Formulas Sumas de Riemann y Teorema Fundamental del Calculo

Formulas Sumas de Riemann y Teorema Fundamental del Calculo

Formulas Sumas de Riemann y Teorema Fundamental
del Calculo Parte 1 y 2
30 de agosto de 2011
Como calcular ∆x y xk se utilizan las siguientes formulas ∆x = b−a
n y xk = a + k ∗ ∆x
donde a y b son el extremo inferior y superior respectivamente
del
intervalo
de integracion,
Pn
Pn
ademas de esto debemos conocer las formulas para i=1 i y i=1 i2 que son las siguientes;
Pn
i=1
i=
Pn
n(n+1)
2
i=1
i2 =
n(n+1)(2n+1)
6
Para efectos de las Sumas de Riemann se deben separar en varios casos dependiendo si la
funcion es creciente o decreciente y si se quieren calcular las sumas por exceso o defecto
como se enuncia acontinuacion;
Funcion Creciente por defecto
1.
Pn−1
2.
Pn
i=0
i=1
Funcion Creciente por exceso
f (xi )∆x
f (xi−1 )∆x
Funcion Decreciente por defecto
1.
Pn−1
2.
Pn
i=0
i=1
1.
Pn−1
2.
Pn
i=0
i=1
f (xi+1 )∆x
f (xi )∆x
Funcion Decreciente por exceso
f (xi+1 )∆x
f (xi )∆x
1.
Pn−1
2.
Pn
i=0
i=1
f (xi )∆x
f (xi−1 )∆x
Ejemplo;
Calcular la Integral de la funcion f (x) = 2 + x2 en el intervalo [1, 2] utilizando sumas de
Riemann por exceso.
Lo primero que identificamos es que la funcion es creciente en el intervalo dado para aplicar
la formula correcta ademas es de aclarar que si la funcion no es creciente o decreciente en
el intervalo dado se debe particionar el intervalo por sectores donde la funcion sea creciente
1
o decreciente, es claro que para este caso los valores son a = 1, b = 2 y en consecuencia
1
∆x = 2−1
n = n.
Pn−1
Pn−1
1 1
=
i=0 f 1 + (i + 1) n n
i=0 f (xi+1 )∆x
n→∞
=
1
n
Pn−1 i=0
2+ 1+
i+1 2
n
=
1
n
Pn−1 2+1+2
i+1
n
=
1
n
Pn−1 i=0
3+
2i+2
n
+
i2 +2i+1
n2
=
1
n
Pn−1 2i
n
+
2
n
+
i2
n2
+
2i
n2
+
1
n2
i=0
3+
=
1
n
Pn−1 3+
2
n
+
1
n2
+
2i
n
+
2i
n2
+
i2
n2
=
1
n
P
=
1
n
i=0
i=0
n−1
i=0
3+
3+
2
n
2
n
1
n2
+
=
3+
2
n
+
1
n2
n
=
3+
2
n
+
1
n2
1
n2
+
2
n
+
+
2
n
+
2
n2
(i+1)2
n2
+
+
2i
n
n+
+
n
2
n2
2i
n2
2
2
n
+
1
n2
+
2
n
+
2
n2
n
2
=
3+
2
n
+
1
n2
+
2n
2n
−
2
2n
+
2n
2n2
=
3+
2
n
+
1
n2
+1−
1
n
+
1
n
−
=
3+1+
13
3
2
(n−1)n
+
1 (n−1)n(2n−1)
n2
6
2
+
1
2
−
−
1
n2
2i
n2
2n
n−1
i2
i=0 n2
Pn−1
+
n(n−1)
3+
=
2i
n
i=0
=
1
3
Pn−1
+
1 n(n−1)(2n−1)
n2
6n
+
1 (n−1)(2n−1)
n2
6
+
2
2n2
+
+
1
3
1 2n2 −3n+1
n2
6
+
−
2n2
6n2
1
2n
−
+
3n
6n2
1
6n2
+
1
6n2
Pn
i=1
f (xi )∆x
n→∞
=
Pn
=
1
n
Pn
2+ 1+
=
1
n
Pn
2 + 1 + 2 ni +
=
1
n
Pn
i=1
2+1+
=
1
n
P
n
Pn
=
1
n
3n +
=
3n
n
=
3+
n+1
n
+
(n+1)(2n+1)
6n2
=
3+
n
n
1
n
+
=
3+1+
=
4+
1
n
=
4+
1
3
i=1
f 1 + i n1
i=1
i=1
i=1 3 +
+
i 2
n
2i
n
2 n(n+1)
n
2
+
+
i2
n2
i2
n2
+
2i
i=1 n
2 n(n+1)
n2
2
+
1
n
+
i2
i=1 n2
Pn
1 n(n+1)(2n+1)
n2
6
1 n(n+1)(2n+1)
n3
6
2n2 +3n+1
6n2
1
n
+
2n2
6n2
+
1
3
+
1
2n
=
13
3
+
+
3n
6n2
+
1
6n2
1
6n2
Teorema Fundamental del Calculo Parte 1: Si f es una funcion continua en [a, b] entonces para todo x tal que a ≤ x ≤ b la funcion g(x) definida como;
g(x) =
Rx
a
f (t)dt
es continua en [a, b] y diferenciable sobre (a, b), y g 0 (x) = f (x)
Ejemplo:
R
0
sin(x)
g 0 (x) = a
ln(t)dt = ln(sin(x))(sin(x))0 = ln(sin(x)) cos(x)
3
Teorema Fundamental del Calculo Parte 2: Si f es una funcion continua en [a, b] entonces;
Rb
a
f (t)dt = F (b) − F (a)
Donde F es una antiderivada de f es decir F 0 = f
Ejemplo:
2
(2
+
x
)dx
=
2x +
1
R2
x3
3
|21 = 2(2) +
23
3
− (2(1) +
4
13
3 )
=4+
8
3
−2−
1
3
=2+
7
3
=
13
3