Polinomios de Legendre.

Polinomios de Legendre.
1.
Introducción.
Los polinomios de Legendre constituyen una base ortogonal en el espacio de funciones definidas entre [−1, 1] . Son soluciones de la familia de ecuaciones diferenciales
ordinarias:
d
2 d
(1 − x ) Pn (x) + n(n + 1)Pn (x) = 0
(1)
dx
dx
Donde n = 0, . . .. Como demostraremos, este problema tiene la forma de una
ecuación de autovalores para un operador diferencial autoadjunto. El autovalor es
λ = −n(n + 1).
Existen varias formas alternativas para introducir los polinomios de Legendre.
La
más sencilla y física de ellas es a través del desarrollo multipolar. Sea |~r| = r r~′ = r ′
y θ el angulo que forman ~r y r~′
∞
X r ′ℓ
1
1
1
1
√
q
=
=
Pℓ (cos θ)
=
|~r − ~r′ |
r 1 + ( r′ )2 − 2( r′ ) cos θ
r ℓ+1
r 2 + r ′2 − 2rr ′ cos θ
ℓ=0
r
r
(2)
En lo sucesivo llamaremos x = cos(θ) y t =
2.
r′
r
Función generatriz.
Definimos la función generatriz g(x,t), cuyo desarrollo en serie de Taylor genera
como coeficentes los polinomios de Legendre:
∞
g(x, t) = √
X
1
=
Pn (x)tn
2
1 − 2xt + t
n=0
(3)
Los dos primeros polinomios se pueden calcular desarrollando en serie de Taylor
en la variable t:
g(x, t) = P0 (x) + P1 (x)t + . . .
(4)
1
g(x, 0) = √ = 1 = P0 (x)
1
(5)
x−t
dg(x, t)
|t=0 =
3 |t=0 = x = P1 (x)
dx
(1 − 2xt + t2 ) 2
(6)
1
3.
Propiedades.
Utilizando exclusivamente la función generatriz se pueden comprobar varias propiedades.
1. La paridad de los polinomios de Legendre está bien definida:
Pn (−x) = Pn (x)(−1)n
(7)
Para demostrarlo podemos considerar:
∞
X
1
g(−x, −t) = p
Pn (−x)(−1)n tn
=
2
1 − 2(−x)(−t) + (−t)
n=0
(8)
que al mismo tiempo es:
g(−x, −t) = p
∞
1
1 − 2(−x)(−t) + (−t)2
=√
X
1
=
Pn (x)tn
2
1 − 2xt + t
n=0
(9)
por tanto
Pn (−x) = Pn (x)(−1)n
(10)
Además es posible conocer los valores de los polinomios en x = ±1:
2. Pn (1) = 1
Si x = 1
∞
X X
1
1
1
2
n
√
Pn (1)tn (11)
= 1+t+t +. . . =
t
=
=p
(1 − t)
1 − 2t + t2
(1 − t)2
n=0
n=0
de donde deducimos que Pn (1) = 1.
3. Pn (−1) = (−1)n .
De forma analoga si x = −1
√
∞
X
X
1
1
1
=p
=
= 1−t+t2 −t3 . . . =
(−1)n tn
Pn (1)tn
2
2
(1
+
t)
1 + 2t + t
(1 + t)
n=0
n=0
(12)
de donde deducimos que Pn (−1) = (−1)n .
2
4.
Relaciones de recurrencia
La función generatriz se puede utilizar para deducir relaciones entre los polinomios
de Legendre. Vamos a demotrar que podemos calcular el polinomio Pn+1 (x) a partir
de Pn (x) y Pn−1 (x). A una relacion de este tipo se la denomina relación de recurrencia
a tres términos
1. Empezaremos derivando g(x, t) con respecto a t
∞
∞
X
X
(x − t)g(x, t)
1
dg(x, t)
n
(xPn (x)−Pn−1 (x))tn
=
= (x−t)
Pn (x)t =
2
dt
1 − 2xt + t2
1
−
2xt
+
t
n=0
n=0
(13)
por otro lado tenemos que:
∞
∞
X
dg(x, t)
d X
Pn (x)tn =
nPn (x)tn−1
=
dt
dt n=0
n=0
(14)
igualando ambas expresiones para la derivada y multiplicando por 1 − 2xt + t2
llegamos a la relación:
∞
X
n=0
n
n+1
xPn (x)t − Pn (x)t
2
= (1 − 2xt + t )
∞
X
nPn (x)tn−1
∞
∞
X
X
n
(xPn (x) − Pn−1 (x))t =
Pn (x)(ntn−1 − 2xntn + ntn+1 )
n=0
(15)
n=0
(16)
n=0
(xPn (x) − Pn−1 (x))tn = (n + 1)Pn+1(x)tn − 2xnPn (x)tn + Pn−1 (x)(n − 1)tn (17)
igualando términos con igual potencia tn obtenemos la relación de recurrencia a
tres terminos:
(n + 1)Pn+1 (x) = (2n + 1)xPn (x) − nPn−1 (x)
(18)
Ejercicio Calcula P2 (x)
2P2 (x) = 3xP1 (x) − P0 (x)
(19)
1
P2 (x) = (3x2 − 1)
2
(20)
Ejercicio Calcula P3 (x)
3
2. Podemos encontrar otra relación de recurrencia derivando la función generatriz
con respecto a x
1
tg(x, t)
dg(x, t)
−2t
=−
=
dx
2 (1 − 2xt + t2 )3/2
1 − 2xt + t2
∞
(21)
∞
X
d X
dg(x, t)
Pn (x)tn =
Pn′ (x)tn
=
dx
dx n=0
n=0
(22)
igualando ambas expresiones para la derivada llegamos a la relación y multiplicando por 1 − 2xt + t2
∞
X
n=0
∞
X
Pn (x)tn+1 = (1 − 2xt + t2 )
Pn (x)tn+1 =
n=0
∞
X
n=0
∞
X
Pn′ (x)tn
(23)
n=0
(Pn′ (x)tn − 2xPn′ (x)tn+1 + Pn′ (x)tn+2 )
(24)
En este caso vamos a igualar términos en tn+1
′
′
Pn (x)tn+1 = Pn−1
(x)tn+1 − 2xPn′ (x)tn+1 + Pn+1
(x)tn+1
(25)
′
′
Pn−1
(x) + Pn+1
(x) = 2xPn′ (x) + Pn (x)
(26)
llegamos a:
5.
Ecuación Diferencial de Legendre.
Utilizando las dos relaciones de recurrencia se llega a la ecuación de Legendre:
d
2 d
(1 − x ) Pn (x) + n(n + 1)Pn (x) = 0
(27)
dx
dx
Esta ecuacion tiene la forma de un problema de Sturm-Liouville generalizado. En
concreto, es la ecuación de autovalores de un operador autoadjunto donde p(x) =
1 − x2 y λ = −n(n + 1). Por tanto sus autofunciones, que son los polinomios de
Legendre, son ortogonales entre si:
Z 1
Pn (x)Pm (x)dx = Cn δmn
(28)
−1
Para calcular Cn
Z 1X
Z 1X
Z 1
∞ X
∞
∞
dx
n+m
2n
=
Pn (x)Pm (x)t
dx = t
Pn (x)2 dx
2
1
−
2xt
+
t
−1 n=0 m=0
−1 n=0
−1
4
(29)
Donde hemos utilizado la ortogonalidad de los polinomios de Legendre.
Z 1
Pn (x)Pm (x)dx = Cn δmn
(30)
−1
Z
1
−1
t=1
1
1
dx
2
= [log(1 − t) − log(1 + t)] (=31)
= −
log(1 − 2xt + t )
2
1 − 2xt + t
2t
t
t=−1 2n
n+1
n+1
2t
t
1
t
(−1)n
=
=
−
(32)
t
n+1 n+1
2n + 1
igualando obtenemos
Z
1
Pn2 (x)dx =
−1
6.
2
2n + 1
(33)
Fórmula de Rodrigues
Los polinomios de Legendre se pueden calcular utilizando la fórmula de Rodrigues:
1 dn 2
(x − 1)n
n
n
2 n! dx
Ejercicio: Aplica la fórmula de Rodrigues para calcular P2 (x).
Pn (x) =
(34)
1. Vamos ahora a demostrar (34). Para ello consideraremos la ecuación diferencial
ordinaria que satisface el polinomio r(x) = (x2 − 1)n
d 2
(x − 1)n = 2nx(x2 − 1)n−1
dx
(35)
(x2 − 1)r ′ = 2nxr
(36)
o lo que es lo mismo:
Derivemos n+1 veces esta ecuación
((x2 − 1)r ′ )(n+1) = 2n(xr)(n+1)
(37)
y utilicemos la expresión para la derivada enésima de un producto:
(f g)
(m)
m X
p
(f (m−p) g (p))
=
m
p=0
5
(38)
obtenemos:
(x2 − 1)
dn+2
dn+1
2n(n + 1) dn
r(x)
+
2(n
+
1)x
r(x)
+
r(x)
dxn+2
dxn+1
1 · 2 dxn
dn
dn+1
− 2nx n+1 r(x) − 2n(n + 1) n r(x) = 0.
dx
dx
Llamemos
u=
dn q
dxn
(39)
La ecuación queda
(x2 − 1)u′′ + [2(n + 1)x − 2nx] u′ + [n(n + 1) − 2n(n + 1)] u = 0
(40)
y simplificando
(1 − x2 )u′′ − 2xu′ + n(n + 1)u = 0
(41)
que es la ecuación de Legendre. Concluimos que
dn 2
u = n (x − 1)n
dx
(42)
Es solución de la Ecuación de Legendre y por consiguiente es proporcional a
Pn (x).
Pn (x) = c
dn 2
(x − 1)n
n
dx
2. c es una constante. La fórmula de Rodrigues identifica esa constante con c =
(43)
1
2n n!
Ejercicio: Determina c utilizando que
Pn (x) = c
dn
[(x + 1)n (x − 1)n ]
dxn
y que Pn (1) = 1
6
(44)