Sistemas de Prestación Definida

Modelos Estocásticos para los Sistemas
Pensionales de Prestación Definida
y de Ahorro Individual
Dı́a 2: Prestación Definida
.
Minicurso para el IX Coloquio Internacional de Estadı́stica
“Métodos Estadı́sticos Aplicados a Finanzas y Salud”
Medellı́n, Junio 29 - Julio 2, 2012
Norman Giraldo
Escuela de Estadı́stica
Universidad Nacional de Colombia
1 /34
Contenido del Curso
1. Definición
2. Elementos de un Sistema de Prestación Definida.
3. Ecuación de Evolución de la Reserva.
4. Métodos de Financiamiento en Prestación Definida.
5. Algo de Historia.
6. Una Nota sobre Control Optimo Estocástico aplicado a los
Sistemas de Prestación Definida.
2 /34
Contenido del Curso
1. Definición
2. Elementos de un Sistema de Prestación Definida.
3. Ecuación de Evolución de la Reserva.
4. Métodos de Financiamiento en Prestación Definida.
5. Algo de Historia.
6. Una Nota sobre Control Optimo Estocástico aplicado a los
Sistemas de Prestación Definida.
2 /34
Contenido del Curso
1. Definición
2. Elementos de un Sistema de Prestación Definida.
3. Ecuación de Evolución de la Reserva.
4. Métodos de Financiamiento en Prestación Definida.
5. Algo de Historia.
6. Una Nota sobre Control Optimo Estocástico aplicado a los
Sistemas de Prestación Definida.
2 /34
Contenido del Curso
1. Definición
2. Elementos de un Sistema de Prestación Definida.
3. Ecuación de Evolución de la Reserva.
4. Métodos de Financiamiento en Prestación Definida.
5. Algo de Historia.
6. Una Nota sobre Control Optimo Estocástico aplicado a los
Sistemas de Prestación Definida.
2 /34
Contenido del Curso
1. Definición
2. Elementos de un Sistema de Prestación Definida.
3. Ecuación de Evolución de la Reserva.
4. Métodos de Financiamiento en Prestación Definida.
5. Algo de Historia.
6. Una Nota sobre Control Optimo Estocástico aplicado a los
Sistemas de Prestación Definida.
2 /34
Contenido del Curso
1. Definición
2. Elementos de un Sistema de Prestación Definida.
3. Ecuación de Evolución de la Reserva.
4. Métodos de Financiamiento en Prestación Definida.
5. Algo de Historia.
6. Una Nota sobre Control Optimo Estocástico aplicado a los
Sistemas de Prestación Definida.
2 /34
Introducción.
◮
El objetivo de este capı́tulo es dar los conceptos actuariales
necesarios para entender el debate contra el sistema de prima
media con prestación definida.
◮
Se incluyen también algunas notas sobre la historia de la
regulación de las pensiones en Colombia.
◮
En los desarrollos recientes se plantea la cuestión del efecto de
la introducción de tasas variables para las reservas y el cálculo
de las cotizaciones mediante técnicas de control óptimo
estocástico.
3 /34
Introducción.
◮
El objetivo de este capı́tulo es dar los conceptos actuariales
necesarios para entender el debate contra el sistema de prima
media con prestación definida.
◮
Se incluyen también algunas notas sobre la historia de la
regulación de las pensiones en Colombia.
◮
En los desarrollos recientes se plantea la cuestión del efecto de
la introducción de tasas variables para las reservas y el cálculo
de las cotizaciones mediante técnicas de control óptimo
estocástico.
3 /34
Introducción.
◮
El objetivo de este capı́tulo es dar los conceptos actuariales
necesarios para entender el debate contra el sistema de prima
media con prestación definida.
◮
Se incluyen también algunas notas sobre la historia de la
regulación de las pensiones en Colombia.
◮
En los desarrollos recientes se plantea la cuestión del efecto de
la introducción de tasas variables para las reservas y el cálculo
de las cotizaciones mediante técnicas de control óptimo
estocástico.
3 /34
Definición de un Sistema de Prestación Definida
◮
Un sistema pensional de Prestación Definida (Defined Benefit
= DB) es un plan en el que el monto de la jubilación se
determina mediante una fórmula pre-establecida, en lugar de
ser una cantidad que depende del ahorro y los rendimientos de
los mismos.
◮
El sistema de Prima Media con Prestación Definida es uno de
los dos sistemas aprobados en la Ley 100/93. El otro es el
sistema de Ahorro Individual.
◮
Nótese que se define como Prestación Definida (= fórmula
para monto de la pensión) + Prima Media (= fórmula para
pago de las cotizaciones B(t)).
4 /34
Definición de un Sistema de Prestación Definida
◮
Un sistema pensional de Prestación Definida (Defined Benefit
= DB) es un plan en el que el monto de la jubilación se
determina mediante una fórmula pre-establecida, en lugar de
ser una cantidad que depende del ahorro y los rendimientos de
los mismos.
◮
El sistema de Prima Media con Prestación Definida es uno de
los dos sistemas aprobados en la Ley 100/93. El otro es el
sistema de Ahorro Individual.
◮
Nótese que se define como Prestación Definida (= fórmula
para monto de la pensión) + Prima Media (= fórmula para
pago de las cotizaciones B(t)).
4 /34
Definición de un Sistema de Prestación Definida
◮
Un sistema pensional de Prestación Definida (Defined Benefit
= DB) es un plan en el que el monto de la jubilación se
determina mediante una fórmula pre-establecida, en lugar de
ser una cantidad que depende del ahorro y los rendimientos de
los mismos.
◮
El sistema de Prima Media con Prestación Definida es uno de
los dos sistemas aprobados en la Ley 100/93. El otro es el
sistema de Ahorro Individual.
◮
Nótese que se define como Prestación Definida (= fórmula
para monto de la pensión) + Prima Media (= fórmula para
pago de las cotizaciones B(t)).
4 /34
Era un sistema muy utilizado...
◮
“En 1988 la mayorı́a de los sistemas de pensiones privados en
los EUA participaban en planes de beneficio definido. Habı́an
excepciones notables: instituciones educativas y sin ánimo de
lucro habı́an favorecido opciones de pensiones en contribución
definida, más que todo debido a las excepciones tributarias de
que gozaban, según la sección 403(b) del IRC”, ver Allen et
al., pag. 40, (1 )
◮
Hay que enfatizar que el sistema garantiza una renta vitalicia
con el monto prefijado para la pensión del primer año,
◮
Con incrementos anuales por IPC ó por incremento del salario
mı́nimo legal mensual.
1
Allen,E. et al. (1988) Pension Plannig. Irwin
5 /34
Era un sistema muy utilizado...
◮
“En 1988 la mayorı́a de los sistemas de pensiones privados en
los EUA participaban en planes de beneficio definido. Habı́an
excepciones notables: instituciones educativas y sin ánimo de
lucro habı́an favorecido opciones de pensiones en contribución
definida, más que todo debido a las excepciones tributarias de
que gozaban, según la sección 403(b) del IRC”, ver Allen et
al., pag. 40, (1 )
◮
Hay que enfatizar que el sistema garantiza una renta vitalicia
con el monto prefijado para la pensión del primer año,
◮
Con incrementos anuales por IPC ó por incremento del salario
mı́nimo legal mensual.
1
Allen,E. et al. (1988) Pension Plannig. Irwin
5 /34
Era un sistema muy utilizado...
◮
“En 1988 la mayorı́a de los sistemas de pensiones privados en
los EUA participaban en planes de beneficio definido. Habı́an
excepciones notables: instituciones educativas y sin ánimo de
lucro habı́an favorecido opciones de pensiones en contribución
definida, más que todo debido a las excepciones tributarias de
que gozaban, según la sección 403(b) del IRC”, ver Allen et
al., pag. 40, (1 )
◮
Hay que enfatizar que el sistema garantiza una renta vitalicia
con el monto prefijado para la pensión del primer año,
◮
Con incrementos anuales por IPC ó por incremento del salario
mı́nimo legal mensual.
1
Allen,E. et al. (1988) Pension Plannig. Irwin
5 /34
Una Clasificación de los Sistema de Prestación Definida
Los Sistemas pensionales de Prestación Definida se pueden
clasificar según Iyer 2 en
◮ Pensiones del Sector Público
◮
◮
◮
Con reservas. Sometidas a una capitalización, con cotizaciones
definidas, por ejemplo, mediante los Sistemas de Prima Media
y Prima Escalonada.
Sin reservas. El caso del Sistema de Reparto Simple
(Pay-as-you-go ó PAYGO).
Pensiones del Sector Privado
◮
Con reservas. Sometidas a una capitalización, con cotizaciones
defindas, por ejemplo, mediante los Sistemas de Repartición de
Prestaciones, otros.
2
Iyer, S. (1999), Actuarial Mathematics of Social Security Pensions.
Geneva, International Labour Office/International Social Security Association
6 /34
El monto de la Jubilación
◮
El monto de la jubilación en un plan de pensiones de PD se
determina mediante una fórmula que puede incorporar el
salario del empleado, los años de empleo, a la edad de
jubilación, y otros factores.
◮
Ejemplo 1: Un plan que ofrece 100 dólares al mes por año de
servicio. Es decir, 3.000 USD por mes para un jubilado con 30
años de servicio. Este tipo de plan es muy popular entre los
trabajadores sindicalizados en EUA. pero...
◮
Ejemplo 2: En el denominado “sistema de salario final” (final
salary) el salario promedio de los últimos años de la carrera de
un empleado determina el monto de la pensión al multiplicarse
por un factor que depende del número de semanas cotizadas,
denominado tasa de reemplazo.
◮
Este es el sistema del Sistema de PMPD de la Ley 100/93. A
continuación se muestran las fórmulas.
7 /34
El monto de la Jubilación
◮
El monto de la jubilación en un plan de pensiones de PD se
determina mediante una fórmula que puede incorporar el
salario del empleado, los años de empleo, a la edad de
jubilación, y otros factores.
◮
Ejemplo 1: Un plan que ofrece 100 dólares al mes por año de
servicio. Es decir, 3.000 USD por mes para un jubilado con 30
años de servicio. Este tipo de plan es muy popular entre los
trabajadores sindicalizados en EUA. pero...
◮
Ejemplo 2: En el denominado “sistema de salario final” (final
salary) el salario promedio de los últimos años de la carrera de
un empleado determina el monto de la pensión al multiplicarse
por un factor que depende del número de semanas cotizadas,
denominado tasa de reemplazo.
◮
Este es el sistema del Sistema de PMPD de la Ley 100/93. A
continuación se muestran las fórmulas.
7 /34
El monto de la Jubilación
◮
El monto de la jubilación en un plan de pensiones de PD se
determina mediante una fórmula que puede incorporar el
salario del empleado, los años de empleo, a la edad de
jubilación, y otros factores.
◮
Ejemplo 1: Un plan que ofrece 100 dólares al mes por año de
servicio. Es decir, 3.000 USD por mes para un jubilado con 30
años de servicio. Este tipo de plan es muy popular entre los
trabajadores sindicalizados en EUA. pero...
◮
Ejemplo 2: En el denominado “sistema de salario final” (final
salary) el salario promedio de los últimos años de la carrera de
un empleado determina el monto de la pensión al multiplicarse
por un factor que depende del número de semanas cotizadas,
denominado tasa de reemplazo.
◮
Este es el sistema del Sistema de PMPD de la Ley 100/93. A
continuación se muestran las fórmulas.
7 /34
El monto de la Jubilación
◮
El monto de la jubilación en un plan de pensiones de PD se
determina mediante una fórmula que puede incorporar el
salario del empleado, los años de empleo, a la edad de
jubilación, y otros factores.
◮
Ejemplo 1: Un plan que ofrece 100 dólares al mes por año de
servicio. Es decir, 3.000 USD por mes para un jubilado con 30
años de servicio. Este tipo de plan es muy popular entre los
trabajadores sindicalizados en EUA. pero...
◮
Ejemplo 2: En el denominado “sistema de salario final” (final
salary) el salario promedio de los últimos años de la carrera de
un empleado determina el monto de la pensión al multiplicarse
por un factor que depende del número de semanas cotizadas,
denominado tasa de reemplazo.
◮
Este es el sistema del Sistema de PMPD de la Ley 100/93. A
continuación se muestran las fórmulas.
7 /34
El Ingreso Base de Liquidación
◮
El ingreso base de liquidación a la edad x, IBL(x), se define
como el promedio de los últimos n salarios anuales
actualizados por inflación:
1 Xx−1
(1 + i∆ )x−1−j Sj
(1)
j=x−1−(n−1)
n
donde n ≥ 1 indica número de años anteriores para calcular el
promedio. En el caso de la Ley 100/93 es n = 10.
IBL(x) =
◮
◮
La tasa i∆ es el ipc anual y Sj es el salario anual del afiliado
durante el año en el cual tiene edad j.
8 /34
El Ingreso Base de Liquidación
◮
El ingreso base de liquidación a la edad x, IBL(x), se define
como el promedio de los últimos n salarios anuales
actualizados por inflación:
1 Xx−1
(1 + i∆ )x−1−j Sj
(1)
j=x−1−(n−1)
n
donde n ≥ 1 indica número de años anteriores para calcular el
promedio. En el caso de la Ley 100/93 es n = 10.
IBL(x) =
◮
◮
La tasa i∆ es el ipc anual y Sj es el salario anual del afiliado
durante el año en el cual tiene edad j.
8 /34
El Ingreso Base de Liquidación
◮
El ingreso base de liquidación a la edad x, IBL(x), se define
como el promedio de los últimos n salarios anuales
actualizados por inflación:
1 Xx−1
(1 + i∆ )x−1−j Sj
(1)
j=x−1−(n−1)
n
donde n ≥ 1 indica número de años anteriores para calcular el
promedio. En el caso de la Ley 100/93 es n = 10.
IBL(x) =
◮
◮
La tasa i∆ es el ipc anual y Sj es el salario anual del afiliado
durante el año en el cual tiene edad j.
8 /34
Beneficio acumulado o pensión acumulada
◮
La función de beneficio acumulado o pensión acumulada, Bx ,
del cotizante de edad x está definida por:
Bx = b(x − e)IBL(x)
(2)
donde b(x − e) es el porcentaje acumulado ó tasa de
reemplazo hasta la edad x en función del número de años
laborados x − e.
◮
◮
Según la Ley 100 la expresión para la función b(x − e) es:

 0.25 + 0.0004(52)(x − e) si 0 < 52(x − e) ≤ 1200
0.01 + 0.0006(52)(x − e) si 1200 < 52(x − e) ≤ 1400
=

0.85
si 1400 < 52(x − e)
El monto de la pensión a la edad de jubilación r se calcula
como Br .
9 /34
Beneficio acumulado o pensión acumulada
◮
La función de beneficio acumulado o pensión acumulada, Bx ,
del cotizante de edad x está definida por:
Bx = b(x − e)IBL(x)
(2)
donde b(x − e) es el porcentaje acumulado ó tasa de
reemplazo hasta la edad x en función del número de años
laborados x − e.
◮
◮
Según la Ley 100 la expresión para la función b(x − e) es:

 0.25 + 0.0004(52)(x − e) si 0 < 52(x − e) ≤ 1200
0.01 + 0.0006(52)(x − e) si 1200 < 52(x − e) ≤ 1400
=

0.85
si 1400 < 52(x − e)
El monto de la pensión a la edad de jubilación r se calcula
como Br .
9 /34
Beneficio acumulado o pensión acumulada
◮
La función de beneficio acumulado o pensión acumulada, Bx ,
del cotizante de edad x está definida por:
Bx = b(x − e)IBL(x)
(2)
donde b(x − e) es el porcentaje acumulado ó tasa de
reemplazo hasta la edad x en función del número de años
laborados x − e.
◮
◮
Según la Ley 100 la expresión para la función b(x − e) es:

 0.25 + 0.0004(52)(x − e) si 0 < 52(x − e) ≤ 1200
0.01 + 0.0006(52)(x − e) si 1200 < 52(x − e) ≤ 1400
=

0.85
si 1400 < 52(x − e)
El monto de la pensión a la edad de jubilación r se calcula
como Br .
9 /34
Modelo para Evolución de las Reservas en un Sistema de
Retiro Programado (1)
◮
El modelo siguiente para la evolución de las reservas en un
sistema de riesgos abierto, es decir, en el caso de un sistema
pensional público, se base en las siguientes variables,
dependientes del tiempo, posiblemente estocásticas, ver pag.
V-14, en (3 ).
◮
A(t) = es la tasa de recaudos por concepto Rde primas ó
t
cotizaciones, por unidad de tiempo, tal que s A(u)du es el
total recaudado en el intervalo de tiempo [s, t].
◮
S(t) = es la suma de los salarios de los cotizantes al tiempo t.
3
Thullen, P. (1974). Techniques actuarielles de la Securite Sociale. BIT
Geneve
10 /34
Modelo para Evolución de las Reservas en un Sistema de
Retiro Programado (1)
◮
El modelo siguiente para la evolución de las reservas en un
sistema de riesgos abierto, es decir, en el caso de un sistema
pensional público, se base en las siguientes variables,
dependientes del tiempo, posiblemente estocásticas, ver pag.
V-14, en (3 ).
◮
A(t) = es la tasa de recaudos por concepto Rde primas ó
t
cotizaciones, por unidad de tiempo, tal que s A(u)du es el
total recaudado en el intervalo de tiempo [s, t].
◮
S(t) = es la suma de los salarios de los cotizantes al tiempo t.
3
Thullen, P. (1974). Techniques actuarielles de la Securite Sociale. BIT
Geneve
10 /34
Modelo para Evolución de las Reservas en un Sistema de
Retiro Programado (1)
◮
El modelo siguiente para la evolución de las reservas en un
sistema de riesgos abierto, es decir, en el caso de un sistema
pensional público, se base en las siguientes variables,
dependientes del tiempo, posiblemente estocásticas, ver pag.
V-14, en (3 ).
◮
A(t) = es la tasa de recaudos por concepto Rde primas ó
t
cotizaciones, por unidad de tiempo, tal que s A(u)du es el
total recaudado en el intervalo de tiempo [s, t].
◮
S(t) = es la suma de los salarios de los cotizantes al tiempo t.
3
Thullen, P. (1974). Techniques actuarielles de la Securite Sociale. BIT
Geneve
10 /34
Modelo para Evolución de las Reservas en un Sistema de
Retiro Programado (2)
◮
Rt
B(t) = es la tasa de pagos al tiempo t tal que s B(u)du es
el total de pagos realizados en el intervalo [s, t]. Excluyendo
gastos de administración.
◮
V (t) = es la reserva al tiempo t. Es un capital colocada a una
tasa de rendimiento en un fondo ó portafolio, y del cual se
pagan las mesadas pensionales.
◮
δ(t)
R t = es la tasa continua (ó intensidad) de interés. Tal que
s V (u)δ(u)du es el interés obtenido en el intervalo [s, t] por
la reserva.
11 /34
Modelo para Evolución de las Reservas en un Sistema de
Retiro Programado (2)
◮
Rt
B(t) = es la tasa de pagos al tiempo t tal que s B(u)du es
el total de pagos realizados en el intervalo [s, t]. Excluyendo
gastos de administración.
◮
V (t) = es la reserva al tiempo t. Es un capital colocada a una
tasa de rendimiento en un fondo ó portafolio, y del cual se
pagan las mesadas pensionales.
◮
δ(t)
R t = es la tasa continua (ó intensidad) de interés. Tal que
s V (u)δ(u)du es el interés obtenido en el intervalo [s, t] por
la reserva.
11 /34
Modelo para Evolución de las Reservas en un Sistema de
Retiro Programado (2)
◮
Rt
B(t) = es la tasa de pagos al tiempo t tal que s B(u)du es
el total de pagos realizados en el intervalo [s, t]. Excluyendo
gastos de administración.
◮
V (t) = es la reserva al tiempo t. Es un capital colocada a una
tasa de rendimiento en un fondo ó portafolio, y del cual se
pagan las mesadas pensionales.
◮
δ(t)
R t = es la tasa continua (ó intensidad) de interés. Tal que
s V (u)δ(u)du es el interés obtenido en el intervalo [s, t] por
la reserva.
11 /34
La Ecuación para la Evolución de las Reservas
◮
La ecuación para la evolución de las reservas, introducida
según Thullen (1974), pag V-16, por Zelenka en 1956, (4 ), y
es
V ′ (t) = δ(t)V (t) + A(t) − B(t),
(3)
◮
Donde se asume que V (0) = 0 para un sistema nuevo. En un
sistema pensional maduro se asume
Z ∞
Ru
(B(u) − A(u))e− 0 δ(t)dt du.
V (0) =
0
◮
En un sistema de amortización la reserva Vt debe cumplir una
condición de cierre al final de un perı́odo [0, T ].
◮
En (3) la reserva Vt debe ser un proceso controlado.
4
Zelenka, A. (1956) Quelques remarques sur le régime financier. 1er
Conference Internationale des actuaries et statisticiens de la securité sociale.
Bruxelle.
12 /34
La Ecuación para la Evolución de las Reservas
◮
La ecuación para la evolución de las reservas, introducida
según Thullen (1974), pag V-16, por Zelenka en 1956, (4 ), y
es
V ′ (t) = δ(t)V (t) + A(t) − B(t),
(3)
◮
Donde se asume que V (0) = 0 para un sistema nuevo. En un
sistema pensional maduro se asume
Z ∞
Ru
(B(u) − A(u))e− 0 δ(t)dt du.
V (0) =
0
◮
En un sistema de amortización la reserva Vt debe cumplir una
condición de cierre al final de un perı́odo [0, T ].
◮
En (3) la reserva Vt debe ser un proceso controlado.
4
Zelenka, A. (1956) Quelques remarques sur le régime financier. 1er
Conference Internationale des actuaries et statisticiens de la securité sociale.
Bruxelle.
12 /34
La Ecuación para la Evolución de las Reservas
◮
La ecuación para la evolución de las reservas, introducida
según Thullen (1974), pag V-16, por Zelenka en 1956, (4 ), y
es
V ′ (t) = δ(t)V (t) + A(t) − B(t),
(3)
◮
Donde se asume que V (0) = 0 para un sistema nuevo. En un
sistema pensional maduro se asume
Z ∞
Ru
(B(u) − A(u))e− 0 δ(t)dt du.
V (0) =
0
◮
En un sistema de amortización la reserva Vt debe cumplir una
condición de cierre al final de un perı́odo [0, T ].
◮
En (3) la reserva Vt debe ser un proceso controlado.
4
Zelenka, A. (1956) Quelques remarques sur le régime financier. 1er
Conference Internationale des actuaries et statisticiens de la securité sociale.
Bruxelle.
12 /34
La Ecuación para la Evolución de las Reservas
◮
La ecuación para la evolución de las reservas, introducida
según Thullen (1974), pag V-16, por Zelenka en 1956, (4 ), y
es
V ′ (t) = δ(t)V (t) + A(t) − B(t),
(3)
◮
Donde se asume que V (0) = 0 para un sistema nuevo. En un
sistema pensional maduro se asume
Z ∞
Ru
(B(u) − A(u))e− 0 δ(t)dt du.
V (0) =
0
◮
En un sistema de amortización la reserva Vt debe cumplir una
condición de cierre al final de un perı́odo [0, T ].
◮
En (3) la reserva Vt debe ser un proceso controlado.
4
Zelenka, A. (1956) Quelques remarques sur le régime financier. 1er
Conference Internationale des actuaries et statisticiens de la securité sociale.
Bruxelle.
12 /34
Solución de la Ecuación para la Evolución de las Reservas
◮
Rt
Denote Λ(t) = 0 δ(u)du. La solución de (3) está dada por la
fórmula en la versión retrospectiva
Z t
V (t) = eΛ(t) V (0) +
[A(u) − B(u)]eΛ(t)−Λ(u) du
(4)
0
◮
ó también por la fórmula en la versión prospectiva
Z ∞
[B(u) − A(u)]eΛ(t)−Λ(u) du
V (t) =
t
13 /34
(5)
Solución de la Ecuación para la Evolución de las Reservas
◮
Rt
Denote Λ(t) = 0 δ(u)du. La solución de (3) está dada por la
fórmula en la versión retrospectiva
Z t
V (t) = eΛ(t) V (0) +
[A(u) − B(u)]eΛ(t)−Λ(u) du
(4)
0
◮
ó también por la fórmula en la versión prospectiva
Z ∞
[B(u) − A(u)]eΛ(t)−Λ(u) du
V (t) =
t
13 /34
(5)
Control de Estabilidad de la Reserva
◮
Al reemplazar A(t) = Π(t)S(t) se introduce la variable clave:
la tasa de cotización Π(t).
◮
Porque es mediante su especificación que se puede introducir
un control sobre la reserva.
◮
La otra variable de control es la tasa δ(t) que depende del
manejo del portafolio de inversiones.
◮
La tasa de cotización es un porcentaje del salario. En la Ley
100/93 es 0.1% que va directamente a la reserva.
14 /34
Control de Estabilidad de la Reserva
◮
Al reemplazar A(t) = Π(t)S(t) se introduce la variable clave:
la tasa de cotización Π(t).
◮
Porque es mediante su especificación que se puede introducir
un control sobre la reserva.
◮
La otra variable de control es la tasa δ(t) que depende del
manejo del portafolio de inversiones.
◮
La tasa de cotización es un porcentaje del salario. En la Ley
100/93 es 0.1% que va directamente a la reserva.
14 /34
Control de Estabilidad de la Reserva
◮
Al reemplazar A(t) = Π(t)S(t) se introduce la variable clave:
la tasa de cotización Π(t).
◮
Porque es mediante su especificación que se puede introducir
un control sobre la reserva.
◮
La otra variable de control es la tasa δ(t) que depende del
manejo del portafolio de inversiones.
◮
La tasa de cotización es un porcentaje del salario. En la Ley
100/93 es 0.1% que va directamente a la reserva.
14 /34
Control de Estabilidad de la Reserva
◮
Al reemplazar A(t) = Π(t)S(t) se introduce la variable clave:
la tasa de cotización Π(t).
◮
Porque es mediante su especificación que se puede introducir
un control sobre la reserva.
◮
La otra variable de control es la tasa δ(t) que depende del
manejo del portafolio de inversiones.
◮
La tasa de cotización es un porcentaje del salario. En la Ley
100/93 es 0.1% que va directamente a la reserva.
14 /34
Control de Estabilidad de la Reserva (2)
Conviene mencionar una anotación de Kaiser (1970), pag. 29, (5 ).
“ De entrada, la tarea más importante de un actuario
es indicar las vı́as que puedan asegurar un equilibrio entre
recaudos y gastos en un régimen de seguridad social y de
ayudar a lograr la meta de toda buena legislación, a
saber, que el régimen esté siempre en capacidad de pagar
las prestaciones prometidas”.
5
Kaiser, E. (1970). Problemes centraux d’econometrie sociale. AISS.
Etudes et recherches, No 1. Geneve
15 /34
Métodos de Financiamiento
◮
◮
Los métodos de financiamiento de un régimen de prestación
definida incluyen los métodos para determinar las tasas de
cotización Π(t).
Para las pensiones del sector público se mencionan los
métodos principales. Sobre éstos se han dado la mayorı́a de
los debates acerca de su viabilidad. Son los siguientes, entre
otros.
1. Reparto Simple.
2. Prima Media.
3. Prima Media Escalonada.
◮
Para las pensiones del sector privado se tienen también varios
sistemas. Nota: tema muy extenso !
1. Repartición de Prestaciones (unit credit).
2. Repartición de Prestaciones con Proyección.
3. Cotizaciones Porcentaje de Salario.
16 /34
Métodos de Financiamiento
◮
◮
Los métodos de financiamiento de un régimen de prestación
definida incluyen los métodos para determinar las tasas de
cotización Π(t).
Para las pensiones del sector público se mencionan los
métodos principales. Sobre éstos se han dado la mayorı́a de
los debates acerca de su viabilidad. Son los siguientes, entre
otros.
1. Reparto Simple.
2. Prima Media.
3. Prima Media Escalonada.
◮
Para las pensiones del sector privado se tienen también varios
sistemas. Nota: tema muy extenso !
1. Repartición de Prestaciones (unit credit).
2. Repartición de Prestaciones con Proyección.
3. Cotizaciones Porcentaje de Salario.
16 /34
Métodos de Financiamiento
◮
◮
Los métodos de financiamiento de un régimen de prestación
definida incluyen los métodos para determinar las tasas de
cotización Π(t).
Para las pensiones del sector público se mencionan los
métodos principales. Sobre éstos se han dado la mayorı́a de
los debates acerca de su viabilidad. Son los siguientes, entre
otros.
1. Reparto Simple.
2. Prima Media.
3. Prima Media Escalonada.
◮
Para las pensiones del sector privado se tienen también varios
sistemas. Nota: tema muy extenso !
1. Repartición de Prestaciones (unit credit).
2. Repartición de Prestaciones con Proyección.
3. Cotizaciones Porcentaje de Salario.
16 /34
Métodos de Financiamiento
◮
◮
Los métodos de financiamiento de un régimen de prestación
definida incluyen los métodos para determinar las tasas de
cotización Π(t).
Para las pensiones del sector público se mencionan los
métodos principales. Sobre éstos se han dado la mayorı́a de
los debates acerca de su viabilidad. Son los siguientes, entre
otros.
1. Reparto Simple.
2. Prima Media.
3. Prima Media Escalonada.
◮
Para las pensiones del sector privado se tienen también varios
sistemas. Nota: tema muy extenso !
1. Repartición de Prestaciones (unit credit).
2. Repartición de Prestaciones con Proyección.
3. Cotizaciones Porcentaje de Salario.
16 /34
Métodos de Financiamiento
◮
◮
Los métodos de financiamiento de un régimen de prestación
definida incluyen los métodos para determinar las tasas de
cotización Π(t).
Para las pensiones del sector público se mencionan los
métodos principales. Sobre éstos se han dado la mayorı́a de
los debates acerca de su viabilidad. Son los siguientes, entre
otros.
1. Reparto Simple.
2. Prima Media.
3. Prima Media Escalonada.
◮
Para las pensiones del sector privado se tienen también varios
sistemas. Nota: tema muy extenso !
1. Repartición de Prestaciones (unit credit).
2. Repartición de Prestaciones con Proyección.
3. Cotizaciones Porcentaje de Salario.
16 /34
Métodos de Financiamiento
◮
◮
Los métodos de financiamiento de un régimen de prestación
definida incluyen los métodos para determinar las tasas de
cotización Π(t).
Para las pensiones del sector público se mencionan los
métodos principales. Sobre éstos se han dado la mayorı́a de
los debates acerca de su viabilidad. Son los siguientes, entre
otros.
1. Reparto Simple.
2. Prima Media.
3. Prima Media Escalonada.
◮
Para las pensiones del sector privado se tienen también varios
sistemas. Nota: tema muy extenso !
1. Repartición de Prestaciones (unit credit).
2. Repartición de Prestaciones con Proyección.
3. Cotizaciones Porcentaje de Salario.
16 /34
Métodos de Financiamiento
◮
◮
Los métodos de financiamiento de un régimen de prestación
definida incluyen los métodos para determinar las tasas de
cotización Π(t).
Para las pensiones del sector público se mencionan los
métodos principales. Sobre éstos se han dado la mayorı́a de
los debates acerca de su viabilidad. Son los siguientes, entre
otros.
1. Reparto Simple.
2. Prima Media.
3. Prima Media Escalonada.
◮
Para las pensiones del sector privado se tienen también varios
sistemas. Nota: tema muy extenso !
1. Repartición de Prestaciones (unit credit).
2. Repartición de Prestaciones con Proyección.
3. Cotizaciones Porcentaje de Salario.
16 /34
Métodos de Financiamiento
◮
◮
Los métodos de financiamiento de un régimen de prestación
definida incluyen los métodos para determinar las tasas de
cotización Π(t).
Para las pensiones del sector público se mencionan los
métodos principales. Sobre éstos se han dado la mayorı́a de
los debates acerca de su viabilidad. Son los siguientes, entre
otros.
1. Reparto Simple.
2. Prima Media.
3. Prima Media Escalonada.
◮
Para las pensiones del sector privado se tienen también varios
sistemas. Nota: tema muy extenso !
1. Repartición de Prestaciones (unit credit).
2. Repartición de Prestaciones con Proyección.
3. Cotizaciones Porcentaje de Salario.
16 /34
Métodos de Financiamiento
◮
◮
Los métodos de financiamiento de un régimen de prestación
definida incluyen los métodos para determinar las tasas de
cotización Π(t).
Para las pensiones del sector público se mencionan los
métodos principales. Sobre éstos se han dado la mayorı́a de
los debates acerca de su viabilidad. Son los siguientes, entre
otros.
1. Reparto Simple.
2. Prima Media.
3. Prima Media Escalonada.
◮
Para las pensiones del sector privado se tienen también varios
sistemas. Nota: tema muy extenso !
1. Repartición de Prestaciones (unit credit).
2. Repartición de Prestaciones con Proyección.
3. Cotizaciones Porcentaje de Salario.
16 /34
Perı́odos de Cobertura
◮
En los sistemas para el sector público la tasa Π(t) se toma
constante en perı́odos de tiempo denominados “perı́odos de
cobertura”, indicados por [t0 = 0, t1 ], [t1 , t2 ], . . . , [tn , tn+1 ].
◮
La ecuación para la reserva se puede escribir como
V (tn+1 ) = V (tn )eΛ(tn+1 )−Λ(tn )
Z tn+1
S(u)eΛ(tn+1 )−Λ(u) du
+ Πn
−
◮
Z
tn
tn+1
(6)
B(u)eΛ(tn+1 )−Λ(u) du
tn
V (tn+1 ) es el valor proyectado de la reserva para el final del
perı́odo de cobertura. La tasa Πn se determina a partir de
esta ecuación.
17 /34
Perı́odos de Cobertura
◮
En los sistemas para el sector público la tasa Π(t) se toma
constante en perı́odos de tiempo denominados “perı́odos de
cobertura”, indicados por [t0 = 0, t1 ], [t1 , t2 ], . . . , [tn , tn+1 ].
◮
La ecuación para la reserva se puede escribir como
V (tn+1 ) = V (tn )eΛ(tn+1 )−Λ(tn )
Z tn+1
S(u)eΛ(tn+1 )−Λ(u) du
+ Πn
−
◮
Z
tn
tn+1
(6)
B(u)eΛ(tn+1 )−Λ(u) du
tn
V (tn+1 ) es el valor proyectado de la reserva para el final del
perı́odo de cobertura. La tasa Πn se determina a partir de
esta ecuación.
17 /34
Perı́odos de Cobertura
◮
En los sistemas para el sector público la tasa Π(t) se toma
constante en perı́odos de tiempo denominados “perı́odos de
cobertura”, indicados por [t0 = 0, t1 ], [t1 , t2 ], . . . , [tn , tn+1 ].
◮
La ecuación para la reserva se puede escribir como
V (tn+1 ) = V (tn )eΛ(tn+1 )−Λ(tn )
Z tn+1
S(u)eΛ(tn+1 )−Λ(u) du
+ Πn
−
◮
Z
tn
tn+1
(6)
B(u)eΛ(tn+1 )−Λ(u) du
tn
V (tn+1 ) es el valor proyectado de la reserva para el final del
perı́odo de cobertura. La tasa Πn se determina a partir de
esta ecuación.
17 /34
El Sistema de Reparto Simple
◮
En este sistema los perı́odos de cobertura tienen duración de
1 año.
◮
La tasa de cotización se define constante para cada perı́odo
de cobertura.
◮
Con la condición de que al final de cada perı́odo la reserva
debe gastarse completamente.
◮
Luego, se tiene V (tn ) = V (tn+1 ) = 0. Y, a partir de (6),
despreciando el efecto de la capitalización en el perı́odo, se
obtiene la expresión siguiente para la prima para el perı́odo de
cobertura [tn , tn+1 ].
R tn+1
Πn = Rttnn+1
tn
18 /34
B(u)du
S(u)du
=
suma de gastos del año
suma salarios del año
(7)
El Sistema de Reparto Simple
◮
En este sistema los perı́odos de cobertura tienen duración de
1 año.
◮
La tasa de cotización se define constante para cada perı́odo
de cobertura.
◮
Con la condición de que al final de cada perı́odo la reserva
debe gastarse completamente.
◮
Luego, se tiene V (tn ) = V (tn+1 ) = 0. Y, a partir de (6),
despreciando el efecto de la capitalización en el perı́odo, se
obtiene la expresión siguiente para la prima para el perı́odo de
cobertura [tn , tn+1 ].
R tn+1
Πn = Rttnn+1
tn
18 /34
B(u)du
S(u)du
=
suma de gastos del año
suma salarios del año
(7)
El Sistema de Reparto Simple
◮
En este sistema los perı́odos de cobertura tienen duración de
1 año.
◮
La tasa de cotización se define constante para cada perı́odo
de cobertura.
◮
Con la condición de que al final de cada perı́odo la reserva
debe gastarse completamente.
◮
Luego, se tiene V (tn ) = V (tn+1 ) = 0. Y, a partir de (6),
despreciando el efecto de la capitalización en el perı́odo, se
obtiene la expresión siguiente para la prima para el perı́odo de
cobertura [tn , tn+1 ].
R tn+1
Πn = Rttnn+1
tn
18 /34
B(u)du
S(u)du
=
suma de gastos del año
suma salarios del año
(7)
El Sistema de Reparto Simple
◮
En este sistema los perı́odos de cobertura tienen duración de
1 año.
◮
La tasa de cotización se define constante para cada perı́odo
de cobertura.
◮
Con la condición de que al final de cada perı́odo la reserva
debe gastarse completamente.
◮
Luego, se tiene V (tn ) = V (tn+1 ) = 0. Y, a partir de (6),
despreciando el efecto de la capitalización en el perı́odo, se
obtiene la expresión siguiente para la prima para el perı́odo de
cobertura [tn , tn+1 ].
R tn+1
Πn = Rttnn+1
tn
18 /34
B(u)du
S(u)du
=
suma de gastos del año
suma salarios del año
(7)
El Sistema de Prima Media
◮
La ley 100/93 definió uno de los dos sistemas pensionales en
Colombia como un régimen de prestación definida financiado
mediante el sistema de prima media.
◮
La tasa de prima media se define como una tasa aplicable “a
lo largo de toda la vida del sistema pensional”, y dada por:
R∞
B(u)e−Λ(u) du
suma de gastos descontados
=
(8)
Π = R0∞
−Λ(u)
suma salarios descontados
du
0 S(u)e
◮
Nótese que la tasa de reparto simple cambia de año en año,
en cambio la tasa de prima media no. Esta debe permanecer
constante indefinidamente.
19 /34
El Sistema de Prima Media
◮
La ley 100/93 definió uno de los dos sistemas pensionales en
Colombia como un régimen de prestación definida financiado
mediante el sistema de prima media.
◮
La tasa de prima media se define como una tasa aplicable “a
lo largo de toda la vida del sistema pensional”, y dada por:
R∞
B(u)e−Λ(u) du
suma de gastos descontados
=
(8)
Π = R0∞
−Λ(u)
suma salarios descontados
du
0 S(u)e
◮
Nótese que la tasa de reparto simple cambia de año en año,
en cambio la tasa de prima media no. Esta debe permanecer
constante indefinidamente.
19 /34
El Sistema de Prima Media
◮
La ley 100/93 definió uno de los dos sistemas pensionales en
Colombia como un régimen de prestación definida financiado
mediante el sistema de prima media.
◮
La tasa de prima media se define como una tasa aplicable “a
lo largo de toda la vida del sistema pensional”, y dada por:
R∞
B(u)e−Λ(u) du
suma de gastos descontados
=
(8)
Π = R0∞
−Λ(u)
suma salarios descontados
du
0 S(u)e
◮
Nótese que la tasa de reparto simple cambia de año en año,
en cambio la tasa de prima media no. Esta debe permanecer
constante indefinidamente.
19 /34
El Sistema de Prima Media Escalonada
◮
◮
◮
En este sistema la tasa de cotización permanece constante
durante un perı́odo de cobertura de por ejemplo, 5 ó 10 años.
Y aumenta paulatinamente hasta llegar a un estado
estacionario.
Según H. Türler (1999), pag. 54,(6 ) “La tasa de contribución
se calcula para los primeros 5 años, 1967-1972, en un 6.0% de
los salarios asegurados; y después cada 5 años más tarde
siempre 3.0% más hasta llegar al estado estacionario”.
Nótese que se esperaba obtener un estado estacionario en las
reservas aumentando las cotizaciones pero no de manera
indefinida.
6
Türler, H. (1999). Aspectos Actuariales de la Financiación de la Jubilación
en Colombia. Publicación de la ACA y Fasecolda, Bogotá
20 /34
El Sistema de Prima Media Escalonada
◮
◮
◮
En este sistema la tasa de cotización permanece constante
durante un perı́odo de cobertura de por ejemplo, 5 ó 10 años.
Y aumenta paulatinamente hasta llegar a un estado
estacionario.
Según H. Türler (1999), pag. 54,(6 ) “La tasa de contribución
se calcula para los primeros 5 años, 1967-1972, en un 6.0% de
los salarios asegurados; y después cada 5 años más tarde
siempre 3.0% más hasta llegar al estado estacionario”.
Nótese que se esperaba obtener un estado estacionario en las
reservas aumentando las cotizaciones pero no de manera
indefinida.
6
Türler, H. (1999). Aspectos Actuariales de la Financiación de la Jubilación
en Colombia. Publicación de la ACA y Fasecolda, Bogotá
20 /34
El Sistema de Prima Media Escalonada
◮
◮
◮
En este sistema la tasa de cotización permanece constante
durante un perı́odo de cobertura de por ejemplo, 5 ó 10 años.
Y aumenta paulatinamente hasta llegar a un estado
estacionario.
Según H. Türler (1999), pag. 54,(6 ) “La tasa de contribución
se calcula para los primeros 5 años, 1967-1972, en un 6.0% de
los salarios asegurados; y después cada 5 años más tarde
siempre 3.0% más hasta llegar al estado estacionario”.
Nótese que se esperaba obtener un estado estacionario en las
reservas aumentando las cotizaciones pero no de manera
indefinida.
6
Türler, H. (1999). Aspectos Actuariales de la Financiación de la Jubilación
en Colombia. Publicación de la ACA y Fasecolda, Bogotá
20 /34
1.5
0.5
1.0
tasa
2.0
2.5
3.0
Comparación de los Sistemas
0
20
40
60
80
100
t
Figure: Comparación de los Sistemas de Cotización
En la figura la lı́nea horizontal corresponde a la prima media, la
escalonada a la prima escalonada y la punteada a la prima de
reparto simple.
21 /34
Algo de Historia (1)
Del libro de Germán Fernández, cap. 5, (7 ), se lee
“Con la Ley 90 de 1946 por medio de la cual se creó
el ICSS se instauró un sistema de seguro social con
patrimonio autónomo para el reconomimiento del
conjunto de las prestaciones de salud, pensiones, riesgos
profesionales y cesantı́as, inspirada en la Ley de Seguro
Social Obligatorio de 1883 en Alemania, y con el apoyo
de la OIT”.
“Este Régimen financiero (reparto simple) se
consolidó como un gran progreso en el desarrollo de los
sistemas de seguridad social puesto que se financiaban las
pensiones sin necesidad de constituı́r grandes reservas”.
7
Fernández, G.(2000) Defendamos las Pensiones!. Editor GFC, Bogotá
22 /34
Algo de Historia (2)
En Fernández, cap 5. (8 ), se anota que el sistema de primas
escalonadas entró en vigencia en 1977.
“El Decreto 1650 de 1977 es el que determina, en el
artı́culo 19, que el régimen financiero para las
contingencias de IVM será el de Prima Media Escalonada
y que los aportes se fijarán para perı́odos quinquenales,
revisables en cualquier tiempo.”
“En el año 1993, de los debates sobre la reforma del
sistema pensional mediante la Ley 155 de 1992, el
actuario Dr. G. Olmos demostró la plena viabilidad del
ISS bajo el modelo de Prima Media Escalonada, en el
escenario de la cotización del 13.5%”.
8
(2000), op. cit.
23 /34
Algo de Historia (3)
En Fernández, cap 5. (9 ), se anota
“En un estudio previo a la Reforma de 1993,
Fedesarrollo y Asofondos, en un estudio de E. Lora y L.
Helmsdorff se calculó que el pasivo pensional del ISS
equivalı́a al 24.4% del PIB de 1992 y que la reserva del
ISS alcanzaba para el 5.9% .”
“Con tal presentación no se planteaba salida diferente
que la de la liquidación del ISS, dejándolo marchitar mas
ó menos aceleradamente”.
9
(2000), op. cit.
24 /34
Algo de Historia (4)
En Fernández, cap 5. (10 ), se anota
“Pero en tal estudio se incurrió en el grave error de
aplicar las proyecciones matemáticas del sistema de
reparto simple...a los modelos de reparto de cobertura
con capitales y a los de prima media escalonada.”
“Durante el debate en 1993, cuando los técnicos
actuarios elaboraron cálculos...se encontraron diferencias
abismales en los resultados comparativos con los estudios
mencionados...en franca contradicción a lo afirmado por
Fedesarrollo, la diferencia para el perı́odo 1992 y 2020
arrojaba reservas positivas para el ISS”.
10
(2000), op. cit.
25 /34
Introducción de Control Estocástico Optimo en los
Sistemas de Prestación Definida
◮
Una innovación reciente ha consistido en el replanteamiento
de los sistemas pensionales como problemas de control
estocástico.
◮
Han habido desarrollos tanto para el sistema de prestación
definida como para el de ahorro individual.
◮
Los desarrollos en la literatura asumen un sistema de riesgos
abierto, es decir, la reserva tiene la misma dinámica que la
ecuación básica (3) de Zelenka
V ′ (t) = δ(t)V (t) + A(t) − B(t),
donde A(t) = Π(t)S(t).
26 /34
(9)
Introducción de Control Estocástico Optimo en los
Sistemas de Prestación Definida
◮
Una innovación reciente ha consistido en el replanteamiento
de los sistemas pensionales como problemas de control
estocástico.
◮
Han habido desarrollos tanto para el sistema de prestación
definida como para el de ahorro individual.
◮
Los desarrollos en la literatura asumen un sistema de riesgos
abierto, es decir, la reserva tiene la misma dinámica que la
ecuación básica (3) de Zelenka
V ′ (t) = δ(t)V (t) + A(t) − B(t),
donde A(t) = Π(t)S(t).
26 /34
(9)
Introducción de Control Estocástico Optimo en los
Sistemas de Prestación Definida
◮
Una innovación reciente ha consistido en el replanteamiento
de los sistemas pensionales como problemas de control
estocástico.
◮
Han habido desarrollos tanto para el sistema de prestación
definida como para el de ahorro individual.
◮
Los desarrollos en la literatura asumen un sistema de riesgos
abierto, es decir, la reserva tiene la misma dinámica que la
ecuación básica (3) de Zelenka
V ′ (t) = δ(t)V (t) + A(t) − B(t),
donde A(t) = Π(t)S(t).
26 /34
(9)
Introducción de Control Estocástico Optimo en los
Sistemas de Prestación Definida (2)
◮
Esta sección está tomada de un artı́culo que hace un
desarrollo de la técnica, Cairns (2000),(11 ).
◮
Las variables de control son: la tasa de cotizaciones A(t) y la
tasa de rendimientos δ(t).
◮
La tasa δ(t) se hace depender de la composición de un
portafolio con un activo libre de riesgo, bonos y n activos con
riesgo, acciones.
11
Cairns, A.(2000). Some Notes on the Dynamics and Optimal Control of
Stochastic Pension Fund Models in Continuous Time. ASTIN Bulletin,vol 30,
No 1, 19-57.
27 /34
Introducción de Control Estocástico Optimo en los
Sistemas de Prestación Definida (2)
◮
Esta sección está tomada de un artı́culo que hace un
desarrollo de la técnica, Cairns (2000),(11 ).
◮
Las variables de control son: la tasa de cotizaciones A(t) y la
tasa de rendimientos δ(t).
◮
La tasa δ(t) se hace depender de la composición de un
portafolio con un activo libre de riesgo, bonos y n activos con
riesgo, acciones.
11
Cairns, A.(2000). Some Notes on the Dynamics and Optimal Control of
Stochastic Pension Fund Models in Continuous Time. ASTIN Bulletin,vol 30,
No 1, 19-57.
27 /34
Introducción de Control Estocástico Optimo en los
Sistemas de Prestación Definida (2)
◮
Esta sección está tomada de un artı́culo que hace un
desarrollo de la técnica, Cairns (2000),(11 ).
◮
Las variables de control son: la tasa de cotizaciones A(t) y la
tasa de rendimientos δ(t).
◮
La tasa δ(t) se hace depender de la composición de un
portafolio con un activo libre de riesgo, bonos y n activos con
riesgo, acciones.
11
Cairns, A.(2000). Some Notes on the Dynamics and Optimal Control of
Stochastic Pension Fund Models in Continuous Time. ASTIN Bulletin,vol 30,
No 1, 19-57.
27 /34
Introducción de Control Estocástico Optimo en los
Sistemas de Prestación Definida (3)
◮
Asuma que el portafolio tiene n + 1 activos tales que el
rendimiento logarı́tmico del i-ésimo está dado por
dri (t) = ri dt +
n
X
σi,j dWj (t), i = 1, . . . , n,
j=1
donde los Wi (t) son n procesos Wiener estándar
independientes.
◮
Denote por p(t) = (pi (t, V (t)), i = 1, . . . , n) el vector de
porcentajes invertidos en los n activos en el tiempo t.
◮
Denote p0 (t, V (t)) el porcentaje invertido en efectivo
colocado a una tasa continua fija sin riesgo r0
28 /34
(10)
Introducción de Control Estocástico Optimo en los
Sistemas de Prestación Definida (3)
◮
Asuma que el portafolio tiene n + 1 activos tales que el
rendimiento logarı́tmico del i-ésimo está dado por
dri (t) = ri dt +
n
X
σi,j dWj (t), i = 1, . . . , n,
j=1
donde los Wi (t) son n procesos Wiener estándar
independientes.
◮
Denote por p(t) = (pi (t, V (t)), i = 1, . . . , n) el vector de
porcentajes invertidos en los n activos en el tiempo t.
◮
Denote p0 (t, V (t)) el porcentaje invertido en efectivo
colocado a una tasa continua fija sin riesgo r0
28 /34
(10)
Introducción de Control Estocástico Optimo en los
Sistemas de Prestación Definida (3)
◮
Asuma que el portafolio tiene n + 1 activos tales que el
rendimiento logarı́tmico del i-ésimo está dado por
dri (t) = ri dt +
n
X
σi,j dWj (t), i = 1, . . . , n,
j=1
donde los Wi (t) son n procesos Wiener estándar
independientes.
◮
Denote por p(t) = (pi (t, V (t)), i = 1, . . . , n) el vector de
porcentajes invertidos en los n activos en el tiempo t.
◮
Denote p0 (t, V (t)) el porcentaje invertido en efectivo
colocado a una tasa continua fija sin riesgo r0
28 /34
(10)
Introducción de Control Estocástico Optimo en los
Sistemas de Prestación Definida (4)
◮
El vector de rendimientos es
dr(t) = rdt + SdW (t),
(11)
donde S = [σi,j ].
◮
Y la tasa de rendimiento del portafolio está dada por
drp (t) = (1 − p(t)′ 1)r0 dt + p(t)′ dr(t).
29 /34
(12)
Introducción de Control Estocástico Optimo en los
Sistemas de Prestación Definida (4)
◮
El vector de rendimientos es
dr(t) = rdt + SdW (t),
(11)
donde S = [σi,j ].
◮
Y la tasa de rendimiento del portafolio está dada por
drp (t) = (1 − p(t)′ 1)r0 dt + p(t)′ dr(t).
29 /34
(12)
Introducción de Control Estocástico Optimo en los
Sistemas de Prestación Definida (5)
◮
Denote λi = δi − δ0 la prima de riesgo del i-ésimo activo.
Colocándolos en un vector λ = δ − δ0 1,
◮
Se obtiene la expresión para el rendimiento del portafolio
drp (t) = (δ0 − p(t)′ λ)dt + p(t)′ SdW (t).
◮
(13)
Retomando la ecuación básica en forma diferencial
dV (t) = δ(t)dtV (t) + A(t)dt − B(t)dt,
(14)
◮
Se reemplaza δ(t)dt por drp (t)
◮
Se reemplaza B(t)dt por Bdt + σdWB (t), con WB (t) proceso
Wiener independientes de dW (t). Y se toma
A(t) = A(t, V (t)).
30 /34
Introducción de Control Estocástico Optimo en los
Sistemas de Prestación Definida (5)
◮
Denote λi = δi − δ0 la prima de riesgo del i-ésimo activo.
Colocándolos en un vector λ = δ − δ0 1,
◮
Se obtiene la expresión para el rendimiento del portafolio
drp (t) = (δ0 − p(t)′ λ)dt + p(t)′ SdW (t).
◮
(13)
Retomando la ecuación básica en forma diferencial
dV (t) = δ(t)dtV (t) + A(t)dt − B(t)dt,
(14)
◮
Se reemplaza δ(t)dt por drp (t)
◮
Se reemplaza B(t)dt por Bdt + σdWB (t), con WB (t) proceso
Wiener independientes de dW (t). Y se toma
A(t) = A(t, V (t)).
30 /34
Introducción de Control Estocástico Optimo en los
Sistemas de Prestación Definida (5)
◮
Denote λi = δi − δ0 la prima de riesgo del i-ésimo activo.
Colocándolos en un vector λ = δ − δ0 1,
◮
Se obtiene la expresión para el rendimiento del portafolio
drp (t) = (δ0 − p(t)′ λ)dt + p(t)′ SdW (t).
◮
(13)
Retomando la ecuación básica en forma diferencial
dV (t) = δ(t)dtV (t) + A(t)dt − B(t)dt,
(14)
◮
Se reemplaza δ(t)dt por drp (t)
◮
Se reemplaza B(t)dt por Bdt + σdWB (t), con WB (t) proceso
Wiener independientes de dW (t). Y se toma
A(t) = A(t, V (t)).
30 /34
Introducción de Control Estocástico Optimo en los
Sistemas de Prestación Definida (5)
◮
Denote λi = δi − δ0 la prima de riesgo del i-ésimo activo.
Colocándolos en un vector λ = δ − δ0 1,
◮
Se obtiene la expresión para el rendimiento del portafolio
drp (t) = (δ0 − p(t)′ λ)dt + p(t)′ SdW (t).
◮
(13)
Retomando la ecuación básica en forma diferencial
dV (t) = δ(t)dtV (t) + A(t)dt − B(t)dt,
(14)
◮
Se reemplaza δ(t)dt por drp (t)
◮
Se reemplaza B(t)dt por Bdt + σdWB (t), con WB (t) proceso
Wiener independientes de dW (t). Y se toma
A(t) = A(t, V (t)).
30 /34
Introducción de Control Estocástico Optimo en los
Sistemas de Prestación Definida (5)
◮
Denote λi = δi − δ0 la prima de riesgo del i-ésimo activo.
Colocándolos en un vector λ = δ − δ0 1,
◮
Se obtiene la expresión para el rendimiento del portafolio
drp (t) = (δ0 − p(t)′ λ)dt + p(t)′ SdW (t).
◮
(13)
Retomando la ecuación básica en forma diferencial
dV (t) = δ(t)dtV (t) + A(t)dt − B(t)dt,
(14)
◮
Se reemplaza δ(t)dt por drp (t)
◮
Se reemplaza B(t)dt por Bdt + σdWB (t), con WB (t) proceso
Wiener independientes de dW (t). Y se toma
A(t) = A(t, V (t)).
30 /34
Introducción de Control Estocástico Optimo en los
Sistemas de Prestación Definida (6)
◮
La nueva ecuación para la reserva es
dV (t) = [V (t)(δ0 − p(t)′ λ) + A(t, V (t)) − B]dt
+ p(t)′ SdW (t) − σB dWB (t).
◮
Los controles son p y A(t, V (t)).
31 /34
(15)
Introducción de Control Estocástico Optimo en los
Sistemas de Prestación Definida (6)
◮
La nueva ecuación para la reserva es
dV (t) = [V (t)(δ0 − p(t)′ λ) + A(t, V (t)) − B]dt
+ p(t)′ SdW (t) − σB dWB (t).
◮
Los controles son p y A(t, V (t)).
31 /34
(15)
Introducción de Control Estocástico Optimo en los
Sistemas de Prestación Definida (7)
◮
Se define el control dado que en t se sabe que Vt = x. El
criterio de optimización es la función
Z ∞
e−βs L(s, A(s, V (s))), V (s))ds|Vt = x
W (t, x)(A, p) = E
t
(16)
para cierta función de pérdida L(t, c, x).
◮
Se busca una pareja (A∗ , p∗ ) que cumpla
W (t, x)(A∗ , p∗ ) = inf W (t, x)(A, p)
(A,p)
32 /34
(17)
Introducción de Control Estocástico Optimo en los
Sistemas de Prestación Definida (7)
◮
Se define el control dado que en t se sabe que Vt = x. El
criterio de optimización es la función
Z ∞
e−βs L(s, A(s, V (s))), V (s))ds|Vt = x
W (t, x)(A, p) = E
t
(16)
para cierta función de pérdida L(t, c, x).
◮
Se busca una pareja (A∗ , p∗ ) que cumpla
W (t, x)(A∗ , p∗ ) = inf W (t, x)(A, p)
(A,p)
32 /34
(17)
Introducción de Control Estocástico Optimo en los
Sistemas de Prestación Definida (8)
◮
◮
En Cairns (2000),(12 ) Se encuentran las expresiones para los
controles óptimos (A∗ , p∗ )
Encuentra que
p∗ (t, x) = (p0 + p1 )x−1
y demuestra que cuando las reservas Vt están bajas el control
invierte en papeles de renta fija, y al contrario. Además
A∗ (t, x) = C0∗ − C1∗ x
es decir, las contribuciones dependen del nivel de reservas,
decreciendo si éstas están altas, e inversamente.
12
Cairns, A.(2000). op.cit.
33 /34
Introducción de Control Estocástico Optimo en los
Sistemas de Prestación Definida (8)
◮
◮
En Cairns (2000),(12 ) Se encuentran las expresiones para los
controles óptimos (A∗ , p∗ )
Encuentra que
p∗ (t, x) = (p0 + p1 )x−1
y demuestra que cuando las reservas Vt están bajas el control
invierte en papeles de renta fija, y al contrario. Además
A∗ (t, x) = C0∗ − C1∗ x
es decir, las contribuciones dependen del nivel de reservas,
decreciendo si éstas están altas, e inversamente.
12
Cairns, A.(2000). op.cit.
33 /34
Conclusiones
◮
◮
◮
13
El debate PD versus CD está al rojo en todo el mundo, y por
esta razón es muy importante tener muy claros los elementos
de la teorı́a involucrada.
Hay que enfatizar que los instrumentos actuariales de la época
en la que fueron concebidos los sistemas de prima media, e.d.
las décadas 1950-1970, están siendo reemplazados por otros
más recientes, definitivamente, de carácter estocástico financiero.
Hans Bühlmann, en un editoril de la Revista ASTIN
Bulletin (13 ), mencionaba los “actuarios de tercera generación”,
“it is fascinating to observe how the Actuaries of
the Third Kind are right now in the process of
creating a new scientific philosophy for handling
investment problems. One of their ideas is quite
obvious, namely to assume a stochastic interest
rate”.
(1987), vol 17, No2
34 /34
Conclusiones
◮
◮
◮
13
El debate PD versus CD está al rojo en todo el mundo, y por
esta razón es muy importante tener muy claros los elementos
de la teorı́a involucrada.
Hay que enfatizar que los instrumentos actuariales de la época
en la que fueron concebidos los sistemas de prima media, e.d.
las décadas 1950-1970, están siendo reemplazados por otros
más recientes, definitivamente, de carácter estocástico financiero.
Hans Bühlmann, en un editoril de la Revista ASTIN
Bulletin (13 ), mencionaba los “actuarios de tercera generación”,
“it is fascinating to observe how the Actuaries of
the Third Kind are right now in the process of
creating a new scientific philosophy for handling
investment problems. One of their ideas is quite
obvious, namely to assume a stochastic interest
rate”.
(1987), vol 17, No2
34 /34
Conclusiones
◮
◮
◮
13
El debate PD versus CD está al rojo en todo el mundo, y por
esta razón es muy importante tener muy claros los elementos
de la teorı́a involucrada.
Hay que enfatizar que los instrumentos actuariales de la época
en la que fueron concebidos los sistemas de prima media, e.d.
las décadas 1950-1970, están siendo reemplazados por otros
más recientes, definitivamente, de carácter estocástico financiero.
Hans Bühlmann, en un editoril de la Revista ASTIN
Bulletin (13 ), mencionaba los “actuarios de tercera generación”,
“it is fascinating to observe how the Actuaries of
the Third Kind are right now in the process of
creating a new scientific philosophy for handling
investment problems. One of their ideas is quite
obvious, namely to assume a stochastic interest
rate”.
(1987), vol 17, No2
34 /34
Conclusiones
◮
◮
◮
13
El debate PD versus CD está al rojo en todo el mundo, y por
esta razón es muy importante tener muy claros los elementos
de la teorı́a involucrada.
Hay que enfatizar que los instrumentos actuariales de la época
en la que fueron concebidos los sistemas de prima media, e.d.
las décadas 1950-1970, están siendo reemplazados por otros
más recientes, definitivamente, de carácter estocástico financiero.
Hans Bühlmann, en un editoril de la Revista ASTIN
Bulletin (13 ), mencionaba los “actuarios de tercera generación”,
“it is fascinating to observe how the Actuaries of
the Third Kind are right now in the process of
creating a new scientific philosophy for handling
investment problems. One of their ideas is quite
obvious, namely to assume a stochastic interest
rate”.
(1987), vol 17, No2
34 /34