Sec. 4.4 Formas indeterminadas y la Regla de L`Hospital Suponga

Sec. 4.4 Formas indeterminadas y la Regla de L`Hospital Suponga

Sec. 4.4 Formas indeterminadas y la Regla de L’Hospital
Suponga que está tratando de analizar el comportamiento de
funciones como:
x2 − 9
lim
x →3 x − 3
ó
sen x
lim
x →0
x
ó
ln x
lim
ó
x →1 1 − x
x2 − 3x
lim
x →∞ 1 + 4 x 2
Si se sustituye usando las leyes de límites, se obtiene:
0 ∞
ó .
0 ∞
Estas son llamadas formas indeterminadas y la Regla de
L’Hospital aplica a estas formas indeterminadas.
I.
Formas Indeterminadas
0 ∞
ó
0 ∞
Regla de L’Hospital
Suponer que f y g son funciones diferenciables y g ' ( x ) ≠ 0 en
un intervalo I que contiene a a (excepto posiblemente en a).
Suponer que
lim f ( x ) = 0 y lim g ( x ) = 0
x→a
x→a
o
lim f ( x ) = ±∞ y lim g ( x ) = ±∞
x→a
x→a
(O sea tenemos las formas indeterminadas
0 ∞
ó
0 ∞
Entonces
f ( x)
f ' ( x)
lim
= lim '
x→a g ( x )
x →a g ( x )
Si el límite por la derecha existe (o es ∞ ó −∞ ).
Nota: La Regla de L’Hospital también es válida para límites
laterales.
Ejemplos
Encuentre los siguientes límites.
x2 + x − 6
1. lim
x→2
x−2
sen x
x →0
x
2. lim
5x
x → 0 tan 4 x
3. lim
4. lim+
x→
π
2
cos x
1 − sen x
x + 1 − ex
5. lim
x →0
x3
6.
e x − cos x
lim
x →0
x sin x
ln x
x →∞
x
7. lim
e x + e− x
8. lim
x →0
x2
x3 + x + 1
9. lim
x →∞ 3 x 3 + 4
x3 x
10. lim x
x →0 3 − 1
II. Productos Indeterminados
Si el lim f ( x ) = 0 y lim g ( x ) = ±∞ entonces el
x→a
x→a
lim f ( x ) ⋅ g ( x ) = 0 ⋅ ∞ ,
x→a
es llamado un producto indeterminado.
Se puede resolverlo:
f ( x) g ( x)
o
.
1
1
g ( x) f ( x)
!
Reescribiendo f ( x ) ⋅ g ( x ) como
!
Ahora resulta en una forma indeterminada
la Regla de L’Hospital.
Ejemplos
 1x 
1. lim x  e − 1
x →∞


0 ∞
ó
y se usa
0 ∞
π
2. lim+ ln x tan 
x →1
2
III.

x

Diferencias Indeterminadas
Si el lim f ( x ) = ∞ y lim g ( x ) = ∞ entonces el
x →a
x→a
lim ( f ( x ) − g ( x ) ) = ∞ − ∞ ,
x→a
es llamado una diferencia indeterminada.
Se puede resolverla:
!
Tratando de convertir f ( x ) − g ( x ) a un cociente usando
denominador común o racionalización o sacando factor común.
!
Ahora debe resultar una forma indeterminada
se usa la Regla de L’Hospital.
0 ∞
ó
y
0 ∞
Ejemplos
1 
1
1. lim+  − x

x →0  x
e −1
 1 + 3x 1 
2. lim 
− 
x →0
senx
x

IV.
Potencias Indeterminadas
Estas surgen del lim f ( x )
x →a
g( x)
.
1. Si lim f ( x ) = 0 y lim g ( x ) = 0 es de tipo 00
x→a
x→a
2. Si lim f ( x ) = ∞ y lim g ( x ) = 0 es de tipo ∞0 .
x →a
x→a
3. Si lim f ( x ) = 1 y lim g ( x ) = ±∞ es de tipo 1∞ .
x→a
x→a
Se puede resolverla siguiendo los pasos a continuación:
Pasos
1. Sea y = f ( x ) .
2. Aplicar logaritmo natural a ambos lados de la ecuación.
Simplificar usando las leyes de los logaritmos.
( ln y = ln f ( x )
g ( x)
)
3. Buscar el lim ln y como el límite de un producto
x→a
indeterminado.
4. Concluir que si lim ln y = L , entonces lim f ( x )
x →a
x→a
g( x)
= eL .
Ejemplos
 3
1. lim 1 − 
x →∞
 x
2. lim x
x →∞
1
x
2x
3. lim (1 − x )
x →1
ln x