonales, el término g (12) es nulo.
3.4 Modelos de turbulencia
La mayoría de los flujos a superficie libre son turbulentos; esto se distingue por la
presencia de remolinos causados por paredes, obstáculos dentro del flujo o cambios de
dirección en las fronteras que definen el escurrimiento. Este fenómeno complejo se
considera en el modelo numérico al incluir los esfuerzos efectivos o de turbulencia que
están en las ecuaciones dinámicas. Dichos esfuerzos dependen de la llamada viscosidad
turbulenta, v t. Existen varios modelos para calcular dicha va riable.
Modelo de orden cero
Consiste en calcular la viscosidad turbulenta con la expresión
?t = C t h U *
(3.54)
donde U* es la llamada velocidad de fricción, la cual se puede expresar como
U* =
g
|V |
C
(3.55)
En la bibliografía se reportan valores para el coeficiente empírico, Ct, de la ec 3.54.
Tingsanchali y Maheswaran (1990) utilizan Ct = 0.0765; Duc et al (1996) usan
Ct = 0.07; Hu y Kot (1997) y Yulistiyanto et al (1998) proponen Ct = 0.1. En este
trabajo, se usa Ct = 0.0765.
El apéndice C incluye la trasformación del modelo de turbulencia k-e, de coordenadas
rectangulares a curvilíneas generales, con componentes covariantes físicos.
3.5 Condiciones de frontera y datos iniciales
En Abbott y Cunge (1982) se explica con detalle que los modelos de flujo 2DH, en
régimen subcrítico, requieren para su solución información de dos variables en las
fronteras del dominio. En general, las fronteras son abiertas o cerradas: en las abiertas
37
se puede dar información del nivel del agua o la velocidad del flujo; para el primero de
estos casos se requiere información adicional sobre al menos uno de los componentes de
la velocidad; en el otro, es suficiente con dar los dos componentes de la velocidad.
En las fronteras cerradas (paredes), la información de las dos variables es que el flujo
normal a la pared es nulo, y como hipótesis es común suponer que el otro componente
es tangente a la pared.
En cuanto a los datos iniciales, dado que se tienen tres ecuaciones diferenciales
parciales, se requiere información de tres variables independientes en cada punto de la
malla de cálculo; éstos son la cota del agua o el tirante, y los dos componentes del
vector velocidad.
38
4. ESQUEMA DE DIFERENCIAS FINITAS
Entre los distintos esquemas de diferencias finitas que se han publicado en los últimos
años, destaca el propuesto por MacCormack, el cual ha sido usado ampliamente en
dinámica y mecánica de fluidos para la solución de ecuaciones diferenciales parciales no
lineales, y también en el cálculo del campo de velocidades en flujos a superficie libre:
García y Kahawita (1986) muestran el cálculo del flujo bidimensional horizontal en
coordenadas rectangulares; Fennema y Chaudhry (1990) modelan el fenómeno del salto
hidráulico, donde se tienen simultáneamente regímenes de flujo subcrítico y supercrítico;
García-Navarro y Saviron (1992) calculan el movimiento de un frente de onda;
Yulistiyanto et al (1998) resuelven la versión conservativa de las ecuaciones de hidrodinámica en coordenadas rectangulares para modelar el flujo bidimensional horizontal a
superficie libre alrededor de una pila, etc.
El esquema de MacCormack es explícito, de segundo orden en el espacio, y consta de dos
etapas (tipo predictor–corrector): en la fase de predicción se calculan las variables
dependientes (llamadas variables predichas) con diferencias espaciales hacia atrás, y en la
fase de corrección se obtienen las variables dependientes (llamadas variables corregidas)
con diferencias espaciales hacia adelante, en función de las variables calculadas en la etapa
de predicción. Los valores de las variables dependientes al final del intervalo de tiempo se
obtienen en función de los valores de las variables al inicio del intervalo de tiempo y de las
variables obtenidas en la fase de corrección.
En varias referencias (véase, por ejemplo, García y Kahawita, 1986), se indica que se
obtienen mejores resultados con este esquema, cuando se alterna el cálculo de las
diferenc ias en cada etapa de cálculo, es decir, en un paso de tiempo se calcula la etapa de
predicción con diferencias hacia atrás y la etapa de corrección con diferencias hacia
39
adelante, y en el siguiente paso de tiempo, la etapa de predicción se calcula con diferencias
hacia adelante y la etapa de corrección con diferencias hacia atrás.
Sea el plano computacional mostrado en la fig 4.1, donde se incluye una malla de cálculo
de M celdas en la dirección del eje ? y N celdas en la del eje ?. En la misma figura se indica
que las celdas del lado izquierdo definen una frontera abierta donde se conoce el gasto que
ingresa y en las celdas del lado derecho se conoce el nivel del agua, mientras que en la
parte superior e inferior del plano computacional se tienen fronteras sólidas, llamadas
también cerradas. Para aplicar el esquema de MacCormack, se propone que todas las
variables dependientes sean calculadas en el centro de las celdas como se muestra en la fig
4.1. Esto tiene la ventaja de que se requiere menor número de parámetros métricos en las
ecuaciones discretizadas.
4.1 Metodología de cálculo
a) En un tiempo inicial, k ?t, se conocen los valores de las variables (Hk, u (?)k, v (?)k)i,j en el
punto central (i, j) de cada una de las celdas.
Fase de predicción
b) Se calculan las variables dependientes de la etapa de predicción, (Hp, u (?)p, v (?) p)i,j con
diferencias finitas hacia atrás para 2 ≤ i ≤ M, y 2 ≤ j ≤ N.
c) Con base en la hipótesis de la frontera reflejante, la cual se explica posteriormente, se
calculan las variables predichas para j = 1, y 2 ≤ i ≤ M.
Fase de corrección
d) Se calculan las variables dependientes de la fase de corrección (Hc, u (?)c, v (?)c )i,j, en cada
una de las celdas 2 ≤ i ≤ M-1, y 1 ≤ j ≤ N-1, con diferencias finitas hacia delante y en
función de los valores de las variables obtenidas en la etapa de predicción.
e) También con base en la hipótesis de frontera reflejante, se calculan los valores de las
variables de la fase de corrección para j = N, y 2 ≤ i ≤ M-1.
Valores para la etapa de tiempo (k+1) ? t
f) Hasta aquí se tienen tanto los valores predichos como los corregidos para las celdas
comprendidas entre 2 ≤ i ≤ M-1 y 1 ≤ j ≤ N. Con esos valores, se calculan las variables
40
dependientes al final del intervalo de tiempo para esas celdas, en función de los valores
de las variables iniciales y corregidas como sigue:
Frontera cerrada
η
j=N
j+1
B
Q
k+1
j
C
H
D
A
j-1
i-1
i+1
i
i= M
Frontera cerrada
B
v(η) i, j
CD
g11
H i, j
C
u(ξ)i, j
D
A
AB
g22
Fig 4.1 Malla de cálculo en el plano computacional
41
k+1
1
( H ik, j + H ic, j )
2
(4.1a)
1 k
k+1
c
u (? ) i, j = (u ( ? )i, j + u (? ) i, j )
2
(4.1b)
1 k
(v( ? )i, j + vc( ? )i, j)
2
(4.1c)
H ik, +j 1 =
k+1
v( ? )i, j =
Efecto de las fronteras abiertas
g) Se resuelven las celdas, para i = 1 e i = M, que definen las fronteras donde se conoce la
velocidad del flujo o el nivel de la superficie libre del agua, con el procedimiento que se
explica posteriormente.
h) Una vez que se tienen los valores de las variables dependientes para cada una de las
celdas del plano computacional, los valores de las variables dependientes para el tiempo
(k+1) ?t, se toman como valores iniciales y se repite el procedimiento de cálculo, pero
ahora calculando primero la fase de predicción con diferencias finitas hacia adelante y la
fase de corrección con diferencias hacia atrás.
La solución del campo de velocidades para un flujo con régimen permanente se obtiene
cuando, durante el ciclo iterativo, las variables dependientes no cambian significativamente
de una iteración a otra.
4.2 Discretización de las ecuaciones
Etapa de predicción con diferencias finitas hacia atrás
Cada uno de los términos que forman la ecuación de continuidad en coordenadas
curvilíneas con componentes físicos, ec 3.53, se escribe de la manera siguiente
p
k
∂H H i , j − H i, j
=
∂t
∆t
42
(4.2a)
∂
[ g 22 ( hu( ? ) + g (12) hv( ? ) )] =
g * ∂?
1
∂
g * ∂?
1
[
[(
1
+
g*i, j
]
1
g*i, j
g *i , j
[( g 22 hu (? ) ) ki. j − ( g 22 hu (ξ ) ) ik−1, j ]
g 22 g (12) hv( ? ) )i,k j − ( g 22 g (12) hv( ? ) )ki-1, j
g 11( hv( ? ) + g (12) hu ( ? ) ) =
+
1
[(
1
g *i, j
[(
]
(4.2b)
]
g11h u( ? )) ki, j − ( g 11h u ( ? )) ki, j −1 +
]
g 11 g (12) hv ( ? ) ) ki, j − ( g 11 g 12 hv( ? ) )ki, j −1
(4.2c)
Se recuerda que ?? y ?? tienen valores unitarios (véase el plano computacional de la
fig 4.1). Al sustituir cada una de las expresiones 4.2 en la ecuación de continuidad 3.53, y
despejar la variable H ip, j , se obtiene
∆t
H i, j = H i, j −
p
k
−
−
−
g *i, j
∆t
g *i, j
∆t
g *i, j
∆t
g *i, j
[(
[(
[(g
]
g 22 u( ? ) h) ik, j − ( g 22 u ( ? ) h ) ki−1, j +
(12 )
]
v ( ? ) h )ki, j − ( g 12 v( ? ) h )ik- 1,j +
]
g 11 v( ? ) h ) ki, j - ( g 11 v( ? ) h) ik. j−1 +
[( g
(12 )
u( ? ) h) ki, j - ( g (12) u (? ) h) ik, j −1
]
(4.3)
Para obtener el componente u (p? ) i, j se debe usar la ecuación dinámica 3.45; sin embargo,
debido a que en dicha expresión hay muchos términos donde se incluyen las mismas
derivadas parciales, conviene escribir la ecuación en cuestión como sigue:
ALXIP + ACXIP + GHXIP + SFXIP + TURXIP = 0
(4.4)
donde ALXIP es la aceleración local, ec 3.10; ACXIP la aceleración convectiva, ec 3.13;
GHXIP el gradiente hidráulico, ec 3.30; SFXIP el efecto de la resistencia al flujo, ec 3.36, y
en TURXIP se incluye el efecto de la turbulencia, ec 3.38. El valor predicho del
componente de la velocidad u (p? ) i, j en la dirección normal al eje ? constante, se obtiene al
expresar cada uno de los sumandos de la ecuación dinámica 4.4 con diferencias finitas
hacia atrás:
43
Aceleración local (ec 3.10)
ALXIP =
∂u( ? )
=
∂t
u (p? )i, j − u (k? ) i, j
(4.5)
∆t
Aceleración convectiva (ec 3.13)
Para estos términos, conviene calcular primero las derivadas parciales de los componentes
rectangulares de la velocidad con respecto a las coordenadas curvilíneas dadas por la
ec 3.20:

y?
 ∂u  ∂  y ?
DUXI =   = 
u (? ) −
v (? ) 

g11
 ∂?  ∂?  g 22


y?
 ∂u  ∂  y ?
DUETA =   =
u(?) −
v(?) 

g 11
 ∂?  ∂?  g 22

y con diferencias finitas:
k
k
k
k
 y?

 y?

 y?

 y?

DUXI = 
u ( ? )  − 
u ( ? ) 
− 
v( ? )  + 
v( ? ) 
 g 22
 i, j  g 22
 i−1, j  g11
 i, j  g11
 i−1, j
k
k
k
(4.6a)
k
 y?

 y?

 y?

 y?

DUETA = 
u (? )  − 
u(?) 
−
v( ? )  + 
v(?) 
 g







22

 i , j  g 22
 i, j −1  g 11
 i, j  g 11
 i, j −1
(4.6b)
De manera similar, se obtienen las derivadas parciales del componente rectangular v con
respecto a las coordenadas curvilíneas (ec 3.10b):
k
k
k
k
 x?

 x?

 x?

 x?

DVXI = −
u( ? )  + 
u (? ) 
+ 
v( ? )  − 
v( ? ) 
 g 22
 i, j  g 22
 i−1, j  g11
 i, j  g 11
 i−1, j
k
k
k
(4.6c)
k
 x?

 x?

 x?

 x?

DVETA = −
u(?)  + 
u (? ) 
+
v( ? )  − 
v( ? ) 
 g







22

 i, j  g 22
 i , j −1  g 11
 i, j  g 11
 i , j −1
(4.6d)
Con base en las expresiones 4.6 y la regla de la cadena, ecs 3.6, se obtienen las expresiones
para calcular las derivadas de los componentes rectangulares con respecto a las coordenadas rectangulares:
44
 y? 
∂u  y? 


=
DUXI
−
 g  DUETA
∂X  g *  i, j
 *  i, j
(4.7a)
 x? 
∂u  x? 


= −
DUXI
+
 g  DUETA
∂Y 
g *  i, j
 *  i, j
(4.7b)
 y? 
∂v  y? 


=
DVXI
−
 g  DVETA
∂X  g *  i, j
 *  i, j
(4.7c)
DUX =
DUY =
DVX =
DVY =
∂v  x ?
= −
∂Y 
g*

 x 
 DVXI +  ?  DVETA

 g 
i , j
 * i , j
(4.7d)
Ahora, con base en las expresiones 4.7 y 3.11, los componentes rectangulares de la
aceleración convectiva se obtienen como
ACX = u ik, j DUX + vik, j DUY
(4.8a)
ACY = uik, j DVX + vik, j DVY
(4.8b)
Finalmente, el componente de la aceleración convectiva en la dirección normal al eje ξ
constante se obtiene como (ec 3.13)
 g

 g

ACXIP =  22 x ?  ACX +  22 y ?  ACY
 g*

 g*


i , j

 i, j
(4.9)
Gradiente hidráulico (ec 3.10)
El término del gradiente hidráulico es
GHXIP = g
 g
g 22 ∂H
= g  22
 g*
g * ∂?


 H ik, j − H ik−1, j

 i, j
(
)
(4.10)
Resistencia al flujo (ec 3.36)
El término que toma en cuenta la resistencia al flujo es
g u(?)
g
SFXIP = 2
V = 2
C h
Ci, j
45
 u (? )

 h
k

 Vi k, j
i , j
(4.11)
donde
Vi,kj = (u ik, j ) 2 + ( vik, j ) 2 = (u (k? )i , j ) 2 + 2 g (i, j) u (k? ) i, j v (k? ) i, j + (v (k? ) i, j ) 2
Esfuerzos de turbulencia (ec 3.38)
En forma similar a como se escribe en diferencias finitas el término de la aceleración
convectiva, para expresar los términos de la turbulencia conviene escribir primero los
esfuerzos de turbulencia como sigue
T xx = 2?? t
∂u
= 2?? t DUX
∂X
(4.12a)
T yy = 2?? t
∂v
= 2?? t DVY
∂Y
(4.12b)
 ∂u ∂v 
T xy = ?? t 
+
 = ?? t ( DUY + DVX )
 ∂Y ∂X 
(4.12c)
donde DUX, DVY, DUY y DVX se calculan con las expresiones 4.7. Con base en estos
esfuerzos así calculados, es sencillo obtener los términos siguientes:
TURX =
- 1  ∂ h T xx ∂ h T xy 

+

?h  ∂ X
∂ Y 
donde
y ∂hTxx
y ∂hTxx
∂hTxx
= ?
− ?
∂X
g * ∂?
g * ∂?
∂hTxy
∂Y
=−
x ? ∂hT xy
g*
∂?
+
x? ∂hTxy
g*
∂?
y las derivadas parciales de las expresiones anteriores se expresan como sigue:
∂hTxx
k
k
= (hT xx )i, j − (hTxx )i −1, j ;
∂?
∂hTxx
k
k
= (hTxx )i, j − (hT xx )i, j−1
∂?
∂hTxy
∂hTxy
∂?
= (hTxy )ki, j − (hTxy )ki−1, j ;
∂?
46
= (hTxy )ki, j − (hT xy )ik−1, j
Procediendo de manera similar, se obtiene el término TURY dado por la ec 3.37b
TURY =
- 1  ∂ h T xy ∂ h T yy 

+

? h  ∂ X
∂ Y 
Una vez que se tienen los términos TURX y TURY, se procede a calcular el componente del
efecto de la turbulencia como sigue (ec 3.38)
 g 22 
 g 22 
TURXIP = 
x?  TURX + 
y  TURY
 g*

 g* ? 

i , j

i , j
Con base en cada uno de los términos expresados en diferencias finitas, el componente de
la velocidad, u (p? ) i, j , de la fase de predicción se obtiene como
u (p? ) i, j = u(k? ) i, j − ∆t ( ACXIP + GHXIP + SFXIP + TURXIP )
De manera similar se discretiza la ecuación dinámica en la dirección normal al eje
curvilíneo ? constante, ec 3.46, de donde se obtiene la variable predicha v (p? ) i, j .
Etapa de corrección con diferencias finitas hacia adelante
Se calculan las variables dependientes con diferencias finitas hacia adelante, en función de
las variables obtenidas en la etapa de predicción; así, de la ec 3.53, se obtiene
∆t
H ic, j = H ip, j −
−
∆t
g *i, j
∆t
−
g *i, j
−
g *i, j
[(
∆t
g *i, j
[(g
[(
(12 )
]
g 22 u ( ? ) h) ip+1, j − ( g 22 u (? ) h) ip, j +
]
v ( ? ) h )ip+1, j − ( g 12 v( ? ) h )i,pj +
]
g 11 v( ? ) h ) ip, j+1 - ( g11 v( ? ) h) ip. j +
[( g
(12 )
u( ? ) h) ip, j+1 - ( g (12) u (? ) h) ip, j
]
En forma similar a como se plantea en la ec 4.3, se obtienen de las ecuaciones dinámicas en
las direcciones normales a los ejes curvilíneos las variables siguientes
u (c? ) i, j = F1 ( H , u ( ? ) , v( ? ) ) ip, j ;
47
v (c? )i , j = F2 ( H , u ( ? ) , v( ? ) ) ip, j
4.3 Condiciones de frontera
Las expresiones anteriores no se aplican en celdas cuyos lados coinciden con las fronteras
que definen la zona en estudio, ya que se carece de valores para el cálculo de las derivadas
parciales con el esquema de MacCormack. Para resolver las celdas en cuestión es necesario
identificar el tipo de frontera que se tiene. En general, existen dos tipos de frontera que son
cerradas (paredes) o abiertas. A continuación, se discuten las expresiones correspondientes
para celdas cuyos lados forman parte de una frontera.
4.3.1 Frontera cerrada (pared)
La modelación numérica del flujo bidimensional horizontal requiere la definición adecuada
de las condiciones de frontera dadas en las paredes. Existen varios procedimientos para
modelar el efecto de una pared en el campo de velocidades; éstos se discuten a
continuación.
Una metodología se basa en utilizar la ley universal de distribución de velocidades de
Prandtl y von-Kárman, llamada también ley logarítmica o de pared, para obtener la
velocidad del flujo muy cerca de la misma. Dado que esta ley es válida para condiciones de
flujo uniforme, no se recomienda su empleo en la modelación numérica de flujos con zonas
de recirculación o de estancamiento; véase, por ejemplo, Rodi (1980).
Otro procedimiento consiste en aceptar que la velocidad en la pared es nula; sin embargo,
se ha hecho notar que para modelar numéricamente la variación de la velocidad en la
dirección normal a la pared, se necesita que la malla de cálculo sea demasiado densa en esa
zona, lo cual no es recomendable debido al notable incremento en los requerimientos de
memoria de máquina y tiempo de proceso de cálculo; por tanto, este método no es práctico
(véase, por ejemplo, Versteeg y Malalasekera, 1995).
En este trabajo, se utiliza un procedimiento que ha sido aplicado por Chaudhry (1993) y
Yulistiyanto (1998), entre otros. Este método se basa en aceptar las hipótesis de que tanto
la variación de la velocidad tangencial a la pared, en el sentido normal a la misma, como la
velocidad normal a la pared son nulas. Sea el caso de una celda, donde uno de sus lados
forma parte de la frontera que confina la superficie libre del agua, como se muestra en la
fig 4.2. Con base en estas hipótesis, se supone que en la frontera hay una imagen de la
celda, la cual está definida por puntos ficticios en la pared sólida, como se muestra en la
fig 4.2. En la figura se observa que los componentes de la velocidad paralelos a la pared
48
son idénticos y los perpendiculares a la misma tienen signo opuesto. De esta manera, las
derivadas parciales en la dirección normal a la pared se expresan como
 ∂Pu(k? )

 ∂?


 = 0;

 i, j
 ∂Pv(k? )

 ∂?


 = 2 Pi, j v(k? )i, j

i , j
donde Pi,j es un parámetro métrico o el producto de algunos de ellos en la celda i, j.
v(η)
u( ξ )
Frontera cerrada
u( ξ )
Celda ficticia
v(η)
Fig 4.2 Celda con frontera cerrada
Esta es la manera como se modelan las fronteras cerradas en el modelo numérico que se
desarrolla en este trabajo; además de su sencillez, se considera que representa en forma
adecuada el efecto de una frontera cerrada en el flujo, como se observa, por ejemplo, en
Chaudhry (1993) y Yulistiyanto (1998).
4.3.2 Frontera abierta con nivel de agua conocido
En cuanto a la modelación de una frontera donde se conoce la variación de la superficie
libre del agua en el t iempo y se desea conocer el caudal, se propone calcular el componente
de la velocidad en la dirección normal al eje curvilíneo ? constante, con base en el
componente de la ecuación dinámica en la misma dirección, y suponer que el otro
componente de la velocidad es nulo, como se muestra en la fig 4.3 (véase, por ejemplo,
Rahman y Chaudhry, 1995). Con base en esta hipótesis, algunos términos de la ecuación
dinámica se cancelan; así, el término convectivo se calcula con las expresiones 4.6 a 4.8
pero las derivadas con respecto a las coordenadas curvilíneas se simplifican como sigue:
49
j+1
u( ξ )
j
H
k+1
j-1
i= M
Fig 4.3 Celda i, j con frontera de nivel
H
k+1
conocido
k
k
 y?

 y?

DUXI = 
u (? )  − 
u (? ) 
 g 22
 i, j  g 22
 i−1, j
k
k
 y?

 y?

DUETA = 
u (? )  − 
u(?) 
 g



22

 i , j  g 22
 i −1, j
k
k
 x?

 x?

DVXI = −
u( ? )  + 
u ( ? ) 
 g 22
 i, j  g 22
 i, j−1
k
k
 x?

 x?

DVETA = −
u(?)  + 
u (? ) 
 g



22

 i, j  g 22
 i, j−1
Se hace notar que este método se debe aplicar en secciones donde se cumpla que el flujo es
prácticamente paralelo al eje ξ, para que de esta manera se satisfaga la hipótesis de que el
componente de la velocidad en el sentido trasversal al flujo principal sea nulo.
4.3.3 Frontera abierta con flujo conocido
Cuando el gasto de ingreso (Qk+1) es conocido en una frontera como la mostrada en la fig 4.4
se supone que el flujo en la frontera es normal a la misma, como se indica a continuación.
50
La cota de la superficie libre del agua se obtiene al aplicar la ecuación de continuidad,
donde se supone que el componente v (?) es nulo, de esta manera, para la celda mostrada en
la fig 4.4 se tiene la expresión siguiente:
H ik, +j 1 = H ik, j −
∆t
g *i , j
[(u
h )i+1, j − Q k +1
k
(? )
]
j+1
j
u( ξ )
Qk+1
j-1
i=1
Fig 4.4 Celda i, j con frontera de gasto
k+1
Q conocido
La solución del campo de velocidades de un flujo permanente se obtiene cuando los valores
de las velocidades y niveles de agua convergen en un cierto valor. Puesto que lo que se
obtiene son los componentes covariantes físicos del vector velocidad, para conocer los
componentes rectangulares correspondientes se utilizan las expresiones 3.6.
4.4 Filtro numérico y condición de estabilidad
Cualquier esquema de diferencias finitas, como el de MacCormack aquí empleado, puede
tener problemas de estabilidad debido a la posible propagación de términos correspondientes a los altos componentes de Fourier (véase Abbott, 1979), generados por la
aproximación numérica. Para lograr la estabilidad del modelo numérico es común aplicar
un filtro (véase, por ejemplo, Borthwick y Akponasa, 1997). En el modelo desarrollado en
este trabajo, se aplica el filtro propuesto por Abbott (1979), el cual se ha adaptado para el
flujo bidimensional, y consiste en modificar cada una de las variables dependientes en
función de los valores vecinos de la misma variable como
51
R f = f i −1, j + f i +1, j + f i, j −1 + f i, j +1
f i,fj = (1 − 4a ) f i, j + a R f
donde f i, j es la variable que se va a filtrar, a un factor de peso (0 = a = 0.25) y f i,fj es
la variable filtrada. Durante la modelación numérica, la frecuencia con que se aplica el
proceso de filtrado es del orden de diez veces el paso de tiempo, es decir, cada 10 ∆t.
Puesto que el filtro numérico se obtiene con base en el promedio ponderado de las variables
de las celdas vecinas, al aplicar la expresión 4.8 a celdas que definen las fronteras, el
promedio se hace únicamente con los valores de las celdas vecinas.
Debido a que el esquema que se usa en este trabajo es explícito, el paso de tiempo debe
cumplir con la restricción de Courant. En Yulistiyanto (1997) se demuestra con algunas
simplificaciones que el esquema de MacCormack es estable cuando se cumple en todos los
puntos de la malla la condición siguiente
∆t < C n
u + CL
g11
+
1
v + CL
g 22
+
2? t 2? t
+
g 11 g 22
donde Cn es el número de Courant, que debe ser menor a la unidad, y C L = gh . En las
aplicaciones del modelo numérico que se describen en el cap 5, se reportan los valores de
∆t utilizados. Se revisó que se cumpliera la restricción de Courant durante todo el proceso
de cálculo.
52
5. CALIBRACIÓN Y VERIFICACIÓN DEL MODELO NUMÉRICO
La calibración y verificación del funcionamiento del modelo matemático desarrollado se hizo
comparando los resultados del modelo numérico con mediciones de laboratorio en distintos
canales. A continuación se describe cada una de las cinco pruebas realizadas.
5.1 Flujo en una curva horizontal
Este experimento permitió verificar el funcionamiento de la versión covariante de las ecuaciones
en coordenadas curvilíneas generales y que el modelo cumple con la ley de conservación de
masa.
Entre los trabajos experimentales más interesantes en canales con fronteras curvas destacan los
realizados por Rozovskii (1957), cuyas mediciones han sido utilizadas por varios investigadores,
como por ejemplo Leschziner y Rodi (1979); una parte de dichas mediciones están reportadas en
Molls (1992). Dichos experimentos se llevaron a cabo en un canal rectangular con ancho B =
0.80 m, que forma una curva en planta de 180°, con pendiente de plantilla nula, coeficiente de
fricción de Chezy reportado de C = 60 m1/2/s, velocidad de entrada al canal U = 0.265 m/s y
tirante de 0.06 m, lo cual da un gasto de 0.0123 m3/s. Esta información se proporcionó al modelo
numérico desarrollado en este trabajo.
Con base en un generador de mallas desarrollado por Mejía y Berezowsky (1996) se obtuvo la
malla de cálculo mostrada en la fig 5.1, la cual consta de 117 x 20 celdas. Se hace notar que el
tamaño de las celdas, en la dirección del flujo, cambia en forma gradual en las zonas aguas arriba
y aguas abajo de la curva; esto se hizo para lograr mejor resolución en el cálculo del campo de
velocidades. El intervalo de tiempo empleado en la modelación fue ? t = 0.005 s. Para la
modelación, se asignó al coeficiente de filtrado el valor a = 0.05, el cual se aplicó cada 10 ? t.
Debido a que no se reporta el valor del tirante en la salida del canal se propuso un valor constante
de 0.058 m. No se consideró el efecto de la turbulencia en los cálculos.
53
Como condiciones iniciales, se supuso un tirante de 0.059 m y ambos componentes de la
velocidad nulos; después de 60 s de modelación se observó que el flujo está en régimen
establecido. El correspondiente campo horizontal de velocidades se muestra en la fig 5.2. Se
destaca que en este caso se verificó una exacta conservación de masa; en algunas celdas el
número de Courant llegó a tener valores mayores de 0.30.
En la fig 5.3, se muestran los perfiles medidos y calculados de la distribución trasversal de la
velocidad en dos secciones trasversales de la curva, para los ángulos de 37° y 102°. Nótese que
tanto la velocidad calculada como la medida son mayores en la parte interior de la curva.
En la fig 5.4, se muestra la comparación de los perfiles de la superficie libre del agua medidos y
calculados en las paredes de la curva. Como es de esperarse, en la pared de la curva exterior el
nivel del agua aumenta, mientras que en la pared interior de la misma dicho nivel disminuye;
además, el perfil trasversal de la superficie libre del agua tiene pendiente distinta a cero, tanto en la
entrada como en la salida de la curva.
Con base en los resultados mostrados, los autores consideran que los resultados obtenidos con el
modelo numérico son muy buenos, ya que el flujo en la curva tiene efectos tridimensionales,
mientras que el modelo que aquí se utiliza se basa en la hipótesis de flujo bidimensional horizontal
promediado en la profundidad. Los resultados aquí presentados son muy parecidos a los
reportados en la bibliografía; véase, por ejemplo, Molls (1992).
54
55
56
Fig 5.2 Campo horizontal de velocidades
Conviene aclarar que este mismo problema se resolvió con el modelo numérico, pero incluyendo
el efecto de la turbulencia. Al comparar los resultados con respecto a los obtenidos sin incluir
dicho efecto, se observó que no hay diferencias notables entre ellos, lo cual coincide con Rodi
57
(1980); esto se debe a que en el campo de flujo estudiado no se presentan zonas con
recirculación. En el ejemplo siguiente, se muestra la importancia de incluir en la modelación
numérica los esfuerzos de turbulencia cuando hay zonas de recirculación.
5.2 Efecto de un espigón en el flujo de un canal rectangular
Este experimento permitió verificar la bondad de la modelación para el caso de un flujo con zona
de recirculación. La malla es de forma rectangular con espaciamiento variable.
Rajaratnam y Nwachukwu (1983) realizaron varias series de experimentos y mediciones en un
canal horizontal rectangular de 37 m de longitud, 0.915 m de ancho y 0.76 m de profundidad, con
sistema de recirculación de agua y una compuerta plana en el extremo final para regular el nivel
del agua en el canal. En uno de sus ensayos, el A2, colocaron en la mitad de la longitud del canal
una placa de 3 mm de espesor y 0.15 m de longitud, como se muestra en la fig 5.5.
Durante la prueba, el tirante en el canal fue de 0.223m con velocidad del flujo a la entrada deU
= 0.22 m/s. Tingsanchali y Maheswaran (1990) presentan una gráfica adimensional de la
distribución del componente horizontal de la velocidad en el sentido longitudinal del canal, para las
cinco secciones trasversales mostradas en la fig 5.6; de dicha gráfica se obtuvieron los valores
medidos con los cuales se revisó el funcionamiento del modelo numérico desarrollado en este
trabajo. La malla de cálculo que se usó se muestra en la fig 5.6, la cual consta de 112 x 43
celdas; para la modelación se usó ? t de 0.001 s, coeficiente de filtrado a = 0.05, el cual se aplicó
cada 10 ? t, y coeficiente de fricción de Chezy de 60 m1/2/s. El modelo numérico se aplicó para
las tres opciones siguientes: a) sin considerar los términos que incluyen los esfuerzos efectivos
58
turbulentos; b) incluyendo los esfuerzos efectivos, con la viscosidad turbulenta calculada con la
expresión 3.54;
c) calculando la viscosidad turbulenta con el modelo k-e, el cual se
explica con detalle en el apéndice C.
Al comparar los resultados obtenidos de cada una de las opciones con los datos medidos en
laboratorio, se observó que la segunda opción da excelentes resultados. En la fig 5.7a se muestra
el campo de velocidades obtenido en este caso para condiciones de flujo en régimen permanente;
en la fig 5.7b se ilustra una ampliación de la zona de recirculación. En las figs 5.8 y 5.9 se indican
los campos de velocidades obtenidos para v t = 0 y v t obtenida con el modelo k-e. En ellas, se
observa que cuando no se incluye el efecto de la turbulencia (primera opción), la longitud de la
zona de separación es demasiado grande, mientras que cuando se calcula la viscosidad turbulenta
con el modelo k-e (tercera opción), dicha zona es demasiado pequeña tanto en longitud como en
anchura, lo cual ha sido señalado en varios trabajos publicados; por ejemplo, en Tingsanchali y
Maheswaran (1990).
La comparación entre el componente rectangular u de las distribuciones de velocidad medidas y
calculadas con la segunda opción del modelo de turbulencia se muestra en la fig 5.10. En esta
figura se nota cómo se reproduce de manera adecuada la zona de recirculación generada por el
espigón. En algunas de las celdas cercanas al espigón, el número de Courant llegó a 0.35.
59
60
61
62
63
5.3 Obstáculo de forma irregular
Con el propósito de validar el modelo de flujo bidimensional horizontal en coordenadas generales,
se propuso colocar un obstáculo de forma irregular en el canal de pendiente variable de la
Coordinación de Hidráulica del Instituto de Ingeniería, UNAM, como se indica en la fig 5.11. El
canal tiene 30 m de largo, 0.78 m de ancho y 0.8 m de altura, con un sistema para recircular el
agua, tanque de carga constante, tres bombas con capacidad para bombear hasta 40 l/s, un
vertedor rectangular de cresta afilada con 1.48 m de ancho sin contracciones laterales, y
paramento aguas arriba de 2.32 m, un limnímetro para aforar el gasto en dicho vertedor, y una
compuerta vertical plana en la salida del mismo para controlar el nivel del agua. Se revisó que la
plantilla del tramo del canal donde se ubica el obstáculo estuviera horizontal.
La malla de cálculo correspondiente se muestra en la fig 5.12, donde se puede apreciar que las
celdas que forman la malla en la zona cercana al obstáculo son cuadriláteras no ortogonales. La
malla está compuesta de 151 x 35 celdas.
64
Prueba 1. Gasto de 0.0146 m3/s
Durante este experimento el tirante del agua se mantuvo constante en 0.17 m medido en una
sección a 5 m aguas abajo del obstáculo, mientras que la velocidad media del flujo aguas arriba
del obstáculo fue de U = 0.11 m/s. Posteriormente, se procedió a medir la distribución trasversal
de la velocidad en ocho secciones, las cuales se indican en la fig 5.13. Las mediciones de la
velocidad se hicieron con el ADV Lab. Se aclara que primero se obtuvieron varios perfiles de la
distribución vertical de la velocidad, lo que permitió verificar que tal distribución es de tipo
logarítmico, y que el valor de la velocidad media en cada vertical se presenta aproximadamente a
0.6 h, medido desde la superficie libre del agua; por ello, después de esta verificación, se midió
únicamente la velocidad a 0.6 h, donde dicho valor se tomó como la velocidad media.
Para la modelación numérica se propuso el coeficiente de Chezy C = 60 m1/2/s y
?t=
0.002 s, con coeficiente de filtrado a = 0.05, el cual se aplicó cada 10 ? t. Como condiciones
iniciales, se propuso un tirante constante de 0.17 m y los componentes de la velocidad nulos. El
coeficiente de viscosidad turbulenta se calculó con la ec 3.54.
En la fig 5.13 se muestra el campo horizontal de velocidades calculado, y en las figs 5.14 y 5.15
se comparan los perfiles medidos y calculados de la distribución trasversal de los componentes
rectangulares de la velocidad; los resultados del modelo coinciden bastante bien con los valores
medidos del componente u de la velocidad, mientras que para el componente v hay discrepancias
en la zona más cercana al obstáculo. Se aclara que también en este caso se observó que cuando
no se incluye el efecto de la turbulencia, la zona de separación es demasiado larga, mientras que
cuando se incluye la turbulencia con el modelo k-e, dicha longitud es demasiado corta y angosta.
En la fig 5.16 se muestra una secuencia de fotos que se tomaron durante el experimento; se
agregó confeti de distintos colores en la superficie libre del agua, aguas arriba del obstáculo, lo
que permite apreciar la zona de separación del flujo, y los remolinos que se desprenden del
extremo del obstáculo.
65
66
67
68
t = t1
t = t2
t = t3
t = t4
Fig 5.16 Fotos del experimento con Q = 0.0146 m 3/s
69
Prueba 2. Gasto de 0.0296 m3/s
Sin modificar las dimensiones ni la ubicación del obstáculo colocado en el canal de pendiente
variable, se hizo pasar un flujo con velocidad media U = 0.22 m/s, medida a 1 m aguas arriba del
obstáculo, mientras que a 5 m aguas abajo del mismo se mantuvo un tirante de 0.17 m.
Asimismo, se aplicó en este caso el programa incluyendo el efecto de la turbulencia al calcular la
viscosidad turbulenta con la ec 3.54. Se utilizó ? t = 0.001 s, con coeficiente de filtrado a = 0.05
para las celdas comprendidas entre 10.06 ≤ X ≤ 10.58 m y a = 0.02 para todas las demás, el
cual se aplicó cada 10 ? t, y no se modificó la malla de cálculo.
En la fig 5.17 se muestra la malla de cálculo y en la 5.18 el campo de velocidades calculado con
la segunda opción; en las figs 5.19 y 5.20 se muestra la comparación de los perfiles trasversales
de los componentes de la velocidad medidos y calculados, como se puede apreciar en las figuras;
por otro lado, para este caso los resultados del modelo numérico coinciden bastante bien con los
valores medidos.
Conviene aclarar que para este caso, dado que la velocidad del flujo es el doble con respecto al
caso inmediato anterior, la turbulencia del flujo es mayor.
Para esta prueba se obtuvo la serie de fotos mostradas en la fig 5.21, donde se aprecia el confeti
de distintos colores que permite visualizar la zona de separación y los correspondientes remolinos
que se generan en el extremo del obstáculo.
70
71
72
73
t = t1
t = t2
t = t3
t = t4
Fig 5.21 Fotos del experimento con Q = 0.0296 m3/s
74
5.4 Flujo en un canal horizontal con curvatura compuesta
Se decidió hacer una última prueba con el modelo matemático, y aplicarlo a un canal de sección
rectangular definido por curvas compuestas, como se indica en la fig 5.22. De esta manera, se
muestra el funcionamiento del modelo numérico para el caso de fronteras con alineamiento
irregular y curvatura notable, junto con el modelo de turbulencia.
Para dar la forma de las fronteras curvas, se colocaron dos estructuras en el canal de pendiente
variable del Instituto de Ingeniería. En este caso la velocidad media aguas arriba de las curvas fue
de U = 0.088 m/s, con tirante aguas abajo de 0.149 m y gasto de
0.0103 m3/s. Se midió la
velocidad con el ADV Lab; con base en la experiencia del caso 5.3, también se tomó como la
velocidad media en la profundidad la medida a una profundidad de 0.6 h. Las mediciones de la
distribución trasversal de la velocidad se hicieron en las diez secciones indicadas en la fig 5.22,
donde también se incluye la malla de cálculo, la cual consta de 129 x 30 celdas. Para la
modelación numérica se usó ? t = 0.002 s, con factor de fricción de Chezy de 60 m1/2/s. Como
condiciones iniciales se propuso un tirante constante de 0.17 m y los componentes de la velocidad
nulos. El modelo se aplicó primero con v t = 0 y coeficiente de filtrado a = 0.02 cada 10 ? t, y
después con v t calculada con la expresión 3.54, con coeficiente de filtrado de 0.05 cada 10 ? t.
Al comparar los resultados de estas dos pruebas se observó que no hay diferencias notables entre
ellos.
El campo de velocidades se muestra en la fig 5.23. En las figs 5.24 y 5.25 se indican los
componentes de la velocidad medidos y calculados en las ocho secciones indicadas en la fig
5.22; con línea discontinua se indican los resultados sin incluir la turbulencia y con línea continua
los resultados que incluyen el efecto de la turbulencia. En general, los resultados del modelo son
bastante aproximados a los valores medidos, excepto en las secciones para X = 11.55, 11.71 y
11.86 m, donde hay diferencias apreciables en una pequeña zona muy cercana a la margen
izquierda del canal. En dicha zona las velocidades del flujo son prácticamente nulas, y se
considera que el efecto de la dispersión turbulenta es difícil de reproducir con el modelo de
turbulencia que se usa en este caso.
75
76
77
78
6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Se ha desarrollado un modelo numérico de flujo bidimensional horizontal, para predecir
el campo de velocidades en cuerpos de agua con flujo en régimen subcrítico, cuyas
fronteras pueden estar definidas por líneas curvas o con orientación distinta a la de los
ejes de un sistema de coordenadas rectangulares.
Puesto que la forma de las fronteras que definen los cuerpos de agua de ríos, lagunas y
estuarios, es muy irregular, el uso de mallas en coordenadas curvilíneas generale s da
mayor versatilidad al modelo numérico desarrollado.
Debido a que se usan sistemas de coordenadas curvilíneas generales, fue necesario
aclarar algunos conceptos importantes relacionados con las distintas formas de expresar
vectores en dichos sistemas de coordenadas. El uso de tales conceptos ha sido
relativamente nuevo en el campo de la ingeniería hidráulica, lo que ha dado lugar a
interesantes discusiones de diferentes investigadores sobre la manera más adecuada de
utilizar vectores en sistemas de coordenadas generales y a la forma de expresar las
ecuaciones de hidrodinámica en coordenadas curvilíneas generales. Por ello, en este
trabajo se explican con detalle y sencillez varios conceptos fundamentales de las formas
como se expresan los vectores en coordenadas curvilíneas generales, lo cual permite
justificar con más claridad la selección de la versión utilizada para expresar las
ecuaciones de hidrodinámica en coordenadas curvilíneas generales, así como demostrar
con mayor facilidad la deducción de las correspondientes ecuaciones.
El modelo matemático incluye los términos que permiten tomar en cuenta el efecto de la
turbulencia para determinar zonas de separación o recirculación del flujo. Con base en
los resultados del modelo numérico se deduce que, en aplicaciones semejantes a las aquí
descritas, con la expresión 3.54 el funcionamiento del modelo es bastante satisfactorio,
79
y que esta manera de calcular dicha variable es mucho más sencilla que aplicar el
modelo de turbulencia k-e.
El esquema de diferencias finitas de MacCormack usado en este trabajo requiere que las
variables dependientes y los métricos de la malla se calculen en el centro de cada celda
de la malla de cálculo; esto permite reducir notablemente los recursos de memoria de
máquina.
La manera de calcular el efecto de las fronteras en el flujo ha presentado siempre
complicaciones; en este estudio se utiliza el concepto de frontera reflejante y libre
deslizamiento para las fronteras cerradas, lo cual permite modelar ese tipo de fronteras
de manera sencilla.
La técnica de filtrado numérico aquí usada es sencilla y se aplica en general, cada diez
pasos de tiempo, lo cual es mucho menor en comparación con otros métodos de filtrado,
donde se aplica dos veces en cada paso de tiempo y se requiere, en algunos casos, de
mayores recursos de memoria de máquina.
Se calibró y verificó el funcionamiento del modelo matemático con cinco series de
experimentos de laboratorio.
Con base en la comparación de las mediciones de velocidades en laboratorio con los
resultados obtenidos del modelo matemático, se puede decir que el modelo de
hidrodinámica en coordenadas curvilíneas generales desarrollado en este estudio
funciona muy bien.
Para futuras investigaciones se recomienda generalizar el modelo para poder utilizar por
bloques las mallas, cuyas líneas en la unión de dichos bloques tengan curvatura suave
en la medida de lo posible; esto es con el fin de representar flujos en ríos con islas y
cambios notables en el ancho de la superficie libre del agua, y adecuar el modelo
matemático para calcular la hidrodinámica con ese tipo de geometrías. Aunque el
esquema de diferencias finitas que se usa aquí produce buenos resultados, convendría
probar otro esquema del tipo implícito, para incrementar el tamaño en el paso de tiempo
en el modelo.
80
7. RECONOCIMIENTO
Se agradece el financiamiento parcial del CONACYT para realizar esta investigación.
El Ing Ricardo Orozco participó activamente en las mediciones de laboratorio. Se
agradece su invaluable pacienc ia y cuidado dedicados.
La sección de dibujo del Instituto de Ingeniería mejoró la presentación de las figuras
que se incluyen en este trabajo.
81
82
8. REFERENCIAS
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88
APÉNDICE A
En este apéndice se deducen las expresiones mostradas en la tabla 2.1, que
corresponden a los vectores base unitarios y sus correspondientes base duales o
recíprocas, así como las de los componentes asociados a cada uno de los vectores base.
A.1 Base covariante unitaria
El vector q en función de los vectores base covariantes unitarios y componentes
contravariantes físicos se escribe como
q = u (?) e(?) + v (?) e(?)
(A.1)
donde los vectores base covariantes unitarios, e (?) y e (?), se obtienen al dividir los
vectores base covariantes, e? y e? dados por las ecs 2.6, entre su magnitud; las
magnitudes de los vectores base covariantes son, respectivamente,
e ? = e ? ⋅ e ? = ( x ? e x + y ? e y ) ⋅ ( x? e x + y ? e y )
o sea (véanse las ecs 2.14)
e? =
x ?2 + y ?2 = g 11
y, de manera similar,
e ? = x ?2 + y 2? = g 22
Así, los vectores base covariantes unitarios son
e(?) =
x?
g 11
ex +
y?
g11
ey ;
e(?) =
89
x?
g 22
ex +
y?
g 22
ey
(A.2)
Nótese que estos vectores base son unitarios y adimensionales.
Las expresiones que relacionan a los componentes rectangulares del vector q con los
correspondientes componentes contravariantes físicos, se obtienen al aplicar el producto
punto del vector q con los vectores base de las coordenadas rectangulares como sigue:
[
]
[
u = u ( ? ) e ( ? ) + v ( ? ) e( ? ) ⋅ e x ;
]
v = u ( ? ) e ( ? ) + v (? ) e ( ? ) ⋅ e y
Al sustituir los vectores base covariantes unitarios dados por A.2 en las expresiones
anteriores y desarrollarlas, se obtienen
u=
x?
u (? ) +
g11
x?
g 22
y?
v=
v (?) ;
g11
u (?) +
y?
g 22
v(?)
Al arreglar las expresiones anteriores como un sistema de ecuaciones lineales, se
despejan los componentes contravariantes físicos
u
(? )
=
g11
g*
y? u −
g 11
g*
x? v ;
v
(?)
=−
g 22
g*
y? u +
g 22
g*
x? v
(A.3)
Puesto que los correspondientes vectores base son unitarios y adimensionales, estos
componentes tienen unidades idénticas a las de la velocidad, es decir [LT-1 ].
Los elementos del tensor métrico covariante físico son (véanse las ecs 2.14)
g (11) = e (? ) ⋅ e ( ? )
g (12) = e ( ? ) ⋅ e ( ? ) =
 x ?2 + y?2
=
 g11

x? x?
g11 g 22
g ( 22) = e ( ? ) ⋅ e( ? )
+
 g 11
=
=1
 g 11

y? y?
g11 g 22
=
(A.4a)
g 12
g 11 g 22
 x?2 + y ?2  g 22
=
=
=1
 g 22  g 22


(A.4b)
(A.4c)
En forma similar a como se explicó en el cap 2 de este trabajo, el cuadrado de la
magnitud del vector q se obtiene con el producto punto del vector sobre sí mismo, es
decir
90
2
q = q ⋅q
Al sustituir A.1 en la expresión anterior, desarrollarla y sustituir los elementos del
tensor métrico, ecs A.4, se obtiene la expresión siguiente para calcular la magnitud del
vector q:
q =
g (11) ( u ( ? ) ) 2 + 2 g (12) u ( ? ) v ( ? ) + g ( 22) (v ( ? ) ) 2
(A.5)
Finalmente, el coseno del ángulo ? 3 entre los vectores base covariantes unitarios se
obtiene del producto punto entre los mismos vectores base, de dond e
cos ? 3 =
e ( ? ) ⋅ e (? )
e ( ? ) e (? )
Al sustituir las ecs A.2 en esta última expresión y desarrollarla, se obtiene
cos ? 3 =
g 12
(A.6)
g 11 g 22
A.2 Base dual o recíproca de la covariante unitaria
En este caso el vector q se expresa como
q = U ? E ? + V? E ?
(A.7)
donde E? y E? son los vectores base recíprocos de los vectores base covariantes
unitarios e(?) y e(?); esta base dual de vectores se puede expresar como
E ? = ae x + be y ;
E ? = ce x + de y
(A.8)
donde a, b, c y d representan las expresiones que definen a los correspondientes
componentes; éstas se obtienen a partir de las expresiones siguientes
e(?) ⋅ E ? = 1 ;
e(?) ⋅ E ? = 0
(A.9)
Al sustituir los vectores base covariantes unitarios, ecs A.2, y las expresiones A.8 en
A.9, se obtiene n respectivamente
91
 x?

y?

ex +
e y  ⋅ (ae x + be y ) = 1 ;
 g
g11 
 11
 x?

y?

ex +
e y  ⋅ (ce x + de y ) = 0
 g
g11 
 11
Al desarrollar las expresiones anteriores se llega, respectivamente, a
x? a + y?b =
g11
x?c + y?d = 0
(A.10a);
(A.10b)
Además de las expresiones A.9, también se cumplen las siguientes
e(?) ⋅ E ? = 1;
e(?) ⋅ E ? = 0
(A.11)
Nuevamente, al sustituir las ecs A.2 de los vectores base covariantes unitarios y las
expresiones A.8 en A.11, se obtienen
 x?

y?

ex +
e y  ⋅ (ce x + de y ) = 1 ;
 g
g 22 
 22
 x?

y?

ex +
e y  ⋅ (ae x + be y ) = 0
 g
g 22 
 22
Al desarrollar las expresiones anteriores, se llega a
x? c + y? d =
g 22
x? a + y? b = 0
(A.12a)
(A.12b)
Con base en las expresiones A.10a y A.12b, se obtienen los componentes del vector
base E? como sigue:
De la ec A.12b se tiene
a=
− yη
xη
b
(A.13)
Al sustituir la expresión anterior en A.10a, se obtiene
 − y?
x? 
 x
 ?

b  + y? b = g 11


Al despejar b de esta última expresión, resulta
b=−
g 11
g*
y al sustituir b en la ec A.13, se obtiene
92
x?
(A.14a)
a=
g11
g*
(A.14b)
y?
Las expresiones A.14 son los componentes del vector E?, de forma que
g11
ξ
E =
g*
g11
y? ex −
g*
(A.15a)
x? e y
Con base en las expresiones A.10b y A.12a, y un procedimiento similar al anterior, se
obtienen los componentes del vector base E? , el cual se escribe como
E =−
?
g 22
g*
y? e x +
g 22
(A.15b)
x? e y
g*
Es importante hacer notar que estos vectores base recíprocos, E? y E? , son adimensionales pero no son unitarios.
En cuanto a los componentes U? y V? que acompañan a estos vectores base recíprocos,
para obtener sus correspondientes expresiones, primero se aplica el producto punto del
vector q, ec A.7, con los vectores base ex y ey, como sigue
(
)
(
u = U ? E ? + V? E ? ⋅ e x ;
)
v = U ? E ? + V? E ? ⋅ e y
(A.16)
Al sustituir las ecs A.15 en A.16 y desarrollar cada una de las expresiones anteriores, se
obtienen respectivamente
u=
g11
g*
y?U ? −
g 22
g*
y ?V?
v=−
g11
g*
x?U ? +
g 22
g*
x?V?
(A.17)
Al tratar las expresiones A.17 como un sistema lineal de ecuaciones, se obtienen los
componentes siguientes:
U? =
x?
g11
u+
y?
g 11
V? =
v
x?
g 22
u+
y?
g 22
v
(A.18)
Con los vectores base recíprocos, se obtienen las correspondientes expresiones para
calcular los elementos del tensor métrico
93
G11 = E ? ⋅ E ? =
g11 2
g g
( x ? + y ?2 ) = 11 22
g*
g*
(A.19a)
G 22 = E ? ⋅ E ? =
g 22 2
g g
( x ? + y?2 ) = 22 11
g*
g*
(A.19b)
G12 = E ? ⋅ E ? = −
g11 g 22
g
( y ? y ? + x ? x ? ) = − g11 g 22 12
g*
g*
(A.19c)
Con base en las expresiones A.7 y A.19, se obtiene la expresión para calcular la
magnitud del vector q; para ello se utiliza el producto punto del vector q sobre sí mismo,
de manera que al desarrollar el producto punto, se obtiene
q = U ?2 G11 + 2U ? V? G 12 + V?2 G 22
(A.20)
Finalmente, el coseno del ángulo ? 4 entre los vectores base recíprocos se obtiene con
base en el producto punto de dichos vectores, es decir
E ? ⋅ E ? = E ? E ? cos ? 4
(A.21)
puesto que
E =
?
g 11 g 22
;
E
g*
?
=
g11 g 22
g*
y
E? ⋅ E ? = −
g11 g 22
g
( x ? x ? + y ? y ? ) = − g 11 g 22 12
g*
g*
Al sustituir estas últimas expresiones en A.21, se obtiene que el coseno del ángulo ? 4 se
expresa como
cos ? 4 = −
g12
g11 g 22
94
(A.22)
A.3 Base contravariante unitaria
Cuando se usan los vectores contravariantes unitarios, el vector q se expresa como
q = u(?) e (?) + v(?) e (?)
(A.23)
donde los vectores base e(?) y e(?) se obtienen al dividir los vectores base contravariantes
dados por las ecs 2.19 entre su magnitud; las magnitudes de estos vectores son (ecs 2.14)
y ?2 + x ?2
e = e ⋅e =
?
e
?
?
g*
y ?2 + x?2
= e ⋅e =
?
?
?
g*
=
g 22
=
g 11
g*
g*
Con estas expresiones los vectores base contravariantes unitarios son
e (?) =
y?
ex −
g 22
x?
g 22
ey ;
e (?) = −
y?
ex +
g11
x?
g11
ey
(A.24)
Las expresiones que relacionan a los componentes rectangulares del vector q con los
correspondientes componentes u(?) y v (?), se obtienen al aplicar el producto del vector q
con los vectores base del sistema rectangular, es decir
[
]
[
u = u( ? ) e ( ? ) + v ( ? ) e ( ? ) ⋅ e x ;
]
v = u ( ? ) e ( ? ) + v (? ) e ( ? ) ⋅ e y
Al sustituir los vectores contravariantes unitarios de A.24 en las expresiones anteriores
y después de desarrollarlas, se obtienen respectivamente
u=
y?
g 22
u (? ) −
y?
g11
v=−
v( ? ) ;
x?
g 22
u( ? ) +
x?
g11
v( ? )
Nuevamente, de estas últimas expresiones se despejan los componentes covariantes
físicos u(?) y v(?)
u (? ) =
g 22
g*
x? u +
g 22
g*
y? v ;
v( ? ) =
g 11
g*
x? u +
g 11
g*
y? v
Se hace notar que estos componentes tienen unidades de velocidad [LT-1 ].
95
(A.25)
Los elementos del correspondiente tensor métrico contravariante físico son (véanse las
ecs 2.14)
g (11) = e ( ? ) ⋅ e (? ) =
g (12) = e ( ? ) ⋅ e ( ? ) = −
y ?2 + x?2
=
g 22
y? y? + x? x?
g11 g 22
g ( 22) = e (? ) ⋅ e ( ? ) =
y?2 + x ?2
g 11
g 22
=1
g 22
=−
=
g 12
g 11 g 22
g 11
=1
g 11
(A.26a)
(A.26b)
(A.26c)
Planteando el producto punto de q?q, ec A.23, y con base en las expresiones A.26, se
obtiene la expresión siguiente para calcular la magnitud de dicho vector
q = u(2? ) + 2 g (12) u (? ) v( ? ) + v ?2
(A.27)
El ángulo ? 5 entre los vectores base contravariantes unitarios se obtiene al aplicar el
producto punto de los mismos vectores base, de donde
cos ? 5 =
e (? ) ⋅ e (? )
e
(? )
e
(? )
=−
g12
g11 g 22
(A.28)
A.4 Base dual o recíproca de la contravariante unitaria
Así como los vectores base covariantes unitarios tienen una base dual, la cual se explicó
en el subcap A.2, también los vectores base contravariantes unitarios tienen su
correspondiente base dual; el vector q en función de la base dual de la contravariante
unitaria se escribe como sigue:
q = U ? E? + V ? E ?
(A.29)
donde E? y E? son los vectores base recíprocos de los vectores base contravariantes
unitarios e(?) y e(?); estos vectores base recíprocos se pueden expresar como
E ? = me x + ne y ;
E ? = rex + sey
(A.30)
donde m, n, r y s representan las expresione s que definen a los correspondientes componentes; éstas se obtienen a partir de las expresiones siguientes
96
e ( ? ) ⋅ E ? = 1;
e ( ? ) ⋅ E? = 0
(A.31)
Al sustituir los vectores base contravariantes unitarios, ecs A.24, y las expresiones A.30
en A.31 se obtienen, respectivamente,
 y?

x?

ex −
e y  ⋅ (me x + ne y ) = 1 ;
 g
g 22 
 22
 y?

x?

ex −
e y  ⋅ (re x + se y ) = 0
 g
g 22 
 22
Al desarrollar las expresiones anteriores, se llega a
y? m − x? n =
g 22
y? r − x? s = 0
(A.32a);
(A.32b)
Además de las expresiones A.31, también se cumplen las expresiones siguientes
e ( ? ) ⋅ E? = 1 ;
e ( ? ) ⋅ E? = 0
(A.33)
Nuevamente, al sustituir las ecs A.24 de los vectores base covariantes unitarios y las
expresiones A.30 en A.33, se obtienen respectivamente


y
x
 − ? e x + ? e y  ⋅ (re x + s e y ) = 1 ;

g11
g11 



y
x
 − ? e x + ? e y  ⋅ (me x + ne y ) = 0

g11
g11 

Al desarrollar las expresiones anteriores se llega a
− y ? r + x? s = g 11
− y ? m + x? n = 0
(A.34a);
(A.34b)
Ahora, con base en las expresiones A.32a y A.34b, se obtienen los componentes del
vector base E? como sigue:
De la ec A.34b se tiene
m=
x?
y?
(A.35)
n
Al sustituir la expresión anterior en A.32a, se tiene
 x?
y? 
y
 ?

n − x? n =


Al despejar n de esta última expresión, se obtiene
97
g 22
g 22
n=
(A.36a)
y?
g*
y al sustituir n en la ec A.35, se obtiene
m=
g 22
g*
(A.36b)
x?
Las expresiones A.36 son los componentes del vector E?, de forma que
E? =
g 22
g*
g 22
x? e x +
g*
(A.37a)
y? e y
Con base en las expresiones A.32b y A.34a, y un procedimiento similar al anterior, se
obtienen los componentes del vector base E? , el cual se escribe como
E? =
g11
g*
g11
x? e x +
g*
(A.37b)
y? e y
Conviene hacer notar que esta base de vectores recíprocos también son adimensionales
pero no son unitarios.
Los componentes asociados a estos vectores se obtienen igualmente al aplicar el
producto punto del vector q con los vectores base de las coordenadas rectangulares,
como sigue
[
]
[
u = U ? E? + V ? E ? ⋅ e x ;
]
v = U ? E? + V ? E ? ⋅ e y
(A.38)
Al sustituir A.37 en A.38, se obtienen respectivamente
u=
g 22
g*
x ?U +
?
g11
g*
?
x? V ;
v=
g 22
g*
y ?U +
?
g11
g*
y?V
?
(A.39)
En estas expresiones, se despejan los componentes contravariantes U? y V? , de donde
U? =
y?
g 22
u−
x?
g 22
V? = −
v;
y?
g 11
u+
x?
g11
v
(A.40)
Los elementos del tensor métrico asociado con los vectores base recíprocos son los
siguientes
98
G11 = E ? ⋅ E? =
G12 = E? ⋅ E ? =
g 22 2
( x? + y ?2 ) =
g*
g 22 2
g g
( x? + y ?2 ) = 22 11
g*
g*
g 22 g 11
( x? x ? + y ? y ? ) =
g*
G22 = E ? ⋅ E? =
(A.41a)
g 22 g11
g12
g*
g11 2
g g
( x? + y ?2 ) = 11 22
g*
g*
(A.41b)
(A.41c)
La magnitud del vector q en función de los vectores base duales y sus correspondientes
componentes se obtiene con la expresión siguiente:
q = G11(U ? ) 2 + 2G12U ?V ? + G22 (V ? ) 2
(A.42)
Finalmente, el coseno del ángulo entre los vectores base duales se obtiene de
cos ? 6 =
E? ⋅ E?
E? E?
=
g12
g11 g 22
(A.43)
A.5 Resumen de las versiones de vectores base locales
En los subcapítulos anteriores de este apéndice se ha demostrado cómo obtener, a partir
de los vectores base locales covariantes (eξ, eη), los vectores base locales unitarios (e(ξ),
e(η)), y de estos últimos, los vectores base locales recíprocos denotados como (Eξ, Eη).
La secuencia de cómo han sido obtenidas estas tres bases se indica en la fig A.1.
Por otro lado, en la misma figura, se muestra de manera secuencial cómo se obtienen a
partir de los vectores base locales contravariantes (eξ, eη), primero los vectores base
contravariantes unitarios (e(ξ), e(η)), y después, los correspondientes vectores base
recíprocos (Eξ, Eη).
Conviene hacer notar que al hacer unitarios los vectores base recíprocos (Eξ, Eη), se
obtienen los vectores base locales covariantes unitarios (e(ξ), e(η)); de manera similar, los
vectores base unitarios de la base recíproca (Eξ, Eη) son los vectores base
contravariantes unitarios (e(ξ), e(η)).
Finalmente, con el propósito de evitar confusiones e indicar de forma correcta los
nombres de vectores base y componentes covariantes y contravariantes, en la tabla A.1
se muestra cómo se expresan tales vectores base locales y sus correspondientes
componentes.
99
Base covariante
eξ , eη
Base contravariante
Duales o
recíprocas
e ξ , eη
Base covariante
unitaria adimensional
Base contravariante
unitaria adimensional
e (ξ ) , e (η)
e (ξ ) , e (η)
Base dual o recíproca de ( e (ξ ) , e (η) ):
Base dual o recíproca de ( e (ξ ) , e (η) ):
Eξ ,
Eξ ,Eη
Eη
Fig A.1 Conjuntos de vectores base locales en coordenadas curvilíneas generales
100
TABLA A.1 CONJUNTOS DE VECTORES BASE LOCALES Y
COMPONENTES QUE LOS ACOMPAÑAN
Sistemas de
Vectores
coordenadas
base
Rectangular (x,y)
ex , ey
Componentes
ux , vy
Comentarios
Vectores base unitarios
adimensionales
eξ , eη
uξ , vη
Vectores base locales covariantes y
componentes contravariantes
Coordenadas
e (ξ ) , e (η )
u (ξ ) , v (η )
Base local covariante unitaria
adimensional y componentes
curvilíneas
contravariantes físicos
Eξ,
Eη
generales
U ξ , Vη
Base recíproca (de e (ξ ) , e(η ) ) y
componentes covariantes duales
(ξ , η )
eξ , eη
uξ , vη
Vectores base locales contravariantes
y componentes covariantes
e (ξ ) , e (η)
u (ξ ) , v(η )
Base local contravariante unitaria
adimensional y componentes
covariantes físicos
Eξ ,
Eη
Uξ , Vη
Base recíporoca (de e (ξ ) , e (η) ) y
componentes contravariantes duales
101
102
APÉNDICE B
El objetivo de este apéndice es mostrar, con ejemplos numéricos, las seis formas en las que se
puede expresar un mismo vector cuando se utiliza un sistema de coordenadas curvilíneas
generales. Aquí, se definen los ejes del sistema de coordenadas curvilíneas no ortogonales con las
parábolas siguientes
Y = − ( R + B? ) 2 + 4P ( K + A? ) − L2 + ( 2 P − L) 2 − 2 P + L
(B.1a)
X = 4 P(Y − K − A? )
(B.1b)
Las ecs B.1 son conocidas como funciones inversas de las funciones directas siguientes
?=
2
2
X + (Y − L ) − R
B
Y−
?=
(B.2a)
2
X
−K
4P
A
(B.2b)
donde A = 10, B = 5, K = 20, L = 70, P = -25, R = 40.
En la fig B.1 se muestran el plano rectangular y los ejes curvilíneos para ? = 1 y ? = 1. Se desea
expresar el vector q que tiene componentes rectangulares u = 5 m/s y v = 0.5 m/s, cuyo origen se
ubica en el punto O (X, Y ) = (15.2674 m, 27.6690 m), con cada una de las seis formas
explicadas en este trabajo; asimismo, se calcula la magnitud del vector en función de los
correspondientes componentes y elementos de tensor métrico, y el ángulo entre los vectores
base.
103
En primer lugar se requiere calcular los valores de las derivadas parciales de las coordenadas
rectangulares con respecto a las coordenadas curvilíneas, es decir, los parámetros métricos
inversos. Estos valores, para el punto O, con coordenadas curvilíneas ? = 1 y ? = 1 son
y? =
∂Y
2 AP
= −
= 5.4153 m ;
∂?
FR
x? =
donde
y? =
∂X 2 P
=
(y ? − A) = 15.0147 m ;
∂?
X
∂Y
B( R + B? )
= −
= − 2.4369 m
∂?
FR
x? =
∂X 2P
=
y ? = 7.9807 m
∂?
X
FR = ( R + B? ) 2 + 4 P( K + A? ) − L2 + ( 2 P − L) 2 = 92.3309
Con los parámetros métricos inversos, se calcula el determinante del Jacobiano, J, en función de
los parámetros métricos inversos, ec 2.1,
104
J = x ? y ? − x ? y ? = 79.8072 m 2
B.1 Base covariante del vector q
El vector q en función de los vectores base covariantes se expresa con la ec 2.5:
q = u ? e? + v ? e?
donde los vectores base covariantes se calculan con las ecs 2.6, como sigue:
e ? = 8.3444 m
e ? = x? e x + y? e y ;
e ? = 7.9807 e x - 2.4369 e y ;
e? = x? e x + y? e y ;
e ? = 15.0147 e x - 5.4153 e y ; e ? = 15.9614 m
Como se comenta en el cap 2, los vectores base covariantes no son unitarios, pues tienen
unidades [L], lo que difiere de los vectores base del sistema rectangular, los cuales son unitarios y
adimensionales.
Los correspondientes componentes contravariantes del vector q se calculan con las ecs 2.10:
u? =
y?
J
v? = −
u−
y?
J
x?
J
u+
u ? = 0.2452 s −1
v;
x?
J
v ? = 0.2027 s −1
v;
Nótese que los componentes contravariantes tienen por unidades [T-1].
Los elementos del tensor métrico covariante están dados por las expresiones 2.14:
g 11 = x ?2 + y ?2 = 69.63 m 2 ;
g 12 = x? x ? + y? y ? = 106.6312 m 2 ;
g 21 = g12
g 22 = x ?2 + y ?2 = 254.7667 m 2
Con los valores de los elementos del tensor métrico covariante, se calcula la raíz cuadrada de su
correspondiente determinante
g * = g 11 g 22 − g 122 = 79.8072 m 2
105
Nótese que se cumple la igualdad de que J =
g*
El vector q en función de los vectores base covariantes y componentes contravariantes se escribe
como
q = 0.2452e ? + 0.2027e ?
y su magnitud calculada con la ec 2.13 es
q =
( )
g11 u ?
2
( )
+ 2 g 12u ? v ? + g 22 v ?
2
= 5.0249 m/s
El ángulo ? 1 entre los vectores base covariantes se obtiene al aplicar la ec 2.16, de donde
cos ? 1 =
e? ⋅ e?
e? e?
=
g12
g11 g 22
= 0.8000
así, ? 1 = 36.8121°. En la fig B.2 se muestran los vectores base covariantes y los compo-nentes
contravariantes del vector q.
106
B.2 Base contravariante del vector q
El vector q en función de los vectores base contravariantes está dado por la ec 2.17:
q = u? e? + v? e ?
donde los vectores base contravariantes se obtienen de las ecs 2.19:
e? =
y?
e? = −
g*
y?
g*
ex −
x?
g*
ex +
e ? = 0.0679 e x − 0.1881 e y ;
ey ;
x?
g*
e ? = 0.20 m −1
e y ; e ? = 0.0305 e x + 0.100 e y ; e ? = 0.1045 m −1
Tampoco en este caso los vectores base contravariantes son unitarios, pues tienen por unidades
[L-1].
Los correspondientes componentes covariantes se calculan con las ecs 2.22
u ? = x ? u + y? v ;
u ? = 38.6851 m2 /s
v ? = x? u + y ? v ;
v ? = 77.7811 m 2 /s
Como se observa, los componentes covariantes tienen unidades de [L2T-1], las cuales son
diferentes a las de la velocidad.
Los elementos del tensor métrico contravariante se calculan con las expresiones 2.25
g 11 =
g 22
= 0.04 m− 2 ;
g*
g 22 =
g 11
= 0.0109 m − 2 ;
g*
g 12 = −
g 12
= −0.0167 m −2
g*
La magnitud del vector q en función de los elementos del tensor métrico contravariante y
componentes covariantes se calcula con la expresión 2.24
q =
g 11 u? 2 + 2 g 12u ? v ? + g 22v ?2
= 5.0249 m/s
El ángulo ? 2 entre los vectores base contravariantes se obtiene de la expresión siguiente
cos ? 2 =
e? ⋅ e ?
e? e ?
=
− g 12
g 11 g 22
107
= −0.800
de donde ? 2 = 143.6388°. En la fig B.3 se muestra el vector q en función de los vectores base
contravariantes y componentes covariantes.
B.3 Base covariante unitaria
El vector q en función de los vectores base covariantes unitarios y componentes contravariantes
físicos se escribe como, ec A.1
q = u (?) e(?) + v (?) e(?)
donde los vectores base covariantes unitarios se obtienen con las ecs A.2
e(?) =
x?
e(?) =
x?
g 11
g 22
ex +
y?
ex +
y?
g11
g 22
ey ;
e ( ? ) = 0.9564 e x − 0.2990 e y ;
e(?) = 1
ey ;
e ( ? ) = 0.9407 e x + 0.3392 e y ;
e(?) = 1
108
Estos vectores base son unitarios y adimensionales. Los valores de los correspondientes
componentes contravariantes físicos son, ecs A.3
u
(? )
v
(?)
=
=−
g11
g*
y? u −
g 22
g*
y? u +
g 11
u (? ) = 2.0460 m/s
x? v ;
g*
g 22
g*
x? v ;
v ( ? ) = 3.2350 m/s
Puesto que los correspondientes vectores base son unitarios y adimensionales, los componentes
tienen unidades idénticas a los de la velocidad. Así, el vector q en función de los vectores base
covariantes unitarios y componentes contravariantes físicos se expresa como sigue
q = 2.0460 e ( ? ) + 3.2350 e ( ? )
Los elementos del correspondiente tensor métrico covariante físico son, ecs A.4
g (11) = e (? ) ⋅ e ( ? ) = 1 ;
g (12) = e ( ? ) ⋅ e ( ? ) =
g (22) = e( ? ) ⋅ e ( ? ) = 1 ;
g12
g11 g 22
= 0.80
g ( 21) = g (12)
Con estos valores y los correspondientes componentes, la magnitud del vector q se obtiene con la
expresión A.5
q = g (11) (u ( ? ) ) 2 + 2 g (12) u ( ? ) v ( ? ) + g ( 22) ( v ( ? ) ) 2
= 5.0249 m/s
El ángulo entre los vectores base covariantes unitarios se obtiene con la expresión A.6
cos ? 3 =
e( ? ) ⋅ e( ? )
e( ? ) e( ? )
=
g12
g 11 g 22
= 0.80
Nótese que este ángulo y el obtenido con los vectores base covariantes son idénticos. En la fig
B.4 se muestra el vector q en función de los vectores base covariantes unitarios y componentes
contravariantes físicos.
109
B.4 Base dual o recíproca de la covariante unitaria
En este caso el vector q se expresa con la ec A.7
q = U ? E ? + V? E ?
donde los vectores base se calculan con las ecs A.15, de forma que
E =
?
E =−
?
g11
g*
y? e x −
g 22
g*
y? e x +
g 11
g*
g 22
g*
x? ey ;
E ? = −0.2548e x − 1.57e y ;
x ? e y ; E = 0.4874e x + 1.5961e y ;
?
E ? = 1.5890
E ? = 1.6689
Es importante hacer notar que estos vectores base, E? y E? , son adimensionales pero no son
unitarios.
110
Los componentes U? y V? se obtienen respectivamente con las ecs A.18
U? =
x?
V? =
x?
g11
g 22
u+
y?
u+
y?
g 11
g 22
v = 4.6360 m/s
v = 4.8731 m/s
Los elementos del tensor métrico correspondiente se calculan con las ecs A.19
G11 = E ? ⋅ E ? =
g 11g 22
= 2.7852
g*
G 22 = E ? ⋅ E ? =
g11 g 22
= 2.7852
g*
G12 = E ? ⋅ E ? = − g 11 g 22
g 12
= −2.2301
g*
Con base en estos valores y los componentes U? y V? se calcula la magnitud del vector q con la
ec A.20
q = U ?2 G11 + 2U ? V? G 12 + V?2 G 22 = 5.0249 m/s
El ángulo entre los vectores base recíprocos se obtiene con la ec A.22
cos ? 4 =
E? ⋅E?
?
E E
?
=−
g12
g11 g 22
= −0.800
En la fig B.5 se muestra el vector q en función de los vectores base recíprocos E? y E? y los
componentes U? y V? .
111
B.5 Base contravariante unitaria
Cuando se usan los vectores contravariantes unitarios, el vector q se expresa con la ec A.23
q = u ( ? ) e (? ) + v ( ? ) e ( ? )
donde los vectores base e(?) y e(?) se obtienen con las ecs A.24
e (?) =
y?
g 22
e (?) = −
ex −
y?
g11
x?
g 22
ex +
e y = 0.3393e x − 0.9407 e y ;
x?
g11
e y = 0.3393e x − 0.9497e y ;
e (?) = 1
e (? ) = 1
Los correspondientes componentes covariantes físicos se calculan con las expresiones A.25
112
u (? ) =
g 22
v( ? ) =
g11
g*
x? u +
g 22
x? u +
g11
g*
g*
g*
y ? v = 7.7370 m/s
y ? v = 8.1326 m/s
Los elementos del tensor métrico contravariante físico se obtienen con las ecs A.26
g (11) = e ( ? ) ⋅ e ( ? ) = 1 ;
g
(12 )
=e
(?)
⋅e
g ( 22) = e ( ? ) ⋅ e ( ? ) = 1
(? )
=−
g 12
g 11 g 22
= −0.80
La magnitud del vector se calcula con la ec A.27
q = (u (? ) ) 2 + 2 g 12u ( ? ) v ( ? ) + ( v ( ? ) ) 2 = 5.0249 m/s
El ángulo entre los vectores base contravariantes unitarios se obtiene a partir de la ec A.28
cos ? 5 = −
g12
g11 g 22
− 0.800
En la fig B.6 se muestra el vector q en función de los vectores base contravariantes unitarios y los
correspondientes componentes covariantes físicos.
113
B.6 Base dual de la contravariante unitaria
El vector q en función de los vectores base recíprocos de los contravariantes unitarios se obtiene
con la ec A.29
q = U ? E? + V ? E ?
donde la base dual de vectores E? y E? se obtienen con las ecs A.37
E? =
E? =
g 22
g*
g 11
g*
x? e x +
g 22
x? e x +
g11
g*
g*
y ? e y = 1.5961e x − 0.4874e y ;
E ? = 1.6689
y ? e y = 1.57e x + 0.5662e y ;
E ? = 1.6689
Los componentes contravariantes correspondientes se calculan con las ecs A.40
114
U? =
y?
g 22
u−
x?
g 22
v = 1.2260 m/s ;
V? = −
y?
g 11
u+
x?
g11
v = 1.9384 m/s
Los elementos del tensor métrico correspondiente se calculan con las ecs A.41
G11 =
g 22 g11
= 2.7852 ;
g*
G22 =
g 22 g 11
= 2.7852 ;
g*
G12 =
g11 g 22
g12
= 2.2298
g*
La magnitud del vector q en función de la base dual de los vectores contravariantes unitarios y los
correspondientes componentes se calcula con la ec A.42
q = G11(U ? ) 2 + 2G12U ?V ? + G 22 (V ? ) 2 = 5.0249 m/s
El coseno del ángulo ? 6 entre los vectores base recíprocos se obtiene de la ec A.43
cos ? 6 =
g 12
g 11 g 22
= 0.800
En la fig B.7 se muestra el vector q en función de los vectores base recíprocos E? y E? , y los
componentes U? y V? .
115
116
APÉNDICE C
El modelo de turbulencia k- e fue propuesto originalmente por Launder y Spalding (1974), y ha
sido usado ampliamente para calcular la viscosidad turbulenta en modelos de hidrodinámica que
se basan en resolver la versión rectangular de las ecuaciones de continuidad y dinámica; algunas
de las publicaciones donde se reporta su uso son: Tingsanchali y Maheswaran (1990), Bravo y
Holly (1996), Zhou et al (1994), entre muchos otros; en los últimos artículos publicados se han
hecho modificaciones al modelo original de turbulencia k-e. La viscosidad turbulenta se calcula
con la expresión
2
ν t = cµ
k
ε
(C.1)
donde cµ es una constante empírica, k es la llamada energía cinética turbulenta del flujo y e indica
la tasa de disipación de dicha energía. Estos parámetros se obtienen al resolver las ecuaciones
diferenciales parciales semi-empíricas de transporte siguientes
∂k
∂k
∂k
∂  ν t ∂k  ∂
+u
+v
=
+
∂t
∂X
∂Y ∂X  σ k ∂X  ∂Y
 ν t ∂k 
U *3
+
P
−
ε
+
σ ∂Y 
h
cf h
 k

(C.2)
∂ε
∂ε
∂ε
∂  ν t ∂ε  ∂  ν t ∂ε 
ε
ε2
U *4
+u
+v
=
+
+
c
P
−
c
+
c
2ε
ε
∂t
∂X
∂Y ∂X  σ ε ∂X  ∂Y  σ ε ∂Y  1ε k h
k
h2
(C.3)
donde
 ∂u 
 ∂v 
 ∂u ∂v 
Ph = 2ν t 
+
 + 2ν t 
 +ν t 
 ;
 ∂X 
 ∂Y 
 ∂Y ∂X 
2
cε = 3.6
c2ε
cµ ;
c 3f / 4
2
c µ = 1.49;
2
c1ε = 1.43;
117
cf =
c 2ε = 1.92;
g
;
C
U* = cf V ;
σ k = 1.0;
σ ε = 1.3
Las expresiones C.1 a C.3 forman la versión rectangular del modelo k-e. Para acoplar dichas
ecuaciones a la versión covariante del modelo de hidrodinámica, es necesario expresarlas en
función de las coordenadas curvilíneas y los componentes covariantes del vector velocidad.
Debido a que las ecs C.2 y C.3 son escalares, su trasformación se hace aplicando la regla de la
cadena dada por las ecs 3.6. A continuación, se muestra la trasformación de los términos que
forman la ecuación de transporte del parámetro k
kx =
ky =
∂
∂X
∂
∂Y
y ∂k
y ∂k
∂k
= ?
− ?
∂X
g * ∂?
g * ∂?
(C.4a)
x ∂k
x ∂k
∂k
=− ?
+ ?
∂Y
g * ∂?
g * ∂?
(C.4b)
 y? ∂

y? ∂

(ν t k x ) −
(ν t k x ) 
 g ∂?

g * ∂?
 *

(C.5a)
 x? ∂

x? ∂
−
(ν t k y ) +
(ν t k y ) 


g * ∂?
g * ∂?


(C.5b)
 νt
 1

k x  =
σk  σ k
νt
 1

k y  =
σk  σ k
En cuanto a los términos de Ph, se tiene
y ∂u
y ∂u
∂u
= ?
− ?
∂X
g * ∂?
g * ∂?
(C.6)
Al sustituir la ec 3.6a en la C.6 se obtiene
y ∂
y ∂
∂u
∂

∂

= ?  (T1u (? ) ) + (T2 v( ? ) )  − ?  (T1u( ? ) ) +
(T2 v( ? ) ) 
∂X
∂?
∂?
g *  ∂?
g *  ∂?


(C.7)
De manera similar se obtienen
y
∂v
= ?
∂X
g*
y?
∂
∂

 ∂? (T3u (? ) ) + ∂? (T4 v( ? ) )  −
g*


∂
∂

 ∂? (T3 u( ? ) ) + ∂? (T4 v( ? ) ) 


(C.8)
x
∂u
=− ?
∂Y
g*
x?
∂
∂

 ∂? (T1u ( ? ) ) + ∂? (T2 v( ? ) )  +
g*


∂
∂

 ∂? (T1u (? ) ) + ∂? (T2 v (? ) ) 


(C.9)
x
∂v
=− ?
∂Y
g*
x?
∂
∂

 ∂? (T3u ( ? ) ) + ∂? (T4 v( ? ) )  +
g*


∂
∂

 ∂? (T3u (? ) ) + ∂? (T4 v( ? ) ) 


(C.10)
118
donde
T1 =
y?
g*
;
T2 =
− y?
g*
;
T3 =
− x?
g*
;
T4 =
x?
g*
Al sustituir las expresiones C.4, C.5, C.6, C.7, C.8, C.9 y C.10, en la C.2, se obtiene la ecuación
de transporte del parámetro k en función de las coordenadas curvilíneas
 y ? ∂k
y ? ∂k   x ? ∂k
x ? ∂k 
∂k
 + v −
=
+ u
−
+
 g ∂?
 

∂t
∂
?
∂
?
∂
?
g
g
g
*
*
*
 *
 


y ? ∂k
y? ∂k  1 y ? ∂ 
y
y
1 y ? ∂ 
−
ν t ? ∂k − ν t ? ∂k  +
νt
−ν t
σ k g * ∂? 
g * ∂?
g* ∂?  σ k g * ∂? 
g * ∂?
g* ∂? 
−

x ? ∂k
x? ∂k  1 x ? ∂ 
x
x
1 x ? ∂ 
+
 −ν t ? ∂k + ν t ? ∂k  +
−ν t
+ν t
σ k g * ∂? 
g * ∂?
g * ∂?  σ k g * ∂? 
g * ∂?
g * ∂? 
+ Ph − ε +
U *3
cf h
(C.11)
donde ahora Ph se calcula en función de las expresiones C.7 a C.10.
De forma similar se obtiene la ecuación de trasporte del parámetro e. A continuación, se escribe
la correspondiente ecuación en coordenadas curvilíneas generales
 y ? ∂ε
y ? ∂ε   x ? ∂ε
x ? ∂ε 
∂ε
 + v −
=
+ u
−
+
 g ∂?
 

∂t
∂
?
∂
?
∂
?
g
g
g
*
*
*
 *
 


y ? ∂ε
y ? ∂ε 
y? ∂ 
y
y
1 y ? ∂ 
+ − 1
ν t ? ∂ε − ν t ? ∂ε  +
νt
−ν t
σ ε g * ∂? 
σ ε g * ∂? 
g * ∂?
g * ∂? 
g * ∂?
g * ∂? 
−

x ? ∂ε
x ? ∂ε 
x? ∂ 
x
x
1 x? ∂ 
+ + 1
 − ν t ? ∂ε + ν t ξ ∂ε  +
−ν t
+ν t
σ ε g * ∂? 
σ ε g * ∂? 
g * ∂?
g * ∂? 
g * ∂?
g * ∂? 
c1ε
ε
ε2
U4
Ph − c 2ε
+ c 2ε + c ε *2
k
k
h
119
(C.12)