Representaciones de matrices

Transcripción

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LECCIÓN
CONDENSADA
6.1
Representaciones de matrices
En esta lección
●
●
Representarás unos sistemas cerrados con unos diagramas de transición y
unas matrices de transición
Usarás las matrices para organizar información
Sandra trabaja en una guardería infantil. El lunes y el miércoles pasados
por la tarde, los niños podían escoger entre pintar con las manos o jugar
algún juego. De los niños que pintaron con las manos el lunes, el 80%
volvieron a pintar el miércoles, mientras que el 20% jugaron algún juego.
De los niños que jugaron el lunes, el 60% volvieron a jugar el miércoles,
mientras que el 40% pintaron. Sandra hizo un diagrama para representar
esta información.
.4
.8
.6
Pintar con
las manos
Jugar
.2
Las flechas y los rótulos muestran los patrones de las actividades de los niños. Por
ejemplo, la flecha circular rotulada .6 indica que el 60% de los niños que jugaron
el lunes también jugaron el miércoles. La flecha rotulada .4 indica que el 40% de
los niños que jugaron el lunes pintaron el miércoles.
Lee los primeros tres párrafos de la lección en tu libro, donde se
presenta otro ejemplo de un diagrama de transición y una matriz de
transición.
Miércoles
Pintar con
las manos
Jugar
Lunes
Los diagramas como el anterior se llaman diagramas de transición
porque muestran cómo cambia algo de un momento al siguiente.
Podrías mostrar la misma información en una matriz de transición.
Una matriz es un arreglo rectangular de números. Aquí se ve una
matriz de transición basada en la información de Sandra con respecto
a la guardería.
Pintar con las manos
Jugar
.8
.4
.2
.6
Esta entrada muestra que el
40% de los niños que
jugaron algún juego el lunes
pintaron el miércoles.
Investigación: Decisiones frías
Completa la investigación en tu libro por tu propia cuenta, y después lee las
respuestas dadas a continuación.
Paso 1
.10
.95
.90
Helado
Paso 2
Esta semana
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.05
Yogurt congelado
Siguiente semana
Helado Yogurt congelado
Helado .95
Yogurt .10
congelado
.05
.90
Paso 3 En la segunda semana, el 95% de los 220 que tomaron helado y el 10%
de los 20 que tomaron yogurt congelado escogen helado. Esto significa que
220(.95) 20(.10) 211 estudiantes eligen helado.
Con un razonamiento similar, 220(.05) 20(.90) 29 estudiantes eligen yogurt
congelado.
Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish
©2004 Key Curriculum Press
(continúa)
CHAPTER 6
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Lección 6.1 • Representaciones de matrices (continuación)
Paso 4 En la segunda semana, hay 211 que toman helado y 29 que toman yogurt
congelado. Estos cálculos dan los valores de la tercera semana:
211(.95) 29(.10) 203 que toman helado
211(.05) 29(.90) 37 que toman yogurt congelado
Sea in y fn la cantidad de los que comen helado y yogurt congelado en la
semana n. Entonces la rutina recursiva es
Paso 5
i1 220 y f1 20
in in1(.95) fin1(.10)
donde n 2
fn in1(.05) fin1(.90)
donde n 2
Paso 6 El número de los que toman helado se acercará a 160, y el número de
los que toman yogurt congelado se acercará a 80. Una manera de llegar a esta
conclusión es introducir las fórmulas recursivas para in y fn en tu calculadora,
y calcular sus valores para los valores grandes de n.
Las matrices son útiles para organizar información. La matriz [B] presentada aquí
representa el número de estudiantes por grado en las North High School y South
High School. Las filas, de arriba hacia abajo, representan a los de primer año,
segundo año, tercer año, y último año, respectivamente; las columnas, de izquierda
a derecha, representan a la North High School y la South High School. Por
ejemplo, el 302 indica que hay 302 del tercer año en la North High School.
347
289
[B] 302
270
211
253
192
225
Las dimensiones de una matriz son el número de filas y columnas. La matriz [B]
tiene dimensiones de 4 2. Cada número de una matriz se llama una entrada, o
elemento, y se identifica como bij , donde i y j son los números de las filas y las
columnas, respectivamente. En la matriz [B], b42 225, la entrada de la fila 4,
la columna 2.
El Ejemplo A en tu libro muestra cómo puedes usar una matriz para representar
los vértices de un polígono. Lee ese ejemplo atentamente.
El Ejemplo B regresa a la encuesta de Karina sobre esquiadores y snowboarders del
principio de la lección de tu libro. Lee ese ejemplo atentamente. Para asegurarte
de que entiendes las ideas, sigue una serie parecida de pasos para resolver este
problema:
En la guardería de Sandra, 25 niños pintaron con las manos el lunes y
30 jugaron. ¿Cuántos niños hicieron cada actividad el miércoles? Organiza
la información del miércoles en una matriz de la forma
[número de los que pintaron
número de los que jugaron]
Observa que los diagramas y matrices de transición muestran el cambio en un
sistema cerrado—es decir, un sistema en el cual no se agrega ni se elimina nada.
Los diagramas funcionan bien en la representación de problemas relativamente
sencillos, pero pueden ser difíciles de usar en situaciones en las que existen
muchas condiciones iniciales. En tales situaciones, por lo general, una matriz
de transición es más clara y más fácil de interpretar.
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CHAPTER 6
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LECCIÓN
CONDENSADA
6.2
Operaciones con matrices
En esta lección
●
●
●
Sumarás y restarás unas matrices y multiplicarás una matriz por un
escalar
Usarás operaciones con matrices para transformar una figura geométrica
Resolverás unos problemas reales que requieren que multipliques matrices
Una matriz es una manera compacta de organizar los datos. El uso de matrices te
permite llevar a cabo operaciones con tus datos. En esta lección, verás su utilidad.
El texto en la página 307 de tu libro ilustra cómo sumar dos matrices. En
general, sumas (o restas) dos matrices sumando (o restando) las entradas
correspondientes. Puedes sumar o restar matrices solamente si tienen las mismas
dimensiones. Este ejemplo muestra cómo calcular la diferencia de dos matrices.
58
9
7
4
4
4
13
7
2
7
54
10
8 13
97
72
1
47
5
4 10
2
5
3
6
El Ejemplo A en tu libro ilustra cómo puedes usar las operaciones con matrices
para transformar un triángulo. Lee ese ejemplo. En general, trasladas un triángulo
h unidades horizontalmente y k unidades verticalmente al sumar la matriz
hk
h
k
h
k
a la matriz de coordenadas, y dilatas el triángulo por un factor de a
multiplicando la matriz de coordenadas por el escalar a. Puedes usar los mismos
métodos para transformar cualquier polígono. Tal vez te convenga dibujar tu
propio polígono en una cuadrícula de coordenadas, representarlo con una
matriz, y después experimentar usando unas operaciones con matrices para
transformarlo.
La multiplicación de matrices es un poco más complicado que la suma de
matrices o la multiplicación de una matriz por un escalar. En el Ejemplo B en tu
libro se usa un problema de la Lección 6.1 para mostrar cómo multiplicar una
matriz con sólo una fila por otra matriz. Lee este ejemplo con mucha atención.
La investigación y el Ejemplo C te darán más práctica con la multiplicación de
matrices.
Investigación: Encuentra tu lugar
Lee la introducción y el Paso 1 de la investigación en tu libro. Completa el resto
de la investigación por tu cuenta. No podrás responder el Paso 5. Supón que
15 autos empiezan en la Ciudad A, 10 en la Ciudad B, y 5 en la Ciudad C.
Cuando hayas terminado la investigación, lee las respuestas siguientes.
Paso 2 El diagrama a continuación presenta las reglas de la simulación. El
diagrama indica, por ejemplo, que teóricamente, en cada “vuelta” el 10% de los
autos de la Ciudad C se desplazarán a la Ciudad B, el 20% se desplazarán a la
(continúa)
CHAPTER 6
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Lección 6.2 • Operaciones con matrices (continuación)
Ciudad A, y el 70% se quedarán en la Ciudad C. Aquí se muestra
la matriz de transición de la situación. Asegúrate de entender lo
que representa cada entrada.
.3
.3
.2
.5
.5
.5
0
.2
.1
.7
.5
A
B
.2
.5
.2
0
.5
.1
Paso 3 Supón que 15 autos empiezan en la Ciudad A, 10 en la
Ciudad B, y 5 en la Ciudad C. Estas condiciones se representan
con la matriz [15
10
5].
C
.7
La multiplicación de las matrices se presenta a continuación. Las entradas de la
matriz producto son el número de autos que hay en las Ciudades A, B, y C,
respectivamente, después de la primera transición.
[15
10
.3
5] .5
.2
.2
.5
.1
.5
0 [10.5
.7
8.5
11]
Piensa en cómo se relacionan los cálculos con la situación. Por ejemplo, en la
primera transición, el 30% de los 15 autos de la Ciudad A se quedan ahí, el 50%
de los 10 autos de la Ciudad B se desplazan a la Ciudad A, y el 20% de los 5
autos de la Ciudad C se desplazan a la Ciudad A. Por tanto, el nuevo número de
autos que hay en la Ciudad A es 15(.3) 10(.5) 5(.2). Éste es la suma de los
productos de las entradas de la matriz de las condiciones iniciales y las entradas
de la primera columna de la matriz de transición. ¿Cómo se calculan las otras
entradas de la matriz producto?
Paso 4 Estas matrices muestran el número de autos que hay en cada ciudad
durante cada una de las siguientes cuatro semanas.
Semana 2: [9.6
Semana 4: [9.0015
7.45
12.95]
6.6955
14.303]
Semana 3: [9.195
Semana 5: [8.9088
6.94
13.865]
6.57835
14.51285]
Si continúas multiplicando cada resultado por la matriz de transición, encontrarás
que los valores a la larga son [9
6
15].
En los productos que has calculado hasta ahora, la matriz del lado izquierdo sólo
tenía una fila. El Ejemplo C en tu libro muestra cómo hallar el producto cuando la
matriz de la izquierda tiene más de una fila. Continúa con este ejemplo, usando papel
y lápiz. Ten presente que aprender cómo multiplicar matrices requiere de práctica.
Cuando trabajes los ejercicios de tarea, te sentirás más a gusto con el proceso.
En el Ejemplo C se señala que solamente puedes multiplicar dos matrices si el
número de columnas en la matriz de la izquierda es igual al número de filas en
la de la derecha—o sea, si las dimensiones internas de las matrices son iguales.
Las dimensiones externas te dicen las dimensiones de la matriz producto. Por
ejemplo, sí puedes multiplicar una matriz de 4 6 por una matriz de 6 3,
porque las dimensiones internas son ambas 6. El resultado será una matriz de
4 3. No puedes multiplicar una matriz de 6 3 por una matriz de 4 6,
porque las dimensiones internas, 3 y 4, no son iguales.
En el texto del recuadro “Matrix Operations” (Operaciones con matrices) en la
página 313 de tu libro, se resume lo que has aprendido en la lección. Lee este
texto y después practica las operaciones hasta que te sientas a gusto con ellas.
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CHAPTER 6
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LECCIÓN
CONDENSADA
6.3
Método de reducción de filas
En esta lección
●
●
Escribirás unos sistemas de ecuaciones como las matrices aumentadas
Resolverás unos sistemas de ecuaciones usando el método de reducción de filas
La Lección 6.3 introduce un método para resolver sistemas de ecuaciones usando
matrices. Lee la lección en tu libro hasta el Ejemplo A. El texto que sigue
inmediatamente al Ejemplo A muestra cómo representar las operaciones con filas
de manera simbólica. En el ejemplo siguiente, se utiliza dicha notación para
resumir cada paso. Trata de resolver el sistema dado en el ejemplo por tu propia
cuenta, antes de leer la solución.
EJEMPLO
Usa el método de reducción de filas para resolver este sistema.
3x2x 2yy 101
Solución
Las ecuaciones se dan en forma estándar, así que copia los coeficientes y las
constantes a una matriz aumentada.
3x2x 2yy 101 → 32
2 1
1 10
Realiza las operaciones en filas para transformar esta matriz en la matriz solución.
12
3 9
1 10
Suma 1 multiplicado por la fila 2 a la fila 1 para obtener 1 para m11:
R2 R1 → R1
10
3 9
7 28
2R1 R2 → R2
10
3 9
1 4
Divide la fila 2 entre 7 para obtener 1 para m22:
10
0
3
1 4
3R2 R1 → R1
R2
7
→ R2
La última columna de la matriz solución indica que la solución es (3, 4).
Investigación: Juego de liga
Completa la investigación de tu libro. Los resultados se dan a continuación.
Observa que los resultados utilizan los puntos (1, 0), (2, 2), y (4, 12) del Paso 2.
Tal vez te convenga usar estos puntos también, para poder verificar tu trabajo con
más facilidad.
(continúa)
CHAPTER 6
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Lección 6.3 • Método de reducción de filas (continuación)
Paso 1 Aquí se muestra una gráfica de dispersión de los datos. La
gráfica no es lineal. Parece ser cuadrática.
Paso 2 Usando los puntos (1, 0), (2, 2), y (4, 12), obtienes el siguiente
sistema de tres ecuaciones.
abc0
4a 2b c 2
16a 4b c 12
La matriz aumentada para el sistema del Paso 2 es
Paso 3
[1, 10, 1, 5, 50, 5]
1
4
16
1 0
1 2
1 12
1
2
4
Paso 4 Suma 1 multiplicado por la fila 3 a las filas 1 y 2. En notación
compacta, esto es R3 R1 → R1 y R3 R2 → R2. La matriz resultante es
15
12
16
3
2
4
5
6
16
1
1
4
0 4
0 5
1 12
5
1
1
5
4
5
0
1
1
5
0
0 4
1
0 5
1 0
0
1
5
0
0 5
1
0 5
1 0
0
0
5
0
0
5
0
0
Aquí se presenta una posible serie de pasos:
Paso 5
0 12
0 10
12
1
4
1
0
5
4
1 5
R2
R1
→ R1 y → R2
2
3
6
16
5R1 R2 → R2 y 5R1 R3 → R3
4R2 R3 → R3
5R2 R1 → R1
Paso 6
1
0
0
0
1
0
0
1
0 1
1
0
R1
→ R1 y 5R2 → R2
5
La solución aparece en la última columna: a 1, b 1, y c 0. Entonces, la
ecuación es y x 2 x.
Paso 7
Las respuestas variarán.
Lee el resto de la lección en tu libro. Asegúrate de intentar resolver el Ejemplo B,
antes de leer la solución.
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CHAPTER 6
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LECCIÓN
Resolución de sistemas
con matrices inversas
CONDENSADA
6.4
En esta lección
●
●
●
Encontrarás una matriz de identidad
Encontrarás el inverso de una matriz
Usarás unas matrices inversas para resolver ecuaciones
En cursos anteriores de matemáticas, aprendiste que el número 1 es la identidad
multiplicativa. Esto significa que cuando multiplicas cualquier número real por 1,
el número no cambia. Del mismo modo, cuando multiplicas una matriz por una
matriz de identidad, la matriz no cambia.
Lee el Ejemplo A en tu libro, que muestra cómo encontrar la matriz de identidad
2
1
1
0
. El resultado,
, es la identidad para todas las matrices de
para
4
3
0
1
2 2. Prueba esto con otra matriz de 2 2, multiplicándola en cualquier de los
1
0
.
dos lados por
0
1
En general, una matriz de identidad es una matriz cuadrada con un número
1 colocado en cada columna, a través de la diagonal principal, del extremo
izquierdo superior al extremo derecho inferior, con 0 en las demás entradas.
La notación compacta [I] se utiliza a menudo para representar una matriz
de identidad. Las matrices de identidad existen para todas las dimensiones
(cuadradas). Por ejemplo, la matriz de identidad para las matrices de 4 4 es
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
En cursos anteriores de matemáticas, también aprendiste que todo número real
que no sea cero tiene un inverso multiplicativo, que es el número por el cual
multiplicas el número real para obtener la identidad multiplicativa, 1. Por
ejemplo, el inverso multiplicativo de 35 es 53, porque 35 53 1. De igual modo,
algunas (aúnque no todas) matrices cuadradas tienen una matriz inversa. El
inverso de una matriz [A] se denota como [A]1. Cuando multiplicas una matriz
en cualquier lado por su matriz inversa, obtienes la matriz de identidad. Esto es,
[A][A]1 [I] y [A]1[A] [I]. En la investigación, encontrarás el inverso de
una matriz de 2 2.
Investigación: La matriz inversa
Sigue los Pasos 1–7 de la investigación en tu libro. Después compara tus
resultados con los siguientes.
Paso 1 Una matriz multiplicada por su matriz inversa es igual a la matriz de
identidad. Así que
24
1
3
ac
b
1
d
0
0
1
(continúa)
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Lección 6.4 • Resolución de sistemas con matrices inversas (continuación)
Paso 2
2a4a c3c
Paso 3
2a c 1
2b d 0
4a 3c 0
4b 3d 1
1
2b d
0
4b 3d
0
1
Sumando 2 multiplicado por 2a c 1 a 4a 3c 0, se obtiene c 2.
Así que 2a 2 1, lo cual significa que a 1.5. Sumando 2 multiplicado por
2b + d 0 a 4b 3d 1, se obtiene d 1. Así que 2b 1 0, lo cual significa
que b 0.5. Así que a 1.5, b 0.5, c 2, y d 1. La matriz inversa es,
por tanto,
1.5
2
0.5
1
Paso 4
Con tu calculadora, debes confirmar que [A]1 1.5
2
0.5
.
1
Paso 5
24
1
3
1.5
2
2(0.5) 1(1)
1
4(0.5) 3(1)
0
1
1.5(1) 0.5(3)
0
2(1) 1(3)
0.5
2(1.5) 1(2)
1
4(1.5) 3(2)
0
1
0
1
y
1.5
2
0.5
1
24
1
1.5(2) 0.5(4)
3
2(2) 1(4)
Ambos productos son iguales, pero la multiplicación de matrices no siempre es
1
2
, y compara [A][B] con [B][A].
conmutativa. Por ejemplo, sea [B] 2
3
Paso 6 Usa tu calculadora para intentar encontrar los inversos de las matrices.
Obtendrás un mensaje de error en cada caso, lo que indica que las matrices no
tienen inversos. Una matriz de dimensiones 2 2 no tiene inverso cuando una
fila es el múltiplo de la otra.
Paso 7 Solamente las matrices cuadradas tienen inversos. Una posible
explicación: Supón que una matriz [B] de dimensiones m n tiene inverso.
Entonces, [B][B]1 [I]. Una matriz de identidad debe ser cuadrada, de modo
que [I] debe tener las dimensiones m m. Sin embargo, debido a que también
es cierto que [B]1[B] [I], [I] debe tener las dimensiones n n. Por tanto, m
debe ser igual a n, así que [B] es cuadrada.
Recuerda que puedes resolver una ecuación de la forma ax b multiplicando
ambos lados por el inverso multiplicativo de a. Por ejemplo, para resolver
2x 3, multiplicas ambos lados por 12 para obtener x 32. De forma
parecida, si rescribes un sistema de ecuaciones en forma de matriz, puedes
resolverlo multiplicando ambos lados por el inverso de la matriz coeficiente.
Lee el recuadro “Solving a System Using the Inverse Matrix” (Resolución de
un sistema usando la matriz inversa) en tu libro, y luego lee el Ejemplo B con
mucha atención, siguiéndolo con papel y lápiz. Para asegurarte de que entiendes
el método, intenta el siguiente ejemplo.
(continúa)
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Lección 6.4 • Resolución de sistemas con matrices inversas (continuación)
EJEMPLO
Resuelve este sistema usando una matriz inversa.
x3x2y4y12
Solución
La matriz para este sistema es
13
2
4
xy 21 Usa una calculadora para encontrar que
1
3
2
4
1
2
1.5
1
0.5
Multiplica ambos lados de la ecuación por la matriz inversa en el lado izquierdo
2
1.5
1
0.5
13
2
4
xy 21 13
2
4
xy 2
1.5
10
0
1
xy 4
2.5 1
0.5
21 xy 4
2.5 Entonces, la solución al sistema es (4, 2.5).
Ahora lee el resto de la lección, incluyendo el Ejemplo C, que implica la
resolución de un sistema de tres ecuaciones.
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LECCIÓN
CONDENSADA
6.5
Sistemas de desigualdades lineales
En esta lección
●
●
●
Escribirás unos sistemas de desigualdades lineales para describir unas
situaciones reales
Graficarás la solución, o región factible, de un sistema de desigualdades
Encontrarás los vértices de una región factible
A menudo, las situaciones reales que implican un rango de valores pueden
representarse mediante desigualdades. La tabla al inicio de la Lección 6.5 en
tu libro proporciona varios ejemplos.
Puedes realizar operaciones en ambos lados de una desigualdad, del mismo modo
en que lo haces con las ecuaciones. Sin embargo, cuando multiplicas o divides
ambos lados de una desigualdad por una cantidad negativa, debes invertir el
símbolo de desigualdad.
Investigación: Pagando los estudios universitarios
Lee el primer párrafo de la investigación en tu libro, y después completa los
Pasos 1–4. Cuando hayas terminado, compara tus resultados con los siguientes.
y
Paso 1
40,000
20,000
20,000
40,000
x
He aquí algunos pares (x, y) posibles: (10000, 10000), (5000, 5000),
(0, 0), (10000, 29999), (30000, 5000). La suma de x y puede ser menor que
$40,000, ya que los administradores no tienen que invertir todo el dinero.
Paso 2
Las soluciones de x y 40000 están debajo de la recta
x y 40000.
Paso 3
Los puntos para los cuales una o ambas coordenadas son
negativas, como (10000, 20000) ó (50000, 60000), no tienen
sentido en esta situación.
Paso 4
Paso 5 Lee el párrafo que precede el Paso 5. En el Paso 5 se te pide
traducir todas las limitaciones, o restricciones, de dicho párrafo a un
sistema de desigualdades. Inténtalo por tu cuenta, y después compara
tu sistema con el que te presentamos a continuación.
x0
y0
x 5000
y 5000
y 2x
x y 40000
La
La
La
La
La
La
cantidad
cantidad
cantidad
cantidad
cantidad
cantidad
40,000
20,000
20,000
40,000
x
invertida en acciones debe ser al menos $0.
invertida en bonos debe ser al menos $0.
invertida en acciones debe ser al menos $5000.
invertida en bonos debe ser al menos $5000.
invertida en bonos es al menos el doble de la cantidad invertida en acciones.
total invertida debe ser menos de o igual a $40,000.
(continúa)
y
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Lección 6.5 • Sistemas de desigualdades lineales (continuación)
Paso 6 Las soluciones de este sistema son los valores que satisfacen todas las
desigualdades. No puedes hacer una lista de todas las soluciones (existe un
número infinito de ellas), pero puedes mostrar la región en una gráfica. Para
hacer esto, grafica la solución de cada una de las desigualdades. La solución del
sistema es el área en la que todas las gráficas se traslapan.
La solución son todos los puntos que están sobre o a la derecha
de x 5000 y están sobre o por encima de y 5000 y sobre o
por encima de y 2x y sobre o por debajo de x y 40000.
La gráfica se presenta aquí. La solución se llama región factible.
y
40,000
y 2x
x y 40000
y 2x
C
B
x y 40,000
20,000
Para encontrar las esquinas, o los vértices, de la región, necesitas
encontrar los puntos en los que las rectas que forman cada
esquina se intersecan. Esto implica resolver estos sistemas:
x 5000
x y 40000
x 5000
A
y 5000
x
40,000
20,000
x 5000
y 2x
Las soluciones de estos sistemas son (5000, 35000), 1333331, 2666632, y
(5000, 10000). Puedes describir la región factible para el sistema como el
triángulo con los vértices (5000, 35000), 1333331, 2666632, y (5000, 10000),
y su interior.
El texto que se encuentra entre la investigación y el ejemplo en tu libro resume el
trabajo que hiciste en la investigación. Lee ese texto y después trabaja el ejemplo.
Aquí hay otro ejemplo.
EJEMPLO
Dibuja la región factible de este sistema de desigualdades, e identifica sus vértices.
x1
y2x
y 4 0.5x
Solución
Aquí se presentan las gráficas de cada desigualdad:
y
y
4
4
2
2
–2
y 4 0.5x
y2x
x1
2
4
x
–2
y
2
2
x
4
–2
–2
2
x
4
–2
y
La región factible es el traslapo de las gráficas, como se muestra
a la derecha.
Puedes leer los vértices de la gráfica o encontrarlos resolviendo
estos sistemas:
xy 41 0.5x
yy 24 x0.5x
xy 21 x
2
–2
2
4
x
Las soluciones son (1, 3.5), (4, 2), y (1, 1).
Lee el resto de la lección en tu libro.
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CHAPTER 6
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LECCIÓN
CONDENSADA
6.6
Programación lineal
En esta lección
●
Usarás el método de programación lineal para resolver unos problemas que
implican maximizar o minimizar el valor de una expresión.
La programación lineal es el proceso de encontrar una región factible y después
encontrar el punto dentro de la región que da el valor máximo o mínimo para
una expresión específica. Lee sobre la programación lineal en los primeros tres
párrafos de la lección en tu libro.
Investigación: Maximización de ganancias
Paso 1 Lee el primer párrafo de la investigación en tu libro. A continuación la
información dada está organizada en una tabla. Además de esta información,
observa que el número de pilas no vidriadas para pájaros, x, debe ser mayor que
o igual a 6.
Por cada pila no
vidriada para pájaros
Por cada pila
vidriada para pájaros
Valor de restricción
Horas de torno
0.5
1
8
Horas de horno
3
18
60
$10
$40
Maximizar
Ganancia
Paso 2 Usa tu tabla para escribir desigualdades que reflejen las restricciones
dadas, junto con cualquier restricción que te imponga el sentido común. Después
compara tus desigualdades con las siguientes.
0.5x y 8
3x 18y 60
x6
x0
y0
La restricción de las horas de torno.
La restricción de las horas de horno.
La restricción sobre el número de pilas no vidriadas.
Sentido común.
Sentido común.
Ahora, haz una gráfica de la región factible del sistema de desigualdades,
y rotula los vértices. Compara tu gráfica con la que presentamos aquí.
Tiene sentido sólo producir números enteros de pilas para
pájaros. Haz una lista de las coordenadas de todos los puntos dentro
de la región factible, para los cuales ambas coordenadas son enteras.
Asegúrate de incluir los puntos sobre las rectas limítrofes. Tu lista debe
incluir estos 23 puntos:
Paso 3
y
5
20
x
(6, 0), (7, 0), (8, 0), (9, 0), (10, 0), (11, 0), (12, 0), (13, 0), (14, 0), (15, 0),
(16, 0), (6, 1), (7, 1), (8, 1), (9, 1), (10, 1), (11, 1), (12, 1), (13, 1), (14, 1),
(6, 2), (7, 2), (8, 2)
Estos puntos representan todas las combinaciones posibles de pilas vidriadas y no
vidriadas que el taller puede producir.
(continúa)
CHAPTER 6
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Lección 6.6 • Programación lineal (continuación)
Paso 4 El taller obtiene $10 por cada pila no vidriada y $40 por cada pila
vidriada. La ecuación para la ganancia, P, si la empresa produce x pilas no
vidriadas y y pilas vidriadas, es P 10x 40y. Encuentra la ganancia para cada
uno de los puntos factibles incluidos en el Paso 3. Debes obtener los resultados
siguientes.
Punto
Ganancia
Punto
Ganancia
Punto
Ganancia
(6, 0)
$60
(7, 0)
$70
(8, 0)
$80
(9, 0)
$90
(10, 0)
$100
(11, 0)
$110
(12, 0)
$120
(13, 0)
$130
(14, 0)
$140
(15, 0)
$150
(16, 0)
$160
(6, 1)
$100
(7, 1)
$110
(8, 1)
$120
(9, 1)
$130
(10, 1)
$140
(11, 1)
$150
(12, 1)
$160
(13, 1)
$170
(14, 1)
$180
(6, 2)
$140
(7, 2)
$150
(8, 2)
$160
Paso 5 El taller obtendrá una ganancia máxima de $180 si produce 14 pilas
no vidriadas y 1 vidriada. El punto (14, 1) es un vértice de la región factible.
Completa los Pasos 6 a 8, y después compara tus resultados con los siguientes.
Paso 6
10x 40y 100; observa la gráfica que se presenta aquí.
Paso 7
Paso 8
y
5
Paso 9 Observa las rectas de ganancia de los Pasos 6 a 8. Observa
que todas son paralelas entre sí y que, a medida que aumenta la
ganancia, las rectas se desplazan hacia arriba y hacia la derecha. Si
imaginas que la recta de ganancia se sigue desplazando hacia arriba
y hacia la derecha, manteniendo siempre la misma pendiente, el último
punto en la región factible por el que pasará es (14, 1). Por tanto, (14, 1) debe ser
el punto que maximiza la ganancia. Este mismo método funcionaría también en
otras situaciones. Si el vértice no tuviera coordenadas enteras, podrías probar los
puntos enteros cercanos al vértice. Para minimizar la ganancia, podrías imaginar
que la recta de ganancia se desliza hacia abajo y hacia la izquierda. El último
punto de la región factible por el que pasaría es (0, 0), que es el punto que da
la mínima ganancia.
20
x
En el ejemplo en tu libro se proporciona un ejemplo en el que se usa la
programación lineal para minimizar los costos. Trabaja ese ejemplo y lee el resto
de la lección. La lección termina con un recuadro donde se resumen los pasos
para resolver un problema de programación lineal.
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CHAPTER 6

Representaciones de matrices

Transcripción

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