ACTIVIDAD ACADÉMICAMENTE DIRIGIDA. TEMA DE GRUPOS

ACTIVIDAD ACADÉMICAMENTE DIRIGIDA. TEMA DE GRUPOS

UNIVERSIDAD DE JAÉN
ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR
Departamento de Matemáticas
(Área de Álgebra)
Curso 2010/11
ACTIVIDAD ACADÉMICAMENTE DIRIGIDA.
TEMA DE GRUPOS. Curso 2010-2011
1. (Febrero 2011) Razonar si son verdaderas o falsas, incluyendo toda la teoría necesaria, cada afirmación
que aparece en las siguientes cuestiones:
a) ä * es un grupo conmutativo. En caso afirmativo, calcular el neutro y el simétrico del
elemento (0, 2)
b) ä es grupo y tiene algún subgrupo propio.
c) El grupo (S4, ë) tiene subgrupos de orden 5.
d) Existe sœS4, que no es un ciclo, entonces s 6 = I.
e) Para toda sœS4, entonces s 4 = I.
2. (Septiembre 2010) Razonar si el cuerpo de los números complejos es un grupo con la siguiente
operación:
Para dos complejos x e y:
x ∗ y = ixy (i es la unidad compleja).
3. (Junio 2010) No se hace
(AAD 2010) Se considera la siguiente permutación de S20:
a. Calcular su paridad.
b. Calcular σ12 y σ125322.
c. Demostrar que H ={sk : kœ} es subgrupo. Calcular |H|
4. (Febrero 2010) Sea t una trasposición de Sn. Demostrar que el conjunto
H ={tk : kœ}
es subgrupo de Sn Calcular |H|.¿Es subgrupo de An? Calcular el inverso de t.
5. (Diciembre 08)
a) Definir grupo simétrico y subgrupo alternado. Enunciar el teorema de Lagrange.
b) Razonar si 2 ä 2 es isomorfo a S4 .
c) Calcular, si es posible, subgrupos de 2 y 3 elementos de 2 ä 2 . Razonar la respuesta.
6. (Prueba AAD 2010)
6.1. En el conjunto de los números reales se define la operación:
x∗y = x + y - x y
Demostrar si se verifica la propiedad del elemento neutro.
6.2. Consideremos el grupo G = 3, siendo el cuerpo de los números complejos. Se definen
H1 ={ (a, 0, a + c) : a, c œ } y H2 ={ (a, 0, i c) : a, c œ }
i. Razonar si H1 es un subgrupo de G.
ii. Razonar si H2 es un subgrupo de G.
6.3. Sea σ ∈ S200, σ = (2 3 7)(12 3 4 7 5)(19 2 4 3 7 9).
a) Razonar si σ es un ciclo
b) Razonar si σ ∈ A200.
c) Determinar la paridad del número de inversiones.
d) Determinar el numero de elementos que aparecen en la clase lateral de σ a izquierda de A200.
e) Determinar el numero de clases laterales a izquierda de A200
f) Calcular σ13
g) Calcular el inverso de σ .