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La Jerarquı́a Polinomial
IIC3242
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La Jerarquı́a Polinomial
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Motivación: Soluciones exactas
Al estudiar la clase NP consideramos preguntas “existenciales”:
I
¿Existe una asignación de verdad que satisface a una fórmula
proposicional?
I
¿Existe una solución entera para un sistema de ecuaciones
lineales enteras?
I
¿Existe un camino Hamiltoniano en un grafo?
¿Cambia la complejidad de estos problemas si hacemos preguntas
“exactas”?
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I
¿Existe exactamente una asignación de verdad que satisface a
una fórmula proposicional?
I
¿Cuál es la complejidad de este problema? ¿Está en NP?
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Soluciones exactas: La clase DP
Para responder a las preguntas anteriores necesitamos definir una
nueva clase de complejidad.
Idea detrás de esta clase: Noción de solución exacta se reduce a
hacer dos consultas.
I
¿Es cierto que existe una asignación de verdad que satisface la
fórmula proposicional ϕ?
I
¿Es cierto que no existen al menos dos asignaciones de verdad
que satisface ϕ?
Definición (Clase de complejidad DP)
L ∈ DP si y sólo si existen lenguajes L1 ∈ NP y L2 ∈ co-NP tales
que L = L1 ∩ L2 .
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unique-SAT y la clase DP
Una definición formal del primer problema que queremos estudiar:
unique-SAT = {ϕ | ϕ es una fórmula proposicional tal que
existe exactamente una asignación de verdad que satisface ϕ}
Ejercicio
Demuestre que unique-SAT ∈ DP.
¿Es unique-SAT completo para DP?
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I
Este es un problema abierto.
I
¿Existen problemas completos para esta clase?
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Un primer problema completo para DP
Sea 3-CNF-SAT-UNSAT el siguiente lenguaje:
3-CNF-SAT-UNSAT = {(ϕ, ψ) | ϕ y ψ son conjunciones
de 3-clausulas, ϕ es satisfacible y ψ no es satisfacible}
Teorema
3-CNF-SAT-UNSAT es DP-completo.
Ejercicio
Demuestre el teorema.
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Un problema natural que representan a DP
Notación
clique-number(G ) = máx{k | G tiene un clique de tamaño k}.
Usamos este número para definir dos problemas en grafos:
CLIQUE = {(G , k) | clique-number(G ) ≥ k}
exact-CLIQUE = {(G , k) | clique-number(G ) = k}
Ejercicio
¿Cuál es la complejidad de CLIQUE?
I
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¿Son distintas las complejidades de CLIQUE y exact-CLIQUE?
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Un problema natural que representan a DP
Teorema
exact-CLIQUE es DP-completo.
Ejercicio
Demuestre el teorema.
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La relación entre NP y DP
Es fácil ver que NP ⊆ DP y co-NP ⊆ DP.
I
¿Cómo se demuestra esto?
¿Cuál es la relación entre NP y DP?
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I
¿Es NP 6= DP?
I
Este es un problema abierto, y hay una buena explicación de
porque.
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La relación entre NP y DP
Teorema
NP = DP si y sólo si NP = co-NP.
Demostración: (⇐) Suponga que NP = co-NP.
Si L ∈ DP: L = L1 ∩ L2 , con L1 ∈ NP y L2 ∈ co-NP.
I
Por hipótesis: L2 ∈ NP.
Por lo tanto: L = L1 ∩ L2 , con L1 , L2 ∈ NP.
Pero NP es cerrado bajo intersección.
I
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Concluimos que L ∈ NP.
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La relación entre NP y DP
(⇒) Suponga que NP = DP.
Como co-NP ⊆ DP: co-NP ⊆ NP.
Por lo que también tenemos que NP ⊆ co-NP:
L ∈ NP
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⇒
⇒
⇒
L ∈ co-NP
L ∈ NP
L ∈ co-NP
(ya que co-NP ⊆ NP)
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