Una Introducción a la Geometr´ıa Diferencial en Espacios

Transcripción

Una Introducción a la Geometrı́a
Diferencial en Espacios Euclidianos
Guillermo Antonio Lobos Villagra - UFSCar
Walcy Santos - UFRJ
EMALCA - 2010
Quito - Ecuador
Índice general
Capı́tulo 1. Teorı́a local de curvas
1. Curvas planas y espaciales
2. Recta tangente a una curva
3. Longitud de arco
4. Campos de vectores a lo largo de curvas
5. Teorı́a local: Referencial de Frenet
6. Teorema fundamental de curvas planas y espaciales
7. Lista de ejercicios 1
1
1
7
10
12
14
29
34
Capı́tulo 2. Teorı́a local de superficies
1. Superficie parametrizada
2. Plano tangente
3. Primera forma fundamental
4. La aplicación normal de Gauss y la segunda forma fundamental
5. Las ecuaciones de Gauss y Codazzi
6. Teorema fundamental de la Teorı́a de Superficies
7. Lista de ejercicios 2
39
39
44
46
48
61
66
69
Bibliografı́a
77
3
Capı́tulo 1
Teorı́a local de curvas
1.
Curvas planas y espaciales
El espacio euclidiano n-dimensional
Rn = {(x1 , x2 , ..., xn )/xi ∈ R, i = 1, 2, ..., n}.
es el espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales R con las operaciones
v + w = (x1 , x2 , ..., xn ) + (y1 , y2 , ..., yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn ), v, w ∈ Rn ,
λv = λ(x1 , x2 , ..., xn ) = (λx1 , λx2 , ..., λxn ), λ ∈ R, v ∈ Rn .
Si {e1 , ..., en } es la base canónica de Rn , entonces cada vector v ∈ Rn es una combinación lineal
v=
n
X
xi ei ,
i=1
donde x1 , x2 , ..., xn ∈ R son las coordenadas de v en esa base.
El producto escalar o interior en Rn es una aplicación bilineal, simétrica y definida
positiva, dada por
v·w =
n
X
xi yi .
i=1
La norma de un vector v en Rn es
v
u n
uX
√
kvk = v · v = t (xi )2 .
i=1
n
A lo largo de todo este curso 0 ∈ R significa el origen (0, 0, ..., 0) de Rn .
En este capı́tulo estudiamos las curvas planas y espaciales dependiendo si Rn es el
plano Euclidiano n = 2, o es el espacio Euclidiano n = 3, respectivamente.
Definición 1.1. Una curva continua en Rn (n = 2, 3) es una aplicación α : I → Rn ,
definida en un intervalo I ⊂ R y dada por
α(t) =
n
X
i=1

 (x1 (t), x2 (t)), si n = 2,
xi (t)ei =

(x1 (t), x2 (t), x3 (t)), si n = 3.
1
2
1. TEORÍA LOCAL DE CURVAS
tal que
lı́m α(h) = α(t),
h→t
∀ t ∈ I.
Aquı́ t es llamado el parámetro de la curva α y cada función xi : I → R es la i-ésima
función coordenada de α.
Si α esta definida en un intervalo I = [a, b], los puntos α(a), α(b) son llamados de
punto inicial y punto final de α, respectivamente.
En particular, diremos que:
α es una curva cerrada si I = [a, b] y α(a) = α(b), es decir el punto inicial y
final de α coinciden.
α es una curva simples si α es inyectiva en I, es decir, si α(t1 ) = α(t2 ),
entonces t1 = t2 .
Observación 1.2. Una curva α : I → Rn es continua si, y sólo si, las funciones
coordenadas x1 , ..., xn de α son funciones continuas, es decir, si
lı́m xi (h) = xi (t),
h→t
∀t ∈ I, ∀i = 1, ..., n.
El conjunto C(α) = {α(t) ∈ Rn / t ∈ I} es llamado el trazo de α.
En estas notas una aplicación f : I → Rn es de clase C k (k = 0, 1, 2, 3, ....), si f y
sus derivadas f 0 , f 00 ,...,f (k) existen y son todas aplicaciones continuas.
Recordemos que la derivada de primera orden f 0 : I → Rn de f es dada por
f (t + h) − f (t)
df
= lı́m
,
dt h→0
h
la derivada de segunda orden f 00 : I → Rn de f es dada por
µ ¶
d2 f
d df
f 0 (t + h) − f 0 (t)
00
f (t) = 2 =
= (f 0 )0 (t) = lı́m
,
h→0
dt
dt dt
h
f 0 (t) =
de forma análoga son definidas las derivadas f (k) : I → Rn de orden superior de f .
Una aplicación f : I → Rn es diferenciable, si f es de clase C ∞ , es decir, f es de
clase C k , para todo k = 0, 1, 2, 3, ....
Definición 1.3. Una curva parametrizada (diferenciable) α : I → Rn es una aplicación de clase C 3 (C ∞ , respectivamente).
En términos de las funciones coordenadas:
Una curva α : I → Rn es parametrizada (diferenciable) si, y sólo si, sus funciones
coordenadas x1 , ..., xn son de clase C 3 (C ∞ , respectivamente).
1. CURVAS PLANAS Y ESPACIALES
3
Observación 1.4. Cada punto α(t) del trazo de una curva α puede ser considerado
como una partı́cula que “anda” a lo largo de su trazo, C(α), con su posición en el
instante de tiempo t, ası́ podemos definir su velocidad α0 (t), aceleración α00 (t), etc..
En este sentido una curva α será una parametrización de su trazo C(α).
De acuerdo con la observación anterior, la velocidad de una partı́cula α(t) en el
instante de tiempo t es dada por
α0 (t) =
dα
α(t + h) − α(t)
= lı́m
=
h→0
dt
h
n
X
x0i (t)ei =
i=1
 0
 (x1 (t), x02 (t)), si n = 2,

(x01 (t), x02 (t), x03 (t)), si n = 3.
El vector velocidad α0 (t) es siempre un vector tangente a la curva α en el punto
α(t) y su tamaño
 p
v
u n
 (x01 (t))2 + (x02 (t))2 , n = 2,
uX
° 0 ° p
°α (t)° = α0 (t) · α0 (t) = t (x0 (t))2 =
i
 p 0
i=1
(x1 (t))2 + (x02 (t))2 + (x03 (t))2 , n = 3,
es la velocidad con que se mueve α(t) sobre el trazo C(α) en el instante t.
Análogamente, la aceleración de una partı́cula α(t) en el instante t es dado por
α00 (t) =
dα0
dt
= lı́m
h→0
α0 (t
+ h) −
h
α0 (t)
=
n
X
x00i (t)ei =
i=1
 00
 (x1 (t), x002 (t)), si n = 2,

(x001 (t), x002 (t), x003 (t)), si n = 3.
Ejemplo 1.5. Algunas parametrizaciones de curvas planas y espaciales.
1. Si P ∈ Rn es cualquier punto fijo. La curva definida por α(t) = P, t ∈ R,
no determina una curva simples llamada curva constante.
Aquı́ la velocidad y la aceleración de la curva constante es siempre nula,
es decir, α0 (t) = α00 (t) = 0 ∈ Rn , para todo t ∈ R.
2. Para cada P, Q ∈ Rn puntos distintos, tenemos el vector V = Q − P ∈ Rn .
Ası́, la curva definida por
α(t) = P + tV,
t ∈ R,
determina una recta parametrizada. En particular, si restringimos α al intervalo [0, 1], es decir, α|[0,1] , obtenemos una parametrización del segmento
de recta con punto inicial α(0) = P y punto final α(1) = Q.
Ahora, si f : R → R es cualquier función biyectiva C ∞ , entonces la curva
parametrizada γ : R → Rn dada por
γ(t) = P + f (t)V, t ∈ R,
tiene el mismo trazo que α, o sea, C(γ) es también la recta que pasa por P
y Q. Por ejemplo, si f (t) = t3 , en este caso, tenemos que
γ 0 (t) = 3t2 v = 3t2 α0 (t)
y
γ 00 (t) = 6tv 6= α00 (t) = 0 ∈ Rn ,
∀t ∈ R.
4
3. Sean a, b ∈ R con a ≥ b > 0. Entonces la curva diferenciable α : [0, 2π] → R,
parametrizada por
α(t) = (a cos t, b sen t), t ∈ [0, 2π],
determina una elipse
½
¾
x2 y 2
(x, y) ∈ R / 2 + 2 = 1 ,
a
b
2
C(α) =
cuando a > b, y en este caso la elipse tiene ejes mayor 2a y menor 2b. En
el caso de a = b la curva parametrizada
α(t) = a(cos t, sen t) = (a cos t, a sen t), t ∈ [0, 2π],
es un cı́rculo de radio a y centro el origen de R2 . Aquı́ el trazo
©
ª
C(α) = (x, y) ∈ R2 / x2 + y 2 = a2 ,
es la circunferencia de radio a y centro (0, 0).
Por otro lado, la curva parametrizada β : [0, 2π] → R2 , definida por
β(t) = (a cos 2t, b sen 2t), t ∈ [0, 2π],
posee el mismo trazo que la curva
α(t) = (a cos t, b sen t),
es decir,
C(α) = C(β),
pero
β 0 (t) = 2α0 (t)
⇒
kβ 0 (t)k = 2 kα0 (t)k ,
∀t ∈ [0, 2π].
4. Las parametrizaciones dadas por
α(t) = (t2 , t3 )
y
β(t) = (t2 − 1, t(t2 − 1)),
t ∈ R,
determinan una cúbica cuspidal dada por la ecuación y 2 = x3 y una cúbica
nodal dada por y 2 = x3 + x2 , respectivamente.
5. La aplicación α : R → R2 , dada por
α(t) = (t, |t|),
t ∈ R,
no es una curva diferenciable, en particular una curva parametrizada, pues
la segunda función coordenada x2 de α dada por la función valor absoluto
x2 (t) = |t| no es de clase C 3 en t = 0. Mas cualquier restricción de α para
un intervalo que no contenga el punto t = 0 es una curva parametrizada
diferenciable.
1. CURVAS PLANAS Y ESPACIALES
5
6. La hipérbola descrita por la ecuación
x2 y 2
− 2 = 1,
a2
b
con a, b > 0, es parametrizada por la curva diferenciable, dada por
α(t) = (a cosh t, b senh t),
t ∈ R,
donde las funciones coseno hiperbólico y seno hiperbólico son dadas por
cosh t =
et + e−t
2
Observamos que
½
C(α) =
e
senh t =
et − e−t
.
2
¾
x2 y 2
(x, y)/ 2 − 2 = 1 .
a
b
7. El gráfico de una función f : I → R de clase C k , dado por
G = {(x, y) ∈ I × R/y = f (x)} ⊂ R2 ,
es parametrizado por la curva α : I → R2 de clase C k , dada por
α(t) = (t, f (t)),
t ∈ I.
8. El conjunto de todos los puntos (x, y) ∈ R2 , tal que
y 2 = 4x2 (1 − x2 ),
es llamado de lemniscata. Este conjunto puede ser descrito como siendo el
trazo de la curva parametrizada α : [0, 2π] → R2 , dada por
α(t) = (sen t, sen 2t),
donde el parámetro t es el ángulo entre el vector P − O (determinado por
P = (x, y) sobre la lemniscata y el origen O de R2 ) y el eje Ox.
9. Una curva Lissajous es el trazo de la curva parametrizada β : R → R2 ,
definida por
β(t) = (sen at, sen bt),
a, b > 0,
a 6= b.
Este tipo de curva de Lissajous aparece en Mecánica, cuando dos oscilaciones
elásticas ocurren simultáneamente en planos ortogonales, por ejemplo, los
péndulos duplos. La curva parametrizada β es claramente una generalización
de la curva del ı́tem anterior que parametriza la lemniscata.
10. Una cicloide es la trayectoria descrita por un punto P = (x1 , x2 ) ∈ R2 , de la
circunferencia de radio r y centro O0 , que gira sobre el eje Ox, sin deslizarse
y con aceleración escalar constante.
Sea V el vector con punto inicial en O0 y punto final P , y sea t el ángulo
descrito entre el vector V y el vector Q−O0 , donde Q es el punto de tangencia
6
entre la circunferencia y el eje Ox, suponiendo que P coincide con el origen
O = (0, 0), cuando t = 0.
Entonces el arco QP tiene la misma longitud que el segmento con punto
inicial en el origen O y punto final Q. Concluimos que rt y r son abscisa y
ordenada, respectivamente, de O0 consecuentemente, tenemos que
µ
x1 = rt − r cos
µ
x2 = r − r sen
3π
−t
2
¶
3π
−t
2
= rt − r sen t,
¶
= r − r cos t,
son las coordenadas de P . Ası́, la cicloide puede ser descrita como siendo
el trazo de la curva parametrizada α : R → R2 , dada por
α(t) = (rt − r sen t, r − r cos t).
Verifique que:
α0 (t) = (r − r cos t, r sen t), α00 (t) = r(sen t, cos t), kα00 (t)k = r
o
n
³
y´ p
y C(α) = (x, y) ∈ R2 /x = r arc cos 1 −
∓ (2r − y)y .
r
11. La espiral de Arquı́medes es el conjunto de todos los puntos (x, y) ∈ R2 tal
que
!
Ãp
x2 + y 2
= y,
a > 0.
x tan
a
En coordenadas polares, la espiral de Arquı́medes es dada por la ecuación:
r = aθ,
a > 0.
Usando este hecho podemos parametrizar la espiral de Arquı́medes, como
siendo el trazo de la curva parametrizada α : [0, +∞) → R2 , definida por
α(t) = (at cos t, at sen t).
12. La parametrización dada por
γ(t) = (t, t2 , t3 ),
t ∈ R,
determina la cúbica “twisted”. Las proyecciones de esta curva sobre cada
uno de los planos coordenados xy, xz e yz proporciona curvas planas dadas
por las ecuaciones y = x2 (parábola), z = x3 (cúbica) y z 2 = y 3 (cúbica
cuspidal), respectivamente.
13. Sea a ∈ R. Una parametrización de una hélice circular sobre un cilindro
recto dado por el conjunto de todos los punto (x, y, z) ∈ R3 que satisfacen la
ecuación
x2 + y 2 = a2 ,
2. RECTA TANGENTE A UNA CURVA
7
es dada por la curva diferenciable α : R → R3 , definida por
α(t) = (a cos t, a sen t, bt),
t ∈ R.
Aquı́ el parámetro t de α mide el ángulo que el eje Ox hace con la recta que
pasa por el origen O de R3 y la proyección ortogonal del punto α(t) sobre el
plano xy, es decir, sobre el punto (a cos t, a sen t, 0).
14. La curva parametrizada α : [π/2, π) → R2 , dada por
µ
¶
θ
π
α(θ) = cos θ + ln tan , sen θ ,
≤ θ < π,
2
2
donde θ es el ángulo que el eje Ox hace con la recta que pasa por α(t) y tiene
dirección el vector α0 (t). El trazo C(α) es llamado de tractriz. Observe que
α
³π ´
2
= (0, 1)
Usando el hecho que
y
lı́m α(θ) = (+∞, 0).
θ→π
µ ¶
θ
= et ,
tan
2
una otra parametrización de la tractriz puede ser descrita por la siguiente
curva β : [0, +∞) → R2 , definida por
β(t) = (t − tanh t, sech t),
t ≥ 0.
Aquı́,
tanh t =
y
sech t =
2.
senh t
et − e− t
e2t − 1
= t
=
= − cos θ
cosh t
e + e− t
1 + e2t
1
2
2et
= t
=
= sen θ.
cosh t
e + e−t
1 + e2t
Recta tangente a una curva
Sea α : I → Rn una curva parametrizada, dada por
α(t) =
n
X

 (x1 (t), x2 (t)), si n = 2,
xi (t)ei =
i=1

(x1 (t), x2 (t), x3 (t)), si n = 3.
con vector tangente (o vector velocidad) de α en t0 ∈ I, dado por
α0 (t0 ) =
n
X
i=1
x0i (t0 )ei =
 0
 (x1 (t0 ), x02 (t0 )), si n = 2,

(x01 (t0 ), x02 (t0 ), x03 (t0 )), si n = 3,
8
y con velocidad escalar de α en t0 ∈ I, dada por
 p
v
u n
 (x01 (t0 ))2 + (x02 (t0 ))2 , si n = 2,
° 0
° uX
°α (t0 )° = t (x0 (t0 ))2 =
i
 p 0
i=1
(x1 (t0 ))2 + (x02 (t0 ))2 + (x03 (t0 ))2 , si n = 3.
Definición 2.1. Diremos que una curva parametrizada α : I → Rn es regular en
t0 ∈ I, si
α0 (t0 ) 6= 0 ∈ Rn .
Una curva α es regular si α es regular en cada punto de I.
Si α0 (t0 ) = 0 ∈ Rn , para algún t0 ∈ I, diremos que α es una curva singular en t0 y
el punto α(t0 ) será llamada una singularidad de α.
Geometricamente, cuando α0 (t0 ) 6= 0 ∈ Rn , tenemos que el vector tangente α0 (t0 )
apunta en la dirección de una recta que: Pasa por el punto α(t0 ) y es limite de las
rectas secantes a α que pasan por α(t0 ) y por α(t), cuando el parámetro t tiende a
t0 . La recta determinada por el vector α0 (t0 ) es definida a seguir:
Definición 2.2. Sea α : I → Rn es una curva parametrizada y regular en t0 ,
definimos la recta tangente a la curva α en α(t0 ) por
rt (l) = α(t0 ) + lα0 (t0 ),
l ∈ R.
Intuitivamente, el trazo de una curva regular es “sin puntas”, excepto por posibles
puntos de auto intersección. Sin embargo, localmente una curva α no tiene auto
intersección, como muestra el siguiente resultado.
Propocisión 2.3. Sea α : I → Rn una curva parametrizada y regular en t0 ∈ I.
Entonces existe ² > 0, tal que α es inyectiva en el intervalo I0 = {t ∈ I/|t − t0 | < ²}.
Demostración: Por hipótesis α0 (t0 ) 6= 0 ∈ Rn , esto implica que existe i ∈ {1, 2, ..., n}
tal que x0i (t0 ) 6= 0. Luego, de la continuidad de x0i , existe un ² > 0, tal que x0i (t) 6= 0,
para todo t ∈ I0 = (t0 − ², t0 + ²) ∩ I. En este caso, xi es una función estrictamente
monótona (es decir, estrictamente creciente o decreciente) y por lo tanto inyectiva,
lo que implica que α|I0 también es inyectiva. ¤
Ejemplo 2.4. Sean n ≥ 2 y α : I → Rn la curva parametrizada por α(t) = (t, f (t)),
para cada t ∈ I, donde f : I → Rn−1 es una aplicación de clase C k con k ≥ 1.
Entonces α es regular en I, pues α0 (1, f 0 (t)) 6= 0 ∈ Rn , para cada t ∈ I. Aquı́ el
trazo de α es el gráfico de f .
Como ejercicios dejamos los siguientes resultados:
2. RECTA TANGENTE A UNA CURVA
9
Propocisión 2.5. (Regra de la cadena) Sean α : I → Rn una curva diferenciable
en I y f : J → R una función real diferenciable en un intervalo abierto J ⊂ R tal
que f (J) ⊂ I. Entonces la función compuesta α ◦ f : J → Rn es diferenciable en J
y
d(α ◦ f )
dα dt
(α ◦ f )0 (s) = α0 (f (s))f 0 (s) ó
=
.
ds
dt ds
Teorema 2.6. (Teorema de la función inversa en R) Sea f : I ⊂ R → R una
función diferenciable tal que f 0 (t0 ) 6= 0, para algún t0 ∈ I. Entonces existe un
intervalo J ⊂ I tal que f (J) es un intervalo abierto de R y la función restricción
f |J es un difeomorfismo de J sobre f (J), es decir, f |J es una función diferenciable,
con función inversa (f |J )−1 diferenciable. En particular tenemos que:
¡ −1 ¢0
1
(s) = 0 −1
f
,
∀s ∈ J.
f (f (s))
Una aplicación de los dos resultados anteriores, es dada en el siguiente resultado,
donde mostramos que cualquier curva diferenciable regular es localmente un gráfico
de una función diferenciable.
Propocisión 2.7. Sea α : I → R2 una curva diferenciable y regular en t0 ∈ I.
Entonces, existe δ > 0, tal que
¡
¢
C α|(t0 −δ,t0 +δ) = C(β),
donde β : J → R2 es una curva, dada por β(t) = (t, f (t)) ó β(t) = (f (t), t), para
alguna función diferenciable f : J → R con J un intervalo abierto de R.
Demostración:
Sea α : I → R2 dada por
α(t) =
2
X
xi (t)ei ,
t ∈ I.
i=1
Como α es una curva regular en t0 , sabemos que
0
α (t0 ) =
2
X
x0i (t0 )ei 6= (0, 0).
i=1
Sin perdida de generalidad podemos suponer que x01 (t0 ) 6= 0. En este caso, por el
teorema de la función inversa, existe un intervalo abierto (t0 − δ, t0 + δ), tal que la
función coordenada x1 |(t0 −δ,t0 +δ) es un difeomorfismo sobre el intervalo
J = x1 ((t0 − δ, t0 + δ)).
Sea β : J → R2 una curva definida por β(t) = (α ◦ x−1
1 )(t), como la composición
de funciones diferenciables es una función diferenciable, tenemos que β es una curva
10
diferenciable y
2
X
β(t) =
(xi ◦ x−1
1 )(t)ei = (t, f (t)),
i=1
donde f es una función diferenciable, dada por
f (t) = (x2 ◦ x−1
1 )(t),
t ∈ J.
La demostración en el caso de x2 (t0 ) 6= 0, es análoga al caso anterior, ası́ el trazo de
α coincide localmente en un entorno de α(t0 ) con el trazo de una curva de la forma
β(t) = (f (t), t). ¤
Verifique si el resultado anterior vale para curvas en R3 .
3.
Longitud de arco
Un concepto fundamental en la geometrı́a de curvas es la longitud de arco de una
curva parametrizada.
Sea α : I → Rn una curva parametrizada, dada por
α(t) =
n
X
xi (t)ei ,
∀t ∈ I.
i=1
La función Lα : I → R, dada por
Z
t
Lα (t) =
kα0 (l)k dl,
∀t ∈ I,
t0
donde t0 ∈ I, es llamada longitud de arco. Como kα0 k es una función continua en I,
la función Lα es de clase C 1 , y por el teorema fundamental del cálculo, tenemos que
L0α (t) = kα0 (t)k,
∀t ∈ I.
Observación 3.1. Si α : I → Rn es una curva diferenciable y regular en I, entonces
la función longitud de arco Lα : I → R es una función inyectiva de clase C ∞ en I.
Definición 3.2. Sea α : [a, b] → Rn una curva parametrizada. Para cualquier valor
del parámetro t ∈ (a, b], definimos su longitud de arco de α entre los puntos a y t
por el número
!1/2
Z t
Z t ÃX
n
2
0
0
dl.
Lα (t) =
kα (l)k dl =
(xi (l))
a
a
i=1
Es decir, la distancia que una partı́cula se movió - la longitud de arco de su trayectoria - es la integral de su velocidad.
3. LONGITUD DE ARCO
11
Observación 3.3. La función longitud de arco Lα de una curva parametrizada α
está determinada de forma única, a menos de una constante.
Definición 3.4. Diremos que una curva α : I → Rn esta parametrizada por la
longitud de arco, si el parámetro t, es a menos de una constante, igual a Lα (t), es
decir,
Lα (t) = t + c,
∀t ∈ I,
donde c es una constante.
Propocisión 3.5. Una curva α : I → Rn está parametrizada por la longitud de
arco si, y sólo si,
kα0 (t)k = 1,
∀t ∈ I.
Demostración: Usamos el hecho que L0α (t) = kα0 (t)k y que Lα (t) = t + c, para
cada t ∈ I, concluimos que
kα0 (t)k = L0α (t) = 1,
∀t ∈ I.
Recı́procamente, si kα0 (t)k = 1, para todo t ∈ I, entonces
Z t
Z t
0
Lα (t) =
kα (l)kdl =
dl = t − t0 , ∀t ∈ I,
t0
t0
por lo tanto, α está parametrizada por la longitud de arco.
¤
n
Teorema 3.6. Cualquier curva regular α : I → R puede ser reparametrizada por
la longitud de arco. Más precisamente, fijando t0 ∈ I, existe una biyección h : J → I
de clase C ∞ definida en un intervalo J sobre I, con 0 ∈ J y h(0) = t0 , de manera
que la curva β : J → Rn , dada por β(s) = (α ◦ h)(s), satisface que kβ 0 (s)k = 1.
Aquı́ s es el parámetro de longitud de arco.
Demostración: Sea α : I → Rn una curva parametrizada y regular en I, queremos
reparametrizar α por la longitud de arco. Por la regularidad de α, tenemos que
L0α (t) = kα0 (t)k > 0,
∀t ∈ I.
Ası́, Lα es una función estrictamente creciente. Luego Lα es inyectiva. Ahora, por la
continuidad de Lα , tenemos que la imagen del intervalo I por Lα es un intervalo J,
es decir, Lα (I) = J. De aquı́ concluimos que Lα tiene una función inversa h : J → I
que es diferenciable y tal que h(0) = t0 , pues Lα (t0 ) = 0 ∈ J. Ası́ la aplicación
β : J → Rn , dada por
β(s) = (α ◦ h)(s),
es una curva parametrizada por la longitud de arco. De hecho, basta usar la regla
de la cadena y la fórmula de la derivada de una función inversa que es dada por
1
1
=
,
h0 (s) = 0
0
Lα (h(s))
kα (h(s))k
12
para obtener que
Por lo tanto,
β 0 (s) = (α ◦ h)0 (s) = α0 (h(s))h0 (s).
°
°
°
° 0
1
° = 1.
°
kβ (s)k = kα (h(s))h (s)k = °α (h(s)) 0
kα (h(s))k °
0
0
0
Ası́ concluimos que cada punto β(s) se mueve con velocidad 1.
¤
Ejemplo 3.7. A seguir damos reparametrizaciones de curvas básicas.
1. Un cı́rculo de radio a en R2 fui parametrizado por la curva
α(t) = (a cos t, a sen t),
t ∈ [0, 2π],
luego el vector velocidad y su velocidad en el instante t son dados por
α0 (t) = (−a sen t, a cos t)
y
kα0 (t)k = a,
t ∈ [0, 2π].
Por otro lado, podemos probar que la curva β, dada por
³
s
s´
β(s) = a cos , a sen
,
s ∈ [0, 2aπ],
a
a
es una reparametrición de la curva α por la longitud de arco. Para ver esto,
usamos la regla de la cadena, para obtener que el vector velocidad β 0 (s) y su
velocidad en cada instante t, son dadas por
s
s
β 0 (s) = (− sen , cos ) y kβ 0 (s)k = 1, ∀s ∈ [0, 2aπ].
a
a
2. La siguiente curva α, dada por
µ
¶
1
s
3/2 1
3/2
α(s) =
(1 + s) , (1 − s) , √ ,
∀s ∈ (−1, 1),
3
3
2
esta parametrizada por la longitud de arco, pues
µ
¶
1
1
0
1/2
1/2 1
α (s) =
(1 + s) , − (1 − s) , √
y
kα0 (s)k = 1,
∀s ∈ (−1, 1).
2
2
2
4.
Campos de vectores a lo largo de curvas
Intuitivamente, un campo de vectores V a lo largo de una curva parametrizada
α : I → Rn es una aplicación que a cada t ∈ I asocia un vector con origen en α(t).
Luego para determinar V (t), basta conocer la extremidad final del vector V (t), una
vez que su extremidad inicial es α(t).
Definición 4.1. Un campo de vectores de clase C k a lo largo de una curva α : I → Rn
de clase C k , es una aplicación V : I → Rn de clase C k . Geométricamente, un campo
de vectores V a lo largo de una curva α es dado, en cada punto α(t), por el vector
de extremidades α(t) y V (t).
4. CAMPOS DE VECTORES A LO LARGO DE CURVAS
13
Ejemplo 4.2. Sea α : I → Rn una curva parametrizada y regular en I, dada por
n
X
α(t) =
xi ei , t ∈ I,
i=1
n
entonces T : I → R , definido por
T (t) = α0 (t),
t ∈ I,
es un campo de clase C k a lo largo de la curva α, llamado campo tangente de α.
1. Si α : I → R2 es una curva parametrizada por la longitud de arco, el campo
tangente T de α es un campo unitario, es decir,
kT (s)k = 1,
∀s ∈ I.
La aplicación N : I → R2 , dada por
N (s) = (−x2 (s), x1 (s)),
define un campo de clase C k a lo largo de la curva α. Observe que,
T (s) · N (s) = −x1 (s)x2 (s) + x2 (s)x1 (s) = 0,
∀s ∈ I,
es decir, N (s) es perpendicular a T (s). Luego, el campo N es llamado un
campo normal de α. Como α esta parametrizada por la longitud de arco, el
campo normal N es también un campo unitario de clase C k . De hecho:
kN (s)k2 = (−x2 (s))2 + (x1 (s))2 = kT (s)k2 = 1,
∀s ∈ I.
2. Sea α : I → R3 una curva regular parametrizada por la longitud de arco.
Entonces la función f : I → R, dada por f (s) = kT (s)k2 es constante, luego
f 0 (s) = 2T (s) · T 0 (s) = 0,
s ∈ I.
Por lo tanto, si kT 0 (s)k 6= 0, ∀s ∈ I, podemos definir un campo unitario N
de clase C k a lo largo de la curva α, dado por
T 0 (s)
N (s) =
, ∀s ∈ I.
kT 0 (s)k
El campo N es llamado campo normal principal de α, pues cada N (s) es
ortogonal a T (s) para cada s ∈ I.
En general, dados V, W : I → Rn campos de clase C k a lo largo de una curva
α : I → Rn y f : I → R función de clase C k , podemos definir los campos
V + W : I → Rn
y
f V : I → Rn
por
(V + W )(t) = V (t) + W (t) y (f V )(t) = f (t)V (t), t ∈ I,
respectivamente, que también serán campos de clase C k a lo largo de α.
14
Además, sea V es un campo de clase C k a lo largo de α, dado por
V (t) =
n
X
xi (t)ei ,
t ∈ I,
i=1
si k > 0, definimos la derivada de V por
0
V (t) =
n
X
x0i (t)ei ,
t ∈ I.
i=1
En este caso, obtenemos la aplicación V 0 : I → Rn que es un campo de clase C k−1 a
lo largo de α.
Las siguientes relaciones son fácilmente verificadas:
(V + W )0 (t) = V 0 (t) + W 0 (t)
(f V )0 (t) = f 0 (t)V (t) + f (t)V 0 (t)
(V · W )0 (t) = V 0 (t) · W (t) + V (t) · W 0 (t),
t ∈ I.
Propocisión 4.3. Sean V, W : I → Rn dos campos de clase C k a lo largo de
α : I → Rn . Entonces
1. Si kV k es constante, entonces V 0 (t) es perpendicular a V (t), para cada t ∈ I,
es decir,
V (t) · V 0 (t) = 0,
∀t ∈ I.
2. Si V (t) y W (t) son perpendiculares para cada t ∈ I, entonces
V 0 (t) · W (t) = −V (t) · W 0 (t),
∀t ∈ I.
Demostración: Derivando la ecuación V (t) · V (t) = c, donde c es una constante
real, obtenemos que
2V 0 (t) · V (t) = 0,
esto prueba la primera parte. Para probar la segunda parte, basta derivar la ecuación
V (t) · W (t) = 0, ası́
0 = (V (t) · W (t))0 = V 0 (t) · W (t) + V (t) · W 0 (t).
5.
Teorı́a local: Referencial de Frenet
Si preguntamos:
¿Qué distingue un cı́rculo o una hélice de una recta?
¤
5. TEORÍA LOCAL: REFERENCIAL DE FRENET
15
Una respuesta esta en la curvatura de cada una de las curvas, es decir, la tendencia
de cada curva cambiar de dirección. Para ver esto asociamos a cada curva α : I → Rn
parametrizada por la longitud de arco un “referencial móvil” que entendemos como
siendo una base ortonormal de Rn (n = 2, 3) escogida en cada ponto de la curva, en
el caso n = 3 este referencial es llamado de “triedro móvil ”.
Sea α : I → Rn una curva parametrizada por la longitud de arco. Entonces α0 (s) es
un vector tangente y unitario a la curva α en s. Como vimos en la sección anterior
esto define el campo tangente T a lo largo de α, dado por
n
X
0
T (s) = α (s) =
x0i (s), ∀s ∈ I.
i=1
Supongamos que n = 2:
Definimos el campo N a lo largo de α, tal que para cada s ∈ I, el conjunto
{T (s), N (s)} sea una base ortonormal orientada positiva de R2 , es decir, existe una
rotación que lleva e1 = (1, 0) en T (s) y e2 = (0, 1) en N (s). Por lo tanto, el campo
N es dado por
N (s) = (−x02 (s), x01 (s)), ∀s ∈ I.
Como vimos en la sección anterior este campo N es el campo normal a lo largo de
α y verifica que:
N (s) · T (s) = 0
y
kN (s)k = 1,
∀s ∈ I.
Definición 5.1. Sea α : I → R2 una curva parametrizada por la longitud de arco.
El referencial
{T (s), N (s)}, ∀s ∈ I,
es llamado el referencial de Frenet de α.
Ahora, supongamos que n = 3:
Si T 0 (s) 6= 0, para todo s ∈ I, entonces en la sección anterior definimos el campo
normal principal N a lo largo de la curva α : I → R3 , dado por
T 0 (s)
N (s) =
, ∀s ∈ I.
kT 0 (s)k
Análogamente, N verifica:
N (s) · T (s) = 0,
y
kN (s)k = 1,
∀s ∈ I.
Si T 0 (s) = 0, para algún s ∈ I, el vector normal principal no es definido en s.
Observación 5.2. Si α : I → Rn es una curva diferenciable parametrizada por la
longitud de arco, entonces los campos tangente T y normal (principal) N de α son
campos de clase C ∞ .
16
Antes de determinar un triedro móvil para una curva espacial parametrizada por la
longitud de arco vamos introducir el concepto de curvatura.
Definición 5.3. Sea α : I → Rn una curva parametrizada por la longitud de arco.
1. Si n = 2, la función κ : I → R, definida por
T 0 (s) = κ(s)N (s),
∀s ∈ I,
es llamada curvatura de α.
2. Si n = 3, la función κ : I → R, definida por
κ(s) = kT 0 (s)k,
∀s ∈ I,
es llamada curvatura de α.
En cada caso el valor κ(s) es llamado la curvatura de α en s.
Observación 5.4. Si α : I → Rn es una curva parametrizada por la longitud de
arco, entonces la curvatura de α en s verifica que:
κ(s) = 0
ó
κ(s) = T 0 (s) · N (s) = −N 0 (s) · T (s).
En particular:
1. Si n = 2, entonces
κ(s) = −x001 (s)x02 (s) + x002 (s)x01 (s).
Luego, κ(s) > 0 cuando T esta girando en el sentido contrario a las agujas
del reloj en un entorno de s; κ(s) < 0 cuando T esta girando en el sentido
de las agujas del reloj; y κ(s) = 0 cuando T 0 (s) = 0.
2. Si n = 3, entonces κ(s) ≥ 0, ∀s ∈ I. Pues, por definición
p
κ(s) = (x001 (s))2 + (x002 (s))2 + (x003 (s))2 ≥ 0,
∀s ∈ I.
Si κ(s) = 0, el vector normal principal en ese punto no puede ser definido.
En general, κ es una función diferenciable, cuando α también lo es.
Geometricamente, ya que kT (s)k = 1 y |κ(s)| = kT 0 (s)k, la función curvatura es una
media de la variación de la dirección de T y por lo tanto, de la variación del cambio
de dirección de la recta tangente de α en el punto α(s). Ası́ la curvatura es una
medida de cuanto una curva deja de ser una recta. De hecho, el siguiente resultado
caracteriza las rectas como las curvas cuya curvatura es idénticamente cero.
Propocisión 5.5. La curvatura de una curva regular α : I → Rn es idénticamente
cero si, y sólo si, el trazo de α está contenido en una recta.
Demostración:
17
Supongamos que k = 0 en I. Como
0 = |k(s)| = kT 0 (s)k
⇒
T 0 (s) = 0 ∈ Rn ,
∀s ∈ I.
Ya que el campo tangente T esta definida en un intervalo I, obtenemos que
α0 (s) = T (s) = V0 ,
∀s ∈ I,
donde V0 es un vector constante. Integrando la última igualdad, obtenemos que
Z s
T (l)dl = α(s0 ) + V0 (s − s0 ), ∀s ∈ I,
α(s) = α(s0 ) +
s0
esto muestra que el trazo de α, C(α), esta sobre una recta que pasa por α(s0 ) y es
paralela al vector V0 .
Recı́procamente, si C(α) está contenido en una recta y la curva α está parametrizada
por la longitud de arco, entonces
α(s) = P0 + sV0 ,
∀s ∈ I,
donde kV0 k = 1. Luego, T (s) = α0 (s) = V0 y por lo tanto, T 0 (s) = 0 ∈ Rn . Ası́,
concluimos que la curvatura κ(s) = 0, para todo s ∈ I. O sea, κ = 0. ¤
Supongamos que n = 2.
Los campos T y N satisfacen las ecuaciones de Frenet que son dadas por
T 0 (s) = κ(s)N (s),
N 0 (s) = −κ(s)T (s).
Ahora supongamos que n = 3.
Vamos determinar cuando es posible determinar un triedro móvil para el caso de
una curva espacial parametrizada por la longitud de arco.
Si κ(s) = 0, para algun s, entonces el vector normal principal no esta definido en s,
luego no será posible determinar un triedro móvil para este tipo de puntos. De hecho,
si el conjunto {s ∈ I/κ(s) = 0} es discreto, entonces la curva quedará dividida por
los puntos de este conjunto y en los intervalos determinado por eses puntos sı́ se
tendrá un triedro móvil. Ahora si el conjunto es un intervalo, vimos que en dicho
intervalo, la curva será un segmento de recta.
Por lo tanto, supongamos que la curvatura κ 6= 0 en I, entonces podemos definir un
nuevo campo a lo largo de la curva α : I → R3 como sigue:
18
Definición 5.7. El vector binormal de una curva α : I → R3 en s es definido por


e1
e2
e3
B(s) = T (s) × N (s) = det  T (s) · e1 T (s) · e2 T (s) · e3  .
N (s) · e1 N (s) · e2 N (s) · e3
Esto define un campo B : I → R3 a lo largo de α, llamado campo binormal .
Observación 5.8. Por definición el campo binormal B de una curva α es un campo
unitario y ortogonal a los campos tangente T y normal principal N de α. Es decir,
kB(s)k = 1
y
B(s) · T (s) = B(s) · N (s) = 0,
∀s ∈ I.
El referencial
{T (s), N (s), B(s)},
∀s ∈ I,
que es ortonormal y orientado por la regla de la mano derecha en R3 , es llamado el
triedro móvil (o triedro de Frenet) de α.
Ahora vamos determinar las ecuaciones de Frenet para una curva espacial α en la
cual esta definido un triedro de móvil.
Comenzamos expresando el vector N 0 (s) como combinación lineal de T (s), N (s) y
B(s), entonces el concepto de torsión de una curva α : I → R3 aparece naturalmente:
Como {T (s), N (s), B(s)} es una base ortonormal de R3 , tenemos que
N 0 (s) = (N 0 (s) · T (s))T (s) + (N 0 (s) · N (s))N (s) + (N 0 (s) · B(s))B(s),
ya que,
N 0 (s) · N (s) = 0
y
N 0 (s) · T (s) = −T 0 (s) · N (s) = −κ(s)N (s) · N (s) = −κ(s),
obtenemos que
N 0 (s) = −κ(s)T (s) + (N 0 (s) · B(s))B(s).
Ası́ el concepto de torsión es definido a seguir:
Definición 5.10. Definimos la torsión de la curva α en s por
τ (s) = N 0 (s) · B(s),
Usando esta definición, tenemos que
N 0 (s) = −κ(s)T (s) + τ (s)B(s).
De forma análoga expresamos B 0 (s) como combinación lineal de T (s), N (s) y B(s).
B 0 (s) · B(s) = 0,
B 0 (s) · T (s) = −T 0 (s) · B(s) = −[k(s)N (s)] · B(s) = 0 y
B 0 (s) · N (s) = −N 0 (s) · B(s) = −[−κ(s)T (s) + τ (s)B(s)] · B(s) = −τ (s).
19
Luego,
B 0 (s) = −τ (s)N (s).
Por lo tanto, las ecuaciones de Frenet son las siguientes:
T 0 (s) =
κ(s)N (s)
N 0 (s) = −κ(s)T (s)
+ τ B(s)
0
B (s) =
−τ (s)N (s).
O equivalentemente las ecuaciones de Frenet en forma matricial:

 


T 0 (s)
0
κ(s)
0
T (s)
 N 0 (s)  =  −κ(s)
0
τ (s)   N (s)  .
0
B (s)
0
−τ (s)
0
B(s)
|
{z
}
matriz antisimétrica
Observación 5.11. Sea α : I → R3 una curva parametrizada por la longitud de
arco. Sabemos que la curvatura κ de la curva α es siempre no negativa. Sin embargo,
la torsión τ tiene un signo como veremos a seguir en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 5.12. Consideramos la hélice circular parametrizada por la longitud de
arco
³
s
s s´
α(s) = a cos , a sen , b ,
c
c c
√
2
2
donde c = a + b y b ∈ R. Entonces
1³
s
s ´
T (s) = α0 (s) =
−a sen , a cos , b
c ³
c
c
s
s
s ´
a ³
s ´
1
0
00
T (s) = α (s) = 2 −a cos , −a sen , 0 = 2 − cos , − sen , 0 ,
c
c
c
c |
c {z
c }
|{z}
κ(s)
N (s)
1³
s
s ´
B(s) = T (s) × N (s) =
b sen , b cos , a
c
c
c
1 ³
s
s ´
b ³
s ´
s
0
B (s) = 2 b cos , b sen , 0 = − 2 cos , sen , 0 ,
c
c
c
c |
c {z c }
|{z}
τ (s)
N (s)
a
a
b
b
=
y
la
torsión
τ
(s)
=
=
son conc2
a 2 + b2
c2
a2 + b2
stantes. Como κ > 0, entonces a > 0, pero la torsión será positiva cuando la hélice
sea diestra (derecha) si b > 0 y la torsión será negativa cuando la hélice sea zurda
(izquierda) si b < 0.
Ası́ la curvatura κ(s) =
Ahora vamos determinar cuales son las “ecuaciones de Frenet” de una curva regular
α : I → Rn que no esta parametrizada por la longitud de arco.
20
Primero reparametrizamos α por la longitud de arco, obteniendo la curva β = β(s),
tal que
α(t) = β(s(t)),
luego por la regla de la cadena tenemos
α0 (t) = (β ◦ s)0 (t) = β 0 (s(t))s0 (t) = υ(t)T (s(t)),
donde
υ(t) = s0 (t) = kα0 (t)k 6= 0,
es la velocidad de la curva α en el instante t. Derivando en la variable t y usando
la regla de la cadena en (T ◦ s)(t), obtenemos un vector normal unitario N como
función de t, como sigue
(T ◦ s)0 (t) = T 0 (s(t))s0 (t) = υ(t)κ(s(t))N (t).
Usando la notación de Leibniz para derivadas, tenemos que
dT
dT ds
=
= υκN,
dt
ds dt
o equivalentemente,
dT
dT
1 dT
κN =
= dt =
.
ds
ds
υ dt
dt
n
Definición 5.13. Sean α : I → R una curva parametrizada regular y β : J → Rn
una reparametrización por la longitud de arco de α. Definimos la curvatura de α en
t ∈ I por la curvatura de β en el punto s ∈ J que corresponde al punto t ∈ I.
El próximo resultado, que es dejado como ejercicio, dice como determinar la curvatura de una curva regular en el plano Euclidiano que no necesariamente esta
parametrizada por la longitud de arco.
Propocisión 5.14. Sea α : I → R2 una curva regular, definida por α(t) = x1 (t)e1 +
x2 (t)e2 . Entonces la curvatura de α en t ∈ I es dada por la fórmula
x0 (t)x00 (t) − x001 (t)x02 (t)
k(t) = p1 0 2
.
((x1 (t))2 + (x02 (t))2 )3
Ejemplo 5.15. Dada la siguiente parametrización de la tractriz:
θ
π
α(θ) = (cos θ + ln tan , sen θ),
≤ θ < π,
2
2
vamos calcular su curvatura. Entonces, α0 (θ) = (− sen θ + csc θ, cos θ), y luego,
p
√
υ(θ) = kα0 (t)k = (− sen θ + csc θ)2 + cos2 θ = csc2 θ − 1 = − cot θ > 0,
pues
21
π
α0 (θ)
≤ θ < π. Como, T (θ) =
, tenemos que
2
υ(θ)
T (θ) = −
1
(− sen θ + csc θ, cos θ) = − tan θ(cot θ cos θ, cos θ) = (− cos θ, − sen θ).
cot θ
Por lo tanto,
dT
dT
1 dT
(sen θ, − cos θ)
κN =
= dθ =
=
= (− tan θ) (sen θ, − cos θ) .
ds
{z
}
| {z } |
ds
υ(θ) dθ
− cot θ
κ
N
dθ
O sea,
κ(θ) = − tan θ > 0
y
π
≤ θ < π.
2
N (θ) = (sen θ, cos θ),
Ejemplo 5.16. Calculamos κ, T , υ, N , B y τ para la curva parametrizada dada
por
α(t) = (3t − t3 , 3t2 , 3t + t3 ),
t ∈ R.
Determinamos primero α0 (t), T y υ como sigue:
α0 (t) = 3(1 − t2 , 2t, 1 + t2 ),
entonces
√
α0 (t)
1
=√
υ(t) = kα (t)k = 3 2(1 + t ) y T (t) =
υ(t)
2
0
2
µ
¶
1 − t2 2t
,
,1 .
1 + t2 1 + t2
Ahora, el campo normal principal N como sigue:
dT
dT
1 dT
κN =
= dt =
ds
ds
υ(t) dt
dt µ
¶
2t 1 − t2
1
−
,
,0 .
=
3(1 + t2 )2
1 + t2 1 + t2
| {z } |
{z
}
κ
N
A seguir encontramos el campo binormal B utilizando su definición
µ
¶
1
1 − t2
2t
B(t) = T (t) × N (t) = √ −
,−
,1 .
1 + t2 1 + t2
2
22
Finalmente obtenemos la torsión τ por derivación de B como sigue:
−τ N
dB
dB
1 dB
=
= dt =
ds
ds
υ(t) dt
dt
µ
¶µ
¶
1
2t 1 − t2
= −
,
,0 .
−
3(1 + t2 )2
1 + t2 1 + t2
|
{z
}|
{z
}
τ
N
Por último, observamos que la curvatura y la torsión de esta curva son iguales, es decir:
1
= κ(t),
∀t ∈ R.
τ (t) =
3(1 + t2 )2
Observación 5.17. Sea α : I → R2 es una curva regular parametrizada por la longitud de arco, con curvatura κ(s), para cada s ∈ I. A seguir damos una interpretación
geométrica del signo (positivo o negativo) de la curvatura κ de α:
1. Si κ(t0 ) > 0, entonces para cada t suficientemente próximo de t0 , α(t) está en
el semiplano determinado por la recta tangente a la curva α en α(t0 ) para el
cual apunta N (t0 ).
De hecho, basta verificar que la función
f (t) = (α(t) − α(t0 )) · N (t0 ) ≥ 0,
para t próximo de t0 . Además observe que
f (t0 ) = f 0 (t0 ) = 0 y
f 00 (t0 ) = κ(t0 ) > 0.
Luego, t0 es un punto crı́tico de f y como f 00 > 0, entonces f tiene un mı́nimo
relativo estricto en t0 . Como f (t0 ) = 0, podemos concluir la afirmación.
Del mismo modo, si κ(t0 ) < 0, podemos concluir que f posee un máximo
relativo estricto en t0 , y por lo tanto, α(t) pertenecerá al semiplano determinado por la recta tangente de α en t0 para el cual apunta −N (t0 ).
2. Supongamos nuevamente que κ(t0 ) > 0. Para cada ρ > 0, sean
Pρ = α(t0 ) + ρN (t0 ) y
Cρ el cı́rculo de centro en Pρ y radio ρ.
Entonces, para cada valor de t suficientemente pequeño, afirmamos que
1
,y
α(t) esta en el interior de Cρ , si ρ <
κ(t0 )
1
.
α(t) esta contenido en el exterior de Cρ , si ρ >
κ(t0 )
De hecho, si consideramos la función g definida por
g(t) = kα(t) − Pρ k2 − ρ2 ,
23
para valores de t próximos de t0 . Ahora usando la definición de g y las
ecuaciones de Frenet, tenemos que
g(t0 ) = g 0 (t0 ) = 0 y
g 00 (t0 ) = −κ(t0 )ρ + 1.
Luego, si
ρ<
1
,
κ(t0 )
g posee un mı́nimo estricto en t0 , lo que concluye la prueba de la afirmación.
En general, nada se puede afirmar cuando
ρ=
1
.
κ(t0 )
Definición 5.18. Cuando κ(t0 ) > 0, definimos el radio de curvatura de α en t0 por
ρ=
1
.
κ(t0 )
El punto
Pρ0 = α(t0 ) +
1
N (t0 ),
κ(t0 )
es llamado de centro de curvatura o punto focal de α en t0 y el cı́rculo Cρ0 es llamado
cı́rculo osculador de α en t0 .
Observación 5.19. El cı́rculo osculador Cρ0 es siempre tangente a la curva α en
α(t0 ) y tiene la misma curvatura que α en ese punto.
Ahora veremos que la curvatura aparece natural cuando se calcula la aceleración de
una partı́cula en movimiento. Derivando la fórmula
α0 (t) = β 0 (s(t))s0 (t) = υ(t)T (s(t)),
obtenemos
α00 (t) = υ 0 (t)T (s(t)) + υ(t)T 0 (s(t))s0 (t) = υ 0 (t)T (s(t)) + (υ(t))2 κ(s(t))N (s(t)).
Si suprimimos las variables por el momento en la igualdad anterior, podemos reescribir esta ecuación anterior de la siguiente forma:
α00 = υ 0 T + κυ 2 N.
En esta ecuación observamos que la componente tangencial de la aceleración es la
derivada de la velocidad; la componente normal (la “aceleración centrı́peta” en el
caso del movimiento circular) es el producto de la curvatura de la trayectoria y el
cuadrado de la velocidad. Ası́, de las nociones fı́sicas, podemos recuperar la curvatura
de la trayectoria como sigue:
24
Propocisión 5.20. Para cualquier curva parametrizada regular α, tenemos que
κ=
Demostración:
0
kα0 × α00 k
.
kα0 k3
Como
00
α × α = (υT ) × (υT )0 = (υT ) × (υ 0 T + κυ 2 N ) = |{z}
κυ 3 T × N y kT × N k = 1,
>0
obtenemos que
κυ 3 = kα0 × α00 k ,
y por lo tanto, concluimos que
kα0 × α00 k
.
¤
υ3
Ejemplo 5.21. Supongamos que todas las rectas tangentes de una curva espacial
pasan por un punto fijo.
κ=
¿Qué podemos decir acerca de la curva?
Sin perdida de generalidad, podemos tomar el punto fijo como siendo el origen de R3
y la curva α ya parametrizada por la longitud de arco. Entonces existe una función
escalar λ tal que para cada s vale la siguiente igualdad:
α(s) = λ(s)T (s).
Derivando la ecuación anterior, obtenemos
T (s) = α0 (s) = λ0 (s)T (s) + λ(s)T 0 (s) = λ0 (s)T (s) + λ(s)κ(s)N (s).
Entonces
(λ0 (s) − 1)T (s) + λ(s)κ(s)N (s) = 0,
ya que T (s) y N (s) son linealmente independientes, se sigue que
λ0 (s) = 1
y
λ(s)κ(s) = 0,
ası́,
λ(s) = s + c
y
κ(s) = 0,
∀s,
donde c es una constante. Por lo tanto, la curva debe estar sobre una recta que pasa
a través del punto fijo.
Definición 5.22. Una curva parametrizada α en el espacio R3 es plana si su trazo
esta sobre un plano.
Propocisión 5.23. Una curva en el espacio es plana si y sólo si su torsión es
siempre 0.
25
Demostración: Sea α : I → R3 una curva parametrizada por la longitud de arco.
Si C(α) está sobre un plano P y κ(s) = 0, para algún s, entonces τ (s) = 0 en s.
Supongamos que κ(s) > 0, entonces T (s) y N (s) generan un plano P0 paralelo a P
que pasa por la origen. Por lo tanto,
B(s) = T (s) × N (s),
es un vector constante (normal de P0 ), y ası́
B 0 (s) = −τ (s)N (s) = 0,
Como N (s) 6= 0, concluimos que τ (s) = 0. Por lo tanto, τ = 0.
Recı́procamente, si τ = 0, entonces el campo binormal B es constante, es decir,
B(s) = B0 , ∀s ∈ I.
Ahora consideramos la función f : I → R definida por
f (s) = α(s) · B0 ,
Derivando f , obtenemos que
f 0 (s) = α0 (s) · B0 = T (s) · B(s) = 0,
y por lo tanto, f (s) = c, para alguna constante c. Esto significa que C(α) esta sobre
el plano dado por la ecuación:
(x, y, z) · B0 = c.
¤
Propocisión 5.24. Las únicas curvas planas con curvatura constante no nula son
(arcos de) cı́rculos.
Demostración:
Primero observamos que cualquier cı́rculo de radio r es una curva
1
plana con curvatura constante 6= 0. Ahora consideramos α : I → Rn una curva
r
plana cualquier, con curvatura constante κ0 6= 0. Sin perdida de generalidad podemos suponer que α esta parametrizada por la longitud de arco. Definamos la función
β : I → Rn , como sigue
1
β(s) = α(s) + N (s), ∀s ∈ I,
κ0
la derivada de β es dada por
1
β 0 (s) = α0 (s) + (−κ0 )T (s) = T (s) − T (s) = 0, ∀s ∈ I.
κ0
Luego, β es constante, digamos que β(s) = P, ∀s ∈ I. Ası́,
°
°
°
°1
° = 1 , ∀s ∈ I.
N
(s)
kα(s) − P k = kα(s) − β(s)k = °
° κ0
° κ0
26
Esto prueba que C(α) es una circunferencia con centro en P y radio
1
.
κ0
¤
Definición 5.25. Una hélice generalizada es una curva espacial cuya curvatura
κ 6= 0 y todo vector tangente forma un ángulo constante con una dirección fija.
A seguir damos una caracterización de las hélices generalizadas.
τ
Propocisión 5.26. Una curva α es una hélice generalizada si, y sólo si,
es
κ
constante.
Demostración: Supongamos primero que α es una hélice generalizada que esta
parametrizada por la longitud de arco. Entonces existe un vector unitario V0 tal que
T (s) · V0 = cos θ, ∀s ∈ I,
donde θ es constante. Derivando la igualdad anterior y usando las ecuaciones de
Frenet junto con el hecho que κ > 0, obtenemos
(T (s) · V0 )0 = T 0 (s) · V0 = 0
⇒
κ(s)N (s) · V0 = 0
⇒
N (s) · V0 = 0, ∀s ∈ I.
Derivando y substituyendo N 0 (s) como en la ecuaciones de Frenet, tenemos
(N (s) · V0 )0 = (−κ(s)T (s) + τ (s)B(s)) · V0 = 0 ⇒ cos θ =
τ (s)
B(s) · V0 ,
κ(s)
∀s ∈ I.
Como V0 esta en cada plano definido por T (s) y B(s), obtenemos que
B(s) · V0 = ± sen θ,
∀s ∈ I.
Substituyendo, concluimos que
τ (s)
= ± cot θ es constante, ∀s ∈ I.
κ(s)
τ
τ
Recı́procamente, si es constante, podemos colocar = cot θ para algún valor fijo
κ
κ
de θ ∈ (0, π). Tomando,
V (s) = cos θT (s) + sen θB(s),
y derivando V (s), obtenemos
V 0 (s) = (κ(s) cos θ − τ (s) sen θ)N (s) = 0.
Ası́, concluimos que V (s) es un vector unitario constante V0 y
T (s) · V0 = cos θ
es constante para todo s como querı́amos.
¤
27
Ejemplo 5.27. La curva α(t) = (3t − t3 , 3t2 , 3t + t3 ), es una hélice generalizada
que no es una hélice circular, pues la curvatura y la torsión no son constantes, pero
1
τ
, ∀t. Se sigue de la demostración
verifican = 1, ya que κ(t) = τ (t) =
κ
3(1 + t2 )2
de la proposición anterior que la curva α forma un ángulo constante
³τ ´
π
θ = cot−1
= cot−1 (1) = ,
κ
4
1
con el vector √ (T (t) + B(t)) = (0, 0, 1), ∀t.
2
Usando el desarrollo de Taylor para una curva, obtenemos el siguiente resultado:
Teorema 5.28. Sea α : I → Rn (n = 2, 3) una curva diferenciable parametrizada
por la longitud de arco. Si α(0) = 0 ∈ Rn , entonces para s suficientemente próximo
de 0, tenemos que
1. si n = 2,
µ
α(s) =
¶
µ
¶
κ20 3
κ0 2 κ00 3
s − s T (0) +
s + s N (0) + R(s),
3!
2!
3!
R(s)
donde lı́ms→0 3 = 0.
s
2. si n = 3,
µ
¶
µ
¶
³τ κ ´
κ20 3
κ0 2 κ00 3
0 0 3
α(s) = s − s T (0) +
s + s N (0) +
s B(0) + R(s),
3!
2
3!
3!
donde lı́ms→0
R(s)
= 0, κ0 = κ(0), κ00 = κ0 (0) y τ0 = τ (0).
s3
Demostración: Considerando el desarrollo de Taylor para la curva α en un entorno
del punto s = 0:
α(s) = α(0) + sα0 (0) +
donde lı́ms→0
s2 00
s3
α (0) + α000 (0) + R(s),
2
3!
R
= 0. Como
s3
α(0) = 0, α0 (0) = T (0) y α00 (0) = T 0 (0) = κ0 N (0),
entonces aplicamos las ecuaciones de Frenet para obtener que

 κ00 N (0) − κ20 T (0), si n = 2,
α000 (0) = (κN )0 (0) =
 0
κ0 N (0) − κ20 T (0) + τ0 κ0 B(0), si n = 3.
28
Substituyendo, α(0), α0 (0) y α00 (0) el resultado sigue

s2


κ0 N (0) +
sT
(0)
+


2!
α(s) =

2


 sT (0) + s κ0 N (0) +
2!
s3 0
(κ N (0) − κ20 T (0)) + R(s), si n = 2,
3! 0
s3 0
(κ N (0) − κ20 T (0) + τ0 κ0 B(0)) + R(s), si n = 3.
3! 0
Ahora supongamos que α : I → R3 es una curva parametrizada por la longitud de
arco, vamos introducir los siguientes planos en el punto α(s), donde s ∈ I:
1. El plano osculador en α(s) es el plano generado por T (s) y N (s). Este plano
es el que está “más cerca” de contener la curva α localmente próximo del
punto α(s).
2. El plano rectificante en α(s) es el plano generado por T (s) y B(s). Este plano
es el que “más se aproxima” de planificar la curva localmente próximo de
α(s).
3. El plano normal en α(s) es el plano generado por N (s) y B(s). Este plano
es normal (perpendicular) a la curva α en el punto α(s).
Observación 5.29. Para determinar la posición relativa de una curva α con respecto al triedro móvil en un punto regular s = 0 en el que α00 (0) 6= 0, estudiamos
las proyecciones de α sobre los planos del triedro móvil, es decir, sobre cada uno de
los planos osculador, rectificante y normal. Usando el resultado anterior
µ
¶
µ
¶
³τ κ ´
κ20 3
κ0 2 κ00 3
0 0 3
α(s) = α(0) + s − s T (0) +
s + s N (0) +
s B(0) + R(s).
6
2
3!
3!
Escogiendo un sistema de coordenadas especial en el cual {T (0), N (0), B(0)} forman
una base ortonormal y α(0) = (0, 0, 0). En este sistema de coordenadas la curva
puede ser representado por las ecuaciones
κ0 s2
τ0 κ0 3
+ o(s2 ), z =
s + o(s3 ),
2
6
despreciando en cada ecuación los términos de orden inferior, podemos expresar las
proyecciones aproximadas de la curva en un entorno de α(0) = (0, 0, 0) sobre los
planos del triedro móvil en punto α(0).
x = s + o(s),
y=
1. La proyección sobre el plano osculador es una parábola:
1
x = s,
y = κ0 s2 , z = 0.
2
2. La proyección sobre el plano normal es la parábola semicúbica con un punto
de retroceso en el origen:
1
1
x = s,
y = κ0 s2 , z = κ0 τ0 s3 .
2
6
¤
6. TEOREMA FUNDAMENTAL DE CURVAS PLANAS Y ESPACIALES
29
3. La proyección sobre el plano rectificante es la parábola cúbica:
x = s,
6.
1
z = κ0 τ0 s3
6
y = 0,
Teorema fundamental de curvas planas y espaciales
Comenzamos en esta sección mostrando que de cierta forma, dada una función
curvatura podemos determina una única curva en R2 cuya curvatura sea la función
dada. Este hecho es demostrado en el siguiente resultado:
Teorema 6.1. (Teorema fundamental de curvas planas) Sea κ : I → R una función
de clase C ∞ . Entonces dados s0 ∈ I, P0 ∈ R2 un punto y V0 ∈ R2 un vector con
kV0 k = 1, existe una única curva parametrizada por la longitud de arco α : I → R2 ,
tal que la curvatura en cada punto α(s) es dada por κ(s) y además α(s0 ) = P0 y
α0 (s0 ) = V0 .
Demostración:
Supongamos que α, definida por
α(s) = (x1 (s), x2 (s)),
sea una curva parametrizada por la longitud de arco y tenga curvatura κ. Las ecuaciones de Frenet de α
T 0 (s) = κ(s)N (s)
N 0 (s) = −κ(s)T (s),
implican que las funciones coordenadas x1 y x2 de α satisfacen las siguientes ecuaciones

 x001 (s) = −κ(s)x02 (s),
 x00 (s) = κ(s)x0 (s),
2
1
con condiciones iniciales dadas por
x1 (s0 ) = p1 ,
x01 (s0 ) = v1
x2 (s0 ) = p2 ,
y x02 (s0 ) = v2 ,
donde P0 = (p1 , p2 ) y V0 = (v1 , v2 ).
El sistema anterior tiene una integral primera, dada por el siguiente sistema
µZ s
¶
0
κ(l)dl + a ,
x1 (s) = cos
s0
µZ
x02 (s)
s
= sen
¶
κ(l)dl + a ,
s0
30
donde a es determinado por la relaciones cos a = v1 y sen a = v2 . Integrando las
ecuaciones del sistema anterior, obtenemos
µZ h
¶
Z s
x1 (s) = p1 +
cos
κ(l)dl + a dh,
Z
s0
s0
µZ
s
x2 (s) = p2 +
¶
h
sen
κ(l)dl + a dh.
s0
s0
Como ejercicio dejamos al lector verificar que si
Z h
K(h) =
κ(l)dl,
s0
entonces
µ
¶
Z s
Z s
α(s) = p1 +
cos(K(h) + a)dh, p2 +
sen(K(h) + a)dh ,
s0
s0
para todo s ∈ I, satisface las condiciones del teorema, es decir, es una curva
parametrizada por la longitud de arco y tiene curvatura κ.
Ahora vamos probar la unicidad de tal curva.
Supongamos que existan dos curvas α, β : I → R2 , definidas por
α(s) = (x1 (s), x2 (s)) y β(s) = (y1 (s), y2 (s)),
y que satisfacen las condiciones del teorema. Entonces las ecuaciones de Frenet para
α y β implican que las funciones
f (s) = x01 (s) − y10 (s) y g(s) = x02 (s) − y20 (s),
satisfacen el sistema

 f 0 (s) = −κ(s)g(s),
 g 0 (s) = k(s)f (s).
Esto implica que
1 2
(f + g 2 )0 (s) = f (s)f 0 (s) + g(s)g 0 (s) = 0.
2
Luego f 2 + g 2 es una función constante, la cual es nula en s = s0 , por lo tanto,
f 2 + g 2 = 0 y consecuentemente f = g = 0. Ası́ concluimos que
α0 (s) = β 0 (s),
∀s ∈ I.
Ahora, usando el hecho que α(s0 ) = β(s0 ) = P0 , obtenemos que α = β, lo que
concluye la prueba del teorema. ¤
Una consecuencia del resultado anterior es que permite determinar la curvatura de
una curva, a menos de su posición en el plano.
31
Corolario 6.2. Dos curvas α, β : I → R2 parametrizadas por la longitud de arco
con la misma función de curvatura κ : I → R2 son congruentes, es decir, existen
una rotación A : R2 → R2 y una traslación por un vector V ∈ R2 , tal que
β(s) = (A ◦ α)(s) + V,
∀s ∈ I.
Demostración: Fijamos s0 ∈ I y consideramos la rotación A : R2 → R2 alrededor
del punto α(s0 ) que lleva α0 (s0 ) en β 0 (s0 ) y el vector V = β(s0 ) − α(s0 ). Entonces
la curva γ, dada por
γ(s) = (A ◦ α)(s) + V,
∀s ∈ I,
es tal que γ(s0 ) = β(s0 ), γ 0 (s0 ) = β 0 (s0 ) y la curvatura en cada punto γ(s) es κ(s).
Por el Teorema Fundamental de Curvas Planas, γ = β en I, lo que concluye la
demostración. ¤
Ahora damos un resultado fundamental de curvas espaciales que dice cuando dos curvas son congruentes en el espacio euclidiano 3-dimensional, este resultado será análogo a los dos resultados dados anteriormente para el caso de curvas en el plano euclidiano.
Teorema 6.3. (Teorema Fundamental de curvas espaciales) Dos curvas α y α∗ son
congruentes (es decir, difieren por un movimiento rı́gido) si, y sólo si, las correspondiente parametrizaciones α, α∗ : [0, L] → R3 tienen la propriedad que κ(s) = κ∗ (s)
y τ (s) = τ ? (s) para todo s ∈ [0, L].
Demostración: Supongamos que α∗ = Ψ◦α por algún movimiento rı́gido, Ψ : R3 →
R3 , dado por
Ψ(x) = Ax + V,
para algún V ∈ R3 y alguna matriz ortogonal A de 3 × 3 con det(A) = 1. Luego,
α∗ (s) = Aα(s) + V
⇒ kα∗0 (s)k = kAα0 (s)k = 1,
ya que A es ortogonal. Por lo tanto, α∗ es parametrizada por la longitud de arco, y
T ∗ (s) = AT (s).
Derivando esta última igualdad y usando las ecuaciones de Frenet, obtenemos que
κ∗ (s)N ∗ (s) = T ∗0 (s) = AT 0 (s) = A(κ(s)N (s)) = κ(s)AN (s).
Ya que, A es ortogonal, entonces AN (s) es un vector unitario, y ası́
N ∗ (s) = AN (s) y κ∗ (s) = κ(s).
Pero, entonces
B ∗ (s) = T ∗ (s) × N ∗ (s) = AT (s) × AN (s) = A(T (s) × N (s)) = AB(s),
32
ya que matrices ortogonales aplican bases ortonormales en bases ortonormales y
como det(A) = 1, tenemos asegurado que la orientación es preservada. Finalmente
por las ecuaciones de Frenet y derivando la igualdad
B ∗ (s) = AB(s),
tenemos que
B ∗0 (s) = −τ ∗ (s)N ∗ (s)
y
B ∗0 (s) = AB 0 (s) = −τ (s)AN (s) = −τ (s)N ∗ (s),
ası́, concluimos que
τ ∗ (s) = τ (s),
∀s ∈ [0, L].
Recı́procamente, supongamos que κ = κ∗ y τ = τ ∗ . Ahora vamos a definir un
movimiento rı́gido Ψ como sigue:
Considere V = α∗ (0) − α(0) y A la única matriz ortogonal, tal que
AT (0) = T ∗ (0),
AN (0) = N ∗ (0),
y
AB(0) = B ∗ (0).
como consecuencia de esto, tenemos que det(A) = 1, ya que las bases ortonormales
son orientadas por la regla de la mano derecha. Tomando
α
e = Ψ ◦ α,
podemos afirmar que α∗ (s) = α
e(s), para todo s ∈ [0, L]. Luego por los mismos
argumentos iniciales de esta demostración, tenemos que
κ
e = κ = κ∗
y
τe = τ = τ ∗ .
Si consideramos la función
e · B ∗ (s),
f (s) = Te(s) · T ∗ (s) + Te(s) · N ∗ (s) + B(s)
su derivada con respecto al parámetro s y usamos las ecuaciones de Frenet, obtenemos que
e 0 (s) · N ∗ (s) + N
e (s) · N ∗0 (s))
f 0 (s) = (Te0 (s) · T ∗ (s) + Te(s) · T ∗0 (s)) + (N
0
∗
∗0
e (s) · B (s) + B(s)
e
+ (B
· B (s))
∗
e
e
e (s) · T ∗ (s))
= κ(s)(N (s) · T (s) + T (s) · N ∗ (s)) − κ(s)(Te(s) · N ∗ (s) + N
e
e (s) · B ∗ (s)) − τ (s)(N
e (s) · B ∗ (s) + B(s)
e
+ τ (s)(B(s)
· N ∗ (s) + N
· N ∗ (s))
= 0,
ya que, los dos primeros términos de la igualdad anterior se cancelan, y lo mismo
sucede para los dos últimos, entonces f es constante, y por construcción, f (0) =
3, por lo tanto f (s) = 3 para todo s ∈ [0, L]. Como cada uno de los productos
e · B ∗ (s) pueden ser a lo más 1, la única manera que la
Te(s) · T ∗ (s), Te(s) · N ∗ (s), B(s)
suma de los 3 términos que definen f pueda ser igual a 3, es que cada uno de ellos
sea igual a 1, y esto sólo podrá suceder cuando
e (s) = N ∗ (s) y B(s)
e
Te(s) = T ∗ (s), N
= B ∗ (s).
33
En particular, ya que
α
e0 (s) = Te(s) = T ∗ (s) = α∗0 (s)
y
α
e(0) = α∗ (0),
luego, sigue que
α
e(s) = α∗ (s),
De esta forma hemos probado el teorema
∀s ∈ [0, L].
¤
Observación 6.4. La segunda mitad de la demostración anterior puede ser sustituida por la afirmación de la unicidad de las soluciones de un sistema de ecuaciones
diferenciales que no será visto en estas notas.
Una aplicación del teorema fundamental de las curvas espaciales es dado a seguir.
Corolario 6.5. Las únicas curvas espaciales con curvatura κ y torsión τ constantes
son las hélices circulares.
Otra consecuencia es la cuestión de existencia de curvas sobre ciertas condiciones, por
ejemplo: Dadas las funciones continuas; κ, τ : [0, L] → R, con κ > 0, preguntamos:
Existe una curva espacial α tal que su curvatura y torsión sean respectivamente las
funciones κ y τ dadas?
La respuesta es afirmativa, y esto es una consecuencia inmediata del Teorema fundamental de existencia para ecuaciones diferenciales, a saber:




T (s)
0
κ(s)
0
0
τ (s)  .
F (s) =  N (s) 
y
K(s) =  −κ(s)
B(s)
0
−τ (s) 0
Luego se integra el sistema lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias
½ 0
F (s) = K(s)F (s),
F (0) = F0 ,
dado el triedro de de Frenet a lo largo de la curva, y recuperamos α mediante la
integración de T (s), es decir,
Z s
α(s) =
T (l)dl,
∀s ∈ I,
s0
es una curva parametrizada por la longitud de arco cuyas curvatura y torsión son
κ y τ , respectivamente. Además, cualquier otra curva α∗ con estas propiedades es
dada por
α∗ (s) = Aα(s) + V,
∀s ∈ I.
donde A es una matriz ortogonal (es decir, At A = Id) y det(A) = 1 y V ∈ R3 .
34
7.
Lista de ejercicios 1
1. Calcular el vector tangente unitario, el normal principal y la curvatura de
las siguientes curvas, dadas por:
a) α(t) = (a cos t cos t, a cos t sen t).
b) α(t) = (at cos t, at sen t).
c) α(t) = (a(1
√ + cos t) cos t,√a(1 + cos t) sen t).
d ) α(s) = ( 1 + s2 , ln(s + 1 + s2 )).
e) α(t) = (t, cosh t).
f ) α(t) = (cos3 t, sen3 t), t ∈ (0, 2π).
(Aquı́ a ∈ R constante).
2. Considere una curva cuyo trazo es el gráfico de una función definida por
y = f (x), donde f : I → R es una función de clase C 2 . Muestre que la
curvatura de esa curva es dada por
f 00 (x)
κ(x) =
.
(1 + (f 0 (x))2 )3/2
3. Determinar la curvatura del gráfico de la función f , definida por
f (x) = ln x,
∀x ∈ (0, ∞).
4. Muestre que la curvatura κ del gráfico de la función f , dada por
x
f (x) = a cosh , a 6= 0 (catenaria),
a
es igual a
a
κ(x) =
,
(f (x))2
5. Determinar la curvatura del gráfico de la función f, definida por
f (x) = sen ax2 ,
en la origen de R2 .
6. Sea α : [0, 2π] → R2 una curva, dada por
α(t) = ((1 − 2 sen t) cos t, (1 − sen t) sen t).
a) Muestre que α es una curva regular cerrada, de clase C 1 .
b) ¿La curva α es simples?
c) Dibuje el trazo de α.
7. Sea α : [0, 2π] → R2 una curva, definida por
α(t) = ((1 + cos t) cos t, (1 + cos t) sen t).
a) Determinar las singularidades de α.
b) ¿La curva α es cerrada?
c) Calcular la curvatura de α.
7. LISTA DE EJERCICIOS 1
35
d ) Dibuje el trazo de α, el cual es denominado de cardioide.
8. La hipocicloide es la trayectoria descrita por el movimiento de un punto fijo
P perteneciente al cı́rculo de radio r, que gira en el interior de un cı́rculo
fijo de radio R > r. Se R = 4r, entonces la hipocicloide recibe el nombre
particular de astroide.
a) Demuestre que la curva α, dada por
µ
¶
(R − r)
(R − r)
α(t) = (R − r) cos t + r cos
t, (R − r) sen t − r sen
t ,
r
r
es una parametrización de la hipocicloide.
b) Dibuje el trazo de α con R = 5 y r = 2.
c) Dibuje el trazo de α con R = 4 y r = 1.
9. La epicicloide es la trayectoria descrita por el movimiento de un punto fijo
P , perteneciente a un cı́rculo de radio r, que gira sobre la parte externa de
un cı́rculo de radio R > r. Si R = r, entonces la epicicloide recebe el nombre
particular de cardioide.
a) Muestre que la curva α, definida por
µ
¶
(R + r)
(R + r)
α(t) = (R + r) cos t − r cos
t, (R + r) sen t − r sen
t ,
r
r
es una parametrización de la epicicloide.
b) Dibuje el trazo de α con R = 3 y r = 1.
c) Dibuje el trazo de α con R = r = 1.
10. El cı́rculo osculador de una curva α en el punto p ∈ C(α) es el cı́rculo S 1 que
1
es tangente a la curva α en p y tiene radio
. Probar que si κ0 (p) 6= 0,
κ(p)
entonces el cı́rculo osculador en p intercepta la curva α.
11. Sea α : I → R2 una curva parametrizada por la longitud de arco con curvatura κ 6= 0. La aplicación αe que a cada t ∈ I asocia el punto
αe (t) = α(t) +
1
N (t),
κ(t)
donde N es el campo normal unitario de α, es una curva diferenciable en R2 ,
y es llamada evoluta de la curva α.
a) Probar que la evoluta de una curva parametrizada α es regular si, y sólo
si, κ 6= 0.
b) Muestre que los puntos singulares de la evoluta de una curva parametrizada
α son los cuales la curva de α posee un punto crı́tico (t ∈ I es un punto
crı́tico de κ si κ0 (t) = 0).
36
12. Sea α : I → R2 una curva regular. Sea Lα : I → R la longitud de arco de α
a partir de t0 ,
Z t
Lα (t) =
kα0 (l)kdl.
t0
Definimos la involuta de la curva α por la aplicación αi : I → R2 , dada por
αi (t) = α(t) + (c − Lα (t))T (t),
donde T es el campo tangente de α y c es una constante real positiva.
a) Muestre que la involuta de α es una curva regular si c 6= Lα (t) y κ(t) 6= 0.
b) Probar que todas las rectas normales a la involuta de α son rectas tangentes de a la curva α.
c) Demuestre que una curva regular α es la evoluta de cualquier una de sus
involutas.
13. Sea α una curva definida por
α(t) = (3 sen t − 2 sen3 t, 3 cos t − 2 cos3 t).
Probar que la evoluta de α es dada por la ecuación
x2/3 + y 2/3 = 24/3 .
14. Determinar a evoluta da curva, definida por
α(t) = (t2 , t3 ).
15. La curva x3 + xy 2 = y 2 puede ser parametrizada por
µ 2
¶
t
t3
α(t) =
,
.
1 + t2 1 + t2
Muestre que la ecuación de su evoluta es
512x + 288y 2 + 27y 4 = 0.
16. Determinar la curvatura de la curva, definida por
µZ t
¶
Z t
cos u
sen u
√ du,
√ du ,
α(t) =
u
u
0
0
en particular dibuje el trazo de la curva α.
17. Calcular las curvaturas de las curvas dadas en coordenadas polares (r, θ) a
seguir:
a) r = a cos θ (cı́rculo).
b) r = aθ (espiral de Arquı́mides).
c) r = a(1 + cos θ) (cardioide).
Finamente en cada ı́tem dibuje la trayectoria de las curvas.
37
18. Sea α la curva dada por
α(t) = (tm , tn ),
donde m y n son enteros positivos y t > 0. Muestre que la curva α es regular.
Sea p = α(t), q y r los pontos donde la recta tangente a α en p intercepta los
|p − q|
ejes Ox y Oy, respectivamente. Pruebe que
es constante y descubra
|p − r|
su valor.
19. Sea α una curva que tiene la siguiente propiedad: todas sus rectas normales
son paralelas. Muestre que su trazo está contenido en una recta.
20. Sea α una curva que tiene la siguiente propiedad: Todas sus rectas normales
pasan por un punto fijo C ∈ R2 . Muestre que el trazo de α está contenido
en un cı́rculo de centro C.
21. Encuentre las rectas tangentes a la curva dada por
α(t) = (t, t4 − t + 3),
que pasan por el origen.
22. Sea P el punto donde la recta tangente a la curva, definida por
α(t) = (t, t3 ),
intercepta el eje Ox y sea M = (t, 0). Muestre que OP = 2P M, donde O es
la origen. Generalice este resultado para la curva, dada por α(t) = (t, tn ).
23. Dada la hélice
α(t) = (a cos t, a sen t, bt).
Calcular α0 (t), kα0 (t)k, y una reparametrición por la longitud de arco.
24. Para la curva α definida por
1
1
α(t) = √ cos t(1, 1, 1) + √ sen t(1, 0, −1),
t ∈ R.
3
2
Calcular α0 (t), kα0 (t)k, y una reparametrición por la longitud de arco.
25. Sea f : [a, b] → R una función diferenciable. Entonces la curva α(t) =
(t, f (t)) parametriza el gráfico de f . Probar que su longitud de arco es dada
por la fórmula:
Z bp
Lα =
1 + (f 0 (t))2 dt.
a
26. Calcular la curvatura de las siguientes curvas parametrizadas por la longitud
de arco: µ
¶
1
1
a) α(s) = √ cos s, √ cos s, sen s .
2
µ 2
¶
1
1
1
b) α(s) =
(1 + s)3/2 , (1 − s)3/2 , √ s) , −1 < s < 1.
3
3
2
38
27. Calcular (T,µN, B, κ, τ ) de las siguientes curvas:
¶
1
1
3/2 1
3/2 √
a) α(s) =
(1 + s) , (1 − s) ,
s , 1 < s < 1.
3
2
µ3
¶
1 t
1 t
t
b) α(t) =
e (sen t + cos t), e (sen t − cos t), e .
√2
√2
2
c) α(t) = ( 1 + t , t, ln(t + 1 + t2 )).
d ) α(t) = (et cos t, et sen t, et ).
e) α(t) = (cosh
µ 2 t, senh t, t).
¶
√
t √
2
2
f ) α(t) = t, , t 1 + t + ln(t + 1 + t ) .
2
g) α(t) = (t − sen t cos t, sen 2t, cos t).
28. Sea α : I → R3 una curva regular parametrizada por la longitud de arco
con curvatura κ 6= 0. La recta normal a α en α(s) es la recta pasando por
α(s) con dirección el vector normal principal N (s). Suponiendo que todas
las rectas normales a α pasan por un punto fijo. ¿Qué puede decir acerca de
la curva?
29. Si todos los planos normales de una curva α pasan por un punto particular,
pruebe que la curva esta sobre una esfera.
30. Si todos los planos osculadores de una curva pasan por un punto particular
pruebe que la curva es plana.
31. Si la curvatura κ y la torsión τ de una curva α son constantes y no se anulan,
entonces pruebe que la curva es una hélice circular.
32. Demuestre que la torsión τ de una curva α verifica la siguiente igualdad
α0 · (α00 × α000 )
τ=
.
kα0 × α00 k2
33. Sea α : I → R3 una curva parametrizada regular con κ(s) 6= 0, s ∈ I. De
todos los planos que contienen la recta tangente a la curva α en α(s), el plano
osculador es el único con la siguiente propiedad: Para cualquier vecindad
J ⊂ I de s, existen puntos de α(J) de ambos lados del plano osculador.
34. Sea α : I → R3 una curva parametrizada regular con κ 6= 0. Probar que la
curva plana π ◦α, donde π es la proyección ortogonal sobre el plano osculador
en t, tiene la misma curvatura en t.
Capı́tulo 2
Teorı́a local de superficies
1.
Superficie parametrizada
En esta sección investigamos las propiedades geométricas locales de las superficies
en el espacio euclidiano R3 . El concepto de superficie parametrizada será introducido
de manera análoga al de curvas.
Definición 1.1. Un conjunto A ⊂ Rn es abierto en Rn si para cada punto P ∈ A
existe un bola abierta (si n = 2 disco abierto) de centro P y radio ² > 0, tal que
B² (P ) = {Q ∈ Rn /kP − Qk < ²} ⊂ A,
Un conjunto B ⊂ Rn es cerrado en Rn si su complemento en Rn , es decir, Rn − B =
{P ∈ Rn /P ∈
/ B} es un conjunto abierto en Rn .
Un conjunto C de Rn es conexo cuando no puede ser reunión disjunta de dos conjuntos abiertos no vacı́os de Rn .
Definición 1.2. Una aplicación f : A ⊂ Rm → Rn es diferenciable en P , si existe
una aplicación linear de Rm en Rn , denotada por dfP : Rn → Rn tal que
f (P + V ) = f (P ) + dfP (V ) + R(V ),
donde lı́mkV k→0
R(V )
kV k
∀v ∈ Rm .
= 0 ∈ Rn .
La aplicación dfP es llamada diferencial de f en P .
f es diferenciable si es diferenciable en todos los puntos de A.
Observación 1.3. f es diferenciable en P entonces
f (P + tV ) − f (P )
,
t→0
t
dfP (V ) = lı́m
∀V ∈ Rm .
Ahora supongamos que m = 2.
Sea U ⊂ R2 um conjunto abierto. Una aplicación f : U ⊂ R2 → Rn dada por
f (u, v) = (f1 (u, v), ..., fn (u, v)),
∀(u, v) ∈ U,
donde f1 , ..., fn : U ⊂ R2 → R son las funciones coordenadas de f .
39
40
2. TEORÍA LOCAL DE SUPERFICIES
Diremos que f es de clase C 2 , si f y sus derivadas parciales fu , fv , fuu , fvv , fuv , fvu ,
definidas por
µ
¶
fu =
∂f
=
∂u
,
¶
∂f1
∂fn
, ...,
,
∂v
∂v
µ ¶
∂ ∂f
∂2f
=
fuu =
,
∂u2
∂u ∂u
µ ¶
∂ ∂f
∂2f
=
fvv =
,
∂v 2
∂v ∂v
µ ¶
∂2f
∂ ∂f
fuv =
=
,
∂u∂v
∂u ∂v
µ ¶
∂2f
∂ ∂f
fvu =
=
,
∂v∂u
∂v ∂u
∂f
fv =
=
∂v
µ
∂f1
∂fn
, ...,
∂u
∂u
existen y son todas continuas en U .
Observación 1.4. Si f : U ⊂ R2 → Rn es una función de clase C 2 , entonces
∂ 2f
∂ 2f
=
= fvu ,
∂u∂v
∂v∂u
pues si f (u, v) = (f1 (u, v), ..., fn (u, v)), sabemos que vale
fuv =
(fi )uv =
∂ 2 fi
∂ 2 fi
=
= (fi )vu ,
∂u∂v
∂v∂u
Sea A ⊂ Rm conjunto abierto. En general, diremos que una función f : A ⊂ Rm →
Rn es de clase C k , con k ≥ 0, si f y todas sus derivadas parciales de orden menor o
igual a k existen y son continuas. Diremos que f es de clase C k si f es de clase C k
para todo k = 0, 1, 2, ....
Definición 1.5. Una parametrización regular (o superficie parametrizada regular )
de un conjunto M ⊂ R3 es una aplicación
X : U → M ⊂ R3
inyectiva de clase C 3 tal que
Xu (u0 , v0 ) × Xv (u0 , v0 ) 6= 0 ∈ R3 ,
para todo (u0 , v0 ) en algún conjunto abierto U ⊂ R2 .
Las variables u, v son los parámetros de la superficie .
El conjunto imagen X(U ) es llamado una vecindad coordenada de M .
1. SUPERFICIE PARAMETRIZADA
41
Definición 1.6. Un conjunto conexo M ⊂ R3 es llamado una superficie, si cada
punto P ∈ M , posee una vecindad coordenada X(U ) ⊂ M con P ∈ X(U ), la cual
es regularmente parametrizada por X : U ⊂ R2 → R3 .
Observación 1.7. Sea X : U ⊂ R2 → R3 una superficie parametrizada regular. A
seguir damos algunas condiciones que son equivalentes:
1. Xu (u0 , v0 ) × Xv (u0 , v0 ) 6= 0 ∈ R3 ,
∀(u0 , v0 ) ∈ U,
2. La matriz Jacobiana de X, dada por

Xu (u0 , v0 ) · e1 Xv (u0 , v0 ) · e1
J(u0 , v0 ) =  Xu (u0 , v0 ) · e2 Xv (u0 , v0 ) · e2 
Xu (u0 , v0 ) · e3 Xv (u0 , v0 ) · e3

tiene rango 2 (es decir, J(u0 , v0 ) posee una submatriz de orden 2 cuyo determinante es distinto de cero), para cada (u0 , v0 ) ∈ U ;
3. Los vectores Xu (u0 , v0 ) y Xv (u0 , v0 ) son vectores linealmente independientes
para cada (u0 , v0 ) ∈ U ;
4. La aplicación lineal de dXQ : R2 → R3 definida por
dXQ (1, 0) = Xu (u0 , v0 )
y
dXQ (0, 1) = Xv (u0 , v0 ),
es inyectiva para cada Q = (u0 , v0 ) ∈ U .
La condición (1) dada en la observación anterior fue colocada en la definición de
superficie parametrizada regular pues garantiza la existencia de plano tangente en
cada punto de la superficie parametrizada.
Sea X : U ⊂ R2 → M ⊂ R3 una superficie parametrizada regular, entonces para
cada (u0 , v0 ) ∈ U consideramos las curvas en M , obtenidas fijando v = v0 y variando
u; y fijando u = u0 y variando v, es decir
u → X(u, v0 )
y
v → X(u0 , v),
estas curvas son llamadas curva coordenada v = v0 ; y curva coordenada u = u0 ,
respectivamente.
En cada punto P = X(u0 , v0 ), tenemos que los vectores linealmente independientes
Xu (u0 , v0 ) y Xv (u0 , v0 ) son tangentes a la curva coordenada v = v0 y a la curva
coordenada u = u0 , respectivamente.
Ejemplo 1.8. Ejemplos básicos de superficies parametrizadas.
1. El gráfico de una función de diferenciable f : U → R,
z = f (u, v),
es parametrizado por
X(u, v) = (u, v, f (u, v)),
∀(u, v) ∈ U.
42
Como el vector normal al gráfico de f es
Xu × Xv = (−fu , −fv , 1) 6= 0 ∈ R3 ,
tenemos que X es siempre una parametrización regular del gráfico de f .
Observamos que la función F : U × R → R dada por
F (u, v, z) = z − f (u, v),
(u, v) ∈ U, z ∈ R.
verifica que:
Fu = −fu , Fv = −fv , y Fz = 1;
∇F = (Fu , Fv , Fz ) = (−fu , −fv , 1) = Xu × Xv 6= 0 ∈ R3 , donde ∇F
denota el gradiente de F .
2. Sea b ∈ R. Una superficie formada por todas las semirrectas horizontales
(perpendiculares) que salen de los puntos del eje de la hélice
α(t) = (cos t, sen t, bt),
para puntos sobre la hélice es llamada un helicoide y es parametrizado por
X(u, v) = (u cos v, u sen v, bv),
∀(u, v) ∈ [0, +∞) × R.
Observe que:
Xu × Xv = (b sen v, −b cos v, u) 6= 0;
Las curva coordenadas v = v0 son semirrectas;
Las curvas coordenada u = u0 son hélices.
3. Un toro es la superficie generada por la rotación de un cı́rculo de radio r
alrededor de una recta perteneciente al plano del cı́rculo y a una distancia
a > r del centro del cı́rculo. Una parametrización regular es dada por
X(u, v) = ((a + r cos u) cos v, (a + r cos u) sen v, r sen u),
0 ≤ u, v < 2π.
Xu = (−r sen u cos v, −r sen u sen v, r cos u).
Xv = (−(a + r cos u) sen v, (a + r cos u) cos v, 0).
kXu × Xv k = r(a + cos u).
4. Una parametrización padrón en la esfera unitaria
S 2 = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2 = 1}
es dada por las coordenadas esféricas (φ, θ), a saber,
X(φ, θ) = (sen φ cos θ, sen φ sen θ, cos φ),
∀(φ, θ) ∈ (0, π) × [0, 2π).
Luego,
Xφ × Xθ = sen φ(sen φ cos θ, sen φ sen θ, cos φ) = sen φX(φ, θ).
Observe que:
X((0, π) × [0, 2π)) 6= S 2 ;
φ es la longitud (es el complemento da latitud) y θ es la latitud;
La curva coordenada φ = φ0 es la linea de latitud de la esfera;
1. SUPERFICIE PARAMETRIZADA
43
La curva coordenada θ = θ0 es la linea de longitud.
5. Otra parametrización regular de la esfera unitaria S 2 es dada por la proyección estereográfica.
Por ejemplo, la parametrización regular de la esfera menos el polo norte
(0, 0, 1) (es decir, de S 2 − {(0, 0, 1)}), relativa al plano xy, la cual asigna a
cada punto (u, v) ∈ R2 el punto (6= (0, 0, 1)) obtenido de la intersección de
la recta, que pasa por (0, 0, 1) y (u, v, 0), con la esfera S 2 .
Esta parametrización regular es conocida como una proyección estereográfica del polo norte X : R2 → S 2 , dada por
¶
µ
2v
u2 + v 2 − 1
2u
.
X(u, v) =
,
,
u2 + v 2 + 1 u2 + v 2 + 1 u2 + v 2 + 1
Verifique que X(u, v) · X(u, v) = 1, para todo (u, v) ∈ R2 .
Ejemplo 1.9. Sea I ⊂ R un intervalo, y sea α una curva parametrizada regular no
plano yz de R3 , dada por
α(u) = (0, ϕ(u), ψ(u)),
u ∈ I, y con ϕ > 0.
Entonces la superficie de revolución, obtenida por la rotación de C(α) alrededor del
eje Oz, es parametrizada por
X(u, v) = ϕ(u)(cos v, sen v, 0) + ψ(u)(0, 0, 1),
∀(u, v) ∈ I × [0, 2π).
Note que
Xu × Xv = ϕ(u)(−ψ 0 (u) cos v, −ψ 0 (u) sen v, ϕ0 (u)) 6= 0 ∈ R3 ,
lo que implica que X es una parametrización regular, pues
kXu × Xv k2 = (ϕ(u)2 )((ψ 0 (u))2 + (ϕ0 (u))2 ) > 0,
| {z } |
{z
}
>0
kα0 (u)k2 >0
Además, si M denota la superficie de revolución, entonces:
La curva α es llamada la generatriz de M ;
El eje Oz es el eje de rotación de M ;
La curva coordenada v = v0 es una curva perfil llamado meridiano de M ;
Y la curva coordenada u = u0 es un cı́rculo llamado paralelo de M .
Ejemplo 1.10. Sea α : I → R3 una curva parametrizada, y sea β : I → R3 una
función diferenciable con β(t) 6= (0, 0, 0) para todo t ∈ I. Definimos una superficie
parametrizada por
X(u, v) = α(u) + vβ(u),
u ∈ I, v ∈ R,
que es llamada superficie reglada cuya directriz es α y generatriz es la curva coordenada u = u0 que es una recta con vector director β(u0 ).
44
Observe que
Xu × Xv = (α0 (u) + vβ 0 (u)) × β(u) = α0 (u) × β(u) + vβ 0 (u) × β(u),
puede o no ser diferente de 0 ∈ R3 en I × R.
Ejemplos particulares de superficies regladas son helicoide y los siguientes casos:
1. Un cilindro, si β es un vector constante. En este caso la superficie es regular
y la curva α es inyectiva con α0 6= β.
2. Un cono, si α verifique que α × α0 6= 0 y α = −β. Como
Xu × Xv = (v − 1)α(u) × α0 (u),
luego X es una superficie parametrizada regular para todo los punto X(u, v)
tales que v 6= 1, pues observamos que para v = 1, la curva coordenada
X(u, 1) = (0, 0, 0),
∀u ∈ I,
ası́, la superficie no es regular en (0, 0, 0) que es llamado el vértice del cono.
3. Una superficie tangente (o desarrollable), si α es una curva parametrizada
regular con curvatura distinta de cero. En este caso, tenemos que
Xu × Xv = −vα0 × α00
lo que implica (por lo menos localmente) que X es una superficie parametrizada regular.
Observación 1.11. Un helicoide es una superficie alabeada, es decir, es una superficie reglada no desarrollable, o sea, en la cual, dos posiciones sucesivas de la
generatriz (reta) no son coplanares.
2.
Plano tangente
Definición 2.1. Sean M una superficie y P ∈ M . Escogemos una parametrización
regular X : U → M ⊂ R3 con P = X(u0 , v0 ). Definimos el plano tangente de M en P
como siendo el subespacio Tp M generado por los vectores linealmente independientes
Xu (u0 , v0 ) y Xv (u0 , v0 ) que son tangentes a la curva coordenada v = v0 y a la curva
coordenada u = u0 , respectivamente.
Por lo tanto, el plano tangente a M en cada P = X(u0 , v0 ) es dado por
TP M = {aXu (u0 , v0 ) + bXv (u0 , v0 )/a, b ∈ R}.
Como el vector normal a TP M es dado por el vector Xu (u0 , v0 )×Xv (u0 , v0 ), tenemos
que
V = (x, y, x) ∈ TP M
⇔
V · (Xu (u0 , v0 ) × Xv (u0 , v0 )) = 0.
2. PLANO TANGENTE
45
Observación 2.2. Sea X una superficie parametrizada regular e P = X(u0 , v0 ). Si
V ∈ TP M , entonces existe una curva α definida por α(t) = X(u(t), v(t)) tal que
α0 (t0 ) = V y (u(t0 ), v(t0 )) = (u0 , v0 ).
Observación 2.3. La definición de espacio tangente Tp M no depende de la parametrización utilizada alrededor del punto P . Es decir, si X y Y son dos parametrizaciones de la superficie M tales que X1 (u0 , v0 ) = P = X2 (s0 , t0 ). Entonces
Span{Xu , Xv } = Span{Ys , Yt }.
De hecho, considere la función X −1 ◦ Y de clase C 1 , definida de un abierto de (s0 , t0 )
sobre un abierto de (u0 , v0 ). Aplique la regla de la cadena para a X −1 ◦ Y y pruebe
que Ys , Yt ∈ span{Xu , Xv }.
Definición 2.4. Sea X : U → Rn una parametrización regular de una superficie M .
Un vector ξ es normal a M en P si es ortogonal al plano tangente TP M , es decir, si
ξ · V = 0,
∀V ∈ TP M.
Observe que ξ es un vector normal a M em P si, y sólo si, ξ · Xu = ξ · Xv = 0.
Definición 2.5. Dada una parametrización regular X ⊂ R2 → R3 de una superficie
M y sea P = X(u0 , v0 ) ∈ M , sabemos que Xu (u0 , v0 ) × Xv (u0 , v0 ) es un vector no
nulo y ortogonal al plano tangente TP M = Span{Xu (u0 , v0 ), Xv (u0 , v0 )}, definimos
el vector normal unitario de la superficie parametrizada en P por
N=
Xu (u0 , v0 ) × Xv (u0 , v0 )
,
kXu (u0 , v0 ) × Xv (u0 , v0 )k
Ejemplo 2.6. El vector normal unitario N de la esfera unitaria S 2 centrada en la
origen es el vector posición.
Ejemplo 2.7. Consideremos la siguiente parametrización de un helicoide, dada por
X(u, v) = (u cos v, u sen v, v),
u ≥ 0, v ∈ R.
Verifique que:
Xu = (cos v, sen v, 0) y kXu k = 1.
1
Xv = (−u sen v, u cos v, 1) y kXv k = √1+u
2
{Xu , Xv } forman una base ortogonal y no ortonormal de TX(u,v) M.
Xu × Xv = (sen v, − cos v, u).
1
N = √1+u
2 (sen v, − cos v, u).
46
3.
Primera forma fundamental
En el Capı́tulo 1 vimos que la geometrı́a de una curva espacial se entiende mejor
cuando la curva esta parametrización por la longitud de arco. Por analogı́a, serı́a
bueno, si pudiéramos encontrar una parametrización regular X : U ⊂ R2 → R3 de
una superficie M de tal modo que Xu y Xv formen una base ortonormal en cada
punto de U . Sin embargo, esto ocurrir muy raramente.
Ahora introducimos la primera forma fundamental de una superficie y veremos que
ella esta relacionada con la longitud de curvas en una superficie, con el ángulo entre
vectores tangentes y con la área de regiones de una superficie.
Definición 3.1. La primera forma fundamental de una superficie parametrizada
regular X : U ⊂ R2 → R3 en P = X(u0 , v0 ) ∈ M es la forma cuadrática
IP : TP M → R,
dada por
IP (V ) = V · V = kV k2 ,
∀ V ∈ TP M.
Como TP M ⊂ R3 , tenemos que IP (V ) = x2 + y 2 + z 2 , donde V = (x, y, z).
Por otro lado, usando el hecho que {Xu (u0 , v0 ), Xv (u0 , v0 )} es una base de TP M ,
podemos determinar los coeficientes de IP , como sigue:
Supongamos que
V = aXu (u0 , v0 ) + bXv (u0 , v0 ) ∈ TP M,
donde a, b ∈ R, entonces
IP (V ) = (aXu (u0 , v0 ) + bXv (u0 , v0 )) · (aXu (u0 , v0 ) + bXv (u0 , v0 ))
= a2 Xu (u0 , v0 ) · Xu (u0 , v0 ) +2ab Xu (u0 , v0 ) · Xv (u0 , v0 ) +b2 Xv (u0 , v0 ) · Xv (u0 , v0 ),
|
{z
}
|
{z
}
|
{z
}
E(u0 ,v0 )
F (u0 ,v0 )
G(u0 ,v0 )
o sea, la primera forma fundamental IP queda determinada por los coeficientes:
E(u0 , v0 ) = Xu (u0 , v0 ) · Xu (u0 , v0 ),
F (u0 , v0 ) = Xu (u0 , v0 ) · Xv (u0 , v0 ) = Xv (u0 , v0 ) · Xu (u0 , v0 ),
G(u0 , v0 ) = Xv (u0 , v0 ) · Xv (u0 , v0 ),
la matriz que representa IP en la base {Xu , Xv }, es dada por:
·
IP =
E F
F G
¸
·
.=
Xu · Xu Xu · Xv
Xu · Xv Xv · Xv
¸
.
Usamos la misma letra IP para denotar la primera forma fundamental de X en P
y su matriz, además omitimos el punto (u0 , v0 ) para simplificar.
3. PRIMERA FORMA FUNDAMENTAL
47
Observación 3.2. Para cada V ∈ TP M existe una curva parametrizada α dada por
α(t) = X(u(t), v(t)) ∈ M,
−² < t < ²,
tal que
α(0) = X(u(0), v(0)) = X(u0 , v0 ) = P
y
V = α0 (0) = u0 (0)Xu (u0 , v0 ) + v 0 (0)Xv (u0 , v0 ),
entonces
IP (V ) = u0 (0)2 E(u0 , v0 ) + 2u0 (0)v 0 (0)F (u0 , v0 ) + v 0 (0)2 G(u0 , v0 ).
Si X : U → R3 es una parametrización diferenciable, entonces los coeficientes
E(u, v), F (u, v), G(u, v) para cada (u, v) ∈ U definen las funciones diferenciables
E, F, G que llamados los coeficientes de la primera forma fundamental I de X(U ),
los cuales verifican las siguientes propiedades:
E > 0, G > 0.
EG − F 2 = kXu × Xv k2 > 0. Ya que,
µ·
EG − F 2 = det
⇒
E F
F G
¸¶

Xu · Xu Xu · Xv 0
= det  Xv · Xu Xv · Xv 0  ,
0
0
1

EG − F 2 = (det [Xu Xv N ])2 > 0.
Ası́ el determinante de la primera forma fundamental es igual al cuadrado
del volumen del paralelepı́pedo generado por los vectores Xu , Xv y N .
Como N es un vector normal unitario que es ortogonal a TX(u,v) M generado por Xu y Xv , tenemos que EG − F 2 es también el cuadrado de el área
del paralelogramo generado por Xu y Xv , es decir,
EG − F 2 = kXu × Xv k2 > 0.
Una aplicación de la primera forma fundamental es el cálculo de la área de regiones
limitadas de superficies regulares.
Definición 3.3. Seja X : U ⊂ R2 → R3 una superficie parametrizada regular. Sea
X(R) una región limitada contenida en X(U ), definimos la área de X(R) por
Z Z
Z Z √
EG − F 2 dudv.
Area(X(R)) =
kXu × Xv k dudv =
R
R
Ejemplo 3.4. Sea R² = (², 2π − ²) × (², 2π − ²) una región limitada y consideremos
la parametrización del toro T 2 como superficie de revolución dada por
X(u, v) = ((a + r cos u) cos v, (a + r cos u) sen v, r sen v),
0 < u, v < 2π.
48
Aquı́ a > r > 0. Esta parametrización cubre T 2 a menos un meridiano y un paralelo
los cuales no contribuyen con aumento de área. Entonces
Z Z
Z 2π−²
Z 2π−²
Area(X(R² )) =
r(a + cos u)dudv =
r(a + cos u)du
dv
R²
²
²
= r2 (2π − 2²)(sen(2π − ²) − sen ²) + ra(2π − ²)2 .
Por lo tanto, la área del toro T 2 es dada por
Area(T 2 ) = lı́m Area(X(R² )) = 4π 2 ar.
²→0
Definición 3.5. Sean M y M ∗ dos superficies. Diremos que M y M ∗ son localmente
isométricas si para cada P ∈ M existen parametrizaciones regulares X : U ⊂
R2 → M con X(u0 , v0 ) = P y X ∗ : U ⊂ R2 → M ∗ (usando el mismo dominio
U ⊂ R2 ) con la propiedad sobre las primeras formas fundamentales IP = IP∗ siempre
que P = X(u, v) y P ∗ = X ∗ (u, v) para algún (u, v) ∈ U . Es decir, la función
X ∗ ◦ X −1 : X(U ) → X ∗ (U ) es una correspondencia 1-1 que preserva las primeras
formas fundamentales y por lo tanto preserva la distancia.
Ejemplo 3.6. Parametrizamos pedazos del plano por X(u, v) = (u, v, 0) y del cilindro por X ∗ (u, v) = (cos u, sen u, v). Entonces tenemos que E = E ∗ = 1, F = F ∗ = 0
y G = G∗ = 1, por lo tanto, las primeras formas fundamentales del plano y del
cilindro son iguales, lo que implica que ambas superficies son localmente isométricas. Por otro lado, si el parámetro u varia de 0 a 2π, el rectángulo y el cilindro no son
globalmente isométricos, porque puntos distantes en el rectángulo pueden tornarse
muy próximos en el cilindro, y de esta forma no preservan distancia.
4.
La aplicación normal de Gauss y la segunda forma fundamental
En este sección la aplicación normal de Gauss permitirá obtener más información
de la superficie.
Definición 4.1. Sean S 2 la esfera unitaria centrada en la origen de R3 y M una
superficie parametrizada regular. Definimos la aplicación normal de Gauss como
siendo la aplicación η : M → S 2 que transforma cada punto P ∈ M en η(P ) ∈ S 2
la extremidad final del vector paralelo al vector normal unitario a M en P y con
origen en el centro da esfera S 2 .
Observación 4.2. La aplicación normal de Gauss η es diferenciable. Por abuso de
Xu ×Xv
donde X : U → R3 es una parametrización
notación, indicamos por η(P ) = kX
u ×Xv k
regular y diferenciable de M en un punto P = X(u, v).
Ejemplo 4.3. A seguir presentamos ejemplos básicos
4. LA APLICACIÓN NORMAL DE GAUSS Y LA SEGUNDA FORMA FUNDAMENTAL
49
1. Si la superficie es un plano, entonces en cada punto el plano tangente no
cambia, luego la aplicación normal de Gauss es constante sobre un plano.
2. Si la superficie es un cilindro, entonces los planos tangentes son constantes
a lo largo de rectas, por lo tanto la aplicación normal de Gauss lleva la
superficie entera para uno de los ecuadores de la esfera.
3. Si la superficie es una esfera centrada en la origen y de radio r, entonces
la aplicación normal de Gauss es simplemente dada por el vector posición
normalizado.
Definición 4.4. Sean M una superficie parametrizada regular, F : M ⊂ R3 → Rn
cualquier función diferenciable (escalar si n = 1 o vectorial si n = 3) y V ∈ TP M
cualquier vector tangente. La derivada direccional de F en P en la dirección de V
es dada por
(F ◦ α)(t) − (F ◦ α)(0)
,
t→0
t
DV F (P ) = (F ◦ α)0 (0) = lı́m
donde α : (−², ²) → M es una curva diferenciable con α(0) = P y α0 (0) = V
Para entender la forma de M en el punto P , tentaremos entender la curvatura de
las diversas curvas que pasan por P y que están sobre M . Para esto cortamos la
superficie M con diversos planos que pasan por P y son generados por el vector
normal unitario η(P ) y por vectores unitarios V ∈ TP M . De esta forma obtenemos
los llamados secciones normales a M en P .
Estudiamos estas secciones normales en una bola abierta B² (P ) ⊂ R3 de centro P e
radio ² positivo suficientemente pequeño.
Sea α : (−², ²) → M una curva parametrizada por la longitud de arco que parametriza una sección normal a M en P , en este caso α(0) = P , α0 (0) = V .
Ası́ el trazo de la curva α esta sobre el plano generado por η(p) y V , es decir, C(α)
esta sobre el plano osculador de α en P , que sabemos es generado por el vector
normal principal N (0) y el vector tangente T (0) = α0 (0) = V . Observamos que el
vector normal principal N (0) de la curva α en P , puede ser +η(P ) si la curva esta
curvando hacia η(P ), caso contrario será −η(P ).
Por lo tanto, del hecho que
(η ◦ α)(s) · T (s) = ±N (s) · T (s) = 0,
para todo s cerca de 0, obtenemos que la curvatura κ de la curva α en P es dada
por:
±κ(P ) = κ(P ) N (0) · η(P ) = T 0 (0) ·η(α(0)) = −T (0) · (η ◦ α)0 (0) = −V · DV η(P ),
{z
} | {z }
|
±1
κN (0)
o sea
±κ(P ) = −DV η(P ) · V.
50
Esto nos lleva a estudiar la derivada direccional DV η(P ) más detalladamente.
Propocisión 4.5. Para cada vector V0 ∈ TP M , la derivada direccional de la aplicación normal de Gauss η en la dirección de V0 verifica que
DV0 η(P ) ∈ TP M.
Además, la aplicación SP : TP M → TP M definida por
SP (V ) = −DV η(P ),
∀V ∈ TP M,
es una aplicación lineal simétrica, es decir,
SP (V ) · W = V · SP (W ),
∀V, W ∈ TP M.
En este caso SP es llamado el operador forma de M en P .
Demostración: Para cualquier curva α : (−², ²) → M con α(0) = P y α0 (0) = V .
Como la aplicación normal de Gauss η restricta a la curva α, tiene longitud constante
igual a 1, podemos afirmar que
(η ◦ α)0 (0) ·
| {z }
DV η(P )
(η ◦ α)(0) = 0,
| {z }
vector normal
ası́ SP (V ) = −DV η(P ) ∈ TP M .
La linealidad de SP es una consecuencia de la linealidad de la derivada de la aplicación normal de Gauss dηp , pues
SP (V ) = −DV η(P ) = −dηP (V ),
∀V ∈ TP M.
Por lo tanto, sólo falta verificar la simetrı́a del operador SP . Primero vamos verificar
la igualdad
SP (V ) · W = V · SP (W ),
para V = Xu y W = Xv ,
donde X es una parametrización diferenciable de M . Como
η · Xv = 0 ⇒ 0 = (η · Xv )u = ηu · Xv + η · Xvu ⇒ ηu · Xv = −η · Xvu
además
ηu = (n ◦ β)0 (0) = Dβ 0 (0) η(β(0)) = DXu η(P ) = −SP (Xu ),
donde β(s) = P + sXu . Análogamente,
ηv = (n ◦ γ)0 (0) = Dγ 0 (0) η(γ(0)) = DXv η(P ) = −SP (Xv ),
donde γ(s) = P + sXv . Luego,
SP (Xu ) · Xv = −DXu η(P ) · Xv = −ηu · Xv = η · Xvu
= η · Xuv = −ηv · Xu = −DXv η(P ) · Xu = SP (Xu ) · Xu .
Ahora veamos el caso general, sean V y W dos vectores arbitrarios en TP M , como
{Xu , Xv } forman una base de TP M , tenemos que existen escalares a, b, c, d tales que
51
V = aXu + bXv y W = cXu + dXv . Entonces usando la linealidad de SP y del
producto interno de R3 , tenemos que
SP (V ) · W
=
=
=
=
=
=
SP (aXu + bXv ) · (cXu + dXv )
(aSP (Xu ) + bSP (Xv )) · (cXu + dXv ))
acSP (Xu ) · Xu + adSP (Xu ) · Xv + bcSP (Xv ) · Xu + bdSP (Xv ) · Xv
acSP (Xu ) · Xu + adSP (Xv ) · Xu + bcSP (Xu ) · Xv + bdSP (Xv ) · Xv
(aXu + bXv ) · (cSP (Xu ) + dSP (Xv ))
V · SP (W )
¤
Propocisión 4.6. Sea M una superficie conexa. Si el operador forma SP = 0 para
todo P ∈ M , entonces M es un subconjunto (conexo) de un plano.
Demostración: Ya que el operador forma en cualquier punto P de la superficie
es nulo por hipótesis, tenemos que la derivada direccional de η es 0 en cualquier
dirección tangente de cualquier punto P de M . Ası́, para cualquier parametrización
(local) X(u, v) de M , tenemos que ηu = ηv = 0. Por lo tanto, dηP = 0. Luego, η es
constante (aquı́ que entra la hipótesis de conexidad). Por lo tanto, M es un pedazo
conexo de un plano cuyo vector director es η(P ). ¤
Ejemplo 4.7. Sea X : U ⊂ R2 → R3 una parametrización regular de una esfera M
de radio r > 0 y centro 0 ∈ R3 . Entonces la aplicación normal de Gauss verifica que
1
η = X(u, v).
r
Luego, para cualquier P ∈ X(U ), tenemos
1
SP (Xu ) = −ηu = − Xu
r
y
1
SP (Xv ) = −nv = − Xv ,
r
Por lo tanto,
1
SP = − ITP M
r
donde ITP M es la aplicación identidad de TP M .
Definición 4.8. Sea M una superficie parametrizada. La segunda forma fundamental de M en el punto P ∈ M es la forma cuadrática IIP : TP M → R, dada
por:
IIP (V ) = SP (V ) · V,
∀V ∈ TP M
Observación 4.9. El valor de la segunda forma fundamental IIP calculada en un
vector tangente unitario V ∈ TP M es igual a la curvatura de la sección normal a
M en P determinada por la dirección V , de hecho:
±κ = −DV η(P ) · V = SP (V ) · V = IIP (V ).
52
Ahora vamos determinar la matriz de la segunda forma fundamental en la base
{Xu , Xv } como sigue:
Supongamos que
V = aXu + bXv ∈ TP M,
donde a, b ∈ R, entonces
IIP (V ) = SP (aXu + bXv ) · (aXu + bXv ) = (aSP (Xu ) + bSP (Xv )) · (aXu + bXv )
= a2 ηu · Xu +ab ηv · Xu +ba ηu · Xv +b2 ηv · Xv
| {z }
| {z }
| {z }
| {z }
−η·Xuu
−η·Xuv
−η·Xvu
2
−η·Xvv
2
= −a η · Xuu −2ab η · Xuv −b η · Xvv
| {z }
| {z }
| {z }
e
g
f
o sea, la segunda forma fundamental IIP queda determinada por los coeficientes:
e = Xuu · η
f = Xvu · η = Xuv · η
g = = Xvv · η.
Los cálculos arriba explican el porque del signo de menos en la definición del operador
forma. La matriz que representa IIP en la base {Xu , Xv }, es dada por:
·
¸ ·
¸
e f
Xuu · η Xuv · η
IIP =
=
.
f g
Xuv · η Xvv · η
Usamos la misma letra IP para denotar la primera forma fundamental de X en P y
su matriz. Observe que aquı́ la base {Xu , Xv } no es en general ortonormal.
Dejamos como ejercicio el siguiente resultado:
Propocisión 4.10. En general la matriz [SP ] del operador forma SP con respecto
a la base {Xu , Xv } (no necesariamente ortonormal) es dada por
·
¸−1 ·
¸
·
¸
1
E F
e f
eG − f F f G − gF
−1
[sP ] = IP IIP =
=
.
F G
f g
EG − F 2 f E − eF gE − f F
det[SP ] =
eg − f 2
det(IIP )
=
.
det(IP )
EG − F 2
Corolario 4.11. Si {Xu , Xv } es una base ortonormal de TP M , entonces
[SP ] = IIP .
Demostración:
Como E = 1 = G, F = Xu · Xv = 0, entonces
1
[SP ] =
EG − F 2
·
eG − f F
f E − eF
f G − gF
gE − f F
¸
·
=
e f
f g
¸
= IIP .
¤
53
Observación 4.12. Como el operador forma SP es una aplicación lineal simétrica. Esto significa que su representación matricial con respecto a una base ortonormal (o más general en una base ortogonal) tiene que ser una matriz simétrica: En
este caso la matriz de IP de la primera forma fundamental en el punto P será un
múltiplo escalar de la matriz identidad, por lo tanto, el producto matricial IP−1 IIP
permanecerá siendo una matriz simétrica.
Ejemplo 4.13. Consideramos la parametrización del toro con a > r > 0, dada por
X(u, v) = ((a + r cos u) cos v, (a + r cos u) sen v, r sen u),
0 < u, v < 2π.
Entonces
E = r2 , F = 0, G = (a + r cos u)2
· 2
¸
r
0
⇒ IP =
⇒ det(IP ) = r2 (a + r cos u)2 .
0 (a + r cos u)2
e = r, f = 0, g = cos u(a + r cos u)
·
¸
r
0
⇒ IIP =
⇒ det(IIP ) = r cos u(a + r cos u).
0 cos u(a + r cos u)
· 1
¸
0
cos u
cos u
r
[SP ] =
= 1r (a+r
.
⇒ det[SP ] = r(a+r
cos u
cos u)
cos u)
0 a+r
cos u
cos u
κ1 (P ) = 1r y κ2 (P ) = a+r
son los autovalores SP .
cos u
En general, por el teorema espectral de álgebra lineal sabemos que el operador SP
posee dos autovalores reales que denotados por κ1 (P ) y κ2 (P ).
Definición 4.14. Los autovalores κ1 (P ) y κ2 (P ) del operador forma SP son llamados curvaturas principales de M en P . Correspondientemente los autovectores
asociados a κ1 (P ) y κ2 (P ) son llamados de direcciones principales.
Definición 4.15. Una curva regular conexa C en una superficie M es llamada una
linea de curvatura si para cada P ∈ C el tangente T a C es una dirección principal
de M en P .
Otra consecuencia del Teorema Espectral es que las direcciones principales asociadas
a las curvaturas principales son ortogonales, ası́ podemos siempre escoger una base
ortonormal de TP M formada sólo de direcciones principales.
De acuerdo con este hecho, podemos fácilmente determinar las curvaturas de las
secciones normales generadas por direcciones arbitrarias. En el siguiente resultado
tratamos de esto.
54
Propocisión 4.16. Fórmula de Euler Sean E1 , E2 vectores unitarios que denotan
direcciones principales a M en P con sus correspondientes curvaturas principales κ1
y κ2 . Supongamos que
V = cos θE1 + sen θE2 ,
donde θ es el ángulo entre E1 y V , en la sentido dado por la orientación de TP M =
Span{E1 , E2 }. Entonces
IIP (V ) = κ1 cos2 θ + κ2 sen2 θ.
Demostración:
Como SP (Ei ) = κi Ei para i = 1, 2, tenemos que
IIP (V ) = SP (V ) · V = SP (cos θE1 + sen θE2 ) · (cos θE1 + sen θE2 )
= (κ1 cos θE1 + κ2 sen θ) · (cos θ + sen θ) = κ1 cos2 θ + κ2 sen2 θ.
¤
Observación 4.17. En una esfera todos las secciones normales tienen la misma
curvatura (6= 0). Por otro lado, en una superficie con un punto de silla veremos
que existen ciertas secciones normales que son lineas rectas. Esto permite definir el
siguiente concepto:
Definición 4.18. Si una sección normal a una superficie M en la dirección V ∈ TP M
tiene curvatura cero, diremos que V es una dirección asintótica. Una curva en M
es llamada curva asintótica si su vector tangente en cada punto es una dirección
asintótica.
Observación 4.19. Si V ∈ TP M con kV k = 1 y IIP (V ) = 0, entonces V es una
dirección asintótica de M en P . De hecho, sabemos que IIP (V ) = ±κ(P ) donde κ
denota la curvatura de la sección normal determinada pelo vector V , por lo tanto,
κ(P ) = 0.
Ejemplo 4.20. Si la superficie M contiene una recta, esta recta es una curva
asintótica. Para una sección normal en la dirección de la recta contendrá la recta que de hecho tienen curvatura cero (y tal vez otras cosas distantes).
Corolario 4.21. Existe una dirección asintótica en P si, y sólo si, κ1 κ2 ≤ 0.
Demostración: Por la proposición anterior, tenemos que κ2 = 0 si, y sólo si, E2
es una dirección asintótica. Supongamos ahora que κ2 6= 0. Si V es un vector unitario asintótico formando un ángulo θ con E1 , entonces por la proposición anterior,
tenemos
κ1 cos2 θ + κ2 sen2 θ = 0,
y de aquı́, concluimos que κ1 κ2 ≤ 0.
⇒
tan2 θ =
κ1
,
κ2
55
r
κ
Recı́procamente, si κ1 κ2 < 0, tome θ tal que tan θ = ± − 1 , y entonces V es una
κ2
dirección asintótica, pues
r
κ1
tan θ = ± −
κ2
⇒
r
κ1
sen θ = ± − cos θ,
κ2
substituyendo, vemos que
sen2 θ
IIP (V ) = κ1
+ κ2
= κ1
cos2 θ
µ
¶
κ1
cos2 θ = κ1 cos2 θ − κ1 cos2 θ = 0.
+ κ2 −
κ2
= κ1
cos2 θ
µ r
¶2
κ1
+ κ2 ± − cos θ
κ2
cos2 θ
¤
Ejemplo 4.22. Consideramos un helicoide dada por la parametrización
X(u, v) = (u cos v, u sen t, v),
u ≥ 0, v ∈ R,
sabemos que esta superficie es una superficie reglada y ası́ las generatrices son curvas
asintóticas. Bastante menos obvio, es ver que la familia de hélices de esta superficie,
también son curvas asintóticas. De hecho la sección normal tangente a la hélice en
P tiene una punto de inflexión en P , y por lo tanto la hélice es una curva asintótica.
Corolario 4.23. Las curvaturas principales son los valores máximos y mı́nimos de
las curvaturas de las secciones normales.
Demostración: La afirmación es una consecuencia inmediata de la Fórmula de
Euler. De hecho, suponiendo que κ2 ≤ κ1 , entonces por la Formula de Euler, tenemos
que
κ1 cos2 θ + κ2 sen2 θ = κ1 (1 − sen2 θ) + κ2 sen2 θ = κ1 + (κ2 − κ1 ) sen2 θ ≤ κ1
Por otro lado,
κ1 cos2 θ + κ2 sen2 θ = κ1 cos2 θ + κ2 (1 − cos2 θ) = (κ1 − κ2 ) cos2 θ + κ2 ≥ κ2 .
Con las mismas notaciones de la Proposición de la fórmula de Euler, podemos definimos la función f : {V ∈ TP M/kV k = 1} → R por
f (V ) = IIP (V ) = κ1 cos2 θ + κ2 sen2 θ,
esta función es continua de en un conjunto compacto (cerrado y limitado) en R,
entonces posee un punto de máximo y de mı́nimo, a saber E1 y E2 , ya que
f (E1 ) = κ2 ≤ f (V ) ≤ f (E2 ) = κ2 .
¤
A continuación llegamos a uno de los conceptos más importantes en la geometrı́a de
superficies:
56
Definición 4.24. El producto de las curvaturas principales se llama la curvatura
de Gauss:
K = det[SP ] = κ1 κ2 .
La media aritmética de las curvaturas principales recibe el nombre de curvatura
media:
1
1
H = Tr [SP ] = (κ1 + κ2 ).
2
2
Definición 4.25. Diremos que M es
una superficie llana, si la curvatura de Gauss K = 0
una superficie minimal, si la curvatura media H = 0.
Observación 4.26. Los signos de las curvaturas principales cambian si revertimos
la dirección de la normal unitaria η, es decir, si cambiamos el signo de η. En este
caso, la curvatura de Gauss K, siendo el producto de ambos curvaturas principales,
es independiente de la elección de la normal unitaria, pues el determinante no cambia
det[SP ] = (−κ1 )(−κ2 ) (la dimensión es par). Sin embargo, el signo de la curvatura
media depende de la elección de η, pues el trazo cambia de signo Tr [SP ] = −(κ1 +κ2 ).
Ejemplo 4.27. Un plano y un cilindro son superficies llanas, es decir la curvatura
de Gauss K = 0 en ambos casos. De hecho, en el primer caso, la matriz de operador
forma [SP ] es la matriz nula, para todo P ; y en el último caso, tenemos que el
determinante de la matriz del operador forma det[SP ] = 0, para todo P .
Ejemplo 4.28. Consideramos la superficie con un punto de silla parametrización
por
X(u, v) = (u, v, uv),
u, v ∈ R.
Entonces
Xu = (1, 0, v),
Xv = (0, 1, u),
1
n= √
(−v, −u, 1),
1 + u2 + v 2
y por lo tanto, los coeficientes de la primera y de la
E = 1 + v2,
F = uv,
G = 1 + u2
y
Xuu = (0, 0, 0),
Xuv = (0, 0, 1),
Xvv = (0, 0, 0),
segunda forma fundamental son:
e = f = 0,
g=√
1
1 + u2 + v 2
Ası́, la primera y la segunda formas fundamentales en el punto P = X(u, v), son
dadas por
·
¸
·
¸
1
1 + v2
uv
0 1
IP =
y IIP = √
uv
1 + u2
1 + u2 + v 2 1 0
57
luego la matriz del operador forma [SP ] con respecto a la base {Xu , Xv } es dada por
·
¸
1
−uv 1 + u2
−1
SP = IP IIP = √
.
2
−uv
1 + u2 + v 2 1 + v
Observe que la matriz del operador forma en la base la base {Xu , Xv } no es simétrica.
Observe también que la base {Xu , Xv } no es ortonormal ni ortogonal.
Por otro lado, podemos determinar que las curvaturas principales de la superficie en
el punto P (es decir, los autovalores del operador SP ) son dadas por
p
p
−uv + (1 + u2 )(1 + v 2 )
−uv − (1 + u2 )(1 + v 2 )
κ1 =
y κ2 =
.
(1 + u2 + v 2 )3/2
(1 + u2 + v 2 )3/2
Luego la curvatura de Gauss es
K = det[SP ] = −
1
(1 +
u2
+ v 2 )2
.
Observamos IIP (Xu ) = IIP (Xv ) = 0, lo que implica que Xu y Xv son direcciones
asintóticas y por consiguiente las curvas coordenadas u = u0 y v = v0 son curvas
asintóticas.
Realizando un poco mas de cálculos de álgebra lineal se determinan las direcciones
principales de la superficie en el punto P , es decir los autovectores de SP , que son
los vectores dados por
√
√
√
√
V1 = 1 + u2 Xu + 1 + v 2 Xv y V2 = 1 + u2 Xu − 1 + v 2 Xv .
Observamos también que las direcciones principales son vectores ortogonales.
Definición 4.29. Sea P ∈ M fijo de una superficie M . Diremos que:
P es un punto umbilical de M si κ1 = κ2 .
P es un punto plano de M si κ1 = κ2 = 0.
P es un punto parabólico si la curvatura de Gauss K = 0, mas P no es un
punto plano.
P es un punto elı́ptico si K > 0, e
P es un punto hiperbólico si K < 0.
La curvatura de Gauss en un punto P de una superficie M tiene un claro significado
geométrico y proporciona información sobre la posición relativa de M con respecto
a su plano tangente “próximo” del punto.
Ejemplo 4.30. Observe que en el toro T 2 de revolución tiene:
58
Puntos elı́pticos, es decir puntos donde la curvatura de Gauss es positiva.
Cerca de cada punto elı́ptico, el toro T 2 se encuentra completamente contenido en uno de los semiplanos determinado por el plano tangente de dicho
punto, o sea, el plano tangente corta al toro en un único punto.
Puntos donde la curvatura de Gauss es negativa, en este caso, el plano tangente de dichos puntos hiperbólicos (o puntos de silla) corta al toro dejando
puntos del toro en cada una de los semiplanos determinados por él. En los
puntos de silla, la normal unitaria esta apuntando para: El centro del cı́rculo
horizontal que es una lı́nea de curvatura (es decir, el cı́rculo que va por la
“parte interior del toro”) y tiene curvatura principal positiva en el punto de
silla; Y para el cı́rculo vertical determinado por la sección normal que es una
lı́nea de curvatura, con curvatura principal negativa en el punto de silla.
Puntos parabólicos, en estos puntos su plano tangente corta al toro en un
cı́rculo (“de arriba” o de “de abajo”). De hecho la normal unitaria al toro
sobre el cı́rculo “de arriba” (o “de abajo”) se mantiene constante a medida
que nos movemos por él. Ası́ para cualquier punto P sobre éste cı́rculo y
cualquier vector V tangente al cı́rculo “de arriba” (o “de abajo”), tenemos
que SP (V ) = −DV η = 0, por lo tanto V es una dirección principal con la
curvatura principal correspondiente igual a 0.
Observación 4.31. La interpretación original de la curvatura de Gauss de una
superficie M fue la siguiente: Imagine un pequeño “rectángulo curvilı́neo” P siendo
uno de los vértices el punto P ∈ M y formado de lados h1 y h2 a lo largo de las
direcciones principales. Ya que las direcciones principales son vectores propios del
operador forma SP , la imagen de P por la aplicación normal de Gauss es casi un
pequeño “rectángulo curvilı́neo” con vértice en η(P ) ∈ S 2 y de lados κ1 h1 y κ2 h2.
Por lo tanto, la curvatura de Gauss K = κ1 κ2 es el factor por el cual η distorsiona
la área (signada) al aplicar la superficie M sobre la esfera unitaria S 2 . (Observe que
para un cilindro, el rectángulo curvilı́neo se degenera en un segmento de recta).
Retornamos al estudio de la curvatura de secciones normales.
Supongamos que α es una curva parametrizada por la longitud de arco en M con
α(0) = P y α0 (0) = V . Ya probamos que
IIP (V ) = κN (0) · η(P ).
donde κ es la curvatura de la curva α, N (0) es el vector normal principal de α en el
punto P y η(P ) es el vector normal unitario a M en P . Esta igualdad diz que IIP (V )
es la componente normal del vector curvatura κN (0) de la curva α a la superficie
M en P , que denotamos por κn y será llamada de curvatura normal de α en P .
IIP (V ) = κN (0) · η(P ) = κn (P ).
59
Esta fórmula prueba que la curvatura normal sólo depende de la dirección V de α
en P y no de otra curva.
Si φ el ángulo entre N (0) y η(P ), entonces cos φ =
N (0)·η(P )
kN (0)kkη(P )k
= N (0) · η(P ).
Para el caso de una sección normal, la curvatura normal κn es, a menos de signo, toda la
curvatura de la sección normal κ, es decir, κn = ±κ.
De esto deducimos el siguiente resultado:
Propocisión 4.32. Fórmula de Meusnier Dada la curva α en la superficie M pasando
por el punto P con vector tangente V . Entonces,
IIP (V ) = κn (P ) = κ(P ) cos φ,
donde φ es el ángulo entre la normal principal N de α y la normal a la superficie, η en P
y κ(P ) es la curvatura de la curva α en P .
Una consecuencia de este resultado es dada a seguir:
Corolario 4.33. Si α es una curva asintótica en una superficie M , entonces su curvatura
normal es siempre 0 en cada punto.
Ejemplo 4.34. Una superficie conocida como pseudoesfera es una superficie de revolución obtenida por la rotación de la tractriz alrededor del eje Ox. A seguir damos una
parametrización de una pseudoesfera:
X(u, v) = (u − tanh u, sech u cos v, sech u sen v),
u > 0, v ∈ [0, 2π).
Verifique que:
Los cı́rculos (de revolución) de la pseudoesfera son lineas de curvatura.
Las tractrices de la pseudoesfera son lineas de curvatura.
1
La curvatura de una tractriz es κ = senh
u = −κn .
1
κ1 = κn = − senh u .
La curvatura de un cı́rculo (de revolución) de la psudoesfera es κ = cosh u 6= ±κn .
κ2 = κn = senh u.
K = −1.
Ejemplo 4.35. Consideramos la superficie de revolución cuya parametrización es dada
por
X(u, v) = (ϕ(u) cos v, ϕ(u) sen v, ψ(u)),
aquı́ ϕ > 0 y α = (0, ϕ, ψ) es una curva regular plana que es la generatriz de la superficie.
Recordemos que la curva coordenada v = v0 es llamada meridiano y la curva coordenada
60
u = u0 es llamada paralelo. Entonces
Xu
Xv
N
Xuu
Xuv
Xvv
=
=
=
=
=
=
(ϕ0 (u) cos v, ϕ0 (u) sen v, ψ 0 (u))
(−ϕ(u) sen v, ϕ(u) cos v, 0)
(−ψ 0 (u) cos v, −ψ 0 (u) sen v, ϕ0 (u))
(ϕ00 (u) cos v, ϕ00 (u), ψ 00 (u))
(−ϕ0 (u) sen v, ϕ0 (u) cos v, 0) = Xvu
(−ϕ(u) cos v, −ϕ(u) sen v, 0),
y por lo tanto, tenemos que
E = Xu · Xu = (ϕ0 (u))2 + (ψ 0 (u))2 , F = Xu · Xv = Xv · Xu = 0, G = Iv · Xv = (ϕ(u))2 ,
Observamos que la {Xu , Xv } es una base ortogonal esto facilitará los cálculos a seguir.
Además supongamos que la curva generatriz α es parametrizada por la longitud de arco,
es decir, (ϕ0 (u))2 + (ψ 0 (u))2 = 1. De Aquı́,
E = 1, F = 0, G = (ϕ(u))2 ,
Luego, el cálculo de los coeficientes de la segunda forma fundamental es dado por
e = Xuu · N = ϕ0 (u)ψ 00 (u) − ϕ00 (u)ψ 0 (u),
f = Xuv · N = 0,
g = Xvv · N = ϕ(u)ψ 0 (u).
Ası́, la primera y la segunda formas fundamentales con respecto a la base {Xu , Xv }, son
dadas por
·
¸
· 0
¸
1
1
0
ϕ (u)ψ 00 (u) − ϕ00 (u)ψ 0 (u)
0
IP =
y IIP = √
.
0
ϕ(u)ψ 0 (u)
0 (ϕ(u))2
1 + u2 + v 2
Utilizando el hecho que F = f = 0, verifique que los paralelos (curvas coordenadas u = u0 )
y los meridianos (curvas coordenadas v = v0 ) de la superficies de revolución son lineas de
curvatura.
Ahora la matriz del operador forma [SP ] con respecto a la base {Xu , Xv }, es dada por
"
#
0 (u)ψ 00 (u) − ϕ00 (u)ψ 0 (u)
ϕ
0
.
SP = IP−1 IIP =
ψ 0 (u)
0
ϕ(u)
Luego, las curvaturas principales son dadas por:
ψ 0 (u)
ϕ(u)
Por lo tanto, la curvatura de Gauss y la curvatura media son dadas por
ψ 0 (u)
K = κ1 κ2 = [ϕ0 (u)ψ 00 (u) − ϕ00 (u)ψ 0 (u)]
,
ϕ(u)
µ
¶
1
1
ψ 0 (u)
H = (κ1 + κ2 ) =
ϕ0 (u)ψ 00 (u) − ϕ00 (u)ψ 0 (u) +
,
2
2
ϕ(u)
ya que (ϕ0 (u))2 + (ψ 0 (u))2 = 1, derivando esta igualdad, obtenemos
κ1 = ϕ0 (u)ψ 00 (u) − ϕ00 (u)ψ 0 (u)
y
ϕ0 (u)ϕ00 (u) + ψ 0 (u)ψ 00 (u) = 0,
κ2 =
5. LAS ECUACIONES DE GAUSS Y CODAZZI
61
luego,
0 = [ϕ0 (u)ϕ00 (u) + ψ 0 (u)ψ 00 (u)]ϕ0 (u) = (ϕ0 (u))2 ϕ00 (u) + ϕ0 (u)ψ 0 (u)ψ 00 (u)
⇒ (ϕ0 (u))2 ϕ00 (u) = −ϕ0 (u)ψ 0 (u)ψ 00 (u)
substituyendo esta igualdad a seguir, obtenemos
[ϕ0 (u)ψ 00 (u) − ϕ00 (u)ψ 0 (u)]ψ 0 (u) = ϕ0 (u)ψ 0 (u)ψ 00 (u) − ϕ00 (u)(ψ 0 (u))2
= −[(ϕ0 (u))2 + (ψ 0 (u))2 ]ϕ00 (u)
= −ϕ00 (u).
Usando esta igualdad en cálculo en la curvatura de Gauss, obtenemos que
ϕ00 (u)
K=−
.
ϕ(u)
5.
Las ecuaciones de Gauss y Codazzi
Ahora queremos avanzar hacia una comprensión más profunda de la curvatura de Gauss
de una superficie regular parametrizada X : U ⊂ R2 → R3 .
Para esto vamos considerar sólo las componentes normales de las segundas derivadas
Xuu , Xuv , Xvv .
Ya que {Xu , Xv , η} es una base de R3 , existen funciones
Γuuu , Γvuu , Γuuv = Γuvu , Γvuv = Γvvu , Γvvv , e, f, g
tales que

Xuu = Γuuu Xu + Γvuu Xv + eη 




u
v
Xuv = Γuv Xu + Γuv Xv + f η





u
v
Xvv = Γvv Xu + Γvv Xv + gη.
Observe que como Xuv = Xvu implica que
Γuuv = Γuvu
y
(∗)
Γvuv = Γvvu .
Las funciones Γij k son llamados los sı́mbolos de Christoffel de X, aquı́ i, j, v ∈ {u, v};
Las funciones e, f, g son los coeficientes de la segunda forma fundamental II de X.
Ejemplo 5.1. Calculamos en este ejemplo los sı́mbolos de Christoffel para la siguiente
parametrización de la esfera
X(u, v) = (sen u cos v, sen u, sen v, cos u),
0 < u < π, 0 ≤ v < 2π.
Entonces
Xu
Xv
Xuu
Xuv
Xvv
=
=
=
=
=
(cos u cos v, cos u sen v, − sen u),
(− sen u sen v, sen u cos v, 0),
(− sen u cos v, − sen u sen v, − cos u) = Xvu ,
(− cos u sen v, cos u cos v, 0) = cot uXv ,
(− sen u cos v, − sen u sen v, 0) = − sen u cos uXu − sen2 u η.
62
Observe que:
Las curvas coordenadas v = v0 son cı́rculos máximos, parametrizados por la longitud de arco.
El vector aceleración Xuu apunta hacia el interior de la esfera, tiene longitud 1 y
es ortogonal al vector Xu .
Las curvas coordenadas u = u0 son cı́rculos de latitud de radio sen u.
El vector aceleración Xvv apunta hacia adentro del centro del cı́rculo respectivo.
Ya que Xuu esta en la dirección del vector normal η, tenemos que
Γuuu = Γvuu = 0.
Por otro lado, como Xuv = cot uXv , entonces
Γuuv = 0,
Γvuv = cot u,
Finalmente, como Xvv = − sen u cos uXu −
sen2 u η,
f = 0.
tenemos que
Γuvv = − sen u cos u, Γvvv = 0.
Retomamos el caso general, tomando producto producto interno en (∗) con Xu y Xv ,
obtenemos
Xuu · Xu = Γuuu Xu · Xu + Γvuu Xv · Xu + eη · Xu = Γuuu E + Γvuu F
Xuu · Xv = Γuuu Xu · Xv + Γvuu Xv · Xv + eη · Xv = Γuuu F + Γvuu G
Xuv · Xu = Γuuv Xu · Xu + Γvuv Xv · Xu + f η · Xu = Γuuv E + Γvuv F
Xuv · Xv = Γuuv Xu · Xv + Γvuv Xv · Xv + f η · Xv = Γuuv F + Γvuv G
Xvv · Xu = Γuvv Xu · Xu + Γvvv Xv · Xu + gη · Xu = Γuvv E + Γvvv F
Xvv · Xv = Γuvv Xu · Xv + Γvvv Xv · Xv + gη · Xv = Γuvv F + Γvvv G.
Por otro lado, observe que
Xuu · Xu =
1
2 (Xu
· Xu )u = 12 Eu
Xuv · Xu =
1
2 (Xu
· Xu )v = 12 Ev
Xuv · Xv =
1
2 (Xv
· Xv )u = 12 Gu
Xuu · Xv = (Xu · Xv )u − Xu · Xuv = Fu − 12 Ev
Xvv · Xu = (Xu · Xv )v − Xuv · Xv = Fv − 21 Eu
Xvv · Xv =
1
2 (Xv
· Xv )v = 12 Gv .
63
Ası́ podemos reescribir las ecuaciones de la siguiente forma:
·
¸· u ¸ ·
¸
· u ¸ ·
¸−1 ·
¸ 
1
1

E F
Γuu
E
Γ
E
E
F
u
u

uu
2
2

⇒
=
=


F G
Γvuu
Γvuu
F G
Fu − 12 Ev
Fu − 12 Ev






·
¸ · u ¸ · 1
¸
· u ¸ ·
¸
¸−1 · 1

E F
Γuv
Γ
E
E
F
E
v
v
uv
2
2
(∗∗)
⇒
=
=
1
1

F G
Γvuv
Γvuv
F G

2 Gu
2 Gu





·
¸· u ¸ ·
¸
·
¸
¸
·
¸
·
−1

1
1
u

E F
Γvv
Fv − 2 Gu
Γvv
E F
Fv − 2 Gu


=
⇒
=

v
v
1
1
F G
Γvv
Γ
F
G
G
G
v
v
vv
2
2
Una de las consecuencias importantes de las ecuaciones obtenidas en (∗∗), es que permiten determinar los sı́mbolos de Christoffel (que dicen como es el comportamiento de
las componentes tangenciales de las segundas derivadas Xuu , Xuv , Xvv ) solamente a partir
de los coeficientes E, F y G de la primera forma fundamental I. O sea, los sı́mbolos de
Christoffel son objetos puramente intrı́nsecos.
Ejemplo 5.2. Calculamos los sı́mbolos de Christoffel de la esfera unitaria y comparamos
las respuestas obtenidas con el ejemplo anterior. Ya que E = 1, F = 0 y G = sen2 u,
tenemos que,
· u ¸ ·
¸· ¸ · ¸
1
0
Γuu
0
0
=
=
Γvuu
0
0
0 csc2 u
·
·
Γuuv
Γvuv
Γuvv
Γvvv
¸
·
=
¸
·
=
1
0
0 csc2 u
1
0
0 csc2 u
¸−1 ·
¸·
0
sen u cos u
− sen u cos u
0
¸
·
=
¸
·
=
0
cot u
¸
− sen u cos u
0
¸
Ası́, los únicos sı́mbolos de Christoffel no ceros son
Γvuv = Γvvu = cot u
y
Γuvv = − sen u cos u.
Retomamos nuevamente el caso general, sabemos que la matriz del operador forma SP
con respecto a la base {Xu , Xv } es
·
¸ ·
¸−1 ·
¸
·
¸
1
a c
E F
e f
eG − f F
f G − gF
[SP ] =
=
=
.
b d
F G
f g
EG − F 2 −eF + f E −f F + gE
Observamos que los coeficientes de la matriz del operador forma SP permiten determinar
las derivadas de la aplicación normal de Gauss η con respecto a u y v:

ηu = DXu η = −SP (Xu ) = −(aXu + bXv ) 
(∗ ∗ ∗)

ηv = DXv η = −SP (Xv ) = −(cXu + dXv ).
64
Ahora derivamos más una vez las ecuaciones dadas den (∗) para determinar las derivadas
Xuuv , Xuvu y obtenemos que:
Xuuv = (Γuuu )v Xu + Γuuu Xuv + (Γvuu )v Xv + Γvuu Xvv + ev η + eηv
= (Γuuu )v Xu + Γuuu (Γuuv Xu + Γvuv Xv + f η) + (Γvuu )v Xv
+Γvuu (Γuvv Xu + Γvvv Xv + gη) + ev η + e(cXu + dXv )
= ((Γuuu )v + Γuuu Γuuv + Γvuu Γuvv − ec)Xu
+((Γvuu )v + Γuuu Γvuv + Γvuu Γvvv − ed)Xv + (f Γuuu + gΓvuu + ev )η
y de la misma forma,
Xuvu = ((Γuuv )u + Γuuv Γuuu + Γvuv Γuuv + f a)Xu
+((Γvuv )u + Γuuv Γvuu + Γvuv Γvuv − f b)Xv + (f Γuuu + gΓvuu + ev )η
Ya que Xuuv = Xuvu , podemos comparar as respectivas componentes y obtenemos que

(Xu ) :
(Γuuu )v + Γuuu Γuuv + Γvuu Γuvv − ec = (Γuuv )u + Γuuv Γuuu + Γvuv Γuuv + f a





(Xv ) :
(Γvuu )v + Γuuu Γvuv + Γvuu Γvvv − ed = (Γvuv )u + Γuuv Γvuu + Γvuv Γvuv − f b
(::)





(η) :
f Γuuu + gΓvuu + ev = f Γuuu + gΓvuu + ev .
Análogamente si comparamos Xuvv = Xvvu , obtenemos que
(Xu ) :
(Γuuv )v + Γuuu Γuuv + Γvuv Γuvv − f c = (Γuvv )u + Γuvv Γuuu + Γvvv Γuuv − ga
(Xv ) :
(Γvuv )v + Γuuv Γvuv − f d = (Γvvv )u + Γuvv Γvuu − gb
(η) :
fv + f Γuuv + gΓvuv = ηu + eΓuvv + f Γvvv .
De las dos ecuaciones anteriores con componente normal se siguen las Ecuaciones de
Codazzi :
ev − fu = eΓuuv + f (Γvuv − Γuuu ) − gΓvuu
fv − gu = eΓuvv + f (Γvvv − Γuuv ) − gΓvuv .
eg − f 2
, y de las ecuaciones anteriores para a, b, c, d junto
EG − F 2
con las cuatro ecuaciones envolviendo las componentes tangentes de Xu y Xv , obtenemos
las Ecuaciones de Gauss
EK = (Γvuu )v − (Γvuv )u + Γuuu Γvuv + Γvuu Γvvv − Γuuv Γvuu − (Γvuv )2
Utilizando el hecho que K =
F K = (Γuuv )u − (Γuuu )v + Γvuv Γuuv − Γvuu Γuvv
F K = (Γvuv )v − (Γvvv )u + Γuuv Γvuv − Γuvv Γvuu
GK = (Γuvv )u − (Γuuv )v + Γuvv Γuuu + Γvvv Γuuv − (Γuuv )2 − Γvuv Γuvv .
65
Por ejemplo, para determinar la primera ecuación de Gauss, usamos las segunda ecuación
de (::), ası́ obtenemos
(Γvuu )v − (Γvuv )u + Γuuu Γvuv + Γvuu Γvvv − Γuuv Γvuu − (Γvuv )2 =
1
E(eg − f 2 )
(e[−f
F
+
gE]
+
f
[eF
−
f
E])
=
= EK.
EG − F 2
EG − F 2
Las otras ecuaciones de Gauss se deducen de forma análoga.
= ed − f b =
Observación 5.3. En una parametrización X que llamamos ortogonal por tener F =
Xu · Xv = 0, usando las Ecuaciones de Gauss dadas anteriormente podemos obtener la
siguiente fórmula para calcular la curvatura de Gauss:
µµ
¶
µ
¶ ¶
1
Eu
Gu
√
K=− √
+ √
(∗ ∗ ∗∗)
2 EG
EG v
EG u
Teorema 5.4. (Teorema Egregio de Gauss) La curvatura de Gauss es determinada solamente por la primera forma fundamental I. Es decir, K puede ser calculada solamente de
E, F, G, y de sus primeras y segundas derivadas parciales.
Demostración: Desde cualquiera de las Ecuaciones de Gauss dadas, vemos que la curvatura de Gauss K se puede calcular conociendo E, F, G, junto con los sı́mbolos de
Christoffel y sus derivadas. Mas como ya vimos los sı́mbolos de Christoffel en (∗∗) y de
aquı́ cualquiera de sus derivadas pueden ser calculados en términos de E, F, G, y de sus
primeras y segundas derivadas parciales. Por lo tanto, podemos concluir que K es determinado solamente por la primera forma fundamental. Es decir la curvatura de Gauss es
un concepto puramente intrı́nseco. ¤
Corolario 5.5. Si dos superficies son localmente isométricas, entonces sus curvaturas de
Gauss en puntos correspondientes son iguales.
Por ejemplo, el plano y el cilindro son superficies localmente isométricas. Entonces usando
el corolario anterior podemos concluir que el cilindro es una superficie llana, es decir de
curvatura de Gauss K = 0.
Una otra consecuencia del corolario anterior es que el plano y cualquier esfera no son
localmente isométricos, pues una esfera en todos sus puntos tiene curvatura de Gauss
positiva.
En particular, podemos afirmar que no existe ninguna manera de aplicar una esfera “fielmente” (preservando distancia) - incluso localmente - sobre un pedazo de papel (plano).
El siguiente resultado es una aplicación de las ecuaciones de Codazzi:
Lema 5.6. Supongamos que X es una parametrización para la cual las curvas coordenadas u = u0 y v = v0 son lineas de curvatura, con curvaturas principales κ1 y κ2 ,
respectivamente. Entonces tenemos que
Gu
Ev
(κ2 − κ1 ) y
(κ2 )u =
(κ2 − κ1 ).
(κ1 )v =
2E
2G
66
Demostración:
por
Sabemos que la matriz del operador forma en la base {Xu , Xv } es dada
·
[SP ] =
mas [SP ] verifica que
·
E F
F G
k1 0
0 k2
¸
·
[SP ] =
¸
,
e f
f g
¸
,
ası́ obtenemos que
e = κ1 E, g = κ2 G, F = f = 0.
Aplicando la primera ecuación de Codazzi y las ecuaciones que determinan los sı́mbolos
de Christoffel intrinsécamente, obtenemos la siguiente ecuación:
1
(κ1 )v E + κ1 Ev = ev = κ1 EΓuuv − κ2 GΓvuu = Ev (κ1 + κ2 ),
2
y por lo tanto,
Ev
(κ1 )v =
(κ2 − κ1 ).
2E
La otra ecuación sigue análogamente de la segunda ecuación de Codazzi. ¤
6.
Teorema fundamental de la Teorı́a de Superficies
Antes de presentar el teorema fundamental de superficies probaremos el siguiente resultado
sobre referenciales a lo largo de curvas diferenciables.
Lema 6.1. Sean α, α∗ : [0, b] → R3 aplicaciones diferenciables, {V1 (t), V2 (t), V3 (t)} y
{V1∗ (t), V2∗ (t), V3∗ (t)} dos bases de R3 variando diferenciablemente en [0, b] tales que:
Vi (t) · Vj (t) = Vi∗ (t) · Vj∗ (t) =: gij (t) i, j = 1, 2, 3,
P
P
∗
α0 (t) = 3i=1 pi (t)Vi (t) y α 0 (t) = 3i=1 pi (t)Vi∗ (t),
P
P
∗
Vi0 (t) = 3j=1 qij (t)Vi (t) y Vi 0 (t) = 3j=1 qij (t)Vi∗ (t), i = 1, 2, 3.
Si α(0) = α∗ (0) y Vi (0) = Vi∗ (0), i = 1, 2, 3, entonces
α(t) = α∗ (t)
Vi (t) = Vi∗ (t),
y
Demostración: Definimos las
t una matriz, como sigue:

v11 (t) v12 (t)

M (t) = v21 (t) v22 (t)
v31 (t) v32 (t)
∀t ∈ [0, b], i = 1, 2, 3.
funciones M y M ∗ que asignan a cada valor del parámetro

v13 (t)
v23 (t) 
v33 (t)

y

∗ (t) v ∗ (t) v ∗ (t)
v11
12
13
∗ (t) v ∗ (t) v ∗ (t) 
M ∗ (t) =  v21
22
23
∗ (t) v ∗ (t) v ∗ (t)
v31
32
33
donde las entradas de cada matriz son dadas por
Vi (t) =
3
X
j=1
vij (t)ej
y
Vi∗ (t) =
3
X
j=1
∗
vij
(t)ej , ∀t ∈ [0, b], i = 1, 2, 3,
6. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA TEORÍA DE SUPERFICIES
67
aqui {e1 , e2 , e3 } es la base canónica de R3 .
Ası́, la función Q que asigna a cada t la matriz


q11 (t) q12 (t) q13 (t)
Q(t) =  q21 (t) q22 (t) q23 (t)  ,
q31 (t) q32 (t) q33 (t)
verifica que
M 0 (t) = Q(t)M (t)
donde
M0
y
M ∗0
y
M ∗0 (t) = Q(t)M ∗ (t),
son las derivadas de primera orden de M y
M∗
t ∈ [0, b],
respectivamente.
Por otro lado, la matriz transpuesta de M (t) es denotada por M T (t), entonces la matriz


g11 (t) g12 (t) g13 (t)
G(t) = M (t)M T (t) =  g21 (t) g22 (t) g23 (t)  ,
g31 (t) g32 (t) g33 (t)
es invertible, pues {V1 (t), V2 (t), V3 (t)} es una base de R3 para cada t ∈ [0, b].
Ahora derivamos la ecuación G(t)G−1 (t) = I, donde G−1 (t) y I denotan la matriz inversa
de G(t) y la matriz identidad de orden 3 respectivamente. Ası́, obtenemos que:
G0 (t)G−1 (t) + G(t)(G−1 )0 (t) = 0
⇒
(G−1 )0 (t) = −G−1 (t)G0 (t)G−1 (t).
Análogamente derivando la ecuación G(t) = M (t)M T (t), obtenemos:
G0 (t) = M 0 (t)M T (t) + M (t)[M 0 (t)]T
= Q(t)M (t)M T (t) + M (t)[Q(t)M (t)]T = Q(t)G(t) + G(t)QT (t)
Del siguiente cálculo,
0
[(M ∗ )T G−1 M ]0 = (M ∗ )T G−1 M + (M ∗ )T (G−1 )0 M + (M ∗ )T G−1 M 0
= (QM ∗ )T G−1 M + (M ∗ )T (−G−1 G0 G−1 )M + (M ∗ )T G−1 QM
= (M ∗ )T QT G−1 M − (M ∗ )T G−1 (M 0 M T + M (M 0 )T )G−1 M
+ (M ∗ )T G−1 QM
∗
= (M )T QT G−1 M − (M ∗ )T G−1 QM − (M ∗ )T QT G−1 M
+ (M ∗ )T G−1 QM
= 0,
se sigue que (M ∗ (t))T (G(t))−1 M (t) es constante. Como M (0) = M ∗ (0), obtenemos que
(M ∗ )T (0)G−1 (0)M (0) = M T (0)[M (0)M T (0)]−1 M
= M T (0)[M T (0)]−1 [M (0)]−1 M (0) = I,
Ası́, (M ∗ (t))T (G(t))−1 M (t) = I,
∀t ∈ [0, b].
Luego, M ∗ (t) = M (t) y de aquı́ Vi (t) = Vi∗ (t), para cada i = 1, 2, 3. Por lo tanto,
α∗0 (t) − α0 (t) = 0,
Ya que,
α∗ (0)
= α(0) podemos concluir que
α∗ (t)
∀t ∈ [0, b].
= α(t) para todo t ∈ [0, b].
¤
68
Teorema 6.2. (Teorema fundamental de la Teorı́a de Superficies)
Unicidad: Dos superficies parametrizadas X, X ∗ : U → R3 son congruentes si, y sólo si,
I = I ∗ y II = ±II ∗ .
Existencia: Dadas las funciones diferenciables
E, F, G, e, f, g con E > 0, EG − F 2 > 0,
y satisfaciendo las ecuaciones de Gauss y Codazzi. Entonces existe (localmente) una superficie parametrización X tal que la primera y segunda formas fundamentales son I y II,
respectivamente.
Demostración: Para una demostración de la afirmación de existencia necesitarı́amos
algunos teoremas de ecuaciones diferenciales que salen fuera del espı́ritu de estas notas
(ver [3] y [4]).
Por tanto vamos probar la unicidad: Primero supongamos que X ∗ = Ψ ◦ X para algún
movimiento rı́gido Ψ : R3 → R3 dado por Ψ(x) = Ax + V para algún V ∈ R3 y alguna
matriz ortogonal A de orden 3 × 3 con det(A) = ±1.
Ya que las traslaciones no alteran las derivadas parcial, podemos suponer sin perdida de
generalidad que V = 0.
Por otro lado, las matrices ortogonales preservan la longitud y el producto interno de
vectores, ası́ del siguiente cálculo:
E ∗ = Xu∗ · Xu∗ = kXu∗ k2 = kAXu k2 = kXu k2 = Xu · Xu = E,
F ∗ = Xu∗ · Xv∗ =
1
2
¡ ∗
¢
kXu + Xv∗ k2 − kXu∗ k2 − kXv∗ k2
=
1
2
¡
¢
kA(Xu + Xv )k2 − kXu k2 − kXv k2
=
1
2
¡
¢
kXu + Xv k2 − kXu k2 − kXv k2 = Xu · Xv = F,
G∗ = Xv∗ · Xv∗ = kXv∗ |k2 = kAXv |k2 = kXv |k2 = Xv · Xv = G,
½
η ∗ = Aη si det(A) = 1,
concluimos que I ∗ = I. Por otro lado,
∗
η = −Aη si det(A) = −1.
Luego,
½
∗
∗
Xuu
∗
f =
∗
Xuv
∗
∗
Xvv
e =
∗
· η = AXuu · (±Aη) = ±e =
½
∗
· η = AXuv · (±Aη) = ±f =
½
g =
∗
· η = AXvv · (±Aη) = ±g =
e, si det(A) = 1,
−e, si det(A) = −1.
f, si det(A) = 1,
−f, si det(A) = −1.
g, si det(A) = 1,
−g, si det(A) = −1.
Por lo tanto,
½
∗
II =
69
II, si det(A) = 1,
−II, si det(A) = −1.
Recı́procamente, supongamos que I ∗ = I y II = ±II ∗ . Por composición de X ∗ con una
reflexión, si es necesario, podemos asumir que II = II ∗ .
Fijamos un punto U0 ∈ U . Por composición de X ∗ con un movimiento rı́gido, podemos
asumir que en el punto U0 vale:
X ∗ = X, Xu = Xu∗ , Xv = Xv∗
y η = η ∗ (¿Porqué?).
Escogemos un punto arbitrario U1 ∈ U y unimos U0 a U1 por la curva γ y aplicamos el
Lema anterior con:
α = X ◦ γ,
V1 = Xu ◦ γ, V2 = Xv ◦ γ,
V3 = η ◦ γ, pi = x0i
y qij
son descritos por las ecuaciones (∗) y (∗ ∗ ∗). Ya que, I = I ∗ y II = II ∗ , las mismas
ecuaciones valen para α∗ = X ∗ ◦ γ.
Ası́, concluimos que X(U1 ) = X ∗ (U1 ) como querı́amos.
Esto prueba que las dos superficies parametrizadas son congruentes (idénticas).
7.
¤
Lista de ejercicios 2
1. Determinar una parametrización de la esfera unitaria de R3 dada por la proyección
estereográfica del polo sur, la cual asocia a cada punto de (u, v) ∈ R2 el punto
(6= (0, 0, −1)) que es obtenido de intersección de la esfera unitaria con la recta que
pasa por los puntos (0, 0, −1) y (u, v, 0).
2. Supongamos que α(t) = X(u(t), v(t)), a ≤ b, es una curva parametrizada sobre
una superficie M . Probar que
Z bq
Lα =
Iα(t) (α0 , α0 )dt
a
Z bp
=
E(u, v)(u0 )2 + 2F (u, v)u0 v 0 + G(u, v)(v 0 )2 dt.
a
En particular, probar que si α y α∗ son curvas parametrizadas sobre las superficies
isométricas M y M ∗ , respectivamente, entonces
Lα = Lα∗
3. Determinar la primera forma fundamental I (E, F y G) para las siguientes superficies parametrizadas.
a) La esfera de radio a: X(u, v) = a(sen u cos v, sen u sen v, cos u).
b) El toro: X(u, v) = ((a + b cos u) cos v, (a + b cos u) sen v, b sen u), 0 < b < a.
c) El helicoide: X(u, v) = (u cos v, u sen v, bv).
d ) El catenoide: X(u, v) = a(cosh u cos v, cosh u sen v, u).
4. Determinar la área de la siguientes superficies parametrizadas.
70
a) El toro: X(u, v) = ((a + b cos u) cos v, (a + b cos u) sen v, b sen u), 0 < b < a.
0 ≤ u, v ≤ 2π.
b) Una parte del helicoide: X(u, v) = (u cos v, u sen v, bv), 1 < u < 3, 0 ≤ v ≤ 2π.
c) Una región de la esfera: X(u, v) = a(sen u cos v, sen u sen v, cos u), 0 ≤ u0 ≤
u ≤ u1 , 0 ≤ v ≤ 2π.
5. Probar que si todas las rectas normales a una superficie pasan por un punto
fijo, entonces la superficie es (una parte de) una esfera. (Por recta normal a una
superficie M en P entendemos la recta que pasa por P con dirección un vector
normal en P .)
6. Verifique que parametrización una proyección estereográfica de la esfera es una
parametrización conforme.
7. Considere el hiperboloide de una hoja, M , dado por la ecuación x2 + y 2 − z 2 = 1.
a) Probar que
X(u, v) = (cosh u cos v, cosh u sen v, senh u),
es una parametrización de M como una superficie de revolución.
b) Determinar dos parametrizaciones de M como una superficie reglada Y (u, v) =
α(u) + vβ(u)
c) Probar que
µ
¶
uv + 1 u − v u + v
X(u, v) =
,
,
uv − 1 uv − 1 uv − 1
es una parametrización de M .
8. Mostrar que la aplicación X(u, v) : R × [0, 2π) → R3 dada por
X(u, v) = (sech u cos v, sech u sen v, tanh u),
es una parametrización de la esfera unitaria de R3 . Esta parametrización es llamada la proyección de Mercator.
9. Supongamos que X y Y son parametrizaciones de M en P = X(u0 , v0 ) = Y (s0 , t0 ).
Probar que el plano tangente generado por Xu (u0 , v0 ), Xv (u0 , v0 ) coincide con el
plano generado por Ys (s0 , t0 ), Yt (s0 , t0 ). (Indicación: considere la función llamada
cambio de coordenadas f = X −1 ◦ Y que es una aplicación de clase C 1 definida de
un subconjunto abierto de (s0 , t0 ) en un subconjunto abierto de (u0 , v0 ). Luego,
aplique la regla de la cadena para mostrar que
Ys (s0 , t0 ), Yt (s0 , t0 ) ∈ Span{Xu (u0 , v0 ), Xv (u0 , v0 )}.)
10. Existen dos familias (naturales) de cı́rculos sobre un toro. Encuentre una tercera
familia de cı́rculos sobre el toro.
11. Si una superficie parametrizada no posee puntos umbilicales y sus curvas coordenadas son lineas de curvatura, entonces verifique que F = f = 0 y que sus
g
e
y κ2 = . Recı́procamente, probar que si
curvaturas principales son κ1 =
E
G
F = f = 0, entonces las curvas coordenadas son lineas de curvatura.
71
12. Muestre que la matriz que representa la aplicación lineal Sp : Tp M → Tp M con
respecto a la base {Xu , Xv } es dada por
·
¸−1 ·
¸
E F
e f
−1
.
Ip IIP =
F G
f g
(Indicación: Escriba SP (Xu ) = aXu + bXv y SP (Xv ) = cXu + dXv , y use la
definición de e, f y g para obtener un sistema de ecuaciones lineales en términos
de a, b, c y d).
13. Verifique a partir de la definición de la curvatura de Gauss que
eg − f 2
.
EG − F 2
14. Calcular la segunda forma fundamental IIP de las siguientes superficies parametrizadas. Luego, determinar la matriz del operador segunda forma fundamental, y
calcular H y K.
a) El cilindro: X(u, v) = (a cos u, a sen u, v).
b) El toro:
K=
X(u, v) = ((a + b cos u) cos v, (a + b cos u) sen v, b sen u), (0 < b < a).
c) El helicoide: X(u, v) = (u cos v, u sen v, bv).
d ) El catenoide: X(u, v) = a(cosh u cos v, cosh u sen v, u).
e) La parametrización de Mercator de la esfera:
X(u, v) = (sech u cos v, sech u sen v, tanh u).
15. Encuentre las curvaturas principales, las direcciones principales y las direcciones
asintóticas (cuando ellas existan) para cada una de las superficies parametrizadas
del ejercicio anterior. Identifique las lineas de curvatura y las curvas asintóticas.
16. Probar que cualquier hélices
α(t) = (a cos t, a sen t, bt),
es una curva asintótica del helicoide dado por
X(u, v) = (u cos v, u sen v, bv), u ≥ 0, v ∈ R.
También, calcular como la normal η a la superficie cambia cuando se mueve a
lo largo de una generatrices lineares “ruling”, y use esto para explicar que las
generatrices lineares “rulings” son curvas asintóticas.
17. Calcule la primera y la segunda forma fundamental de la pseudoesfera que es dada
por
X(u, v) = (u − tanh u, sech u cos v, sech u sen v), u > 0, v ∈ [0, 2π),
y Determinar las curvaturas principales y la curvatura de Gauss.
18. Demostrar que una superficie reglada tiene curvatura de Gauss K ≤ 0.
19. Probar que las direcciones principales bisecan las direcciones asintóticas. (Indicación: Use la fórmula de Euler).
20. Probar que si las direcciones asintóticas de M son ortogonales, entonces M es una
superficie minimal. Probar la recı́proca suponiendo que M no tiene puntos planos.
72
21. Sea κη (θ) la curvatura normal en la dirección que realiza un ángulo θ con la primera
dirección principal.
R 2π
1
a) Probar que H = 2π
0 κη (θ)dθ.
b) Demostrar que
1³
π ´
H=
κη (θ) + κη (θ + )) , ∀θ.
2
2
22. Considere la superficie reglada M dada por
X(u, v) = (v cos u, v sen u, uv), v > 0.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
a) Describa esta superficie geométricamente.
b) Encontrar la primera y la segunda formas fundamentales y la curvatura de
Gauss de M .
c) Verificar que las curvas coordenadas v = v0 son lineas de curvatura.
d ) Probar que las otras lineas de curvatura son dadas por la ecuación vsqrt1 + u2 =
c para varias constantes c. Probar que esas curvas son la intersección de M
con la esfera x2 + y 2 + z 2 = c2 .
Aplique la fórmula de Meusnierfs para calcular la curvatura normal de un cı́rculo
de latitud en una esfera de radio a.
Demuestre que la curvatura de cualquier curva sobre la esfera de radio a satisfaz
que su curvatura κ ≥ a1 .
Probar o dar un contra ejemplo: Si M es una superficie con curvatura de Gauss
K > 0, entonces la curvatura de cualquier curva en M is siempre positiva. (Observe
que una curva espacial por definición es siempre no negativa).
Probar que α es una linea de curvatura en una superficie M si, y sólo si, (n◦α)0 (t) =
−κ(t)α0 (t), donde κ(t) es a curvatura principal en α(t) en la dirección α( t).
Supongamos que dos superficies M y M ∗ se interceptan a lo largo de una curva β.
Supongamos que β es una linea de curvatura en M . Probar que β es una linea de
curvatura en M si, y sólo si, el ángulo entre M y M ∗ es contante a lo largo de β.
Probar o dar un contra ejemplo:
a) Si una curva parametrizada en una superficie es al mismo tiempo una curva
asintótica y una linea de curvatura, entonces la curva es una curva plana (es
decir, esta contenida en un plano).
b) Si una curva plana y una curva asintótica, entonces el puede ser una recta.
Supongamos que la curvatura de Gauss en P ∈ M es K(P ) < 0. Si β es una curva
asintótica con curvatura κ(P ) 6= 0, pruebe que su torsión satisfaz
p
|τ (P )| = −K(P )
(Indicación: Escoja una base ortonormal {U, V } para el espacio tangente TP M
con U tangente a β, entonces determine la matriz del operador segunda forma
fundamental SP .)
30. Demuestrar que si K(P ) < 0, entonces las dos curvas asintóticas tienen torsión de
signos opuestos en P .
73
31. Probar que la única superficie reglada minimal sin puntos planos es el helicoide.
(Indicación: Considere las curvas ortogonales a cada vector director de una generatriz rectilı́nea “rulings”. Utilice los Ejercicio 8b y 1.2.19.)
32. Sea M es una superficie de revolución. Considere los meridianos de M como gráficos y = h(u), z = u. Entonces las siguientes afirmaciones valen:
a) Las curvaturas principales de M son dadas por
κ1 =
h00
1
.
y κ2 = − p
3/2
0
2
(1 + (h ) )
h 1 + (h0 )2
b) La curvatura media H = 0 si, y sólo si, h(u)h00 (u) = 1 + (h0 (u))2 .
c) La función h dada por h(u) = 1c cosh(cu + b) es solución de h(u)h00 (u) =
1 + (h0 (u))2 . para b, c constantes.
33. Determinar los sı́mbolos de para el cono dado por
X(u, v) = (u cos v, u sen v, u).
34. Verifique que para una superficie parametrizada con E = G = λ(u, v) y F = 0, la
curvatura de Gauss es dada por
1
K = − ∇2 (ln λ)
2
2
2
∂ f
∂ f
Aquı́ ∇2 f =
+ 2 es el Laplaciano de f
2
∂u
∂v
35. Calcular los sı́mbolos de Christoffel de las siguientes superficies parametrizadas.
Entonces verifique en cada caso la ecuación de Codazzi y la primera ecuación de
Gauss.
a) El plano, parametrizado por coordenadas polares
X(u, v) = (u cos v, u sen v, o).
b) Un helicoide:
X(u, v) = (u cos v, u sen v, v).
c) Un cono:
X(u, v) = (u cos v, u sen v, cu), c 6= 0.
d ) Una superficie de revolución
X(u, v) = (f (u) cos v, f (u) sen v, g(u)),
(f 0 (u))2
con
+ (g 0 (u))2 = 1
36. Probar que no existe una superficie minimal M ⊂ R3 .
37. Decidir si existe una superficie parametrizada X(u, v) con
a) E = G = 1, F = 0, e = 1 = −f, g = 0.
b) E = G = 1, F = 0, e = eu = f, m = 0.
c) E = 1, F = 0, G = cos2 u, e = cos2 u, m = 0, n = 1.
38. Probar que una superficie compacta diferenciable con curvatura de Gauss K > 0
y curvatura media constante es una esfera (Indicación: Modifique la demostración
del teorema 3.6).
74
39. Dar ejemplos de superficies parametrizadas no congruentes localmente X y X ∗ tal
que
a) I = I ∗
b) II = II ∗
(Indicación: Tente reparametrizar algún de los ejemplos simples de superficies
dadas.)
40. Sea X(u, v) = α(u)+vβ(u) una superficie parametrizada de una superficie reglada.
Probar que el plano tangente es constante a lo largo de las “rulings” (es decir, la
superficie es llana) si, y sólo si, α0 (u), β(u), y β 0 (u) son linealmente dependientes
para todo u.
41. Probar que una curva α es una linea de curvatura de M si, y sólo si, la superficie
reglada formada por las superficies normales a lo largo de α es llana.
42. Verifique que las curvaturas de Gauss de las superficies parametrizadas a seguir
X(u, v) = (u cos v, u sen v, v),
helicoide,
X ∗ (u, v) = (u cos v, u sen v, ln u),
coinciden en cada punto (u, v), sin embargo, las primeras formas fundamentales I
y I ∗ no coinciden en cada punto P = X(u, v) = X ∗ (u, v).
43. Sea X : U → R3 una parametrización regular de una superficie M tal que las
curvas coordenadas u = u0 y v = v0 son ortogonales. Supongamos que las curvas
coordenadas v = v0 son curvas asintóticas planas con curvatura distinta de cero.
Probar que M puede ser (un subconjunto) de un plano.
44. Consideramos las superficies parametrizadas
X(u, v) = (− cosh u sen v, cosh u cos v, u),
Y (u, v) = (u cos v, u sen v, v),
45.
46.
47.
48.
49.
(catenoide),
(helicoide).
a) Calcular la primera y segunda formas fundamentales de ambas superficies.
b) Probar que ambas superficies son minimales.
c) Determinar las curvas asintóticas de ambas superficies.
d ) Demostrar que ambas superficies son localmente isométricas.
e) ¿Porqué las dos superficies no son globalmente isométricas?
Encontrar las superficies de revolución con curvatura de Gauss K constante. Especı́ficamente, cuando K = 0, K = 1 y K = −1.
Probar que si M es una superficie llana sin puntos planos. Entonces M es una
superficie reglada cuyo plano tangente es contante en las direcciones de las generatrizes.
Suponga que M ⊂ R3 es una superficie compacta. Entonces pruebe que existe un
punto P ∈ M tal que la curvatura de Gauss K(P ) > 0.
Si M es una superficies compacta de curvatura de Gauss constante K, entonces
1
K > 0 y M puede ser una esfera de radio √ .
K
Sea P un punto de una superficie que no es un punto umbilical y con las curvaturas
principales verificando que κ1 (P ) > κ2 (P ). Suponiendo que κ1 tiene un punto de
75
máximo local en P y que κ2 tiene un punto de mı́nimo local en P . Entonces
K(P ) < 0.
Bibliografı́a
[1] ALENCAR, H. y SANTOS, W. - Geometria das Curvas Planas. Ed. Goiânia : Universidade
Federal de Goiás, 2002.
[2] ARAUJO, P. V., Geometria Diferencial, Coleccão Matemática Universitária, SBM, Rio de
Janeiro, 1998.
[3] DO CARMO, M. P., Elementos de Geometria Diferencial, Ao Livro Técnico S.A. e Editora
UnB, Rio de Janeiro, 1971.
[4] DO CARMO, M. P., Geometria Diferencial de Curvas e Superfı́cies, Coleccão Textos Universitários, SBM, Rio de Janeiro, 2005.
[5] Shifrin, Th., Differential Geometry: A firts course in curves and surfaces, Preliminary Version,
Fall, 2010.
[6] TENEMBLAT, K., Introduccão à Geometria Diferencial, Editora da UnB, Brası́lia, 1988.
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Una Introducción a la Geometr´ıa Diferencial en Espacios

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