Software de generadores caóticos

Software de generadores caóticos
Liliana CARDOZA, Rosa Martha LÓPEZ, José Antonio MICHEL, Adrian ARELLANO, Oscar ACOSTA,
Facultad de Ingeniería Ensenada, Universidad Autónoma de Baja California
Ensenada, Baja California, CP 22860, México
Cesar CRUZ
Centro de Investigación Científica y de Educación Superior de Ensenada
Ensenada, Baja California, C.P. 22860, México
RESUMEN
mayor seguridad y privacidad a la hora de transmitir
Este trabajo versa en un software que muestra diferentes
generadores caóticos, tanto en tiempo continuo como en tiempo
discreto. Este software te da la opción de obtener diferentes
señales , variando las condiciones iníciales e incluso variando
los parámetros críticos de los diferentes modelos. también
podemos con este software encriptar información confidencia,
con diferentes modelos, así como validar el caos del modelo.
Palabras Claves: Criptografía, atractor caótico, software,
información confidencial. Los sistemas caóticos son ideales
para esta aplicación.
Los sistemas caóticos [1]-[5] son de gran motivación para el
encriptado de información.
Lo
interesante
de
este
software
es
que
muestra
el
comportamiento de las diferentes señales caóticas variando los
paramentaros críticos, las condiciones iníciales tanto en tiempo
continuo como en tiempo discreto.
comunicación, caos.
.
2. GENERADOR DE SEÑALES CAOTICAS
1. INTRODUCCIÓN
CONTINUOS
La teoría del caos describe el comportamiento de determinados
sistemas dinámicos que pueden exhibir dinámicas altamente
sensibles a condiciones iníciales, popularmente esto es conocido
como efecto mariposa. Como resultado de esta sensibilidad, el
comportamiento de los sistemas caóticos puede ser aleatorio. La
dinámica de estos sistemas están definidos por sus condiciones
inicial.
Este
comportamiento
es
conocido
como
caos
Existen diferentes modelos con dinámicas caóticas en tiempo
continuo. Ellos utilizan diferentes ecuaciones que exhiben
dinámicas caóticas asociadas con la propiedad fractal del
atractor.
Los modelos de sistemas caóticos en tiempo continuo [6]-[9]
utilizados en este software son:
•
Modelo de Lorenz
El comportamiento caótico es observado con regularidad en
•
Modelo de Chua
sistemas naturales, como en el clima. Esto puede ser explicado
•
Modelo de Rössler
por la teoría del caos analizando su modelo matemático el cual
•
Modelo Hipercaotico de Chua
contiene las leyes físicas del sistema.
•
Modelo Unificado
El comportamiento caótico ocurre en diferentes aéreas
•
Modelo New Five
particularmente en Ingeniería, en comunicaciones como por
•
Modelo Nd:YAG
deterministico o simplemente caos.
ejemplo en la transmisión de información juega un papel muy
Los modelos de sistemas caóticos en tiempo discreto [10]-[12]
importante debido a la creciente demanda los usuarios requieren
utilizados en el software son:
•
Mapeo de Henon
•
Mapeo Logistic
•
Mapeo Badola
•
Mapeo Ikeda
•
Mapeo Sistema 2D
3. SIMULACIONES
Generadores caóticos
Primeramente, se desarrollo el software para resolver y graficar
diferentes generadores caóticos antes mencionados, Este
programa fue realizado en Matlab. La pantalla principal
Figura 3. Pantalla de sistemas caóticos discretos
presenta dos opciones, modelos continuos y modelos discretos
(ver Figura1). En la figura 2 se muestran 7 diferentes modelos
La figura 4 ilustra el modelo de Lorenz, en esta pantalla se
continuos y en la figura 3 se muestran 5 modelos discretos.
muestra el tiempo inicial y el tiempo final , las condiciones
iníciales, los parámetros y la ecuación para este modelo. En esta
pantalla es posible cambiar los valores, para poder ver el
comportamiento de los estados del modelo.
Cuando el programa termina de procesar la información, se
habilita los botones para poder graficar las variables respecto al
tiempo o la fase entre dos o tres variables. En la figura 5 se
muestra un ejemplo.
Figura 1. Pantalla principal
Figura 4. Pantalla del modelo de Lorenz
Figura 2. Pantalla de sistemas caóticos continuos
40
60
40
X3
X2
20
0
20
−20
−40
−20
−10
0
X1
10
0
−20
20
−10
0
X1
10
20
60
50
X3
X3
40
20
0
−40
0
50
−20
0
X2
20
40
0
X2 −50 −20
20
0
X1
Figura 5. Atractores de Lorenz
Figura 7. Encriptamiento de información con el modelo de
Lorenz
Lo mismo que se hace con este modelo se puede aplicar para el
resto de los modelos.
El esquema para encriptar un mensaje se ilustra en la figura 8,
utilizando un canal para sincronizar al transmisor y al receptor y
Aplicación de los generadores caóticos
un segundo canal es utilizado para adherir el mensaje, en este
caso en particular se utiliza una onda senoidal como mensaje.
Los modelos presentados previamente tiene aplicación a las
comunicaciones secretas. La pantalla principal muestra la
opción para encriptar información con modelos continuos
(figura 6).
Figura 8. Esquema de comunicación
Finalmente, se puede decidir que se quiere graficar, ya sea el
mensaje original, el mensaje recuperado, la señal transmitida, el
error entre el mensaje original y el mensaje recuperado o todas
las anterior (figura 9), otra opción que da este software es
graficar el error de sincronización (figura 10).
Figura 6. Encriptamiento de información
Por ejemplo , si seleccionamos el modelo de Lorenz, para este
ejemplo de comunicación en especifico, abrirá una pantalla
como se muestra en la figura 7. En esta pantalla se tiene la
opción de variar los parámetros, el tiempo y el mensaje.
5. CONCLUSIONES
Este software es una herramienta muy útil para ilustrar los
diferentes generadores caóticos. Con este software es posible
apreciar el comportamiento de algún modelo cuando variamos
sus parámetros.
Los parámetros críticos son una opción que podemos variar en
este software, ya que existe un rango de valores para que
trabajen en régimen caótico y si se salen de ese rango el sistema
Figura 9. Pantalla de la grafica del mensaje
deja de trabajar en régimen caótico.
6. BIBLIOGRAFÍA
Figura 10. Pantalla de la grafica de sincronización
Por último en la figura 11, mostramos el mensaje original, la
señal transmitida, el mensaje recuperado y el error entre el
mensaje original y el mensaje recuperado.
Ciphertext
40
0.05
20
c(t)
m(t)
Message
0.1
0
−0.05
−20
0
500
time
Retrieved message
−40
1000
0.1
0.1
0.05
0.05
Error(t)
m:(t)
−0.1
0
0
−0.05
−0.1
0
500
time
Error message
1000
0
500
time
1000
0
−0.05
0
500
time
1000
−0.1
Figura 11. Mensaje Encriptado
[1] L. M. Pecora and T. L. Carroll, "Circuit implementation of
synchronizedchaos with applications to communications," Phys.
Rev. A44, (1991).
[2] Special Issue on Chaos synchronization and control: Theory
and applications IEEE Trans. Circuits Syst. I, 44, (1997).
[3] C. Cruz-Hernández and H. Nijmeijer, "Synchronization
through filtering," Int. J. Bifurc. Chaos, 10, 763-775 (2000).
Synchronization through extended Kalman filtering. In:
Nijmeijer H, Fossen TI, editors. New trends in nonlinear
observer design. Lecture notes in control and information
sciences, 244 London: Springer; 469–490, (1999).
[4] H. Sira-Ramírez and C. Cruz-Hernández, "Synchronization
of chaotic systems: a generalized Hamiltonian systems
approach," Int. J. Bifurc. Chaos, 11, 1381-1395 (2001). And in:
Proceedings of the American Control Conference, Chicago,
USA, 769–773 (2000).
[5] D. López-Mancilla and C. Cruz-Hernández, "Output
synchronization of chaotic systems: model-matching approach
with application to secure communication," Nonlinear
Dynamics and Systems Theory, 5, 141-15 (2005).
[6] Lorenz, E. N. , "Deterministic nonperiodic flow". J. Atmos.
Sci. 20: 130-140, (1963).
[7] Matsumoto, Takashi , "A Chaotic Attractor from Chua's
Circuit". IEEE Transactions on Circuits and Systems (IEEE)
CAS-31 (12): 1055-1058.(1984).
[8] Madan, Rabinder N., “Chua's circuit: a paradigm for chaos”.
River Edge, N.J. World Scientific Publishing Company. ISBN
9810213662, (1993).
[9] O. E. Rössler, "An Equation for Continuous Chaos". Physics
Letters 57A (5): 397–398M., (1976).
[10] Hénon, "A two-dimensional mapping with a strange
attractor".Communications in Mathematical Physics 50: 69–77,
(1976).
[11] Eric W. Weisstein, Logistic Equation at MathWorld.
[12] R.M. May, "Simple mathematical models with very
complicated dynamics". Nature 261: 459, 1976.
[13] Moon F.C. [1992] CHAOTIC AND FRACTAL
DYNAMICS An introduction for Applied Scientists and
Engineering, JohnWiley & Sons Inc.