Grupos

Grupos
Viernes 8 de septiembre 2006
Ejercicio 1. |G| = 96 (Enero 2005 I)
Prueba que si |G| = 96 entonces g contiene un subgrupo normal o bien de orden 32 o bien de
orden 16.
Ejercicio 2. Subgrupo de indice 2 (Diciembre 2003 I)
Suponga que G 6 S6 contiene un elemento de orden 6. Demuestre que existe H 6 G tal que
[G : H] = 2.
Ejercicio 3. (Enero 2005 II)
Sea G un grupo con |G| = n y H un subgrupo no trivial de G con |H| = m. Sunpongamos
n
−1
que para todo g ∈ G tal que g ∈
/ H se tiene que H ∩ gHg −1 = {1}. Probar que existen m
elementos de G que no están en ningún subgrupo conjugado de H.
Ejercicio 4. Todo subgrupo propio es finito y cı́clico (Enero 2002 II)
Sea p un número primo. Considere el grupo multiplicativo
n
G = {z ∈ C : z p = 1 para algún n ∈ N}
Demuestre que todo subgrupo propio de G es finito y cı́clico. ¿ Es G finitamente generado ?
Ejercicio 5. (Z/pZ)∗ es cı́clico
Sean n un entero, p un primo y ϕ la función de Euler.
1) Prueba que
X
n=
ϕ(d)
d|n
2) Sea d un dividor de n = p − 1. Prueba que o bien no hay nigún elemento de orden d en
(Z/pZ)∗ , o bien hay exactamente ϕ(d).
3) Concluir. ¿ Funciona tambien esta prueba para un p no primo ?
Ejercicio 6. Collares de perlas
Una mujer quiere cada dı́a ponerse un collar nuevo. Un collar se forma con n perlas, cada una
elegida entre p colores. Dos collares son identicos si y sólo si podemos pasar de uno a otro por
una rotación (no consideramos las simetrı́as...). ¿ Cuánto tiempo se puede vivir con esta mujer ?
Ejercicio 7. Subgrupos transitivos
El grupo de permutaciónes Sn actua naturalmente sobre el conjunto {1, . . . , n}. Sea n un entero,
n 6 6. ¿ Tenemos lo siguiente ?
“Los subgrupos de Sn que actuan transitivamente son los subgrupos de orden un multiplo de n.”
Ejercicio 8. Grupos de orden p2 , pq, pq 2
Sean p y q dos números primos distinctos.
1) Prueba que un grupo de orden p2 es abeliano.
2) ¿Cuántos grupos de orden pq hay ? (modulo isomorfismo)
3) Prueba que un grupo de orden pq 2 no es simple.
1