convección natural transitoria en recintos triangulares rectangulares

convección natural transitoria en recintos triangulares rectangulares

Avances en Energías Renovables y Medio Ambiente
Vol. 7, Nº 2, 2003. Impreso en la Argentina. ISSN 0329-5184
ASADES
CONVECCIÓN NATURAL TRANSITORIA EN RECINTOS TRIANGULARES RECTANGULARES
ENFRIADOS POR ARRIBA. PARTE I: FLUJO DE CALOR
Aramayo A1., Esteban S., Cardon L.
INENCO – Instituto de Energía No Convencional
Av. Bolivia 5150 - 4400 Salta
Tel: 0387-1255424 - fax 0387 - 4255888
e-mail: [email protected]
RESUMEN : En este trabajo se realiza una simulación numérica del problema de convección natural transitoria en un
recinto triangular rectangular. Se obtiene soluciones para un flujo en el rango 102 < Ra < 109, Pr = 0.7 y para la razones de
aspecto A igual a 0.1, 0.3, 0.5, 0.7 y 1. El rango de Rayleigh se extiende mucho mas allá del reportado turbulento en la
literatura, para el caso tridimensional. En esta primera parte se analizan los resultados concernientes al flujo de calor. Se
estudia el flujo de calor local y global en la superficie inclinada y en la base, a través del análisis del número de Nusselt
convectivo. El flujo de calor local presenta valles picos que se corresponden con las celdas convectivas observadas. El
número de Nusselt convectivo se ha correlacionado con C1Ra 0.4 .
Palabras Claves: recinto triangular, convección natural, convección multicelular, Rayleigh, Nusselt convectivo.
INTRODUCCIÓN
El transporte de calor por medio de la convección natural es un mecanismo que está presente en muchas situaciones físicas de
interés. En particular, el problema de convección natural transitoria en recintos triangulares se presenta en situaciones tales
como calentamiento nocturno de un altillo, invernaderos, destiladores solares, etc.
Este trabajo es parte de un estudio a más largo plazo tendiente estudiar la física de los desalinizadores de varios tipos. En
estos el flujo está acoplado con la transferencia de masa y además es turbulento. Antes de encarar la simulación numérica de
este problema mucho más complejo, se ha encontrado conveniente seguir adelante con el estudio de la convección natural en
régimen transitorio.
En los trabajos de Aramayo et. al.(2002) y Esteban et. al.(2002), se ha realizado una simulación numérica del problema de
convección natural estacionaria en un recinto triangular rectangular. Se obtuvieron soluciones para el flujo en el rango 105 <
Ra < 1010, Pr = 0.7 y para la razones de aspecto A igual a 0.1, 0.5 y 1. En vista de los interrogantes planteados entonces,
uno de los cuales se refiere a la obtención de resultados numéricos estables y bien convergidos para Rayleigh mucho más alto
de lo que las observaciones experimentales de Flack (1980) indican como pertenecientes al régimen turbulento, se ha
propuesto realizar el estudio transitorio del problema.
En este trabajo se presenta una descripción del problema y la metodología numérica utilizada como así también, el análisis de
la transferencia de calor local y global. En una segunda parte, presentada conjuntamente en esta Reunión, se presentan los
aspectos cualitativos del flujo.
MÉTODO NUMÉRICO
Las ecuaciones que rigen el problema de convección natural transitoria son:
∂ (ρu )
+ div (ρ u ) = 0
∂t
1
(1)
 ∂ 2u ∂ 2u 
1 ∂P
∂u
∂u
∂u
+u
+v
=−
+ν 2 + 2 
 ∂x
ρ ∂x
∂y
∂t
∂x
∂y 

(2)
 ∂ 2v ∂ 2v 
∂v
∂v
∂v
1 ∂P
+u
+v
=−
+ ν  2 + 2  − g [1 − β (T − T0 )]
 ∂x
∂t
∂x
∂y
ρ ∂y
∂y 

(3)
 ∂ 2T ∂ 2T
∂T
∂T
∂T
+u
+v
= α 2 + 2
 ∂x
∂t
∂x
∂y
∂y

(4)




Departamento de Matemática. Facultad de Ciencias Exactas. UNSa.
08.55
donde: u =(u, v), P, T son los campos de velocidad, presión y temperatura; ρ , ν y α son la densidad, la viscosidad y la
difusividad del fluido, respectivamente; β coeficiente de expansión volumétrico; T0 es la temperatura de referencia, en este
caso corresponde a la temperatura media T0 = Tm = 0.
u,v=0 T=Tf
y
x
u,v=0 T=Tc
Pared adiabática
La figura 1 muestra un esquema de la configuración estudiada y las condiciones de borde utilizadas, en la simulación.
H
L
Figura 1: Dominio físico y condiciones de borde
Se ha resuelto las ecuaciones adimensionales de continuidad, de Navier Stokes bidimensional y de energía, transitorias, para
un recinto triangular como se muestra en la figura 1, asumiendo la aproximación de Boussinesq, con las siguientes
adimensionalizaciones:
ƒ
Las longitudes en ambas direcciones, con la altura del recinto H;
ƒ
Las velocidades u y v, con la velocidad característica en la dirección y: v 0 =
ƒ
El campo de temperatura T con: T * = T − Tm
ƒ
caliente y el promedio de estas dos últimas, respectivamente; y
El tiempo del siguiente modo: t * = v0 t .
H
Tc − T f
gβαH (Tc − T f )
ν
;
donde Tc , Tf , Tm son la temperatura de la pared fría, de la pared
Considerando cualquier situación en la cual la temperatura media Tm sea nula, se tiene que la variación de la temperatura
adimensional T* es de –0.5 a 0.5.
Se utiliza una red rectangular no uniforme, con un mayor refinamiento en las adyacencias de las paredes del mismo, de 150 x
150 nodos, cuyos volúmenes de control son también rectangulares. A los efectos de reducir el dominio de cálculo a la
cavidad triangular, se bloquea la región triangular superior, de la misma manera que la planteada en Aramayo et. al.(2002) y
Esteban et. al. (2002). La no uniformidad de la red permite suponer que el cálculo de los gradientes, y en consecuencia del
Nu, tendrá mayor exactitud en la base que en la superficie inclinada.
La resolución del problema se realiza con un programa general desarrollado por Patankar para régimen transitorio, basado
en la técnica de volúmenes de control y el algoritmo SIMPLER. Se usa un parámetro de relajación de 0.8 y se itera
temporalmente (iteración externa) hasta alcanzar el estado estacionario, lo cual es dependiente de la razón de aspecto y del
valor de Ra, considerados. Dentro de cada paso temporal se realizan hasta 10 iteraciones para resolver el sistema lineal de
ecuaciones (iteración interna). No se tienen problemas de convergencia en el rango de Rayleigh estudiado.
TRANSFERENCIA DE CALOR: NÚMERO DE NUSSELT CONVECTIVO LOCAL Y GLOBAL.
Los datos de transferencia de calor sobre las superficies fría y caliente se interpretan mediante el coeficiente convectivo h o
su forma adimensional, el número de Nusselt, Nu. El número de Nusselt se define como el gradiente de temperatura
adimensional, de la siguiente manera:
Nu =
hk ∂T *
=
H
∂n
(5)
con k conductividad térmica; n vector normal a cada cara.
Los números de Nusselt local para la base y la hipotenusa se ha calculado según las siguientes ecuaciones:
 ∂T *
NUB (x ) =  *
 ∂y


 *
 y =0
(6)
 ∂T * 
NUH (s ) =  ρ 
 ∂n  y = Ax
(7)
donde y* es la coordenada vertical adimensional dada por: y * = y
H
Por la discretización empleada no se puede calcular en forma directa el gradiente de temperatura adimensional normal a la
pared inclinada, de manera que se ha utilizado una combinación lineal vectorial de los gradientes en x e y, respectivamente.
08.56
Debido a la disposición de la red y a la dirección del flujo, el flujo fluye en la dirección diagonal a la de los volúmenes de
control, existe un efecto numérico de falsa difusión en la adyacencia de la cara inclinada.
El contacto entre la placa caliente y fría en donde el flujo de calor es puramente conductivo origina un problema de cálculo,
que no representa uno físico. A medida que uno se acerca a esta zona, la distancia que separa ambas placas tiende a cero, de
manera que la transferencia de calor propiamente dicha es matemáticamente infinita. La forma de calcular el número de
Nusselt global en estos casos ha originado una extensa discusión entre los autores que han encarado su cálculo.
Para resolver el problema de la discontinuidad G. Holtzman, et. al. (2000) proponen definir un Nu convectivo como el
cociente entre el Nu total y el Nu puramente conductivo. Del Campo et. al. (1988) en cambio encara este problema,
considerando un Nusselt convectivo definido como la diferencia entre el Nussel total y el conductivo. Puesto que los
resultados obtenidos en Aramayo et. al.(2002) y Esteban et. al.(2002), mostraron una fuerte dependencia con la cantidad de
nodos que se eliminaron para resolver esta discontinuidad; en este trabajo se ha adoptado la propuesta de Del Campo. Se ha
definido así un número de Nusselt convectivo local para la base, NUBcon(x) y otro para la hipotenusa, NUHcon(s).
El Nusselt convectivo promedio para la base, Nuglobbase y la hipotenusa, Nuglobhip , se han calculado del siguiente modo:
Nuglobbase =
1 L
NUBcon (x )dx
L 0
∫
(8)
Siendo L la longitud horizontal del recinto y D = L2 + H 2
Nuglob hip =
1
D
D
∫ NUHcon (s )ds
(9)
0
la longitud de la pared inclinada.
RESULTADOS OBTENIDOS
Los dos tipos de regímenes obtenidos en todos los casos analizados son: conductivo y convectivo. En el primer caso se tiene
que el Nusselt global convectivo es nulo mientras que en el segundo tendrá un valor positivo distinto de cero. Para el régimen
convectivo se encuentra dos patrones de flujo: celular y multicelular.
En la tabla 1. se indican los distintos regímenes de flujos obtenidos al alcanzar el estado estacionario, para cada razón de
aspecto y valor de Ra.
Ra = 102
Ra = 103
Ra = 104
Ra = 105
Ra = 106
Ra = 107
Ra = 108
Ra = 109
A =0.1
conductivo
conductivo
conductivo
conductivo
convectivo
convectivo
convectivo
convectivo
A =0.3
conductivo
conductivo
conductivo
convectivo
convectivo
convectivo
convectivo
oscilatorio
A =0.5
conductivo
conductivo
conductivo
convectivo
convectivo
convectivo
oscilatorio
-
A =0.7
conductivo
conductivo
conductivo
convectivo
convectivo
convectivo
-
A=1
Conductivo
Conductivo
Conductivo
Convectivo
Convectivo
-
Tabla 1. Tipos de flujos obtenidos para los cálculos numéricos realizados
La tabla 2 muestra la cantidad de iteraciones necesarias para alcanzar el estado estacionario para los casos estudiados. Se
observa que a medida que aumenta Ra aumenta el número de iteraciones necesarias para alcanzar el estado estacionario, para
una razón de aspecto dada.
Ra = 102
Ra = 103
Ra = 104
Ra = 105
Ra = 106
Ra = 107
Ra = 108
Ra = 109
A =0.1
200
200
200
200
200
2000
2000
4000
A =0.3
640
560
600
1160
4600
5000
5000
No alcanza
A =0.5
720
880
800
1360
3400
No alcanza
-
Tabla 2. Número de iteraciones para alcanzar el estado estacionario
08.57
A =0.7
900
1600
3600
-
A=1
640
640
1500
1040
1200
3400
-
A =0.3
40
Nuglob
30
ra =1e4
ra =1e5
ra =1e6
ra =1e7
ra =1e8
ra =1e9
20
10
0
-0.1
249.9
499.9
749.9
999
t*
Figura 2. Evolución temporal del Nusselt global convectivo en la base, para distintos valores de Ra.
En la figura 2 se muestra la evolución temporal del Nusselt global convectivo en la base, para una razón de aspecto de 0.3 y
para Ra desde 104 hasta 109. Se puede ver en la misma gráfica que las curvas se diferencian una de otras a partir de Ra = 106,
esto se debe a que para Ra hasta 106 el régimen de flujo es puramente conductivo, de manera que el Nusselt convectivo,
mostrado en la gráfica es nulo para estos casos. A partir de Ra =107 todas las curvas presentan un marcado descenso en su
valor hasta t = 10, y luego un crecimiento monótono hacia el estado estacionario.
Se puede observar en la figura 2 que las gráficas correspondiente a Ra =106 y 107 alcanzan el estado estacionario de forma
monótona creciente. Para Ra = 108 el flujo presenta leves oscilaciones antes de alcanzar el estado estacionario. Para Ra =109
el Nusselt presenta oscilaciones de alta frecuencia, intensas, alrededor de un valor promedio de 36, con una amplitud que
alcanza el 11% respecto de este valor promedio. Para este último valor de Ra no se alcanza el estado estacionario sino un
régimen permanente.
40
0.5
A =0.5
ra=1e5
ra=1e6
ra=1e7
30
T*t
0.4375
0.3125
0.1875
0.0625
-0.0625
-0.1875
-0.3125
-0.4375
0.4
0.3
Y
NUB
20
0.2
10
0.1
0
-10
0
0.25
0.5
X*
0.75
1
0
0.25
0.5
X*
0.75
1
Figura 3. Nusselt local en la base para distintos Ra e isotermas para Ra = 107.
A la izquierda de la figura 3 se muestran las curvas de Nusselt local convectivo en la base, para distintos valores de Ra y
razón de aspecto 0.5; y a la derecha de la misma, a modo de ejemplo, la distribución de temperatura correspondiente a Ra =
107.
Se observa en la figura correspondiente a los Nusselt convectivo, que a medida que aumenta el valor de Ra por un lado se
incrementa el valor máximo alcanzado por el Nusselt convectivo local (5 a Ra = 105, 16 a Ra = 106 y 37 a Ra = 107); y por
otro la cantidad de picos y valles en las distintas curvas. Esto último, se debe a la aparición de nuevas celdas convectivas a
medida que aumenta el valor de Ra.
Para Ra = 107 , según el patrón de temperatura mostrado en la figura 3, existen cuatro celdas convectivas; lo que está de
acuerdo con la cantidad de máximos y mínimos, mostrados en la gráfica de Nu local correspondiente a este Ra.
08.58
40
15
30
10
20
Nuglob
NUBcon
20
5
ra =1e7
A =0.5
0
-5
10
0
250
500
Tiempo
0
750
-10
1000
0.25
0.5
0.75
X*
1
Figura 4. Nusselt globales y locales para la base, correspondientes a Ra =107 y A = 0.5.
En la figura 4 se muestran tanto los Nusselt convectivos globales como locales para la base, correspondientes a Ra =107 y A
= 0.5. Los Nu globales se muestran hasta t = 1000, para poder distinguir el descenso inicial característicos de este tipo de
problemas.
La tabla 3, muestra los valores de los Nusselt promedio calculados sobre la base (NUB) para distintos valores de Ra y razones
de aspecto. Las celdas con sombreado gris indican que el régimen de flujo es conductivo mientras que las sombreadas con
turquesa corresponden a soluciones oscilatorias que no permiten alcanzar el estado estacionario. Esto casos particulares no
han sido tenidos en cuenta al momento de la obtención de las correlaciones entre Nu y Ra.
Ra
1E+05
A =1
1,478776
A = 0.7
1,445539
A = 0.5
1,030141
A = 0.3
0,108735
A = 0.1
0,00382
1E+06
4,406974
4,549059
4,398752
3,527345
0,003917
6,968744
0,578870
3E+06
6E+06
1E+07
2,739725
9,829825 10,757773 12,154807 12,266842
1E+08
20,85931
1E+09
5,035367
26,818979
21,591431
38,348469
48,895386
Tabla 3. Valores de Nusselt global convectivo en la base para distintos Ra y A.
En la figura 5 se ha graficado el Nusselt global convectivo en función del número de Rayleigh sobre un gráfico doble
logarítmico, parametrizado en la razón de aspecto. Los valores muestran una dependencia del tipo Nuglob = C1 RaC2. Se
puede observar también que para Ra = 105 los valores de Nusselt global convectivo son prácticamente independientes de la
razón de aspecto, esto se debe a que hasta dicho Ra, el régimen es convectivo, tomando valores próximos a cero, en la
mayoría de los casos.
100
A=1
Nuglob
A=0.7
A=0.5
10
A=0.3
A=0.1
1
1.E+04
1.E+05
1.E+06
1.E+07
Ra
Figura 5. Nusselt global convectivo vs. Ra, a distintos A.
08.59
1.E+08
1.E+09
En la tabla 4 se muestran los valores de los coeficientes C1 y C2, obtenidos para la correlación Nuglob = C1 Ra C2.
razón de aspecto
A=1
A = 0.7
A = 0.5
A = 0.3
A = 0.1
C1
0.0136
0.01
0.0023
0.0103
0.0018
Nuglob
C2
0.4113
0.4358
0.5359
0.4313
0.4999
ajuste
0.9923
0.9933
0.9897
0.9794
0.976
Tabla 4. Coeficientes de la correlación Nuglob = C1 Ra C2
CONCLUSIONES
Se ha encontrado en este trabajo que a medida que se incrementa la razón de aspecto, el régimen convectivo laminar se
mantiene para valores decrecientes de Ra (tabla 1).
Se analiza, a través de la evolución del Nusselt convectivo, como a una razón de aspecto dada para diferentes Ra se alcanza el
estado estacionario. Se encuentra que a un determinado Ra, no es posible llegar al estado estacionario debido a la aparición
de oscilaciones de alta frecuencia.
En los trabajos Aramayo et. al.(2002) y Esteban et. al.(2002), donde se presenta una simulación numérica del problema de
convección natural estacionaria en un recinto triangular se encontró, para el Nusselt global total, la correlación Nutotal = 0.2*
Ra 0.3 , mientras que la correlación para el Nusselt convectivo en el presente trabajo es Nuglob ≈ 0.01* Ra 0.4 obteniéndose,
como era de esperarse, con esta última valores de Nu globales menores que con la anterior.
REFERENCIAS
Aramayo, A.; Esteban, S.; Cardón, L. (2002), “Convección natural a elevado numero de Rayleigh en recintos triangulares
rectangulares enfriados por arriba. Parte I: Flujo de calor”. AVERMA. Bs. As., vol: 6, N2, pgs: 08.43–08.48.
Esteban, S.; Aramayo, A.; Cardón, L. (2002), “Convección natural a elevado numero de Rayleigh en recintos triangulares
rectangulares enfriados por arriba. Parte II: Patrones de flujo del fluido”. AVERMA. Bs. As., vol: 6, N 2, pgs:08.49–
08.53.
Flack R. (1980); “The experimental measurement of natural convection heat transfer in triangular enclosure heated or cooled
from below”. ASME Journal of Heat Transfer, vol. 102, pp. 770-772.
Del Campo E., Sen M., Ramos E. (1988); "Analysis of laminar natural convection in a triangular enclosure". Numerical Heat
Transfer, vol. 13, pp. 353-372.
Holtzman G., Hill R., Ball K. (2000); "Laminar natural convection in isosceles triangular enclosures heated from below and
symmetrically cooled from above" . Journal of Heat Transfer, vol. 112, pp. 485-491.
NATURAL CONVECTION IN A TRIANGULAR CAVITY COOLED FROM ABOVE. PART I: HEAT FLOW.
ABSTRACT: In this paper results of the fluid flow patterns for a numerical simulation of natural convection transient in a
triangular cavity are presented. Solutions in the range the 102 < Ra < 109, for Pr = 0.7, and aspect ratio aspect A = 0.1, 0.3,
0.5, 0.7 y 1 were obtained. In this part the local and global heat flow over the incline and base surfaces were studied through
the analysis of the Nusselt convective number. The heat flow presents valleys and peaks corresponding to convective cells.
The Nusselt Number is correlated 0.01Ra0.4.
08.60