Unidad 2 - Departamento de Matemática

Geometría Diferencial - Unidad 2
Fabián Levis - Julio C. Barros
Departamento de Matemática. Facultad de Ciencias
Exactas Físico-Químicas y Naturales. UNRC
Abstract
La presente unidad tiene por objetivo expresar matemáticamente la idea de sistema móvil de referencia como campo de
sistemas de referencia que se de…nen sobre curvas del espacio
euclídeo. Para lograr este objetivo se empleará el campo de
Frenet-Serret de sistema de referencia, T; N; B de la curva. Al
expresar las derivadas de estos campos vectoriales, aparecen dos
números que caracterizan geométricamente la curva, éstos son:
la curvatura y la torsion. Se introduce además el concepto de
Deerivada Covariante.
Temas: Producto escalar. Distancia euclídea. Sistema de referencia en un punto. Producto vectorial. Curvas. Longitud de
arco. Rapidez unitaria. Campo vectorial en una curva. Fórmulas de Frenet. Campo de sistemas de referencia de Frenet.
Curvatura. Torsión. Curvas de rapidez arbitraria. Derivadas
covariantes.
1
El Producto Escalar
De…nition 1 El producto Escalar (o producto interno canónico) entre
los punntos p = (p1 ; p2 ; p3 ) y q = (q1 ; q2 ; q3 ) en R3 es el número real,
p q=
3
X
p i qi
i=1
Remark 2 El producto escalar satisface las propiedades de Bilinealidad, Simetría y De…nido positivo. A partir del producto escalar
podemos dotar a R3 de una norma y con ello de una noción de distancia.
1
De…nition 3 La Norma de p = (p1 ; p2 ; p3 ) es el número real,
p
kpk = p p
Remark 4 La norma kk : R3 ! R es una función que satisface,
1. kapk = jaj kpk 8a 2 R
2. kp + qk
kpk + kqk
De…nition 5 Si p; q 2 R3 la Distancia Euclídea de p a q es el número
real,
d (p; q) = kp qk
De…nition 6 Si p 2 R3 y
> 0, el conjunto,
U = q 2 R3 : d (p; q) <
Se llama -vecindad de p. El conjunto O R3 se dice abierto si cada
punto de O tiene una -vecindad contenida en O:
De…nition 7 El producto escalar de los vectores tangentes vp y wp en
el mismo punto p 2 R3 está de…nido por,
vp wp = v w
Esta de…nición proveé un producto escalar en cada espacio tangente
Tp (R3 ), en particular kvp k = kvk.
Remark 8 Un resultado importante es la Desigualdad de CauchySchwarz,
jv wj kvk kwk
Esta desigualdad nos permite de…nir el coseno del ángulo
v y w mediante la ecuación,
v w = kvk kwk cos
Ángulo entre dos vectores
2
que forman
De…nition 9 Dos vectores son ortogonales si
v w=0
Un vector es unitario si kvk = 1
De…nition 10 Un conjunto de vectores fe1 ; e2 ; e3 g de tres vectores unitarios ortogonales entre si, tangentes a R3 en p, se llama Sistema de
referencia en el punto p.
Remark 11 De acuerdo a la de…nición fe1 ; e2 ; e3 g es un sistema de
referencia si y sólo si ei ei = 1; 1
i
3 y ei ej = 0, si i 6= j es
decir ei ej = i;j ; 1 i; j 3. Por ejemplo fUi (p)g3i=1 es un sistema
de referencia de R3 en p.
Theorem 12 Sea fe1 ; e2 ; e3 g un sistema de referencia en p 2 R3 . Si
v 2 Tp (R3 ) entonces,
3
X
v=
(v ei ) ei
i=1
Proof. Vemos que fe1 ; e2 ; e3 g es LI para ello planteamos,
!
3
3
3
3
X
X
X
X
ci ei = 0 ) 0 =
ci ei
ej =
cei ej =
c
i=1
i=1
) cj = 0; 1
j
i=1
i;j
= cj
i=1
3
Como Tp (R3 ) es isomorfo a R3 por lo tanto, tiene dimensión 3 por ende,
fe1 ; e2 ; e3 g es una base de Tp (R3 ). En consecuencia dado v 2 Tp (R3 ),
existen únicos escalares 1 ; 2 ; 3 reales tales que,
v=
3
X
i ei
i=1
)
j
= v ej
De lo cual deducimos,
v=
3
X
(v ei ) ei
i=1
De…nition 13 Sea fe1 ; e2 ; e3 g un sistema de referencia en p 2 R3 . La
matriz A 2 R3 3 cuyas …las son las coordenadas euclídeas de los tres
3
vectores, se llama Matriz de disposición del sitema de referencia. En
forma explísita se tiene, si ei = (ai1 ; ai2 ; ai3 ) entonces,
0
1
a11 a12 a13
A = @ a21 a22 a23 A
a31 a32 a33
Entonces las …las de A son ortonormales pues,
3
X
aik ajk = ei ej =
ij
1
i; j
3
k=1
Esto signi…ca que At A = AAt = I
De…nition 14 Si v; w 2 Tp (R3 ). Entonces el Producto Vectorial de
v y w es el vector tangente,
U1 (p) U2 (p) U3 (p)
v2
v3
w = v1
w1
w2
w3
v
Donde las barras denotan el "determinante". El producto vectorial v
es lineal en v y en w, satisface la regla de alternación,
v
w=
w
w
v
De donde se deduce que,
v
v=0
Lemma 15 El producto vectorial v
una longitud tal que,
wk2 = kvk2 kwk2
kv
Proof. Sea v
w=
w es ortogonal a v y w y tiene
3
X
(v w)2
ci Ui (p) entonces, v (v
i=1
w) =
3
X
vi ci ahora
i=1
bien, teniendo en cuenta la de…nición de producto vectorial, las coordenadas euclídeas ci de v w son tales que,
v (v
v1 v2 v3
w) = v1 v2 v3
w1 w2 w3
4
Este determinante es cero pues, tiene dos …las iguales. En consecuencia
v w es ortogonal a v y de forma análoga se demuestra que es ortogonal
a w. Por otro lado tenemos,
!2
X X
X
2
2
2
2
2
kvk kwk
(v w) =
vi
wj
vi wi
i
=
j
X
i
vi2 wj2
i;j
kvk2 kwk2
(v w)2 =
kv
wk =
3
X
vi2 wi2 + 2
i
X
vi2 wj2
c2i = (v2 w3
X
vi wi vj wj
i<j
2
X
!
vi wi vj wj
i<j
i6=j
Por otra parte,
2
X
v3 w1 )2 + (v1 w2
v3 w2 )2 + (v1 w3
v2 w1 )2
i=1
Al desarrollar los cuadrados en la última expresión se obtiene el mismo
resultado
Remark 16 Otra forma de calcular la longitud de un producto interno
está dada por la expresión:
kv
Donde 0
2
wk = kvk kwk sin
es el menor de los ángulos que forman v y w.
Curvas
De…nition 17 Sea : I ! R3 una curva entonces, v (t) = k
llama Rapidez de en t. Si = ( 1 ; 2 ; 3 ) entonces,
v
u 3
uX d i 2
0
v=k k=t
dt
i=1
Decimos que la curva
0
(t)k se
tiene rapidez unitaria si k 0 k = 1.
De…nition 18 La Longitud de Arco de
de…ne como,
Zb
k 0 (t)k dt
a
5
desde t = a hasta t = b se
Remark 19 Muchas veces lo que interesa al estudiar un problema es la
trayectoria que sigue una curva, y no la rapidez particular con que se la
recorre. Una forma de omitir la consideración de la rapidez de la curva
consiste en reparametrizarla a una curva con rapidez unitaria.
Theorem 20 Si : I ! R3 es una curva regular en R3 , entonces existe
una reparametrización de tal que tiene rapidez unitaria.
Proof. Fijando a en I y considerando:
s (t) =
Zt
k
0
(u)k du
a
Al se
una curva regular se tiene, 0 (t) 6= 0 8t 2 I. Por lo tanto
ds
= v = k 0 k > 0. Luego s tiene función inversa, t = t (s), cuya
dt
dt
1
derivada ds
en s = s (t) es ds (t(s))
> 0. Sea (s) = (t (s)) entonces,
dt
0
(s) =
dt
(s)
ds
0
(t (s))
por ende,
k
0
(s)k =
dt
(s) k
ds
0
(t (s))k =
dt
ds
(s)
(t (s)) = 1
ds
dt
Remark 21 La curva (del Teorema) de rapidez unitaria se dice que
tiene una parametrización por longitud de arco, puesto que la longitud de arco de desde s = a hasta s = b (a < b) es b a.
De…nition 22 Se dice que una reparametrización (h) de una curva
conserva la orientación si h0 0 y que invierte la orientación si
h0
0, en este último caso y (h) recorren la misma trayectoria en
sentidos opuestos.
Remark 23 Una reparametrización de rapidez unitaria conserva la orientación pues ds
> 0.
dt
De…nition 24 Un campo vectorial Y en una curva : I ! R3 es una
función que asigna a cada t 2 I un vector tangente Y (t) a R3 en el
punto (t) (es decir Y (t) 2 T (t) (R3 )).
6
Remark 25 Ya se han empleado campos vectoriales como los de la
de…nición anterior. Un ejemplo lo constituye la velocidad 0 de una
curva , y según vimos 0 (t) es un campo tangente en (t). Los campos vectoriales arbitrarios en
no necesariamente son tangentes a la
curva , en general pueden apuntar en cualquier dirección.
Campo Vectorial sobre una curva
Remark 26 Las propiedades de los campos vectoriales en curvas son
análogas a las de los campos vectoriales en R3 . Por ejemplo si Y es un
campo vectorial en : I ! R3 entonces, para cada t 2 I tenemos,
X
Y (t) = (y1 (t) ; y2 (t) ; y3 (t)) =
yi (t) Ui ( (t))
i
Las funciones a valores reales yi de…nidas sobre I se llaman funciones
coordenadas euclídeas de Y . Siempre se supondrá que estas funciones son diferenciables. Hay que observar que la función compuesta
t ! Ui ( (t)) es un campo vectorial en . Las operaciones de adición,
multiplicación por un escalar, producto escalar y producto vectorial de
campos vectoriales en la misma curva se de…nen todas de la forma habitual de operar punto por punto.
Example 27 Si
Y (t) = t2 U1
tU3 ;
Z (t) = (1
f (t) =
7
t+1
t
t2 ) U2 + tU3
Obtenemos los campos vectoriales
(Y + Z) (t) = t2 U1 + 1 t2 U2
(f Y ) (t) = t (t + 1) U1 (t + 1) U3
Para el producto vectorial de Y y Z en t obtenemos,
(Y
Z) (t) = t 1
t2 U1
t3 U2 + t2 1
t2 U3
Para el producto escalar Y y Z en t obtenemos la función de valores
reales,
(Y Z) (t) = t2
Para diferenciar un campo vectorial en , se derivan sus funciones coordenadas euclídeas,
Xde esta forma se obtiene un nuevo
X campo vectorial
dyi
0
en . Si Y (t) =
yi (t) Ui entonces, Y (t) =
(t) Ui . Para el
dt
i
i
caso del presente ejemplo tenemos,
Y 0 = 2tU1
U3 ; Y 00 = 2U1 ; Y 000 = 0
De…nition 28 La derivada 00 de la velocidad 0 de la curva se llama
Aceleración de . Así si la curva está dada por, = ( 1 ; 2 ; 3 ), la
aceleración 00 es el campo vectorial en ,
00
=
d2 1 d2 2 d2 3
;
;
dt2 dt2 dt2
Remark 29 La aceleración en general no es tangente a la curva.
Proposition 30 Sean Y; Z campos vectoriales en una curva
función a valores reales, a; b 2 R entonces,
, f una
1) (aY + bZ)0 = aY 0 + bZ 0
2) (f Y )0 =
df
Y
dt
+ fY 0
3) (Y Z)0 = Y 0 Z + Y Z 0
4) Si la función Y Z es constante entonces,
Y 0 Z + Y Z0 = 0
Remark 31 En el caso que el campo vectorial tenga longitud constante,
es decir kY k = c entonces,
2Y 0 Y = 0
Es decir Y e Y 0 son ortogonales.
8
Recordemos que los vectores tangentes son paralelos si tienen la
misma parte vectorial.
De…nition 32 Diremos que un campo vectorial Y en una curva es paralelo
cuando todos los valores (de vectores tangentes) son paralelos. En este
caso, si la parte vectorial que tienen en común es (v1 ; v2 ; v3 ) entonces,
X
Y (t) = (v1 ; v2 ; v3 ) (t) =
vi Ui ; 8t
i
Remark 33 El paralelismo en un campo vectorial es equivalente a la
constancia de sus funciones coordenadas euclídeas.
1) Una curva
es constante si y sólo si su velocidad es cero:
2) Una curva no constante
cero: 00 = 0.
0
= 0.
es una recta si y sólo si su aceleración es
3) Un campo vectorial en una curva es paralelo si y sólo si su derivada
es cero: Y 0 = 0
Proof. En cada caso es su…ciente examinar las funciones coordenadas.
Se demostrarán 2) y 3).
2) )) Si
(t) = tq + p; q 6= 0 entonces,
2
2
00
= 0.
2
2
= (0; 0; 0) esto nos dice que, ddt2i =
() 00 = ddt21 ; ddt22 ; ddt23
0; i = 1; 2; 3. Luego i = qi t + pi ; qi 6= 0; i = 1; 2; 3 de esta forma
(t) = tq + p con p = (p1 ; p2 ; p3 ) y q = (q1 ; q2 ; q3 ).
3) )) Por la hipótesis Y (t) = (v1 ; v2 ; v3 )
(t)
)Y0 =0
i
= 0; i = 1; 2; 3. Luego
() Y 0 (t) = dydt1 ; dydt2 ; dydt3 = (0; 0; 0) ) dy
dt
yi = vi ; i = 1; 2; 3 de donde Y (t) = (v1 ; v2 ; v3 ) (t)
3
Las Fórmulas de Frenet
Considerando curvas de rapidez unitaria se deducirán dos medidas de
fundamental importancia para estudiar el comportamiento de las curvas,
éstas son la curvatura y la torsion.
De…nition 34 Sea : I ! R3 una curva de rapidez unitaria, k (s)k =
1 para cada s 2 I entonces,
T = 0
Se llama campo vectorial tangente unitario en .
9
Remark 35 Puesto que T tiene longitud constante 1, su derivada T 0 =
00
mide la manera en que la curva da vuelta en R3 . Decimos que,
T0 =
00
es el campo vectorial de Curvatura de . Puesto que kT k2 = T
T = 1 ) T T 0 = 0 de manera que T 0 es siempre ortogonal a T , es
decir normal a . La norma de 00 (s) es decir, k 00 (s)k mide la tas de
variación del ángulo que las tangentes vecinas forman con la tangente
en s.
De…nition 36 La longitud del campo vectorial de curvatura T 0 da una
medida numérica de la manera en que da vueltas. A la función:
(s) = kT 0 k 8s 2 I
Se la denomina función de curvatura de la curva . De acuerdo a
la de…nición se tiene (s) 0 8s 2 I. A medida que es mayor, se
tienen vueltas más pronunciadas de la curva .
De…nition 37 Suponiendo que
N=
no se anula entonces,
T0
; en
Es el campo vectorial unitario que indica la dirección en que da vueltas
en cada punto. A N se lo llama el Campo vectorial Normal Principal de . Al plano generado por T y N de lo denomina Plano Osculador.
De…nition 38 Al campo vetorial
B=T
N; en
Se lo denomina Campo vectorial Binormal de .
10
Lemma 39 Sea : I ! R3 una curva de rapidez unitaria, en la que >
0 entonces, los tres campos vectoriales T; N y B son campos vectoriales
unitarios ortogonales entre si, en cada punto. Diremos que T; N y B
constituyen el campo de sistemas de referencia de Frenet en .
Proof. Por de…nición kT k = 1. Por la hipótesis = kT 0 k > 0 entonces,
0
kN k = kT k = 1. Ya se probó que T N = 0. Por Lema anterior se tiene,
kBk2 = kT
N k2 = kT k2 kN k2
(T N )2
Es decir,
kBk = 1
De manera que B es ortogonal a T y N
De…nition 40 La función
: I ! R tal que,
B0 =
N
Se llama la función de Torsión de la curva . El campo vectorial
binormal es ortogonal al plano osculador (para cada s 2 I) y kB 0 (s)k =
j j mide la tasa de variación del ángulo del plano osculador en s con
los planos osculadores vecinos, ésto es, j j indica cuan rápidamente la
curva se aparta, en una vecindad de s del plano osculador en s.
Remark 41 El signo menos tiene origen en la tradición (y evita varios
signos menos más adelante). Los valores de
pueden ser positivos,
negativos o cero. A continuación se verá que
mide la torcedura o
torsión de la curva .
Theorem 42 (Las Fórmulas de Frenet) Si : I ! R3 es una curva de
rapidez unitaria, en la que > 0 y la torsión es entonces,
T0 = N
N0 =
T+ B
0
B = N
Proof. Las fórmulas primera y tercera son en esencia las de…niciones
de curvatura y torsión. Observemos que fT; N; Bg constituye una base
ortonormal (en cada punto) por ende, N 0 se escribe en la forma:
N 0 = (N 0 T ) T + (N 0 N ) N + (N 0 B) B
Como N T = 0 entonces, N 0 T = N T 0 = N ( N ) =
. Además
0
como kN k = 1 entonces, N N = 0. Por último al ser N B = 0 se
tiene, N 0 B = N B 0 = N ( N ) = . Por lo tanto,
N0 =
T+ B
11
Example 43 Sea la hélice de rapidez unitaria
p
(s) = a cos sc ; a sin sc ; bsc c = a2 + b2 a > 0
Calculemos la función de curvatura y la torsión. Para ello calculemos
primero el campo vectorial tangente unitario.
0
T (s) =
a
s a
s b
sin ; cos ;
c
c c
c c
(s) =
Por lo tanto,
a
s
cos ;
2
c
c
T 0 (s) =
a
s
sin ; 0
2
c
c
Así obtenemos,
(s) = kT 0 k =
a
a
=
> 0; 8s
c2
a2 + b 2
El campo normal está dado por,
T 0 (s)
=
(s)
N (s) =
s
cos ;
c
s
sin ; 0
c
Observar que siempre N apunta directamente al eje del cilindro en el
que descansa la hélice. Calculemos el campo binormal.
B (s) = T (s)
N (s) =
s
b
sin ;
c
c
b
s a
cos ;
c
c c
Para calcular la torsión observemos que,
B 0 (s) =
b
s b
s
cos ; 2 sin ; 0
2
c
c c
c
Por de…nición,
B0 =
N
Comparando las expresiones de B 0 y N , concluimos:
(s) =
b
b
= 2
; 8s
2
c
a + b2
De esta manera tanto la función de curvatua, como la torsión son constante en el caso de la hélice. Cuando b = 0, la hélice se reduce a una
circunferencia de radio a > 0, la curvatura de esta circunferencia es
= a1 y la torsión es cero.
12
Remark 44 El plano que pasa por p y es ortogonal a q 6= 0 consiste de
todos los puntos r 2 R3 tales que
(r
p) q = 0
Plano
Remark 45 El objetivo es mostrar en que forma la curvatura y la torsión in‡uyen en la forma de la curva. Para este …n consideremos la
curva de rapidez unitaria (s) = ( 1 (s) ; 2 (s) ; 3 (s)) cerca del punto
(0). Si s está en un entorno pequeño del cero entonces, cada componente i (s) se puede aproximar por los primeros términos de su desarrollo de Taylor en torno a s = 0.
i (s) t
i (0) +
1 d2 i
1 d3 i
d i
2
(0) s +
(0)
s
+
(0) s3
ds
2 ds2
6 ds3
En consecuencia,
(s) t
(0) +
0
(0) s +
1
2
00
(0) s2 +
1
6
000
(0) s3
(1)
Ahora escribiendo, 0 (0) = T0 y 00 (0) = 0 N0 donde el subíndice indica
la evaluación en s = 0 y suponiendo 0 6= 0. Ahora bien 000 se calcula
como,
d
000
= ( N )0 =
N + N0
ds
Usando las fórmulas de Frenet y evaluando en s = 0 obtenemos,
000
(0) =
2
0 T0
+
d
(0) N0 +
ds
13
0 0 B0
Sustituyendo en (1) obtenemos,
(s) t
(0) + T0 s +
1
2
0 N0 s
2
+
1
6
0 0 B0 s
3
= e (s)
La curva e se llama aproximación de Frenet de en las proximidades de s = 0. El primer término de e es el punto (0). Los dos
primeros dan la recta tangente s ! (0) + T0 s de en (0), llamada
aproximación lineal de cerca de (0). Cuando se consideran los
tres primeros términos se tiene la parábola s ! (0) + T0 s + 21 0 N0 s2
que resulta la mejor aproximación cuadrática de de cerca de (0).
Esta parábola está sobre el plano
r 2 R3 : (r
(0)) B0 = 0
Llamado plano osculador de en (0). Esta parábola tiene la misma
forma que la parábola y = 21 0 x2 en el plano xy y queda determinadad
por la curvatura 0 de en s = 0. La torsión 0 que aparece en el último
término de e controla el desplazamiento de en la direción ortogonal al
plano osculador en (0).
(t; t; et
1)
150
100
z
50
-4
-4
-2
y4
0
0 0
2
-2
2
x
4
Proposition 46 Si una curva de rapidez unitaria tiene curvatura nula
entonces, es una recta.
00
Proof. Puesto que
= kT 0 k = k 00 k = 0 ,
= 0 es decir la
aceleración de la curva es cero y por lo tanto es una recta
14
De…nition 47 Diremos que una curva en R3 es plana si está enteremente contenida en un plano.
Remark 48 La aproximación de Frenet de una curva , hace ver que
si s es pequeño (próximo a s = 0), la curva tiende a quedarse en su
plano osculante en (0), lo que hace que se aleje del plano osculante
(se tuerza) es el hecho que 0 6= 0.
Corollary 49 Sea
una curva de rapidez unitaria en R3 en la cual
> 0. Entonces es una curva plana si y sólo si = 0.
Proof. Supongamos que es una curva plana entonces, existen p y q
tales que,
( (s) p) q = 0; 8s
Diferenciando dos veces resulta,
0
00
(s) q =
(s) q = 0; 8s
00
Por lo tanto q es siempre ortogonal a T = 0 y a N = . Sabemos que
el campo binormal es también ortogonal a T y a N y que kBk = 1 conq
, en consecuencia B 0 = 0 y por de…nición = 0.
cluimos que, B = kqk
Recíprocamente, supongamos = 0 entonces, B 0 = 0. Esto signi…ca que
B es paralelo, por lo cual sus funciones coordenadas euclídeas son constantes. Luego descansa en el plano que pasa por (0) y es ortogonal
a B. Para ver ésto sea,
(0)) B 8s
f (s) = ( (s)
Entonces,
Como f (0) = 0 ) f
df
=
ds
0 luego,
( (s)
Con lo cual
B.
0
B=T B
(0)) B = 0 8s
descansa en el plano que pasa por
(0) y es ortogonal a
Lemma 50 Si es una curva de rapidez unitaria con curvatura constante > 0 y torsión cero entonces, forma parte de una circunferencia
de radio 1 .
15
Proof. Al ser > 0 y = 0 resulta una curva plana, hay que probar
que cada punto de está a una distancia 1 de un cierto punto …jo, que
será el centro de la circunferencia de la cual forma parte. Para demostrar
éste hecho consideremos la curva,
1
+ N
=
Entonces,
0
=
0
1
1
+ N0 = T +
1
T
=0
Por lo cual existe c 2 R3 tal que,
1
(s) + N (s) = c 8s
De esta última igualdad se concluye,
k (s)
ck =
1
8s
Como se deseaba ver.
Corollary 51 Supongamos que es una curva de rapidez unitaria que
descansa en la esfera S 2 = fr 2 R3 : krk = a; a > 0g entonces, la cur1
.
vatura de satisface
a
Proof. Puesto que descansa en la esfera, k (s)k2 = (s) (s) = a2 ,
al difeerenciar obtenemos, 2 (s) 0 (s) = 0, es decir T = 0. Derivando
nuevamente se obtiene,
0
T0 = 0
T+
Aplicando las fórmulas de Frenet,
T T+
N =0 )
N=
Usando la desigualdad de Schuarz,
j
Nj
k k kN k = a
de donde,
=
1
j Nj
16
1
a
1
4
Curvas de Rapidez Arbitraria
a) Si s (t) =
tonces,
Zt
k
0
(u)k du es una función longitud de arco de
en-
a
(t) =
(s (t)) 8t
La curva
es una reparametrización de
de rapidez unitaria.
Notamos a por = entonces, = (s). Si > 0; T ; N y B
se han de…nido para se de…ne con relación a
a) La función de curvatura:
b) La función torsión:
=
(s)
= (s)
c) El campo vectorial tangente unitario: T = T
d) El campo vectorial normal principal: N = N
e) El campo vectorial binormal: B = B
En general
y
son funciones distintas, de…nidas en intervalos
diferentes, pero dan la misma descripción de las vueltas que hay en
puesto que, en cualquier punto se veri…ca,
las trayectorias de
y
(t) = (s (t)), los números (t) y (s (t)) son por de…nición iguales.
Lo mismo sucede con el resto del aparato de Frenet. El signi…cado
geométrico fundamental es el mismo pues, solamente interviene en la
de…nición un cambio de parametrización. En particular T; N y B vuelve
a ser un campo de sistema de referencia de .
Lemma 52 Si
es una curva regular en R3 con
> 0 entonces,
T 0 = vN
N0 =
vT + vB
0
B = vN
(2)
Donde v = k 0 k es la rapidez de la curva .
de rapidez unitaria enZt
tonces, por de…nición T = T (s) donde s (t) =
k 0 (u)k du es una
Proof. Sea
es una reparametrización de
a
función longitud de arco de . Por la regla de la cadena se veri…ca:
T 0 = T 0 (s)
17
ds
dt
0
0
Por Frenet se tiene, T = N y por de…nición T (s) =
= k 0 k = v en consecuencia,
Además ds
dt
(s) N (s) = N .
T 0 = vN
Las fórmulas de N 0 y B 0 se deducen de la misma manera.
Lemma 53 Si es una curva regular en R3 cuya función de rapidez es
v entonces, la velocidad y la aceleración de están dadas por:
0
= vT
dv
00
= T + v2N
dt
Velocidad y Aceleración
Proof. Sea
(t) =
(s (t)) con s (t) =
Zt
v (u) du entonces,
a
0
0
(t) =
(s (t))
ds
= vT = vT
dt
Derivando por segunda vez obtenemos:
00
=
dv
T + vT 0
dt
Usando el resultado del lema anterior obtenemos:
00
=
dv
T + v2N
dt
18
es una curva regular en R3 entonces,
Theorem 54 Si
1) T =
0
0k
k
2) N = B
3) B =
T
0
4)
=
k
5)
=
(
00
0
k
0
00 k
0 k3
k
0
k
00 k
00 )
000
00 k2
0
Proof. Por ser una curva regular se tiene que v = k 0 k > 0, la fórmula
0
T = k 0 k es equivalente a 0 = vT entonces, usando el lema anterior,
0
00
0
00
dv
T + v2N
dt
N
= vT
= v3T
00
= v3B
0
Tomando norma:
k
0
00
k = v 3 kBk = v 3
00
Esta última fórmula dice que en las curvas regulares la condición k 0
k>
0
0 es equivalente a la condición > 0, de esta forma cuando > 0,
y
00
son linealmente independientes y determinan el Plano Osculante en
cada punto como lo hacen T y N . Entonces
=
0
k
00
v3
0
B=
k
=
00
0
k
k
00
0 k3
0
k
00
=
00 k
v3
k 0
En cualquier campo de sistema de referencia de Frenet se cumple: N =
B T . Para calcular apelamos al lema anterior nuevamente,
00
=
dv
T + v2N
dt
Derivando,
d2 v
dv 0 d ( v 2 )
T
+
T +
N + v2N 0
dt2
dt
dt
Usando las fórmulas (2) obtenemos,
000
000
=
d2 v
dt2
=
2 3
v
T+
v
19
dv d ( v 2 )
+
dt
dt
N+
v3B
Luego,
0
(
Puesto que k
0
00
00
000
)
= v3B
000
2
=
v6
k = v 3 se concluye,
=
(
0
k
00
000
)
00 k2
0
Example 55 Calcular el aparato de Frenet de la curva:
t3 ; 3t2 ; 3t + t3
(t) = 3t
Derivando obtenemos,
0
(t) = 3 1 t2 ; 2t; 1 + t2
00
(t) = 6 ( t; 1; t)
000
(t) = 6 ( 1; 0; 1)
0
Al calcular la norma de
(t) obtenemos:
p
v (t =) k 0 (t)k = 3 2 1 + t2
Por otro parte
0
00
(t)
1 + t2 ; 2t; 1 + t2
(t) = 18
Y por lo tanto,
0
k
0
De las expresiones para
(
00
(t)
0
p
(t)k = 18 2 1 + t2
00
(t)
00
(t)
(t) y
(t))
000
000
(t) resulta,
(t) = 216
Al sustituir en las fórmulas del teorema obtnemos:
1)
T =p
1
1
2 (1 + t2 )
t2 ; 2t; 1 + t2
2)
N=
1
(1 + t2 )
20
2t; 1
t2 ; 0
3)
B=p
1
2 (1 + t2 )
1 + t2 ; 2t; 1 + t2
4)
=
=
1
3 (1 + t2 )2
De…nition 56 Se dice que una curva regular en R3 es una Hélice
Cilíndrica cuando el campo tangente unitario T de
forma un ángulo constante con algún vector …jo u es decir,
T (t) u = cos ; 8t
Esta condición no se ve alterada por reparametrización de modo que
para …nes teóricos, necesitamos estudiar solamente una Hélice cilíndrica
con rapidez unitaria. Supongamos de rapidez unitaria en la cual
T (t) u = cos . Si se toma un punto de referencia, por ejemplo (0),
en y considerando la función de valores reales:
h (s) = ( (s)
Esta función mide cuánto se "alza"
(3)
(0)) u
(s) en la dirección u desde
5
4
3
z
-1.0
2
1
-1.0
-0.5
-0.5
0
0.0 0.0
0.5
1.0
y
0.5
x
1.0
Hélice circular
Derivando (3) obtenemos,
dh
=
ds
0
u = T u = cos
21
(0).
De manera que
se alza con una tasa constante en relación con la
longitud de arco y por lo tanto,
h (s) = s cos
En el caso de una parametrización arbitraria esta fórmula se convierte
en:
h (t) = s (t) cos
Donde s es la función longitud de arco.
Al trazar una recta por cada punto de en la dirección de u, se
construye un cilindro generalizado C en el cual descansa de manera
que corta a cada Regladura en un ángulo constante .
Cilindro Generalizado
Theorem 57 Una curva regular en R3 en la cual
cilíndrica si y sólo si es constante.
> 0, es una hélice
Proof. Se puede suponer que tiene rapidez unitaria.
)) Si es una hélice cilíndrica en la cual T u = cos entonces,
0 = (T u)0 = T 0 u = N u
Como
> 0, se tiene,
N u=0
22
Entonces para cada t, el vector u está en el plano determinado por
T y B. Puesto que fT; N; Bg es base ortonormal tenemos,
u = cos T + sin B
Diferenciando y usando las fórmulas de Frenet obtenemos:
( cos
sin ) N = 0
En consecuencia
cos = sin
De forma tal que,
= cot
es de valor constante.
() Si es constante. Sea
tal que,
= cot . Sea
U = cos T + sin B
Entonces,
U 0 = ( cos
sin ) N = 0
Este campo vectorial paralelo U , determina un vector unitario u con la
propiedad:
T u = cos
De manera que
es una hélice cilíndrica
Example 58 La curva (t) = (3t t3 ; 3t2 ; 3t + t3 ) es una hélice cilín1
drica pues = = 3(1+t
= 1 = cot , tomando = 4 ,
2 )2 entonces,
obtenemos
u = cos T + sin B = (0; 0; 1)
Observar que no es ncesrio convertir a en una curva de rapidez unitaria. Al reparametrizar se reparametriza ; ; T y B sin afectar a
ni a u.
Remark 59 Imponiendo las siguientes hipótesis a una curva regular en
R3 producen los efectos citados:
a)
= 0 , la curva es una recta.
b)
= 0 , la curva es plana.
c)
=c>0y
d)
= c1 > 0 y
e)
= cons tan te , la curva es una hélice cilíndrica.
= 0 , la curva es una circunferencia.
= c2 6= 0 , la curva es una hélice circular.
23
5
Derivada covariante
De…nition 60 Sea W un campo vectorial en R3 y sea v 2 Tp (R3 ). La
derivada covariante de W con respecto a v es el vector tangente:
rv W =
dW (p + tv)
dt
t=0
De esta forma rv W mide la rapidez inicial de variación de W (p) a
medida que p se desplaza en la dirección v.
(t; 0; 0)
Derivada covariante
Example 61 Si W = x2 U1 + yzU2 , v = ( 1; 0; 2) y p = (2; 1; 0)
entonces,
rv W =
Lemma 62 Si W =
dW (p + tv)
dt
3
X
i=1
Tp (R3 ) entonces,
=
4U1 (p) + 2U2 (p)
t=0
wi Ui es un campo vectorial en R3 y si v 2
rv W =
3
X
v [wi ] Ui (p)
i=1
Proof. Al evaluar W en p+tv obtenemos, W (p + tv) =
3
X
wi (p + tv) Ui (p + tv)
i=1
al diferenciar un campo vectorial, se diferencia sus coorenadas euclídeas
24
(y las evaluamos en t = 0). La derivada de wi (p + tv) en t = 0 es v [wi ]
3
X
de esta forma obtenemos rv W =
v [wi ] Ui (p)
i=1
Theorem 63 Sean v; w 2 Tp (R3 ) y Y y Z campos vectoriales en R3 ,
f 2 C 1 y a; b 2 R entonces,
1) rav+bw Y = arv Y + brw Y
2) rv (aY + bZ) = arv Y + brv Z
3) rv (f Y ) = v [f ] Y (p) + f (p) rv Y
4) v [Y Z] = rv Y Z (p) + Y (p) rv Z
Proof. Demostraremos 4) con las otras a…rmaciones se procede de forma
similar. Considermos:
Y =
3
X
yi Ui ;
Z=
i=1
3
X
zi Ui
i=1
Entonces,
Y Z=
3
X
yi zi
i=1
Luego,
v [Y Z] =
3
X
v [yi ] zi (p) +
i=1
Por otra parte,
rv Y =
3
X
3
X
yi (p) v [zi ]
i=1
v [yi ] Ui (p) ;
i=1
rv Z =
3
X
v [zi ] Ui (p)
i=1
De esta forma
v [Y Z] = rv Y Z (p) + Y (p) rv Z
De…nition 64 Se puede tomar la derivada covariante de un campo vec3
X
torial W respecto de otro campo vectorial V , si W =
wi Ui entonces,
i=1
rV W =
3
X
i=1
25
V [wi ] Ui
Example 65 Si V = (y x) U1 + xyU3 y W = x2 U1 + yzU3 , calcular
rV W (p) en p = (2; 1; 0) . Si se tiene en cuenta la identidad
Ui [f ] =
@f
@xi
entonces,
V x2 = (y x) U1 x2 = 2x (y
V [yz] = xyU3 [yz] = xy 2
x)
Por lo tanto,
x) U1 + xy 2 U3
rV W = 2x (y
Como p = (2; 1; 0) obtenemos,
rV W (p) =
4U1 (p) + 2U2 (p)
Theorem 66 Sean V; W; Y y Z campos vectoriales en R3 , f; g 2 C 1 y
a; b 2 R entonces,
1) rV (aY + bZ) = arV Y + brV Z
2) rf V +gW Y = f rV Y + grW Y
3) rV (f Y ) = V [f ] Y + f rV Y
4) V [Y Z] = rV Y Z + Y rV Z
Remark 67 Observar que f rV Y = rf V Y 6= rV (f Y )
Theorem 68 Sea W un campo vectorial de…nido en una región que
contiene la curva . Entonces, t ! W ( (t)) es un campo vectorial en
que se denomina la restricción de W a
y se denota por W este
campo tiene la propiedad:
r
Proof. Por hipótesis 8t; W
3
X
que W =
wi Ui entonces,
0 (t)
W = (W )0 (t)
(t)
= W ( (t)) 2 T
(t)
(R3 ). Supongamos
i=1
W ( (s)) =
3
X
wi ( (s)) Ui ( (s))
i=1
26
De esta forma tenemos:
(W )0 (t) =
3
X
dwi ( (s))
(t) Ui ( (t))
ds
i=1
Por otra parte,
r
Al calcular
0
0
0 (t)
W =
3
X
0
(t) [wi ] Ui ( (t))
i=1
(t) [wi ] tenemos:
dwi ( (t) + s
(t) [wi ] =
ds
0
(t))
=
s=0
3
X
@wi
j=1
@xj
Por lo que antecede tenemos:
r
0 (t)
W = (W )0 (t)
27
( (t))
0
(t) =
dwi ( (s))
(t)
ds