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Demanda Transcripción
Prácticas de Fourier - Departamento de Matemática Aplicada y
Prácticas de Fourier
Jose Salvador Cánovas Peña
Silvestre Paredes Hernández
Departamento de Matemática Aplicada y Estadística.
Índice general
1. Transformada y series de Fourier
1.1. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
2
5
Capítulo 1
Transformada y series de Fourier
1.1.
Series de Fourier
Mathematica tiene varias sentencias para calcular las series de Fourier de funciones periódicas. Si suponemos que () es una función 2-periódica definida en [− ], la sentencia
FourierTrigSeries[f[t],t,n]
nos da la serie de Fourier de () hasta orden , es decir nos da
0 X
[ cos() + sen()]
− +
2
=1
donde
Z
1
=
() cos()
−
Z
1
=
() sen()
−
Por ejemplo
FourierTrigSeries[t+t^2,t,3]
nos da la salida
µ
¶
µ
¶
1
1
1
1
2
+ 4 − cos + cos(2) − cos(3) − 2 − sen + sen(2) − sen(3)
3
4
9
2
3
A dicha sentencia se le puede añadir la opción FourierParameters-{1,Pi/L} para poder obtener la serie para funciones 2—periódicas en general. Si por ejemplo queremos desarrollar una
función 2—periódica resultante de extender periódicamente 2 , ∈ [−1 1], a toda la recta real,
escribiremos
FourierTrigSeries[t^2,t,3,FourierParameters-{1,Pi}]
2
obteniendo el resultado
1 4 cos () cos (2) 4 cos (3)
+
−
−
3
2
2
2
Como sabemos, las series de Fourier tienen una forma especial para el caso de funciones pares
o impares, ya que en estos casos los coeficientes del seno o coseno se hacen nulos. Supongamos
una función () definida en [0 ] a la que extendemos de forma par en [− ] y 2—periódica a
toda la recta real. Dicha función solo tendrá coeficientes coseno no nulos y su serie la obtenemos
como
FourierCosSeries[f[t],t,n],
y cuyos coeficientes se obtienen de la expresión
Z
2
=
() cos()
0
Si la extensión de () a [− 0] es impar, la serie sólo tendrá coeficientes seno que se calculan
con la sentencia
FourierSinSeries[f[t],t,n],
con coeficientes
2
=
Z
() sen()
0
A ambas sentencias se les puede añadir la opción FourierParameters-{1,Pi/L} para funciones
definidas inicialmente en el intervalo [0 ].
Por ejemplo
FourierCosSeries[t^2,t,3],
nos devuelve la salida
mientras que
µ
¶
2
1
1
+ 4 − cos + cos(2) − cos(3)
3
4
9
(1.1)
FourierSinSeries[t^2,t,3],
produce la respuesta
¶
µ
¶
µ
2
8
8
sen − sen(2) +
−
sen(3)
2 −
3
27
Como podemos observar, la salida (1.1) coincide con el resultado de
FourierTrigSeries[t^2,t,3],
ya que 2 en [− ] es una función par.
Démonos cuenta de que FourierSinSeries[t^2,t,3] no es el desarrollo de 2 como una función
definida en [− ] sino de la extensión 2—periódica de la función impar
½
−2 ∈ [− 0]
() =
2
∈ [0 ]
3
Las expresiones
FourierSinSeries[t^2,t,3,FourierParameters-{1,Pi}]
y
FourierCosSeries[t^2,t,3,FourierParameters-{1,Pi}]
nos darían los desarrollos suponiendo 2 definida inicialmente en [0 1].
Actividad 1 Encuentre los desarrollos en serie de Fourier de orden 10 de las siguientes funciones periódicas (se da su valor en el intervalo [− ] con 2 el periodo).
½
−1 ∈ [−1 0)
1. () =
1
∈ [0 1]
½
∈ [−2 0)
2. () =
0 ∈ [0 2]
3. () = ∈ [−1 1]
½
− ∈ [−1 0)
4. () =
∈ [0 1]
⎧
⎨ 1 ∈ [−2 0)
0 ∈ [0 1)
5. () =
⎩
1 ∈ [1 2]
½
0 ∈ [−2 1)
6. () =
1 ∈ [1 2]
½
0 ∈ [− 0)
7. () =
∈ [0 ]
½ −
∈ [−2 0)
8. () =
∈ [0 2]
Actividad 2 Obtenga los desarrollos seno y coseno de orden 10 de las funciones siguientes:
1. cos definida en [0 ]
2. sen(2) definida en [0 ]
3. 3 definida en [0 1]
4. definida en [0 6]
5. cos definida en [0 2]
4
Actividad 3 Los extremos de una barra de cobre (2 = 114) de longitud 2 metros se mantienen
a temperatura de 0◦ . Encuentre la expresión de la temperatura de la barra para las siguientes
condiciones iniciales
1. (0 ) = 65 cos2 (), 0 ≤ ≤ 2.
2. (0 ) = 70 sen , 0 ≤ ≤ 2.
½
60
∈ [0 1)
3. (0 ) =
60(2 − ) ∈ [1 2]
½
0 ∈ [0 1)
4. (0 ) =
75 ∈ [1 2]
Nota: Tome desarrollos en serie de Fourier de orden 5 y 10 y represente la solución gráficamente.
Actividad 4 Resuelva el problema
⎧
= 0 ∈ (0 3)
⎪
⎪
⎨
(0 ) = () 0 3
(0 ) = 0 0 3
⎪
⎪
⎩
( 0) = 0 ( 3) = 0 0
⎧
∈ [0 1)
⎨
1
∈ [1 2)
donde () =
⎩
2 − ∈ [2 3]
Nota: Tome desarrollos en serie de Fourier de orden 5 y 10 y represente la solución gráficamente
1.2.
Transformada de Fourier
Mathematica tiene una sentencia para calcular la transformada de Fourier de una función
(). Dicha sentencia tiene la forma
FourierTransform[f[t],t,w]
donde es la variable de la función a transformar y es la función de la transformada. Sin
embargo, la transformada se calcula por la fórmula
Z ∞
1
()−
F[]() = √
2 −∞
es decir, difiere en
√1
2
del valor introducido en clase. Por ejemplo
FourierTransform[Exp[-t^2],t,w]
5
que da lugar a la salida
2
− 4
√
2
Para la transformada inversa tenemos la expresión InverseFourierTransform, cuya sintaxis es
InverseFourierTransform[f[w],w,t].
Por ejemplo
InverseFourierTransform[Exp[-w^2],w,t]
devuelve la salida
2
− 4
√
2
Adicionamente, tenemos la función Convolve que realiza la convolución de dos funciones y
cuya sintaxis es
Convolve[f[x],g[x],x,y]
donde es la variable independiente de la convolución de las funciones y . Por ejemplo
Convolve[x,Exp[-x^2],x,y]
2
calcula la convolución de las funciones y − , y que devuelve la salida
√
Actividad 5 Encuentre la transformada de Fourier de las siguientes funciones ( 0):
½
cos || 2
1. () =
0
|| ≥ 2
½
||
2. () =
0 || ≥
½
− || ||
3. () =
0
|| ≥
Actividad 6 Calcule la convolución ∗ es los siguientes casos ( 0):
½
1 ||
1. () =
0 || ≥
2. () = −||
2
Actividad 7 Calcule la transformada de Fourier inversa de la función () = − (1 + 2 ).
6
Actividad 8 Resuelva el problema
½
= ∈ (−∞ ∞) 0
(0 ) = () ∈ (−∞ ∞)
donde:
2
1. () = −
½
1 ||
2. () =
0 || ≥
3. () = 0 () siendo 0 la función de Heaviside.
Actividad 9 Utilice la transformada de Fourier para obtener la solución formal del problema
½
= + ∈ (−∞ ∞) 0
(0 ) = () ∈ (−∞ ∞)
Actividad 10 Utilice la transformada de Fourier para obtener la solución formal del problema
⎧
⎨ + = 0 ∈ (−∞ ∞) 0 1
( 0) = 0 ∈ (−∞ ∞)
⎩
( 1) = () ∈ (−∞ ∞)
7
