Problema 2

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Muestreo. Inferencia estadística. Test de hipótesis
Instalación
de filtro
Muestra
¿Se redujo
la emisión?
036.– PAU – Universidad de Oviedo – Fase Específica – Opción A – Ordinaria 2012
La emisión media diaria de un determinado gas en una empresa era de 50 mg/Nm3 . El
equipo medioambiental instala un nuevo filtro con el objetivo de reducir dicha emisión. Para
comprobar su eficacia se tomó una muestra aleatoria de 36 días, para los que se obtuvo que la
emisión media diaria fue de 48 mg/Nm3. Suponiendo que la emisión diaria de dicho gas sigue
una distribución normal con desviación típica 4 mg/Nm3,
(a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que el filtro no ha surtido efecto, frente a la
alternativa de que sí ha surtido efecto, tal como parecen indicar los datos.
(b) ¿A qué conclusión se llega con este test para un nivel de significación del 5%?
(c)* Calcula un intervalo de confianza del 95% para la emisión media diaria del gas
estudiado en una empresa, expresado en mg/Nm3
Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1:
F(0.05) = 0.52, F(0.95) = 0.83, F(1.64) = 0.95, F(1.96) = 0.975, F(3) = 0.999.
RESOLUCIÓN apartado (a)
Los datos proporcionados por el problema son:
Población → N(50, 4)
Muestra → N(48, S) ; n = 36
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La emisión media diaria de un determinado gas en una empresa era de 50 mg/Nm . El equipo
medioambiental instala un nuevo filtro con el objetivo de reducir dicha emisión.
Planteamos las hipótesis:
H0: Hipótesis nula.
H1: Hipótesis alternativa, complementa la hipótesis nula.
Plantea un test para contrastar la hipótesis de que el filtro no ha surtido efecto, frente a la
alternativa de que sí ha surtido efecto, tal como parecen indicar los datos.
H0 : µ0 ≥ 50 → El nuevo filtro NO ha surtido efecto.
H1 : µ0 < 50 → El nuevo filtro SÍ ha surtido efecto.
Siendo µ la emisión media diaria de un determinado gas en una empresa, en mg/Nm3.
RESOLUCIÓN apartado (b)
¿A qué conclusión se llega con este test para un nivel de significación del 5%?
El nivel de significación que nos determina el enunciado es del 5% → α = 0.05
El nivel de confianza es del 95% → 1 – α = 0.95
Las hipótesis así definidas suponen plantear una prueba de...
Contraste de hipótesis unilateral.
Para α = 0.05 (1 – α = 0.95), según vemos en el enunciado [F(zα) = 0.95], le corresponde
un valor crítico de zα = 1.64
La hipótesis alternativa nos indica la dirección del contraste, es decir, la región de rechazo
de la hipótesis nula:
 Abel Martín
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Del aula a la PAU
La región crítica o de rechazo será (– ∞, – 1.64)
Población N(µ, σ) → N(50, 4) ; Muestra → N(48, S) ; n = 36
La distribución que sigue la media muestral es la normal de parámetros:

σ 

ℜ → N  µ,
n


4 

N  50,
36 

N(50, 2/3)
Como no se trata de una N(0, 1), el valor del estadístico del contraste lo obtenemos
tipificando la variable...
x-µ
→ N(0, 1)
Z=
σ
n
Z=
48 - 50
=–3
2/3
H0 : µ0 ≥ 50 → El nuevo filtro NO ha surtido efecto.
H1 : µ0 < 50 → El nuevo filtro SÍ ha surtido efecto.
Nuestro estadístico (Z = – 3) cae dentro de la región crítica o de rechazo y por lo que,
a un nivel de significación del 5% rechazamos la hipótesis nula, pudiendo concluir que el
nuevo filtro SÍ ha sufrido efecto.
RESOLUCIÓN apartado (c)*
• Calcula un intervalo de confianza del 95% para la emisión media diaria del gas estudiado en
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una empresa, expresado en mg/Nm .
Procedemos a calcular un intervalo con un nivel de confianza del 95%
1 – α = 0.95
0.95/2 = 0.475
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Muestreo. Inferencia estadística. Test de hipótesis
El motivo por el que se examina el área 0.975 es porque la superficie buscada, la dada en
las tablas para el valor crítico zα/2 , es
0.50 + 0.475 = 0.975
F(zα/2) = 0.975
Se miran los datos dados en el enunciado y vemos que...
zα/2 = 1.96
El intervalo de confianza IC al 95% para el estadístico Z viene dado por
– zα/2 ≤
– zα/2 ·
σ
n
≤ x – µ ≤ zα/2 ·
σ
→
n
x + zα/2 ·
σ
n
x-µ
≤ zα/2
σ
n
– x – zα/2 ·
σ
≥ µ ≥ x – zα/2 ·
n
≤ – µ ≤ – x + zα/2 ·
σ
n
σ
n
El intervalo de probabilidad para la media de una población normal con “σ” conocida y “n”
suficientemente grande, viene dado por la siguiente expresión.
x – zα/2 ·
48 – 1.96
σ
n
4
36
≤ µ ≤ x + zα/2 ·
≤ µ ≤ 48 + 1.96
σ
n
4
36
46.69 ≤ µ ≤ 49.31
IC(µ) = [46.69, 49.31]
El intervalo de confianza del 95% para para la emisión media diaria del gas estudiado
en una empresa, expresado en mg/Nm3, es [46.69, 49.31]. Dicho de otra forma, hay una
probabilidad del 95% de que la emisión media diaria del gas estudiado en una empresa,
expresado en mg/Nm3, se encuentre dentro del intervalo [46.69, 49.31].
Criterios de corrección y calificación especificados en la prueba oficial:
(a) Plantear las hipótesis, 0.75 puntos. (b) 1.75 puntos.
 Abel Martín