M€tooo oe calculo oe uentes colgantes segun Muller

M€tooo oe calculo oe uentes colgantes segun Muller

M€tooo oe calculo oe �uentes
colgantes segun Muller-Dreslau
por
C. OLAVARRI£TA.
c
Fig.
1.
Traccion horizontal de la cadena debido
AU B'<sltuados
en
(linea de cierre)
Y
aislada. Uniendo los
las verticales de los puntas de apoyo AB
por media de
designando
par y m la
porci6n
de cierre sabre la vertical que pasa
por
flexion referido
carga
a una
a ese
un
que
intercepta
puntas
una
recta
Itt cadena Y la linea
nuda cualquiera m, el momenta
de
nuda sera:
Mm=Mom-HYm
en
la que Mom
gas P
no
es
el valor de Mm
penda de la cadena sino
lngenieros-1-7
en
el
caso
que est"
de que 1a viga solicitada par las
apoyada
en
car­
A Y B. En efecto la viga
258
C.
OLAVARRJET.n,
transmite al cable por medio de las barras de
por los
puntos C y D y tiene
de las fuerzas que obran
de las cargas P
ro e<l
la
a
Mom y el segundo
encontrar
una
a
la
m es
algebraica de los
suma
las pendolas,
en
como se ve es
de H
nos
indeterminado
para
en
tener resuelto el
llama do
se
primer grado, bastara
problema,
y para ello
un
sistema
enrejado
tiene la relacion
principio de los trabajos virtuales,
quiera (fuerza
reacci6n) del enrcjado
0
punta de aplicacion de la fucrza
laciones, F los exfuerzos
las fuerzas
el prime­
las ecuaciones de. elasticidad,
_
cualquiera
momen­
Hym, siendo. H la distancia polar.
es
expresion que
necesario recurrir
de
izquierda
Para obtener estas ecuaciones, recordaremos que para
el
It
flecha maxima determinada, Ahora los mementos
una
01 momenta de los esfuerzos
menos
Este sistema enrejado
es
fuerzas
cable toma entonces 1a forma del poligono funicular de estas fuerzas que pasa
Y el
tos
suspension (pendolas) ciertas
'..
,
Qm
y �l las
tema de traslaciones.
Para resolver
un
m en
y
la Qm
en
fuerza exterior cual­
es una
Om el desplazamiento que experimenta
la direcci6n de
(jm para un estado
que sopor tan las barras cuando sobre
variaciones de
(Vease M
longitud de
pags. 11
y B.
a
las barras
el
de trans­
enrejado obran
producidas por el sis­
15).
sistema hiperestatico cualquiera
es
necesario
adoptar
un
sis­
determinado, llamado generalmente sistema principal,
tema base estaticamente
.
y
considerar tanto las reacciones superfluas y barras superfluas (Vease nota 1) pro­
visionalmente
produce
como
en una
barra de
F
en
donde
Fo
es
barras
=
incognitas X. Segun
un
enrejado
sera:
F.-F, xX,-F, X X,.
el esfuerzo que
se
esto el esfuerzo F que realmente se
produce
..
_,
en
_.
.:. (1)
.
la barra del sistema estaticamente de­
terminado, cuando obran las cargas exteriores (tren de fuerzas),
nulos todos los esfuerzos
se
llama
X,.
las
barras
y reacciones super fluas,
decir
se
'rai estado
suponen
de carga
(Estado X=O))
F, representa
que
en
es
cl esfuerzo que
se
desarrolla
en
la misma harra para el
caso
de
las cargas exteriores rcales (tren de fuerzas) y las magnitudes incognitas Xz
seen
nulas y de que la
X,
=-1.-
(Estadci X, =-1)_
METODO
De
igual
DE
CALCULO Dli; PUENTES COLGANTES SEGUN MULLER
manera una
reaccion
cualquiera tendra
par
expresion
R�R�-R, X,-R, X,
Las
expresiones
del sistema base
_
de F y de R
son
validas
tiene
.
solo para las reacciones y barras
(sistema estaticamente determinado) sino
reacciones y barras superfluas ya que para
se
no
Fo�O, F,�O, F3�O etc.,
un
259
esfuerzo
X,
que tam bien para las
de
una
barra
superflua,
F2dl; luego
y
F�X,
Ahara estableciendo, sucesivamente las condiciones de
trabajo
para los estados de carga sucesivos
X,=-I, X2=-1; X3=-1 etc.,
tiene:
se
y para los
(�QEm F61)
=
estados de traslaciones reales,
-
L,
expresando L,. L,.
etc., los
=
�F,Al, L, =�F:zL.I
trabajos virtuales de
El numero de ecuaciones
(II)
igual
determinados (X); introduciendo el valor:
es
F
etc
(II)
las reacciones
R" :R."
etc.
al nurnero de valores estaticamcnte in­
1
Al=--- +€tl
E S
Reemplazando
F por
su
valor obtenido de la ecuaci6n (I) y
poniendo
I
--
---� =
p se
Uega
a
las ecuaciones
ES
L,-�F,€tl =LFoFw-X,LF,zp--X2�F,F2p.:
1.2��F2€tI =LFoF2P-- -x,kF,F21'�-X2kF/p.
(
I
.
III
C.
En donde las expresiones de
decir tanto
es
a
las superfluas
OLAVARRIETA
suma se
como a
extienden
traslaciones Xl =-1,
para el estado
suponiendo
de carga
que las
X
=
0 y
reacciones no efee­
trabajo, obtendremos:
tuen
donde
Fo
todas las barras del sistema,
las necesarias.:
Plantsando, ahora, la condici6n de trabajo
para los estados de
a
amI
en su
Y
61" representan las traslaciones
direccion cuando sobre el
experlmentan las fuerzas Pm Y
que
enrejado aetna
la carga
X, ;=-1.
Por otra parte:
Luego
Planteando las mismas ecuaciones para los
etc.,
Y
se
estados de
traslaci6n X2 =-1
obtendran ecuaciones de la forma:
luego las ecuaciones III quedari:
L,-�F,.t1
L2-�F2'i.l
=
=
�Pm om,- x,�Fip-X2�F,F2P
�Pm Om2- X, �F,F2p-X22:Fip
Jlamadas ecuaciones de elasticidad. Estas ccuacioncs conviene
escribirlas
forma-
X,IF�p +X2�F,F2P
X,�F,F2p+X24Fip
�Pm
am, +�F ,etl-L,-
=2:Pm
orn2+�F2ql-L2-
=
.
}
IV
en
la
METODO
y
DE
CALCULO
PUENTES
DE
COLGANTES
a1 aplicarlas considerar separadamente la influencia de
cion de temperatura t y de
sistema indeterminado
atiesadora
en
una
simplemente apoyada
una
traslacion delos apoyos
primer grado;
se
caso
261
SEGUN MULLER
carga P de
una
Ll• Por ejemplo:
de los puentes .colgantes
varia,
para
con
un
viga
tendran las siguientes ecuaciones I.
F�Fo-Fl x,
R�Ro-Rl X,
Los val ores de F o. Ro y F" Rl
temas estaticamente
calculan por los metodos corrientes de los sis­
deterrninados, ya que Fl y Rl
para el estado de carga
nos
se
son
los esfuerzos y
reacciones
Xl�-l del sistema estaticamente deterrninado, Luego
falta ,caleular X, y para ello emplearemos la ecuacion de elasticidad
o bien,
fluencia de
Para la
como se
una
dijo,
suponer las acciones
separadamente y
se
tendra para la in­
carga P:
influencia
de
una
variacion de temperatura.
t:
x,,;,,---
y para
una
traslacion de los apoyos:
Ll
.61�-
,
Los valores X, y .6 X
en
son
facilmente calculables ya que F 1
las barras para el estado de carga
ciones para
ese
mismo estado de
X, �-Iy L,
cargas,
es
el
trabajo
son
los esfuerzos
virtual
de
las
reac­
262
C.
Para obtener el valor de X
para el estado de carga X
barras
aproximadamente
ve, este es
un
a
0
trabajo mas
del sistema; por
.
=
eso
es
OLAVARRJETA
necesario trazar
-1 Y para ello
es
un
necesario
diagrama de traslaciones
conocer
las secciones de las
bien fa relacion que entre esas secciones existe. Como se
0 menos
siempre
se
laborioso segun el grado de indcterminabilidad
emplean
otros metodos mas
simplificados
que paso
exponer.
Trazados d€ diagramas de.
menzaremos
por recordar que
trasfacion.-Para
e
l trazado de estos diagramas
co­
poligono cualquiera puede considerarse como un
poligono funicular de unsistema de cargas finitas que actuan sobre los vertices del
poligono
un
y cuyas direcciones son
arbitrarias;
pero la
direccion de
una
fuerza
no
pue­
de coincidir con Ia direccion de los lados adyacentcs del poligono, porque en tal
caso la fuerza no seria finita.
Cuando las fuerzas son paralelas se puede demostrar que una fuerza cualquie­
ra
Pm vale:
Siendo H la distancia
polar,
cias de los vertices del poligono
En efecto: de la fig.
se
la distancia entre las fuerzas y
Am
a una
dfduce
�
las distan­
recta arbitraria AB.
que
B
I
I
I
I
I
I
-.,.J
METODO
,
otra
PUENTES
DE
3"3
,= 3"3'
Luego:
Por
CiLCULO
DE
33"
-
..
\
2- N
SEGUN
I )\3'
'N
1'---[
) )\2
263
MuLLER
N)
3- ,2
parte:
P2
pz
3"3
3"3=--)\3
�-=---
,
,
H
)\3
,
fN
='
COLGAN'fES
H
Que reemplazado arriba da:
N
0
,
"
']1
,
AY·
Wm+1
w.
.,
Wtl1�1
,w,
Fig. 3.
Supongamos ahora
referido
de este
aun
den descomponer
ralelas
puntas
el
a
trasladaran par
se
poligono de barras
una
eje de las Y
linea
a un
recta
arbitraria AB.
se
para la direccion
y la linea elastica desde Yo hasta Y m
se
Y,
plano vertical
y estas traslaciones
c: Y
y otra
se
pue­
segun el eje de las Y;
llevan las cantidades c: Y sobre pa­
que pasan por los vertices
elastica
en un
sistema de cargas, los vertices
las deformaciones,
LiX segun el eje de las X
en una
partir de
una
un
sistema de ejes X, Y y sometido
poligono
ahora si
que tenernos
y
delpcligono,
se
obtiene uniendo los
Ia supcrficie comprendida e"tre AB
liama superficie
de flexion. para la
diree-,
cion Y. Las fuerzas paralelas aJ eje de la Y euyo poligono funicular forma la linea
elastica,
se
pueden obtener, adoptando
una
distancia polar igual
a
1 par la ecuacion:
Liym-Liym-l
wm
(1)
264
c.
y traaar BU
conocer
poligono funicular sin conciderar
dos traslaciones cualesquiera,
Basados
.que
O�.AVARRlETJ\
en esas
formulas
permitan determinar
Y Wn;
pam. trazar AB
es
necesario
'
podemos
encontrar
linea elastica
la
000
para
un
unaexpresion para, los pesos to>
enrrejado, Supongamos un enre.
"
.
.
jado cualquiera
cuyas barras forman
con
el eje de las X
angulos
mayo res 0 menores
que 90".
Designaremos
por Om la
Iongitud de
una
barra del cordon
al nudo m del cordon inferior; por Uk la longitud de
se
opone al nudo k del cord6n
m; Am Ia
superior; pot
una
dm la
superior opuesta
barra del cordon inferior que
longitud de la diagonal (m-l).
proyeccion de dm sobre el eje de Jas X.
(6)
Fig. 4.
Supongamos
que el 6.
(m-,-l),
m.
1
1
(m-i-L) este cargado
en
los
puntos (m-l)
-
'
y (m+l) COn las fuerzas-- y --que actuan
Am
AID+l
se
encuentre
apoyado
en
:s
Q&
=
el sentido
m.
=
1_(6.ym_1_6.ym\_1_(6.ym+l_'
6.ym1=rom
JAm+!
__
Am
de las (-Y),
Apliquernos a este estado de cargas
:s F 1
Ii' 6. I tendremos:
trabajo :s Q J
el punto
ciones reales la ecuaci6n del
en
}
y
y
trasla­
METODO
Sean M"
rras por
DE
CALcULO
PUEzi.lrES COLGANtEs SEGUN MuLLER
DR-
26.0
/J." los valores absolutes de los esfuerzos desarrollados
1"2,
en
las ba
las cargas virtuales, Se tendril:
EI
primer termino es negative, porque 0 m esta comprirnido por Ia fuerza '"';
designando por h;" la altura de la viga en m medida paralelamente al eje de las Y,
se tierie
Am
sec
{3m
sec
luego
1
1"1
{3m
=
hm
hm
Am
sec
de
igual
sec.p m-i-L
.pm
manera
1"3
hm
=
hm
Luego
-60m
sec
{3 m"'+dm
sec
cp
m+6dm+! sec .p
m
+1
hni
y de
una
semejante:
manera
+"'I"k
«k
sec
1>k-"'d
.pk-"'d k
k sec
+ 1 sec
1>
k + 1
.
=
hk
Cuando los valores '" Y
toma una
�e
distancia polar igual
a
due an trazar
1 y cuando
a
Ja escala ·que
Ee
dibuja
desea que resulte
se
la
a una
viga
se
escala
v
1
veces
mayor
se
adopta igual
a
v.
Se
la
comprende
simplificaci6n
que el calculo de
que
haee Muller
..
efectuado
Breslau
es
en
esta forma sea. muy
largo;
suponer que las barras de celosia
266
c.
(diagonales
y
OLAVARRIETA
montantes) estaticamente determinadas no sufran deformacion,
10 cual:
con
",-Om
sec
f3m
+"'-,uk
.,m-
y
.. k
hm
Los angulos
rras con
el
eje de
(3,
sec
y k
=------­
hk
�e consideran siempre los angulos agudos que forman las ba­
X, pues el signo en este caso no tiene importancia ya que:
'Y
las
Sec (-a) =sec( +a)
Ademas los valores de "'-Om 'l' "'-,uk
este tendida
rra
.
Ya
se
0
comprimida
son
positives
0
negatives segun que la ba­
.
vi" que para determinar
Po,
X=
era
necesario trazar la
.elastica
(�,.ij2 03
etc.), para el estado de car-
gas X =-1 y para ello calcular los pesos elasticos em, wk.-
Fig. 5.
Si
Min
es
el momento
ta para la barra Om
un
en
el nudo
m
para el estado de cargas X =-1 resul­
esfuerzo:
M,'m
F' F'=
+
rm
METODO DE CALCULO DE PUENTES COLGANTES SEGUN MiiLLER
Donde rm
signa
menos se
nuda m,
es
la
es
267
longitud de la perpendicular bajada de mala barra Om. El
refiere al cordon superior y el mas al inferior. Entonces el peso del
denominando par 1m' la longitud de
una
barra del cordon superior
a
inferior
+
,=,,-�-""-�,=+-�.'-�
ESmfm
ESmrm'
-��,-'
rm
Si hubieran mas incognitas X
M;mlm
F'mlm
(L.lm)'
",'m=
se
tendrian pesos elasticos de la forma:
M�lm
w� =+----�­
ESmSmr�
de igual
jados
manera se
que
se
puede demostrar
indican
son
que los pesos elasticos para los sistemas
los valores que aparecen
enre­
abajo:
"
w'"
Fig. 6.
M'mlm
wm=
+
ESmr�
Este valor
extrema
del
se
puede obtcner
M'ml'm+l
+
par Una
------
ES'm+U"'m+l
suma
de los pesos
OJ
que actuan
en
cada
montante:
wm=wm'+w"m
(Continuara),