APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Vamos aplicar las

Transcripción

Ing. Rimachi Fernández Manuel
Análisis Matemático I
Aplicación de integrales
APL ICA CIO NE S DE L A INT E GRAL DE FINID A
Vam os apl i car l as i nt egr al es defi ni das en curvas p ara hal l a r l a
l ongi t ud de l a curva, el área baj o l a curva o ent re curv as si em pre en
coordenad as re ct an gul ares .
LONGITUD DE UNA CURVA
Como medimos la longitud de una curva con los instrumentos de medición que poseemos.
La lógica es estirar la curva y resuelto el problema, pero si fuera la parte de un sólido muy
pequeño ò muy grande, sí que es un problema. La idea es partirla en pequeños trozos tan
pequeños que cada trozo sea un segmento de recta, en algunos tramos se podrá pero en
otros tramos no, por ello lo ideal sería que la distancia entre puntos sea tan pequeña casi
como pegados que su distancia en cada uno sea casi cero.
Y
A este proceso también se le
conoce como rectificación
de una curva.
B
A
X
Luego la distancia de ̅̅̅̅ = B – A = (
√
=√
=
√
√
Por lo tanto la longitud de ese pequeño segmento sería:
, la suma de
todos los pequeños segmentos, asumiendo que tienen la misma longitud sería:
∑√
Como se quiere que
sea tan pequeño, casi cero se toman el límite tal como lo definió
Newton, pero sabemos que el límite de la sumatoria es interpretado como una integral
definida:
∫ √
∑√
Se ha deducido la formula de la longitud de una curva entre un punto inicial (a) y final (b).
Ejemplo.
Hallar la distancia de la curva generada por F(x) = x2 - 3 desde el punto (1,-2) hasta el
punto (3,6)
Solución: Graficamos para observar la curva “no es necesario hacerlo”, pero por razones
pedagógicas mostramos la curva.
; La cual al hacer cero obtenemos: x= 0
= 2; siempre positivo luego x=0 es un mínimo
Graficando: (0,-3) punto crítico
Y
Es la longitud de
la curva a medir
1
(0,-3)
3
X
Acaso, influye conocer la curva para determinar la longitud entre los puntos determinados,
cuando existe una fórmula que solo pide la primera derivada de la función, además de los
puntos que se quiere medir.
Otro principio importante para aplicar la formula es que la función sea continua y
diferenciable entre los puntos a medir, con esta consideración no necesitamos del gráfico.
Si no estamos seguros de su continuidad o diferenciabilidad es mejor hacer el trazo para
observar los límites que debemos considerar.
Para el ejercicio anterior, el dominio de la función es
se encuentra en el dominio es continua.
La derivada de la función es
por lo tanto es diferenciable.
luego es continua en
como [1,3]
, luego existe para todo punto del intervalo [1,3]
[
Como:
necesita graficar.
∫ √
{
]
No
se
∫ √
}
Resolviendo la integral: ∫ √
, entonces ∫ √
Si hacemos
=
Que sabemos es:
∫
como
√
luego:
√
Evaluando;
Rpta: 6/√
√
-2/√ +
√
)√
√
√
)
√
√
|
)
).
A veces es mejor aplicar la formula considerando los límites en el eje “y”
√
Entonces consideramos la integral con respecto a “y”
Los límites a considerar son: [
]
[
]
√
;
La formula se reescribe:
∫ √
{
∫ √
}
{
√
}
La solución de esta integral dará el mismo valor hallado líneas arriba, recuerde que solo su
práctica le dirá cuando es preferible tomar en cuenta este cambio.
Hallar la longitud de la curva generada por la circunferencia
.
Solución:
En este caso ya nos indican que es una circunferencia y no nos dan los límites, razón por la
que debemos hacer el trazo para deducir los límites. Se sabe que esta es una circunferencia
de centro (0,0) y radio 3.
3
-3
3
-3
Observe el eje “x”. Por lo que se puede hallar la distancia de la curva desde (-3,0) hasta
(3,0) y luego multiplicarla por 2. También puede considerar desde
hasta
Estaría tomando solo un cuarto de la circunferencia y al final deberá multiplicar por 4.
Para hallarla integral debe despejar la variable “y”.
√
Derivando la función:
√
√
Aplicando la fórmula: (en el caso de considerar la mitad de la circunferencia)
∫ √
√
∫ √
Haci endo
(
)
∫ √
|
∫
Eval uando resul t a
Not a: s e sabe qu e l a l ongi t ud de l a ci r cu nferen ci a es
¿ Le pa rec e un probl em a despej a r l a va ri abl e?
Puede derivar una función implícita:
En es t e caso d e t oda s m aneras de be desp ej ar l a va ri abl e “ y” :
√
A m odo de recordat ori o “una funci ón e s cont i nua en su dom i ni o” por lo
t ant o s i sabe hal l ar el dom i ni o de l a funci ón sabrá cu ál es e l dom i ni o. En
l os s i gui ent es ej e rci ci os se re com i enda pract i ca r par a no t e ner que h ace r
el t raz o. De no ser p osi bl e recue rde Máx i m os y Mí ni m os para grafi car.
Ej erci ci os.
Hal l e l a l on gi t ud de l a curva d et erm i nad a p or:
[
(
)
(
)
√
]
LO NG ITU D DE UN A C UR VA EN C OO R DENADAS P O LA R ES
Las funci on es a ve ces deb en s er di señ adas en coo rdenad a s pol ares p ar a
faci l i t ar su gr áfi co, l uego po dem os as um i r l a l ongi t ud d e l a cu rv a e n
funci ón de l a for m a pol ar
C om prendi da ent re l os
ángul os qu e det erm i nan l a curv a:
|
∫ √
Ej erci ci o:
com pre ndi da ent re [ 0,2 ]
Hal l ar l a l on gi t ud de l a curv a:
, l uego:
∫ √
∫ √
∫ √
√ ∫
√
√
√ ∫
√ ∫ √
√ ∫
√
√ ∫
√
√ {√
√
√ ∫
√
√
√
√
}
√
√
√
√
|
¿ C óm o pudo sal i r l a l ongi t ud cero?
Lo que suc ede es r e l at i vo a l os l ím i t es y deb e observa r co m o es l a curva
para det erm i nar m ej or l os l í m i t es.
Grafi c ando l a cu rva:
√
√
√
√
Al s er si mét ri ca es mejor el egi r d e [0, 180] y l u ego mu l ti p l i carl o p or 2
√ √
|
√ {√ }
√
La l on gi t ud es d e:
Aunque no si em pr e sea ne cesa ri o en el caso de coord enad as rect an gul ares
no es l o m i sm o en c oordenadas pol ar es porque l a curv a po r l o gene ral es
cerr ada y l a si m et rí a l e a yuda a d et erm i n ar l os l í m i t es de l a i nt egr al .
ARE A B AJO UNA CURVA
P ara det e rm i nar o f a ci l i t ar l as áre as obs ervem os sus gra fi ca s :
Cu an d o l a f un ci ón es p osi ti va : S i l a fu nci ón es posi t i va en un i nt erval o
[ a, b] ent onces l a gráfi c a de l a fun ci ón est á po r en ci m a del ej e de
abs ci s as. El área d e l a f un ci ón vi ene dada por:
∫
P ara hal l ar el ár ea s egui r em os l os si gui e nt es pasos:
1º S e grafi ca l a fun ci ón y se obs erva s u t raz o . E sta sob re el eje “x” o
d eb ajo d el eje “ x”.
2º El área (l a p art e so mb r ead a ) es i gual a l a i n tegral d ef i n i d a d e l a
f u n ci ón que t i ene com o l í m i t es de i nt egr aci ón l os punt os de cort e qu e
apare cen al hac er en l a funci ón F (x )=0 .
E je mp l os
1 . C al cul ar el á rea d el reci nt o l i m i t ado por l a curv a y = 9 − x 2 y el ej e X.
En pri m er l ugar gr af i cam os y obs ervam o s l a curva sobr e el e j e “x ”
Hal l am os l os punt os de co rt e del t raz o con el ej e X par a conoc er l o s
l í m i t es de i nt egra ci ón.
Haci endo
Es l o m i sm o a resol ver l a e cuaci ón:
C onoci endo l os l í m it es ya po dem os hal l ar l a i nt e gr al .
∫
|
2 . C al cul ar el ár ea l i m i t ad a por l a cu rva
, el ej e X y l as r ect as:
x = 6, x = 12.
F(x)=36/x
a.- Existe asíntota vertical cuando x=0
b.- Existe asíntota horizontal.
Coincide con el eje “x”.
.
c.- No existe asíntota oblicua.
| ||
∫
3 . C al cul ar el á rea d el t ri ángul o d e vért i ces
Ecuaci ón de l a re ct a que pasa por AB:
̅
Lue go su ecu aci ón punt o pendi ent e: y = (x -3)
Ecuaci ón de l a re ct a que pasa por BC :
̅
; Lue go su ecua ci ón punt o pendi ent e: y= -3/ 2 (x -8)
①
②
∫
∫
El área t ot al 18 + 3 = 21
Cu an d o l a f u n ci ón es n egati va : S i l a funci ón es ne gat i va e n un i nt erval o
[ a, b] ent onces l a gr áfi c a de l a fun ci ón est á por deb a j o del ej e de
abs ci s as. El área d e l a f un ci ón vi ene dada por:
∫
E n es te caso ob serv an d o l a gráf i ca se d a cu en ta d e l a p osi ci ón .
E je mp l o :
1 . C al cul ar el ár ea d el reci nt o l i m i t ado po r l a curva y = x 2 − 4x y el
ej e X .
S i no recuerda l os t raz os de l as cóni cas, debe r ecur ri r a m áx i m os y
m í ni m os.
haci endo
③ cal cul ando l a s e gunda d eri vad a de
Al s er posi t i vo el punt o crí t i co es un m í ni m o.
Calculando los puntos de intersección:
∫
|
C om o i nt erpret aci ó n el ár ea no pued e ser n e gat i va, raz ón por l a qu e el
s i gno cor ri ge est e v al or.
2 . Hal l ar el ár ea l i m i t ada p or l a curv a
y el ej e X ent re π/ 2 y
3π/ 2.
En est e caso a pesa r de t en er l os l í m i t e s est abl eci dos no sa bem os si l a
curva se encu ent ra d ebaj o o sobre el ej e “x ”.
∫
|
L A FUN CIÓ N E S PO S IT IV A Y NE GA T IV A A L A VE Z
En ese caso l a cu rv a m uest ra z onas por enci m a y por d ebaj o del ej e
de absci sas. P ar a cal cul ar el área d e l a fu n ci ón segui r em os l os
s i gui ent es pasos:
1 º Grafi qu e l a func i ón para obs erva r l as z onas sobre y d ebaj o del ej e
“x ”. Lue go cal cul e l os punt os de cort e c on el ej e “x ”
2º S e ordenan l os l í m i t es separando l as re gi ones sobr e y d ebaj o del ej e
“x ” de i nt egr aci ón.
3º El área es i gual a l a su ma d e l as i n te gral es d ef i n i d as de cada r e gi ón .
E je mp l os :
1 . Hal l ar el áre a l i m i t ada por l a re ct a
absci sas y l as ord en adas cor respondi ent es a
Los ej es “x = 0” y “ x = 4” son rect as ve rt i cal es.
, el ej e d e
.
1.- Grafique la recta y observara las regiones
2.- Como los límites están señalados por x=0 y x=4,
sin embargo puede encontrar el valor que separa las
regiones haciendo F(x)=0.
3.- Ahora puede determinar 2 áreas según sus
límites, desde 0 hasta 2 y desde 2 hasta 4.
La funci ón es
, y po r l os m odel os ant eri ores
∫
∫
∫
∫
{
{
}
}
|
|
2 . C al cul ar el á rea d e l a re gi ón del pl an o l i m i t ada por el cí r cul o x 2 + y 2 = 9
1.- Cuando hace el grafico observa la región que
tiene que hallar el área.
2.- luego debe encontrar la región entre los
límites x=0 y x=3.
3.- El área total será 4 veces el área determinada.
1 . - S i endo
√
Ini ci al m ent e pu ede observar que ex i st en 2 re gi on es; una so bre el ej e “x ” y
ot ra debaj o del ej e “ x ”; en am bos casos l os l í m i t es son desde -3 hast a 3.
Al s er l as 2 regi ones i gual es puede co nsi dera r ∫
funci ón es pa r
; pero como l a
∫
∫ √
2 . - El áre a a en cont r ar es
R es ol vi endo sol o l a i nt egr al :
∫
∫ √
∫
|
P ero s i
Ahora podem os c am bi ar l os l í m i t es:
|
Eval uando l a i nt e gr al :
P ero el ár ea t ot al er a
(
)
Nota: el ár ea d e l a ci rcu n f eren ci a es
AR EA ENTR E R EGIO NES
Las r e gi ones son form adas por l a i nt er secci ón de curv as y est as pueden
es t ar sobre el ej e “ x ” ò debaj o el ej e “ x ”; se t rat a de h al l a r l os l í m i t es
en l a cual se enci e rran m edi ant e l a i gual dad de sus ecua ci ones, l uego
vi s ual i z ar l a z ona para sab er cóm o poder hal l ar el ár ea , a veces es
recom end abl e c am bi ar el sent i do de l a c urva par a que se res uel va de una
m anera m ás s enci l l a .
1 . C al cul ar el á rea del re ci nt o l i m i t ado por l a par ábol a y = x 2 + 2 y l a
rect a qu e pasa po r l os punt os (−1, 0) y ( 1, 4).
S ol uci ón: La e cuaci ón de l a re ct a ( y-0 ) =m (x +1) donde ̅
Es l o m i sm o a t om ar en cuent a l os punt o s y t raz ar l a re ct a.
m =2 .
1.- Halle las graficas y las ecuaciones de la recta F(x)=
2x+2 y Parábola G(x)= x2 + 2.
2.-La intercepción resulta de igualar ambas ecuaciones:
X2+2 = 2x+2
x2 – 2x = 0
x(x – 2) = 0
x=0;x=2
3.- El área de la región limitada es el área bajo la recta
menos el área bajo la Parábola.
∫
∫
|
-
=
F(x)
G(x)
Gráfi c am ent e se hal l a el área de F(x ) a l a cual l e rest a el ár ea de G(x )
y qued a el á rea p edi da.
2 . Hal l ar el á re a de l a fi gura l i m i t ada por: F(x ) = x 2 , G(x) = x y l as
rect as : x = 0, x = 2 .
F(x)
1.- Debe graficar para observar la zona del área.
G(x)
2.-Igualando las ecuaciones.
X2 = x
x2 – x = 0
(x)(x – 1) = 0
x=0;x=1
3.- Se puede apreciar 2 regiones y los límites de
cada región.
∫
∫
|
∫
∫
|
(
)
El área Tot al es 1 R p ta .
3 . Hal l ar el á rea d e l a regi ón del pl ano l i m i t a da por l as curvas y = l n x,
y= 2 y l os ej es coord enados.
Este es el caso que si cambia la orientación
de la curva, es decir no observa el área
respecto al eje “x” sino, respecto al eje “y”.
1.- Debe despejar la función con respecto a
la variable Y, es decir no
En es t a caso l os l í m i t es sobre est e ej e “ y” son y= 0 hast a y= 2
|
∫
4 . Hal l ar el á rea del re ci nt o pl ano y l i m i t ado por l a par ábol a y = 4x − x 2
y l as t angent es i ndi cadas en l a curva en l os pun t os de i nt ersecci ón con el
ej e X.
Este problema requiere que sepa hallar las ecuaciones de las
tangentes, así como la intercepción de rectas.
1.- Graficando la función y haciendo F(x) = 0, se encuentran los
puntos sobre el eje “x”; por donde pasan las rectas tangentes. Es
decir en x=0 y en x=4
①②
2.- Una recta tiene ecuación y=m.x y la otra y=m(x-4);
reemplazando cada recta en la ecuación de la Parábola.
Mx=4x-x2
m=4-x
M(x-4)=-x(4-x)
m=4
m=-4
F(x)=4x
G(x)=-4x+16
Ambas rectas se interceptan en el punto (2,8)
Debe hal l a r 2 ár eas, cada un a debaj o d e cada r ect a
∫
∫
∫
|
∫
|
Lue go el ár ea t ot al es
5 . C al cul ar el á rea l i m i t ada por l as gráfi cas de l as fu nci ones y 2 = 4x e
y=x 2 .
1.- Debe graficar para visualizar el área, si no recuerda
las cónicas haga uso de máximos, mínimos y asíntotas.
2.- Iguale las ecuaciones para hallar los límites de
integración.
4x=x4
∫
4x- x4 = 0
x(4- x3)= 0
x= 0 y x= 41/3
√
√
√
√
|
6 . Hal l ar el ár ea d e l a re gi ón l i m i t ada por l as par ábol a s
;
y
S ol uci ón: am bas par ábol as m uest ran su vért i ce y l os ej es ha ci a donde s e
abre el ej e fo cal ; sol o fal t a m ost rar l os punt os de i nt ersecci ón.
Hal l ando l os punt os de i nt er sec ci ón
Lue go, p unt os de i nt ercep ci ón son x = 1 y x = 3 “l os l í m it es de l a i nt egr al ”
Grafi c ando:
Como toda la región se encuentra debajo del
eje “x”.
1
3
∫
∫
∫
∫
∫
El área total:
∫
|
∫
(
∫
|
)
Hasta aquí se ha resuelto varios problemas considerando que la región se encuentra sobre el
eje “x” o debajo del eje “x”; pero si la región se encontrara atravesando el eje.
G(x)
F(x)
F(x)
G(x)
De una manera general considere siempre la función que esta encima de la otra y restarla,
por ejemplo en el primer grafico debe ser: F(x) – G(x); no interesa donde se encuentre el
grafico; en la segunda la región puede considerar el primer grafico menos el segundo, es
decir la recta menos la parábola.
Finalmente en este caso no se ha resuelto gráficos cuya posición necesita partir en
secciones por lo general debe considerar otra vista, me refiero al eje “y” para hacer sencillo
el ejercicio.
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
√
∫ √
√
√
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
√
∫
√
√

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Vamos aplicar las

Transcripción

Documentos relacionados

Curva de demanda (derivación)

Ficha en PDF

0 ≥ t )12,, 1 3 ()( + + = te t tg )1 ,,1()( 2 + + = tet tf 0 ≥ t )5,()( tf = 0 ≥ t

Invitacion IV Feria - Coordinadora Estatal de Comercio Justo

APELLIDO Y NOMBRE: Ranieri, Silvia Beatriz FORMACIÓN