Dinámica de TNOs - Instituto de Física Facultad de Ciencias

Transcripción

Dinámica de TNOs
Tabaré Gallardo
Departamento de Astronomı́a, Facultad de Ciencias
Universidad de la República, URUGUAY
www.fisica.edu.uy/∼gallardo
version 22 de Abril de 2010
Curso TNOs 2010
Resumen
• Poblaciones de TNOs
• Dinamica del sistema de planetas jovianos
• Dinamica secular (a constante) de TNOs
•
•
•
•
evolucion de nodos y perihelios, elementos propios,
resonancias seculares
Kozai-Lidov (Tisserand generalizado)
limite en el comportamiento secular
• Dinamica resonante: RMM, dinamica secular dentro de RMM, captura en resonancia
• Dinamica de encuentros: handling down
Curso TNOs 2010
1/92
Lecturas recomendadas
• panorama general en el capitulo de Barucci et al. de The Solar System Beyond
Neptune
• historia en capitulo de Davies et al.
• dinamica en capitulos de Gomes et al. y Morbidelli et al.
Actividades recomendadas
• hurgar en bases de elementos orbitales: MPCORB, ASTORB, JPL
• integrar objetos (o clones) con EVORB (o EVORBA), MERCURY, SWIFT (o sus
variaciones) y analizar evolucion orbital
• explorar el espacio (a, e, i) con integraciones de objetos ficticios
Curso TNOs 2010
2/92
Poblaciones de TNOs
Poblaciones en 2005, incluye Hot (i alta) y Cold (i ≤ 4◦ baja) del cinturon clasico. Notese la caida de
objetos a la altura de la 1:2 (Morbidelli 2008, libro ”TNOs and Comets”).
Poblaciones de TNOs
3/92
Histograma
www.johnstonsarchive.net/astro/tnos.html
Poblaciones de TNOs
4/92
around and beyond 40 AU are mostly very red. Classical objects (mostly between the 2:3 and 1:2 resonances) with high eccentricity
(and also inclination) are preferentially neutral/slightly red. In contrast, no clear trend is obvious for SDOs (a > 50 AU), nor for the
Plutinos, which appear to lack any trends in their surface colors. Updated from Doressoundiram et al. (2005).
Altas inclinaciones: los mas grandes
Accompanies chapter by Doressoundiram et al. (pp. 91–104).
Plate 2. Same as Plate 1 in the orbital inclination vs. semimajor axis plane.
Cold y Hot deben tener diferente
origen. Nuevamente notese la caida de objetos a la altura de la 1:2,
Accompanies chapter by Doressoundiram et al. (pp. 91–104).
Doressoundiram et al. (2008)
Poblaciones de TNOs
5/92
Foto actual (MPCORB del 20/04/2010)
1366 objetos con a>20 UA (20/04/2010)
1
0.8
e
0.6
0.4
0.2
0
20
Poblaciones de TNOs
30
40 50
100
200
a heliocentrico (UA)
500
1000
6/92
1366 objetos con a>20 UA (20/04/2010)
80
70
60
q (UA)
50
40
30
20
10
0
20
Poblaciones de TNOs
30
40 50
100
200
500
1000
7/92
1366 objetos con a>20 UA (20/04/2010)
180
160
140
i (grados)
120
100
80
60
40
20
0
20
Poblaciones de TNOs
30
40 50
100
200
500
1000
8/92
Masa y radios
Del capitulo de Petit et al.
N (radio ≥ R) ∼ 7.4 × 1011R−3.6
valida para, digamos, R ≥ 100 km (o menos?). Los mas chicos sufrieron una intensa
evolucion colisional y tendrian una distribucion diferente.
Masa total actual
0.01M⊕ < M < 0.1M⊕
Masa inicial (necesaria para formar los cuerpos grandes)
∼ 10M⊕
Poblaciones de TNOs
9/92
El problema del deficit de masa
Si la masa inicial fue ∼ 10M⊕, como se perdio?
• embriones planetarios?
• pasaje de estrellas?
• colisiones?
Teoria alternativa: la poblacion se formo en regiones mas interiores (acrecion mas
eficiente, se requiere menos masa inicial) y luego fue empujada hacia afuera por la
migracion planetaria.
Poblaciones de TNOs
10/92
Scattered Disk Objects
ver java applets
Poblaciones de TNOs
11/92
Clasificaciones
Centauros, Cinturon Clasico, Resonantes, SD y Extended Scattered Disk o Detached o Fosilized. Intento
de clasificacion orbital segun Gladman et al. (2008)
Poblaciones de TNOs
12/92
80
Sedna
perihelion distance (AU)
Res 2:3
60
2004XR190
Classical
Belt
detached SDOs
2004PD112
2000CR105
2000YW134
40
SDOs
Plutinos
Centaurs
20
Res 1:2
0
10
100
semimajor axis (AU)
1000
Intento de clasificacion orbital segun Gomes et al. (2008)
Poblaciones de TNOs
13/92
Elementos orbitales: origen y plano de referencia
Heliocentrico versus Baricentrico
103
"evo0101h.dat" u 1:2
"evo0101b.dat" u 1:2
102.5
102
a (UA)
101.5
101
100.5
100
99.5
99
98.5
0
500
1000
tiempo (yrs)
1500
2000
El semieje baricentrico tiene una evolucion mucho mas suave, representa mucho mejor la
orbita del TNO.
Poblaciones de TNOs
14/92
Ecliptica versus Plano Invariable
longitud del nodo de Neptuno (grados)
350
300
250
200
150
100
50
0
0
5e+006
1e+007
1.5e+007
2e+007
tiempo (yrs)
El plano de la Ecliptica no es el mas representativo para analisis de evolucion orbital. El
~hN en realidad gira en torno del ~hSisSolar .
Poblaciones de TNOs
15/92
3
3
2
2
1
1
0
0
p
p
Direccion del vector momento angular
-1
-1
-2
-2
jupiter
-3
-3
-2
-1
0
q
1
2
3
-3
3
3
2
2
1
1
0
0
p
p
-3
-1
-2
-1
0
q
1
2
3
0
1
2
3
-1
-2
-2
urano
-3
neptuno
-3
-3
-2
-1
0
q
Sistema Joviano
saturno
1
2
3
-3
-2
-1
q
16/92
Sistema JSUN
ver animacion
Quien determina la evolucion dinamica de un cuerpo es su funcion perturbadora
R = −G
N
X
i=1
mi (
~r · r~i
1
− 3 )
∆i
ri
Lagrange y Laplace lograron expresar R(a, e, i, $, Ω, λ). Si promediamos en las λ
tendremos una expresion R̄ mas sencilla y en el caso de cuerpos con baja (e, i) la R̄
resulta muy simple existiendo una solucion analitica ”secular” sencilla:
a = cte 6= aini
hj =
kj =
8
X
i=5
8
X
eji sin(git + βi) = ej sin $j
eji cos(git + βi) = ej cos $j
i=5
Sistema Joviano
17/92
pj =
8
X
Iji sin(fit + γi) = Ij sin Ωj
i=5
qj =
8
X
Iji cos(fit + γi) = Ij cos Ωj
i=5
donde las eji, Iji, gi, fi, βi, γi son constantes siendo las gi, fi las FRECUENCIAS
FUNDAMENTALES del sistema.
i
5
6
7
8
gi
4.29591
27.77406
2.71931
0.63332
fi
0.00000
-25.73355
-2.90266
-0.67752
βi
29.550
125.120
131.944
69.021
γi
107.102
127.367
315.063
202.293
Las frecuencias estan en segundo de arco por año y los angulos en grados. Que f5 = 0 implica que
todos los p, q estan desplazados del origen (termino fijo), esto es por no haber tomado el plano invariable
como referencia.
Sistema Joviano
18/92
j=
i=5
6
7
8
5
4482
-1535
147
5
6
3291
4863
148
6
7
-3188
-248
3043
143
8
63
-11
-323
938
Componentes eji multiplicados por 105. Por ejemplo, la eU esta fuertemente afectada por el termino
”debido” a Jupiter (no es tan obvia la identificacion de cada termino con cada planeta) y la eN esta
afectada fundamentalmente por el termino debido a Urano. Existe tabla analoga para Iji (ver libro Murray
y Dermott).
Sistema Joviano
19/92
h = e sin $,
0.15
0.15
jupiter
0.05
0.05
0
0
-0.05
-0.05
-0.1
-0.1
-0.15
-0.15 -0.1 -0.05
0
k
-0.15
-0.15 -0.1 -0.05
0.05 0.1 0.15
0.15
urano
0.05 0.1 0.15
0.05
0.05
0
0
-0.05
-0.05
-0.1
-0.1
0
k
0.05 0.1 0.15
neptuno
0.1
h
h
0
k
0.15
0.1
-0.15
-0.15 -0.1 -0.05
saturno
0.1
h
h
0.1
Sistema Joviano
k = e cos $
-0.15
-0.15 -0.1 -0.05
0
0.05 0.1 0.15
k
20/92
3
3
2
2
1
1
0
0
p
p
p = e sin Ω,
-1
-1
-2
-2
jupiter
-3
-2
-1
0
q
1
2
3
-3
3
3
2
2
1
1
0
0
p
p
saturno
-3
-3
-1
-2
-1
0
q
1
2
3
0
q
1
2
3
-1
-2
-2
urano
-3
neptuno
-3
-3
Sistema Joviano
q = e cos Ω
-2
-1
0
q
1
2
3
-3
-2
-1
21/92
Cuasi resonancias
Las cuasi-conmensurabilidades entre J y S y entre U y N hacen aparecer terminos de
largo periodo cuasi-resonantes que no pueden eliminarse (no pueden promediarse como
los de corto periodo) en la funcion perturbadora.
• termino 2λJ − 5λS circula con periodo 880 años
• termino 2λN − λU circula con periodo 4250 años
Las teorias seculares mas completas incluyen estos y otros terminos logrando una
descripcion muy buena de la evolucion ”media” del sistema JSUN. El hecho de que la
configuracion de JSUN sea proxima a resonancias pone a todo el sistema al borde de una
inestabilidad (Mitchenko y Ferraz-Mello 2001). La caoticidad puede medirse en funcion
del numero de frecuencias que aparecen en el espectro de h(t) o cualquier otro elemento:
Sistema Joviano
22/92
RESONANT STRUCTURE OF THE OUTER SOLAR SYSTEM
475
emimajor axis and eccentricity of
were uniformly distributed on a
the vicinity of the actual position
itial positions of the other planets
tual ones at epoch JD 2,451,100.5.
on and angular orbital elements of
were Ðxed at their present values.
ations were chosen to be equal to
Saturn and 3 Myr for Uranus and
pond approximately to 125,000
piter, 51,000 for Saturn, 35,600 for
Neptune. These lengths are large
nalysis method (° 3) to detect the
resonances involving the mean
ets.
s (on the order of the orbital
during the numerical integration
low-pass Ðltering procedure. The
at we obtained were Fourierandard FFT algorithm. The specned as the number of substantial
y deÐned as being higher than 5%
e semimajor-axis variation of the
e spectral number N thus obtained
esponding initial conditions used.
L ANALYSIS METHOD
method for detecting the chaoticity
ased on the well-known properties
& Percival 1979 ; Michtchenko &
rier transform techniques, applied
ical integration, allow one to disand chaotic motion in the follow-
FIG. 1.ÈPower spectra of JupiterÏs semimajor axis. T op, a regular orbit
obtained with the current initial conÐguration of the Jovian planets over
1.5 Myr (spectral number N \ 4) ; bottom, a chaotic orbit obtained with a
Ðctitious initial conÐguration of the Jovian planets in which the semimajor
axis of Saturn was incremented by 0.03 AU (spectral number N \ 100).
egularSistema
trajectories
Joviano are conditionorbital element ele (t) depends on
semimajor axis of JupiterÏs orbit obtained with the current
initial conÐguration of the Jovian planets. In this example,
the spectral number N, deÐned as the number of signiÐcant
23/92
476
MICHTCHENKO & FERRAZ-MELLO
Sistema Joviano
Vol. 122
24/92
FIG. 2.ÈDynamical map of the region around Jupiter. The values obtained for the spectral number N (in the range 1È100) are coded by gray levels that
No. 1, 2001
RESONANT STRUCTURE OF THE OUTER SOLAR SYSTEM
FIG. 3.ÈSame as Fig. 2, but for Saturn. The grid of initial conditions used had 181 ] 33 points, *a \ 0.001 AU, and *e \ 0.01.
S
S
Sistema Joviano
477
25/92
Sistema Joviano
26/92
FIG. 4.ÈSame as Fig. 2, but for Uranus. The grid of initial conditions used had 172 ] 21 points, *a \ 0.01 AU, and *e \ 0.01.
U
U
FIG. 5.ÈSame as Fig. 2, but for Neptune. The grid of initial conditions used had 101 ] 21 points, *a \ 0.01 AU, and *e \ 0.01.
N
N
Sistema Joviano
27/92
Dinamica basica de un planeta + particula
TRAYECTORIA EN 5 Myr
0.15
0.1
h = e Sen(long per)
0.05
0
-0.05
e_planeta = 0.1
-0.1
LPer_planeta = 120
-0.15
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
k = e Cos(long per)
0.1
0.15
¿Como seria la trayectoria en (h, k) si el planeta tuviese excentricidad nula?
Dinamica Secular de TNOs
28/92
TRAYECTORIA EN 5 Myr
6
p = i Sen(long nodo)
4
2
0
-2
i_planeta = 3
-4
LNodo_planeta = 90
-6
-6
-4
-2
0
2
q = i Cos(long nodo)
4
6
¿Como seria la trayectoria en (p, q) si el planeta tuviese inclinacion nula?
29/92
Dispersion en h,k
20 clones iniciales (azul) y 20 Myr despues (negro)
0.15
0.1
e Sen(long per)
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
e Cos(long per)
0.1
0.15
Pequeñas diferencias en aini generan diferentes frecuencias propias A(a) lo que hace que el $prop se
aleatorice pero se mantiene constante eprop que es el radio del circulo.
30/92
Dispersion en p,q
20 clones iniciales (azul) y 20 Myr despues (negro)
6
4
i Sen(long nodo)
2
0
-2
-4
-6
-6
-4
-2
0
i Cos(long nodo)
2
4
6
31/92
Dos planetas + particula
2 planetas + TNO, trayectoria en 4 Myr
0.15
0.1
e Sen(long per)
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
e Cos(long per)
0.1
0.15
La componente forzada es variable en el tiempo pues es la suma de 2 vectores que oscilan con diferente
frecuencia.
32/92
Dos planetas + particula
2 planetas + TNO, trayectoria en 4 Myr
6
4
i Sen(long nodo)
2
0
-2
-4
-6
-6
-4
-2
0
i Cos(long nodo)
2
4
6
33/92
Dos planetas + 250 particulas
La eprop iprop se conservan. Ver animaciones (Murray y Dermott 1999).
34/92
Elementos propios (o libres) y forzados
La componente propia (o libre) es constante. La componente forzada varia en el
tiempo. Idem para (p, q).
35/92
Elementos osculantes = propios + forzados
h = eprop sin(At + β) + hf orz = e sin $
k = eprop cos(At + β) + kf orz = e cos $
p = iprop sin(−At + γ) + pf orz = e sin Ω
q = iprop cos(−At + γ) + qf orz = e cos Ω
hf orz = −
kf orz = −
pf orz = −
qf orz = −
8
X
νi
sin(git + βi)
A − gi
i=5
8
X
νi
cos(git + βi)
A − gi
i=5
8
X
µi
sin(fit + γi)
−A − fi
i=5
8
X
µi
cos(fit + γi)
−A − fi
i=5
36/92
Si (e, i) son pequeños la frecuencia propia A del TNO solo depende de su semieje a.
Si (e, i) son grandes tenemos A(a, e, i).
Se puede probar que si a −→ aplaneta entonces:
ef orz −→ eplaneta
$f orz −→ $planeta
if orz −→ iplaneta
Ωf orz −→ Ωplaneta
pero en realidad si a −→ aplaneta la teoria secular pierde validez.
El termino propio oscila con una unica frecuencia A. Los terminos forzados oscilan con
varias frecuencias. Los valores propios en la teoria secular se mantienen constantes. En la
realidad pueden variar muy lentamente debido a difusion caotica o rapidamente debido a
encuentros con planetas. Si el termino propio es claramente mayor que el forzado lo que
se observa es que en general $̇ > 0 y Ω̇ < 0.
37/92
Evolucion de la Long del Perihelio para Neptuno, 35, 40, 45 y 50 UA
180
160
Longitud del Perihelio
140
120
100
80
60
40
20
0
0
50000
100000
150000
200000
tiempo
250000
300000
350000
400000
38/92
Evolucion de la Long del Nodo para Neptuno, 35, 40, 45 y 50 UA
350
300
Longitud del Nodo
250
200
150
100
50
0
0
100000
200000
300000
tiempo
400000
500000
600000
39/92
Resonancia Secular
Si la frecuencia propia A ∼ gi o A ∼ −fi algun termino forzado tiende a infinito
generandose una RESONANCIA SECULAR.
Frecuencia propia A en funcion de a para el caso (e, i) bajas. Se indican las ff del sistema.
40/92
Resonancia Secular
Para (e, i) bajas no hay resonancias seculares mas alla de a = 41 UA. Para (e, i) altas
la frecuencia A depende de (a, e, i) y no hay estudios sistematicos de la localizacion de
las resonancias seculares.
NOTACION:
Resonancia secular νi corresponde al caso A = gi.
Resonancia secular ν1i corresponde al caso A = −fi.
En una resonancia secular νi la e tiende a 1.
En una resonancia secular ν1i la i crece.
Diagnosticar una resonancia tipo νi analizando $ − $i osculantes es engañoso a
menos que la ef orz >> epropia pues en este caso eosc ∼ ef orz . Idem una resonancia ν1i
analizando Ω − Ωi osculantes, especialmente si no trabajamos con el plano invariable. La
forma segura de diagnosticar la proximidad de la resonancia es analizar el espectro de
h, k, p, q y comprobar la proximidad de la frecuencia propia del TNO a alguna frecuencia
propia del sistema planetario gi, fi.
41/92
Espectro tipico
42/92
Mecanismo secular Kozai-Lidov
Sistema planetario JSUN con orbitas fijas circulares y coplanares + TNO en orbita de
cualquier tipo. El Hamiltoniano (energia cinetica + potencial) que describe el movimiento
del TNO es H(t).
8
X
1
~r · r~i
v 2 Gm
−
−G
mi ( − 3 )
H(t) =
2
r
∆i
ri
i=5
No es constante. Trabajando en el espacio de fase extendido el nuevo Hamiltoniano es
independiente del tiempo pero depende de las variables rapidas λ, λi, longitudes medias
del TNO y de cada planeta. Como son variables rapidas, si imponemos que el TNO no
tenga encuentros con los planetas, las eliminamos promediando:
H̄ =
Z
0
2π
Z
0
2π
H dλ dλi
De esta forma tendremos el Hamiltoniano medio dependiendo de parametros planetarios
fijos (masas y semiejes) y de las variables (a, e, i, ω, Ω) del TNO:
H̄ = H̄(a, e, i, ω, Ω)
Por ser una evolucion en regimen secular a = cte y se prueba que Ω no aparece en las
ecuaciones (simetria de revolucion en el plano invariable, es decir, la dinamica de TNOs
43/92
con diferentes Ω debe ser identica pues el problema fisico es identico). En consecuencia
tendremos:
H̄(e, i, ω) = constante
y al no aparecer Ω en las ecuaciones, la variable canonicamente conjugada sera constante.
Esa variable se la nota como H (es la componente
z del momento angular del TNO, no
p
confundir con Hamiltoniano!!!) y es H = a(1 − e2) cos i.
En definitiva tenemos:
a = constante
p
(1 − e2) cos i = constante
H̄(e, i, ω) = constante
Como (e, i) no son independientes, podemos decir que H̄(e, ω) = constante o H̄(q, ω) =
constante
Entonces, dado un TNO con elementos (a, e, i, ω) calculamos numericamente H̄ como
una integral doble. El TNO podra evolucionar en el espacio
(q, ω) sobre una curva de
p
nivel H̄ = constante y a la vez debera verificar siempre (1 − e2) cos i = constante.
44/92
H(i,e)
1
0.9
H=0.1
H=0.3
0.8
eccentricity
0.7
H=0.5
0.6
0.5
0.4
H=0.7
0.3
0.2
H=0.9
0.1
0
0
10
20
30
40
50
inclination
60
70
80
90
Objetos reales del Scattered Disk. (Gallardo, Hugo y Pais, en preparacion...).
El SDO necesariamente evolucionara sobre una de estas curvas sin llegar necesariamente
a los extremos en los ejes. Los limites reales se determinan con las curvas de nivel.
45/92
Objetos reales del Scattered Disk. (Gomes et al. 2008).
46/92
Curvas de nivel de energia H̄ = constante
Para cada (H, a) habra un grafico de curvas de nivel diferente. Interesa encontrar
mapas en donde existan grandes variaciones en q pues esto puede conectar regiones
externas del Sistema Solar con regiones internas.
H=0.3, a=200 AU
60
65.2
40
inc
q (AU)
50
30
20
10
0
20
40
60
80
100
120
140
160
16.1
180
ω
Gallardo, Hugo y Pais (en preparacion, 2010?).
47/92
Curvas para un SDO
a = 200 AU, H = 0.3
56
54
52
50
q
48
46
44
42
40
38
36
0
50
100
150
200
250
300
350
ω
Curvas de nivel segun el modelo para un objeto ficticio y resultado de integracion numerica exacta del
Figura 4.17: Mapa Secular correspondiente a un semieje a = 200, H = 0,25
sistema solar real (Gaston Hugo 2008, Trabajo Especial).
izquierda y H = 0,30 derecha. Se muestra la trayectoria de una partı́cula de
o
prueba.
El
valor
encontrado
para
i
a
partir
de
este
mapa
es
61,9
c
48/92
36
Aplicación a la Región Transneptuniana
Curvas para un Centauro
particula 12
30
q
25
20
15
10
0
50
100
150
200
250
300
350
ω
Curvas de nivel teoricas y resultado de integracion. Las oscilaciones en ω = 0, 180 grantizan la no
Figura 4.9:
ocurrencia de encuentros con los planetas (Gaston Hugo 2008, Trabajo Especial).
Sin embargo
el comportamiento cambia radicalmente si el objeto es capturado en una resonancia como muestra el ejemplo de la figura 4.12 que se
49/92
Resultados mecanismo Kozai-Lidov para la region TN
Los cambios orbitales (en ausencia de resonancias de movimientos medios) pueden
ocurrir en 2 casos:
• q ≤ 30 UA (Thomas y Morbidelli 1996)
• q ≥ 30 UA (Gallardo et al. 2010?), y esto ocurre para i ∼ 62◦ o i ∼ 118◦
• no hay conexion entre ambas zonas mediante KL
• si agregamos el potencial galactico, estas conclusiones pueden cambiar para a
grandes.
El mecanismo KL es analogo al criterio de Tisserand con la diferencia de que Tisserand
se aplica a un planeta unicamente y que el a de la particula puede variar.
50/92
Limites de la teoria secular
Si el perihelio es muy bajo el semieje NO SE CONSERVA, sufre una lenta difusion o una evolucion aleatoria.
La teoria igualmente reproduce cualitativamente la evolucion dinamica del TNO (Gallardo et al. 2010?).
51/92
Para altas inclinaciones aparece el mecanismo KL haciendo crecer los perihelios.
52/92
Resonancias
Como dijimos, quien determina la evolucion dinamica de una particula es la funcion
perturbadora
8
X
~r · r~i
1
R = −G
mi ( − 3 )
∆i
ri
i=5
Tiene varios terminos, muchos de ellos de corto periodo. Cuando promediamos en
el tiempo, suponiendo que todas las configuraciones particula-planeta son posibles,
eliminamos las variaciones de corto periodo obteniendo una R̄ que describe el
comportamiento secular de la particula.
En el caso en que exista resonancia, no todas las configuraciones particula-planeta son
posibles pues existe un vinculo entre particula y planeta dado por el ANGULO CRITICO
σ = (p + q)λP la − pλ − q$
y la R̄ resultante es bien diferente de la secular y dependiente de σ. La dinamica resultante
es diferente.
Resonancias de Movimientos Medios
53/92
Resonancia 2:3, trayectorias segun σ
54/92
Resonancias: localización en a
Supongamos un objeto en órbita elı́ptica perturbado por un planeta:
NEPTUNO
SOL
2000 CR105
Existe resonancia cuando:
p+q
nP la
p
donde p 6= 0 ”grado”, q ≥ 0 ”orden” y decimos que esta en la resonancia |p + q| : |p|.
Valores absolutos pues p < 0 para las resonancias externas y p > 0 para las internas
(notacion no universal). Entonces, por la tercera ley de Kepler las resonancias quedan
definidas:
p 2/3
ares ' aP la
p+q
n
'
55/92
Resonancias: fuerza y ancho
La teoria dice (ver Murray y Dermott) que para bajas (e, i) la funcion perturbadora
resonante R(σ) estara dada por el desarrollo:
R(σ) ∝ mP la eα iβ cos(σ) + ...
mas otros terminos, donde α + β ≥ q (o sea, el minimo orden de R es el orden q de la
resonancia). Podemos llamar FUERZA (SR) de la resonancia a la semi-amplitud de R(σ).
Si la SR es grande frente a otros terminos de la R original, la dinamica estara dominada
por la resonancia y σ oscilara en torno a un punto de equilibrio (centro de libracion) que
depende de la resonancia y que suele ser 0 o 180.
En la region TN las resonancias son todas externas a Neptuno siendo las mas fuertes
las del tipo 1:N (ejemplo, 1:2, 1:3, ...). Estas son conocidas como libraciones asimetricas
pues el centro de libracion no es 0 o 180 sino que es un valor dependiente de la e.
56/92
Resonancias 1:N
Libraciones asimetricas (Morbidelli et al. 2008).
57/92
R(σ) para resonancias tipo 1:N
Los puntos de equilibrio estan en los minimos (Gallardo 2006).
58/92
Fuerza y ancho de resonancia
La FUERZA
proporcional
ANCHO (o dominio
en UAs):
9.2.esMEAN
MOTIONalRESONANCE
OVERLAPPING
223
Ancho de resonancias
en la
region
TN para
Thomas
y Moons, with
1995). Un TN
Figure 9.13:
The
location
and caso
the plano
width (Morbidelli,
of mean motion
resonances
Neptune
n=nsemieje
Uranus
(Un=n>U dentro
) in thedeKuiper
beltde between
32 and
en resonancia debera
tener(Nun
< a(σ)
la region
la resonancia.
N ) andmedio
50 A.U.. The two bold solid curves correspond to q = a(1 ; e) = 30 A.U. and
q = Medios
19:2 A.U., which are respectively the thresholds for Neptune crossing and
Resonancias de Movimientos
Uranus crossing orbits. The bold dotted curve corresponds to q = 35 A.U..
59/92
Regiones estables e inestables
Plate 7. The dynamical lifetime for massless particles in the Kuiper belt derived from 4-b.y. integrations (Duncan et al., 1995, but
El famoso
grafico de Duncan et al. (1995) actualizado, que en los 90 aparecia hasta en la sopa.
extended to a = 60 AU for this review). Each particle is represented by a narrow vertical strip of color, the center of which is located
at the particle’s initial eccentricity and semimajor axis (the initial orbital inclination for all objects was 1°). The color of each strip
represents the dynamical lifetime of the particle, as reported on the scale on the righthand side. For reference, the locations of the
Resonancias de Movimientos
Medios
important Neptune
mean-motion resonances are shown in blue and two curves of constant perihelion distance, q, are shown in red.
The (a, e) elements of the Kuiper belt objects with orbits determined over three oppositions are also shown. Green dots are for i < 4°,
60/92
Migracion planetaria y captura en resonancia
ORBITAL ANGULAR MOMENTUM EXCHANGE
tune. This is so because the transf
bodies to the inner giant planets (ga
angular momentum for Neptune) is in
offset by the bodies ejected by Nep
25
(loss of angular momentum for Neptu
Figure 3 shows the orbital displace
~q
of the four Jovian planets as a result o
,~ 2o
exchange of angular momentum wit
U
scattered planetesimals obtained from
2
of the computed cases. This example s
that for the first 2-3 × 10 7 years Ur
10.;
s
and Neptune experience an inward
9.5
placement, since the interacting plan
5.2 ~
J
mals in near-circular orbits on average
5.0
energy and angular momentum follo
the so called Fermi acceleration mecha
10 7
108
109
TIME (yr)
(Arnold, 1965; Opik, 1966). However,
many encounters the relative velocity
FIG. 3. Time variation of the semimajor axes of the
the interacting planetesimals incr
four Jovian planets as a result of exchange of angular
m o m e n t u m with planetesimals. These results are
enough to allow them to become Satu
taken from case 7. The initial semimajor axes are aj =
Jupiter crossers. Such planetesimal
5.203 AU, as = 9.54 AU, at; = 20 AU and aN = 30 AU.
likely to be transferred to the infl
zones of Jupiter and Saturn, usually
The outward displacement of Uranus less angular momentum than they orig
(Neptune) as a result of the removal from had. Uranus and Neptune will gain an
Fernandez e Ip (1984): los planetas
migraron
momento
angular con planetesimales...
its accretion
zonepor
of intercambio
an amount ofde
mass
mr momentum
and move outwards ac
can be derived from Eq. (1), which leads to ingly, as their graphs indicate for t ~
61/92 eject
10 7 years. Jupiter as the main
r - ro
(1
~
bodies moves sunward. Saturn, like U
30
I
I
I
Illll~
. . . . .
ill]
mrS2
... y Neptuno al migrar capturo en resonancia a Pluton y demas plutinos y objetos en la 1:2 (Malhotra
1995).
62/92
Evolucion de un pluton (Malhotra 1995).
63/92
on. After the giant planets were formed and the
investigation on the 1:2 MMR between Jupiter and S
seous nebula was dissipated, the Solar System was
the strongest resonance.
the Sun, the planets
and a moderna
debris disk of
In all our modelo
simulations,de
we started
Version
desmall
la migracion:
Niza with a system wh
l evolution of the giant planets. These are taken from a
evolution, is noted on the plot. The vertical dotted line mar
composed of 3,500
particles
and de1:2
on with 35M
MMR
crossing.
After
this point, curves belonging to dif
E ‘hot’ disk
Migracion
y reordenamiento
del SSE
en modelo
Niza
(Tsiganis
et al.
2005).
U. Three curves are plotted for each planet: the semimajor
begin to cross, which means that the planets encounter eac
minimum (q) and maximum (Q) heliocentric distances. U,
this phase, the eccentricities of Uranus and Neptune can ex
une; S,Resonancias
Saturn, J,de Jupiter.
The
separation between the upper
run, the two ice giants exchange orbits. This occurred
Movimientos
Medios
64/92 in ,
for each planet is indicative of the eccentricity of the orbit.
simulations.
Modelo de Niza
• orden original: JSNU en orbitas mas proximas
• al cruzar JS la 1:2 se excitan sus e y estas excitan eN , eU expulsando a N al KB
primordial que terminaba en 35 UA
• al llegar N al KB provoca una lluvia de objetos hacia el SS interior generando el
Late Heavy Bombardment
• la alta eN genera zona caotica desde N hasta la 1:2, por difusion el KB que
terminaba en 35 se estira hasta la ubicacion de la 1:2
• N come el KB iniciando su migracion circularizando su orbita y volviendo estable la
zona hasta la 1:2
• los objetos que quedaron entre N y la 1:2 generaran el Cold CB (estos objetos no
se empujan hacia afuera, salvo los que se capturen en la 2:3)
• N interactua con KB migrando hacia afuera y capturando en resonancia plutinos y
objetos en 1:2 que aumentan su (e, i)
• en el proceso N fue capturando, empujando y aumentando la i de objetos en
resonancia y perdiendolos generando el Hot Clasical Belt
65/92
Figure 2 | The planetary orbits and the positions of the disk particles,
projected on the initial mean orbital plane. The four panels correspond to
four different snapshots taken from our reference simulation. In this run,
the four giant planets were initially on nearly circular, co-planar orbits with
semimajor axes of 5.45, 8.18, 11.5 and 14.2 AU. The dynamically cold
planetesimal disk was 35M E, with an inner edge at 15.5 AU and an outer edge
Dispersion del KB en modelo de Niza (Gomes et
at 34 AU. Each panel represents the state of the planetary system at four
different epochs: a, the beginning of planetary migration (100 Myr); b, just
the beginning of LHB (879 Myr); c, just after the LHB has started
al.before
2005).
(882 Myr); and d, 200 Myr later, when only 3% of the initial mass of the disk
is left and the planets have achieved their final orbits.
© 2005 Nature Publishing Group
467
66/92
Resonancias en el SD
En caso de altas (e, i), como ocurre en el Disco Dispersado, no hay expresion analitica
para R(σ) pero es posible calcular SR numericamente. La fuerza de las resonancias es
una funcion SR(a, e, i, ω). Dominan ampliamente las resonancias con Neptuno.
0.01
1:6N
2:11N
3:17N
1:5N
3:13N
2:9N
1:4N
3:11N
2:7N
3:10N
1:6U
1:3N
3:8N
4:11N
1:5U
2:5N
4:9N
3:7N
1:4U
Strength
0.0001
1:2N
3:5N
4:7N
0.001
1e-05
1e-06
1e-07
40
50
60
70
a (AU)
80
90
100
67/92
Estabilidad
Mediante el analisis de frecuencias es posible determinar la caoticidad o regularidad de
la region TN.
Dominio de las resonancias (negro), region estable (azul), inestable (rojo). Robutel y Laskar (2001).
68/92
Resonancias y poblacion real del SD
1
1:3
2:5
1
1:4
3:8
2:7
3:7
1:5
0.6
sin(i)
1:6
0.4
3:19
2:15
2:11
2:9
3:11
3:10
0.5
4:9
0.2
4:27
Resonance’s Strength (relative units)
0.8
0
50
60
70
80
90
100
110
mean barycentric a (AU)
120
130
140
0
150
Gomes et al. (2008).
69/92
Fuerza ∝ (e, i), caso (e, i) bajas
70/92
Fuerza ∝ (e, i), caso (e, i) ALTAS
71/92
Alta excentricidad: Mar de caos
SR para orbitas de e=0.9
Resonance’s Strength
0.001
0.0001
1e-005
1e-006
1e-007
1e-008
40
42
44
46
48
50
a (AU)
52
54
56
58
60
Una orbita de alta excentricidad ”sentira” todas las resonancias posibles y evolucionara
saltando de una a otra cambiando lentamente su a en un proceso de difusion. A su
vez cada resonancia sufrira de SPLITTING (desdoblamiento en varias resonancias muy
proximas).
72/92
Splitting de resonancias
El ultimo termino del angulo resonante puede ser diferente generando otros angulos
criticos:
σ1 = (p + q)λP − pλ − q$P
σ2 = (p + q)λP − pλ − qΩ
σ3 = (p + q)λP − pλ − qΩP
...
A cada uno le corresponde un ares levemente diferente. Cuando varios angulos criticos se
manifiestan en libracion tenemos Splitting de la resonancia y el a de la particula salta de
una a otra constantemente.
73/92
Alta excentricidad: Mar de caos
Objeto 2000 CR105 saltando entre resonancias (Gladman et al. 2002).
74/92
Resonancias de 3 cuerpos
Objetos en resonancias debiles al bajar q hasta 35 UA comienzan a difundirse en a (Nesvorny y Roig
2001).
75/92
Stickiness de resonancias
Las resonancias atraen orbitas que quedan ”recostadas”, pegadas a la resonancia. El
siguiente es un caso en una resonancia en el cinturon de asteroides:
76/92
M
AN
US
CR
IP
T
Stickiness: integraciones numericas por Gyrs
Stickiness calculado con integraciones numericas (Lykawka y Mukai 2007).
77/92
M
AN
US
CR
IP
T
Fuerza: calculo numerico
Fuerza (segun Gallardo 2006) calculada numericamente (Lykawka y Mukai 2007). Stickiness, Fuerza y
Ancho de la resonancia estan vinculados directamente.
78/92
Resumen de resonancias en la region TN
• Per se no generan grandes variaciones en (e, i) pues las bananas son finas. No es
de esperar cambios orbitales.
• Son atractores de trayectorias mediante el Sticking.
• Son orbitas estables y protegidas de encuentros con el planeta.
• En altas e se genera un mar de caos y difusion en a debido a la superposicion de
resonancias y al desdoblamiento (splitting)
• Pero... es comun encontrar TNOs en resonancia (tipicamente 1:N) mostrando
grandes variaciones (e, i). Por que?
79/92
Difusion para q < 36 UA y crecimiento de q en resonancias
q crece en los objetos en resonancia (Fernandez et al. 2004).
(ver animacion)
80/92
Mcanismo KL y/o resonancias seculares DENTRO de la RMM
Gomes et al. 2005.
81/92
Curvas de nivel KL fuera de la resonancia
Curvas para objetos con a = a2:5 pero con angulo critico circulando (Gomes et al. 2005).
82/92
Curvas de nivel KL dentro de la resonancia 2:5
Curvas para objetos con a = a2:5 y con angulo critico oscilando con amplitud 120 (Gomes et al. 2005).
83/92
Trayectoria real
(Gomes et al. 2005).
84/92
Evolucion secular dentro de RMM
• cada RMM es un mundo nuevo con regiones donde dominan las resonancias seculares
o el KL
• se observa (Fernandez et al. 2004, Gomes et al. 2005, Gallardo 2006, Gomes et
al. 2008) que preferentemente en resonancias 1:N (de alto orden) apenas el TNO
entra en resonancia aparece el mecanismo KL aumentando el q y la i, disminuyendo
la e y colocando por largas escalas de tiempo al objeto en un lugar bien alejado de
los planetas (q ∼ 60 UA)
• al disminuir e puede romperse la resonancia y a su vez el KL quedando el TNO
congelado dinamicamente en una region apartada de los planetas (Detached Disk,
Fossilized, Extended SD)
• la ruptura de la resonancia pudo ocurrir tambien en el proceso de migracion
85/92
(1996).)
Resonancias seculares y mecanismo Kozai-Lidov en la RMM 2:3
0.35
0.3
Kozai
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
39
39.2
39.4
39.6
39.8
40
a (AU)
Localizacion de resonancias seculares y Kozai dentro de la RMM 2:3 (Morbidelli 1997).
Fig. 3. The major dynamical features in the vicinity of Nep-
Fig.
4. A
86/92
major ax
Estabilidad dentro de la RMM 2:3 (Morbidelli 1997).
87/92
Dinamica de encuentros
Una vez que el TNO encuentra a Neptuno se rompe la evolucion secular o resonante y
sigue un rapido proceso de evolucion estocastica manteniendo el parametro de Tisserand
(o la constante de Jacobi) aproximadamente constante:
T =
aN
+2
a
r
a
(1 − e2) cos i ∼ cte
aN
El perihelio mas o menos permanece en q ∼ aN hasta que el afelio se transforma en
perihelio y se ubica proximo a Urano iniciandose una evolucion por encuentros con Urano.
Luego sigue interaccion con Saturno y Jupiter.
Dinamica de Encuentros
88/92
Handling down
(Levison y Duncan 1997)
89/92
Conservacion de T
Levison y Duncan 1997
90/92
Referencias en orden de aparicion
• Libro The Solar System Beyond Neptune. De aqui son las referencias 2008
de Barucci et al, Gomes et al., Morbidelli et al., Petit et al., Davies et al.,
Doressoundiram et al. y Gladman et al.
• Libro Transneptunian Objects and Comets (Jewitt-Morbidelli-Rauer)
• Libro Solar System Dynamics, Murray y Dermott, 1999.
• Mitchenko y Ferraz-Mello 2001, AJ.
• Gallardo et al. 2010, en preparacion
• Hugo 2008, Trabajo Especial de Licenciatura.
• Thomas y Morbidelli 1996, CMDA
• Gladman et al. 2002, Icarus
• Gallardo 2006, Icarus
• Morbidelli et al. 1995, Icarus
Referencias
91/92
• Duncan et al. 1995, Icarus
• Fernandez e Ip 1984, Icarus
• Malhotra 1995, Icarus
• Tsiganis et al. 2005, Science
• Gomes et al. 2005, Science
• Gomes et al. 2005, CMDA
• Robutel y Laskar 2001, Icarus
• Nesvorny y Roig 2001, Icarus
• Lykawka y Mukai 2007, Icarus
• Fernandez et al. 2004, Icarus
• Morbidelli 1997, Icarus
Referencias
92/92

Dinámica de TNOs - Instituto de Física Facultad de Ciencias

Transcripción

Documentos relacionados

REUNIÓN DE ZONA SUR 8 DE MARZO EN HUEJUTLA, HGO.

Español - Instituto de Música UC - Pontificia Universidad Católica de