4. Polinomios ortogonales

4.
Polinomios ortogonales
4.1.
Sistemas ortogonales
En adelante asumiremos que X es un espacio normado con la norma definida
por el producto escalar kφk := hφ, φi.
Un conjunto finito de vectores {φn }N
n=1 se denomina linealmente independiente si la ecuación
α1 φ1 + α2 φ2 + · · · + αn φn = 0,
tiene como única solución la trivial α1 = · · · = αn = 0.
Un conjunto infinito de vectores {φn }∞
n=1 es linealmente independiente si
cualquier subsistema finito es linealmente independiente.
Diremos que {φn }∞
n=1 es un sistema ortogonal dos a dos si
hφn , φm i = δn,m kφn k2 ,
∀n, m ∈ N.
(19)
Por ejemplo, el sistema de funciones {1} ∪ {sin nx, cos nx}∞
n=1 es un sistema
ortogonal dos a dos respecto al producto escalar
Z π
hf, gi =
f (x)g(x)dx.
−π
Asumiremos que el sistema de funciones {φn }∞
n es linealmente independiente. Definamos a continuación el sistema de funciones {ψn }n de forma que
ψ1 = φ1 ,
ψ2 = φ2 + α2,1 ψ1 ,
ψ n = φn +
n−1
X
αn,k ψk ,
k=1
donde las constantes αn,k , n ∈ N, k = 1, . . . , n − 1 son tales que ψk es orthognal
a todos los vectores φj , j = 1, 2, . . . , k − 1, anteriores.
El proceso anterior se denomina proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt.
Mediante un sencillo cálculo podemos comprobar que ψn se puede escribir de la
siguiente forma
hφ1 , φ1 i hφ1 , φ2 i · · · hφ1 , φn−1 i φ1 1 hφ2 , φ1 i hφ2 , φ2 i · · · hφ2 , φn−1 i φ2 ψn =
(20)
..
..
..
.. ,
..
∆n−1 .
.
.
.
. hφn , φ1 i hφn , φ2 i · · · hφn , φn−1 i φn donde ∆n son los determinantes de Gram
hφ1 , φ1 i hφ1 , φ2 i · · · hφ1 , φn−1 i hφ1 , φn i
hφ2 , φ1 i hφ2 , φ2 i · · · hφ2 , φn−1 i hφ2 , φn i
∆n = ..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
hφn , φ1 i hφn , φ2 i · · · hφn , φn−1 i hφn , φn i
15
.
Además, para cada n tenemos
ψn = φn +
n−1
X
αn,k φk ,
k=1
De lo anterior deducimos que ψn es ortogonal a ψk , k = 1, 2, . . . , n − 1. Más aún,
los ψn son un conjunto linealmente independiente de X si y sólo si los ∆ n 6= 0,
para todo n ∈ N.
4.2.
Los polinomios ortogonales
El ejemplo más sencillo del proceso anterior es cuando tenemos el espacio de
las funciones de cuadrado integrable en (a, b) con peso ρ(x) > 0, i.e.,
Z
b
a
|f (x)|2ρ(x)dx < ∞.
En este espacio el producto escalar de dos funciones f y g se define mediante la
integral
Z b
f (x)g(x)ρ(x)dx,
(21)
hf, gi =
a
p
y la norma de f vendrá dada por ||f || = hf, f i.
Definiremos los momentos µn de ρ(x) mediante
Z
b
xk ρ(x)dx = µk
k = 0, 1, 2, . . . .
(22)
a
En adelante asumiremos que todos los momentos son finitos.
Definición 4.1 Dada una sucesión de polinomios (Pn )n , diremos que (Pn )n es
una sucesión de polinomios ortogonales (SPO) con respecto a h·, ·i si se cumple
que:
1.
Pn es un polinomio de grado n,
2.
hPn , Pm i = 0,
3.
hPn , Pn i 6= 0, para todo n = 0, 1, 2, . . .
m 6= n, para todo n, m = 0, 1, 2, . . . ,
.
El siguiente teorema es una consecuencia directa de la definición anterior
Teorema 4.2 Sea (Pn )n una sucesión de polinomios tal que grado (Pn ) = n
(sucesión normal). Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1.
(Pn )n es una SPO respecto al producto escalar h·, ·i.
2.
hπ, Pn i = 0, para todo polinomio π de grado m < n,
hπ, Pn i 6= 0, si π es un polinomio de grado n.
3.
hxm , Pn i = Kn δn,m , donde Kn 6= 0, m = 0, 1, . . . , n.
Como consecuencia del proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt aplicado a las potencias {xk }k≥0 tenemos que
16
Teorema 4.3 Sea α la medida asociada a la sucesión (µn )n . Una sucesión de
polinomios (Pn )n será una SPO si y sólo si
µ0
µ1
···
µn µ1
µ2
· · · µn+1 ∆n = .
..
.. 6= 0, ∀n ≥ 0.
..
..
.
.
. µn µn+1 · · · µ2n Además, el coeficiente principal an (Pn (x) = an xn + · · · ) viene dado por la
fórmula an = Kn ∆n−1 /∆n .
Es fácil comprobar que el proceso de Gram-Schmidt descrito anteriormente nos
conduce a la siguiente expresión para los polinomios mónicos Pn
µ0
µ1 · · ·
µn µ1
µ2 · · · µn+1 1 .
..
..
..
Pn (x) =
, ∆−1 ≡ 1, n = 0, 1, 2, . . . .
.
.
.
.
∆n−1 .
µn−1 µn · · · µ2n−1 1
x ···
xn También es evidente de la fórmula anterior que la sucesión (Pn )n es una SPOM
y que además está compuesta por polinomios con coeficientes reales.
Teorema 4.4 Sea (Pn )n una sucesión de polinomios ortogonales con respecto
al producto escalar h, i. Entonces la SPO (Pn )n satisface una relación de recurrencia a tres términos de la forma:
xPn (x) = αn Pn+1 (x) + βn Pn (x) + γn Pn−1 (x).
(23)
donde los coeficientes αn , βn , y γn se expresan mediante las fórmulas:
αn =
hxPn , Pn+1 i
,
kPn+1 k2
βn =
hxPn , Pn i
,
kPn k2
γn =
hxPn , Pn−1 i
.
kPn−1 k2
(24)
Generalmente se suele imponer que P−1 (x) = 0 y P0 (x) = 1, con lo que una
SPO queda determinada de forma única conocidas las sucesiones (αn )n , (βn )n
y (γn )n .
Otra forma de caclular los coeficientes (24) es mediante las expresiones
αn =
an
,
an+1
βn =
bn
bn+1
−
,
an an+1
γn =
cn − αn cn+1
bn
−
βn ,
an−1
an−1
(25)
donde an , bn y cn son los coeficientes del desarrollo
Pn (x) = an xn + bn xn−1 + cn xn−2 + · · · .
De las expresiones anteriores y (24) se deduce que γn = αn−1 kPn k2 /kPn−1 k2 .
Como un corolario de (23) se obtiene la conocida fórmula de ChristoffelDarboux cuya prueba se deja como ejercicio.
17
Teorema 4.5 Si (Pn )n es una sucesión de polinomios ortogonales que satisface
la relación de recurrencia a tres términos (23). Entonces se cumple que:
Kern (x, y) :=
n
X
Pm (x)Pm (y)
kPm k2
m=0
αn Pn+1 (x)Pn (y) − Pn+1 (y)Pn (x)
=
,
kPn k2
x−y
(26)
n ≥ 1.
Si hacemos tender y → x, obtenemos la fórmula confluente de ChristoffelDarboux:
Kern (x, x) ≡
n
2
X
αn 0
Pm
(x)
= 2 [Pn+1
(x)Pn (x) − Pn+1 (x)Pn0 (x)]
2
d
d
m
n
m=0
n ≥ 1.
(27)
Proposición 4.6 Los polinomios núcleos satisfacen la siguiente propiedad reproductora
hp(x), Ker n (x, y)i = p(y), ∀p(x) ∈ Pn .
(28)
5.
5.1.
Los polinomios ortogonales clásicos
La ecuación diferencial hipergeométrica.
Nuestro objetivo será estudiar los polinomios ortogonales clásicos definidos
sobre el eje real los cuales vamos a definir como las soluciones polinómicas de la
siguiente EDO
σ(x)y 00 + τ (x)y 0 + λy = 0,
(29)
donde σ y τ son polinomios de grados a lo más 2 y 1, respectivamente. Esta
ecuación (29) usualmente se denomina ecuación diferencial hipergeométrica y
sus soluciones y cumplen con la propiedad, conocida como propiedad de hipergeometricidad: Si y es una solución de (29) sus m-ésimas derivadas y (m) ≡ ym
satisfacen una ecuación del mismo tipo.
Teorema 5.1 Si y es una solución de (29) sus m-ésimas derivadas y (m) ≡ ym
satisfacen la ecuación
00
0
σ(x)ym
+ τm (x)ym
+ µm ym = 0,
τm (x) = τ (x) + mσ 0 (x),
µm = λ +
m−1
X
τi0 (x) = λ + mτ 0 (x) +
m(m−1) 00
σ (x)
2
.
i=0
(30)
La propiedad de hipergeometricidad es es muy importante pues nos permite
encontrar una fórmula explı́cita para los polinomios que satisfacen la ecuación
(29). Para ello usualmente se escriben (29) y (30) en su forma simétrica o autoconjugada:
[σ(x)ρ(x)y 0 ]0 + λρ(x)y = 0,
0 0
[σ(x)ρm (x)ym
] + µm ρm (x)ym = 0,
18
(31)
donde ρ y ρm son funciones de simetrización que satisfacen las ecuaciones diferenciales de primer orden (conocidas como ecuaciones de Pearson):
[σ(x)ρ(x)]0 = τ (x)ρ(x),
[σ(x)ρm (x)]0 = τm (x)ρm (x).
Conocida ρ encontramos, utilizando las ecuaciones anteriores, que
ρm (x) = σ m (x)ρ(x).
(32)
Teorema 5.2 Si para todo k ∈ N ∪ {0}, τ 0 + kσ 00 /2 6= 0, entonces para las
soluciones polinómicas de la ecuación (30) se tiene la siguiente fórmula de Rodrigues:
(n)
Pn
Anm Bn dn−m
[ρ
(x)],
B
=
,
(33)
Pn(m) (x) =
n
n
ρm (x) dxn−m
Ann
Anm = Am (λ) |λ=λn
m−1
Y
n!
=
[τ 0 + 21 (n + k − 1)σ 00 ].
(n − m)!
(34)
k=0
Además, el autovalor λn de (29) es
λ ≡ λn = −nτ 0 −
n(n − 1) 00
σ .
2
(35)
Cuando m = 0 la fórmula (33) se convierte en la fórmula de Rodrigues para los
polinomios clásicos
Pn (x) =
B n dn n
[σ (x)ρ(x)],
ρ(x) dxn
n = 0, 1, 2, ... .
(36)
Si imponemos unas sencillas condiciones adicionales se tiene que las soluciones de (29) son ortogonales dos a dos:
= 0, para todo k ≥ 0. EnTeorema 5.3 Supongamos que xk σ(x)ρ(x)
x=a,b
tonces las soluciones polinómicas Pn de la ecuación (29) constituyen una SPO
respecto a la función peso ρ definida por la ecuación [σ(x)ρ(x)]0 = τ (x)ρ(x), o
sea, se cumple que:
Z b
Pn (x)Pm (x)ρ(x)dx = δnm d2n ,
(37)
a
donde δnm es el sı́mbolo de Kronecker y dn la norma de los polinomios Pn .
Corolario 5.4 Si (Pn )n es una familia de polinomios ortogonales respecto a ρ
Z b
xk Pn (x)ρ(x)dx = 0.
entonces para todo k ∈ Z, 0 ≤ k ≤ n − 1 se tiene que
a
Para calcular d2n , podemos utilizar la fórmula de Rodrigues que, sustituyéndola en (37) e integrando por partes, nos da:
Z b
σ n (x)ρ(x)dx.
(38)
d2n = Bn (−1)n n!an
a
Para calcular los coeficientes principales an y bn , necesarios para encontrar
los coeficientes de la RRTT (23) podemos usar la fórmula de Rodrigues para la
19
(n−1)
n − 1-ésima derivada de Pn : Pn
la igualdad:
(x) = Ann−1 Bn τn−1 (x),de donde obtenemos
Pn(n−1) (x) = n!an x + (n − 1)!bn = Ann−1 Bn τn−1 (x).
Luego,
an =
n−1
Y
Bn Ann
= Bn
[τ 0 + 21 (n + k − 1)σ 00 ],
n!
bn =
k=0
nτn−1 (0)
an .
0
τn−1
(39)
De la fórmula de Rodrigues se deducen una serie de consecuencias muy
interesantes
1. τ es un polinomio de grado exactamente uno.
2. Tomando m = 1 en la fórmula (33) se deduce que
Pn0 (x) =
−λn Bn
P̄n−1 (x),
B̄n−1
(40)
donde P̄n−1 denota al polinomio ortogonal respecto a la función peso
ρ1 (x) = σ(x)ρ(x).
3. Si escribimos la fórmula (33) para el polinomio de grado n + 1 obtenemos
una fórmula de diferenciación
λn
Bn
σ(x)Pn0 (x) =
τ
(x)P
(x)
−
P
(x)
.
(41)
n
n
n+1
nτn0
Bn+1
de la cual se deduce una relación de estructura
σ(x)Pn0 (x) = α̃n Pn+1 (x) + β̃n Pn (x) + γ̃n Pn−1 (x),
n ≥ 0,
(42)
donde
α̃n =
λn
Bn
0
α
τ
−
,
n n
nτn0
Bn+1
P0
β̃n =
λn
[βn τn0 + τn (0)] ,
nτn0
γ̃n =
λ n γn
.
n
(43)
(x)
4. Si definimos Qn (x) ≡ n+1
n+1 , entonces los polinomios ortogonales mónicos Pn (x) = xn +· · · , soluciones de la ecuación (29), satisfacen la siguiente
relación de estructura:
Pn (x) = Qn + δn Qn−1 + n Qn−2 .
5.2.
5.2.1.
(44)
Los Polinomios de Hermite, Laguerre y Jacobi.
Parámetros Principales.
Comenzaremos escribiendo los principales parámetros de las sucesiones de
polinomios ortogonales mónicos clásicos, es decir, tales que su coeficiente principal an = 1, i.e., Pn (x) = xn + bn xn−1 + · · · . Éstos se pueden clasificar en
tres grandes familias en función del grado del polinomio σ (τ siempre es un
polinomio de grado 1). Cuando σ es un polinomio de grado cero los polinomios
20
Cuadro 1: Clasificación de las SPO Clásicas.
Pn (x)
Hn (x)
Lα
n (x)
Pnα,β (x)
σ(x)
1
x
1 − x2
τ (x)
−2x
−x + α + 1
−(α + β + 2)x + β − α
λn
2n
n
n(n + α + β + 1)
ρ(x)
e−x
xα e−x
(1 − x)α (1 + x)β
α > −1
α, β > −1
xn+α e−x
(1 − x)n+α (1 + x)n+β
ρn (x)
e−x
2
2
correspondientes se denominan Polinomios de Hermite Hn (x), cuando σ es de
grado 1, Polinomios de Laguerre Lα
n (x) y cuando σ es de grado 2, Polinomios
de Jacobi Pnα,β (x), respectivamente. En las tablas 1 y 2 están representados los
principales parámetros de dichas familias, en las cuales (a)n denota al sı́mbolo
de Pochhammer
(a)0 = 1, (a)k = a(a + 1) · · · (a + k − 1), k = 1, 2, 3, ... .
5.2.2.
(45)
Representación hipergeométrica.
De la fórmula de Rodrigues, o usando el método de las series de potencias,
(33) se puede obtener la representación de los polinomios de Hermite, Laguerre
y Jacobi en términos de la función hipergeométrica de Gauss 2 F1 definida en el
caso más general de forma:
X
∞
(a1 )k (a2 )k · · · (ap )k xk
a1 , a2 , ..., ap x
=
.
(46)
p Fq
b1 , b2 , ..., bq (b1 )k (b2 )k · · · (bq )k k!
k=0
De esta manera encontramos que:
1
−m 2
H2m (x) = (−1)
1 F1
1
x ,
2 m
2
3
−m 2
m
H2m+1 (x) = (−1)
x 1 F1
3
x ,
2 m
2
(−1)n Γ(n + α + 1)
−n F
x ,
Lα
(x)
=
1 1
n
α+1 Γ(α + 1)
2n (α + 1)n
−n, n + α + β + 1 1 − x
.
F
=
2 1
2
α+1
(n + α + β + 1)n
m
Pnα,β (x)
21
(47)
(48)
(49)
Cuadro 2: Parámetros de las SPO Mónicas (an = 1).
Pn (x)
Hn (x)
Lα
n (x)
Pnα,β (x)
Bn
(−1)n
2n
(−1)n
(−1)n
(n + α + β + 1)n
bn
0
−n(n + α)
n(α − β)
2n + α + β
d2n
√
n! π
2n
Γ(n + α + 1)n!
2α+β+2n+1n!Γ(n + α + 1)Γ(n + β + 1)
Γ(n + α + β + 1)(2n + α + β + 1)(n + α + β + 1)2n
αn
1
1
1
2
βn
0
2n + α + 1
β − α2
(2n + α + β)(2n + 2 + α + β)
γn
n
2
n(n + α)
4n(n + α)(n + β)(n + α + β)
(2n + α + β − 1)(2n + α + β)2 (2n + α + β + 1)
α̃n
0
0
β̃n
0
n
2(α − β)n(n + α + β + 1)
(2n + α + β)(2n + 2 + α + β)
γ̃n
n
n(n + α)
4n(n + α)(n + β)(n + α + β)(n + α + β + 1)
(2n + α + β − 1)(2n + α + β)2 (2n + α + β + 1)
δn
0
n
2n(α − β)
(2n + α + β)(2n + 2 + α + β)
n
0
0
5.2.3.
−n
−
4n(n − 1)(n + α)(n + β)
(2n + α + β − 1)(2n + α + β)2 (2n + α + β + 1)
Casos particulares.
1. Los polinomios de Legendre Pn (x) = Pn0,0 (x).
2. Los polinomios de Chebyshev de primera especie Tn (x):
1
,− 2
−1
2
Tn (x) = Pn
(x) =
1
cos[n arccos (x)].
2n−1
3. Los polinomios de Chebyshev de segunda especie Un (x):
1 1
,
Un (x) = Pn2 2 (x) =
1 sen[(n + 1) arccos (x)]
.
2n
sen[ arccos (x)]
4. Los polinomios de Gegenbauer Gλn (x):
1
γ− 1
,γ− 2
2
Gγn (x) = Pn
22
(x),
γ > − 12 .
5.2.4.
Otras caracterı́sticas.
Como consecuencia de las fórmulas anteriores podemos obtener los valores
de los polinomios en los extremos del intervalo de ortogonalidad.
H2m (0) =
(−1)m (2m)!
,
22m m!
Pnα,β (1) =
2n (α + 1)n
,
(n + α + β + 1)n
H2m+1 = 0,
Lα
n (0) =
Pnα,β (−1) =
(−1)n Γ(n + α + 1)
,
Γ(α + 1)
(−1)n 2n (β + 1)n
.
(n + α + β + 1)n
(50)
Utilizando la fórmula (40) encontramos las ecuaciones (ν = 1, 2, 3, ..., n =
0, 1, 2, ...):
(Hn (x))(ν) =
n!
Hn−ν (x),
(n − ν)!
(ν)
(Lα
=
n (x))
n!
Lα+ν (x),
(n − ν)! n−ν
n!
P α+ν,β+ν (x),
(n − ν)! n−ν
(Pnα,β (x))(ν) =
(51)
(52)
donde (Pn (x))(ν) denota la ν−ésima derivada de Pn (x).
Directamente a partir de las correspondientes EDOs se puede probar que los
polinomios de Hermite y Gegenbauer se relacionan con los de Hermite y Jacobi,
respectivamente mediante las siguientes relaciones:
−1
H2m (x) = Lm 2 (x2 ),
1
γ− 1 ,γ− 2
Gγ2m (x) = P2m 2
1
2
H2m+1 (x) = xLm
(x2 ) ,
(x) =
1
γ− 1 ,γ− 2
2
Gγ2m+1 (x) = P2m+1
1 γ− 21 ,− 12
(2x2 − 1),
Pm
2m
(x) =
(53)
1
,1
γ− 1
2 2
(2x2 − 1).
x
P
m
2m
Además, de la fórmula de Rodrigues se puede encontrar la siguiente propiedad
de simetrı́a para los polinomios de Jacobi:
Pnβ,α (−x) = (−1)n Pnα,β (x).
5.3.
(54)
Problemas
Problema 5.1 Probar todas las propiedades de los polinomios clásicos enumeradas en el apartado 5.2.
Problema 5.2 Probar la ortogonalidad de las k−ésimas derivadas de los poli(k)
nomios hipergeométricos yk ≡ Pn , es decir,
Z b
(k)
Pn(k) (x)Pm
(x)ρk (x)dx = δnm d2kn .
(55)
a
Problema 5.3 Prueba que los polinomios núcleos satisfacen la propiedad reproductora (28)
Problema 5.4 A partir de la ecuación de Pearson demuestra el siguiente
23
Teorema 5.5 Sea µ ∈ C. Se definen los momentos generalizados como
Z b
Cν,µ (z) =
(s − z)µ ρν (s)ds.
(56)
a
Si se cumple la condición de frontera
b
µ
σ(s)ρν (s)(s − z) = 0,
a
∀µ ≥ 0,
(57)
entonces los momentos generalizados verifican la siguiente relación de recurrencia a tres términos
1
µσ(z)Cν,µ−1 (z) + [τν (z) + µσ 0 (z)] Cν,µ (z) + τν0 + µσ 00 Cν,µ+1 (z) = 0. (58)
2
Usando lo anterior, encuentra una relación de recurrencia para los momentos
Cn := C0,n (0) de los polinomios de Jacobi, Laguerre y Hermite. Usando la
relación de recurrencia encuentra los momentos de los polinomios de Laguerre
y Hermite.
Un caso de especial relavancia son los polinomios de Gegenbauer que corresponden al caso α = β = γ − 1/2. Encontrar la relación de recurrencia para los
momentos Cn := C0,n (0) en este caso y resuélvela. A partir de ésta encuentra
los momentos de los polinomios de Legendre Pn (x) = Pn0,0 (x), los polinomios de
1
,− 1
−2
2
Chebyshev de primera especie Tn (x) = Pn
1 1
,
2 2
hev de segunda especie Un (x) = Pn
(x) y los polinomios de Chebys-
(x), respectivamente.
Problema 5.5 Dada una sucesión númerica (An )n y una sucesión de polinomios (Pn )n encontrar una función Φ(x, t) tal que,
Φ(x, t) =
∞
X
An Pn (x)tn .
(59)
n=0
Si existe tal función, dicha función se denomina función generatrı́z de la sucesión (Pn )n .
Demuestra que la función generatrı́z para los polinomios de Hermite viene
dada por
∞
X
2
2n
Hn (x)tn = e2xt−t , .
(60)
n!
n=0
Demuestra que la función generatrı́z para los polinomios de Laguerre viene dada
por
tx
∞
X
e− 1−t
(−1)n α
Ln (x)tn =
.
n!
(1 − t)α+1
n=0
γ− 1 ,γ− 1
2
Sean los polinomios de Gegenbauer Cnγ (x) := Pn 2
(x) que son un caso
particular de los polinomios de Jacobi. Prueba que en este caso
∞
X
2n (γ)n γ
1
=
Cn (x)tn ,
2
γ
(1 − 2xt + t )
n!
n=0
(61)
donde (γ)n es el sı́mbolo de Pocchamer. Como casos particulares deducir la de
los polinomios de Chebychev de primera y segunda especie y la de los polinomios
de Legendre.
24
Problema 5.6 Prueba las relaciones
α,β+1
Pn−1
(x) =
(2n + α + β)(1 − x) d Pnα,β
(2n + α + β) α,β
(x) +
Pn (x),
2n(α + n)
dx
2(α + n)
(62)
α+1,β
Pn−1
(x) =
(2n + α + β) α,β
(2n + α + β)(x + 1) d Pnα,β
(x) −
Pn (x).
2n(β + n)
dx
2(β + n)
(63)
Problema 5.7 Los polinomios núcleos Ker n−1 (x, y) se definen mediante la expresión
n−1
X Pm (x)Pm (y)
Ker n−1 (x, y) =
.
d2m
m=0
Usando la fórmula de Christoffel-Darboux, los valores en los extremos y las
fórmulas de diferenciación, prueba las siguentes fórmulas:
• Núcleos de los polinomios de Hermite:
0
1
(−1)m−1 H2m
(−1)m−1
(x)
2
(x2 ) = √
Ker H
Lm−1
,
2m−1 (x, 0) = √
π(m − 1)!
2 π(m − 1)!
x
1
(−1)m H2m (x)
(−1)m
2
(x2 ) = √
Lm
,
Ker H
2m (x, 0) = √
x
π(m)!
π(m)!
Ker H
2m−1 (0, 0) =
(2m + 1)!
(2m − 1)!
√
, Ker H
.
2m (0, 0) = 2m √
22m−2 π(m − 1)!2
2
π m!2
• Núcleos de los polinomios de Laguerre:
Ker L
n−1 (x, 0) =
(−1)n−1
0
(Lα
n ) (x),
Γ(α + 1)n!
Ker L
n−1 (0, 0) =
(α + 1)n
.
Γ(α + 2)(n − 1)!
• Núcleos de los polinomios de Jacobi:
α,β+1
α−1,β
α,β d
(x) = nηnα,β Pn−1
(x),
Ker J,α,β
n−1 (x, −1) = ηn dx Pn
α+1,β
n+1 β,α d
Ker J,α,β
ηn dx Pnα,β−1 (x) = n(−1)n+1 ηnβ,α Pn−1
(x),
n−1 (x, 1) = (−1)
(64)
(65)
donde por ηnα,β y ηnβ,α denotaremos las cantidades
ηnβ,α =
(−1)n−1 Γ(2n + α + β)
,
2α+β+n n!Γ(α + n)Γ(β + 1)
ηnβ,α
(−1)n−1 Γ(2n + α + β)
.
2α+β+n n!Γ(α + 1)Γ(β + n)
Usando (64)-(65) tenemos
Ker J,α,β
n−1 (−1, −1) =
Γ(β + n + 1)Γ(α + β + n + 1)
,
− 1)!Γ(β + 1)Γ(β + 2)Γ(α + n)
2α+β+1 (n
Ker J,α,β
n−1 (−1, 1) =
(−1)n−1 Γ(α + β + n + 1)
.
− 1)!Γ(β + 1)Γ(α + 1)
2α+β+1 (n
Utilizando la relación de simetrı́a para los polinomios de Jacobi demuestra que
J,β,α
Ker J,α,β
n−1 (1, 1) = Ker n−1 (−1, −1).
25