Desigualdad de Cauchy-Schwarz - División de Ciencias Básicas

Desigualdad de Cauchy-Schwarz - División de Ciencias Básicas

PROBLEMAS RESUELTOS
ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
SUBTEMA: DESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ
Problema 1: En el espacio vectorial real \ 2 está definido el producto interno:
(u v ) = u v + 2u v
1 1
∀ u = ( u1 , u2 ) , v = ( v1 , v2 ) ∈ \ 2
2 2
Determinar mediante la desigualdad de Cauchy-Schwarz, el valor de k ∈ \ para el cual el
conjunto A = {u, v} , donde u = ( k + 5, k − 1) y v = ( −2,1) , es linealmente dependiente.
SOLUCIÓN:
* La desigualdad de Cauchy-Schwarz para u y v linealmente dependientes queda:
(u v ) = (u u ) ⋅ (v v )
2
o´
(u v ) = u ⋅ v
* Calculando los productos internos:
(u v ) = ⎡⎣( k + 5, k − 1) ( −2,1)⎤⎦ = (k + 5)(−2) + 2(k − 1)(1) = −2k − 10 + 2k − 2
(u v ) = −12
(u u ) = ⎡⎣( k + 5, k − 1) ( k + 5, k − 1)⎤⎦ = (k + 5)(k + 5) + 2(k − 1)(k − 1)
= k 2 + 10k + 25 + 2k 2 − 4k + 2
(u u ) = 3k
2
+ 6k + 27
( v v ) = ⎡⎣( −2,1) ( −2,1)⎤⎦ = (−2)(−2) + 2(1)(1) = 4 + 2
(v v) = 6
* Calculando el módulo:
(u v ) = −12 = 12
* Sustituyendo en la desigualdad de Cauchy-Schwarz:
DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS
FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM
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COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS
Profra. Norma Patricia López Acosta
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Tema 4. Espacios con Producto Interno
(
u v
)
2
=
(u u ) ⋅ (v v )
(1 2 ) 2 = ( 3 k
2
144 = 18k
+ 36k + 162
18k
2
18k
2
∴ k
+ 36k + 162 − 144 = 0
+ 36k + 18 = 0
2
18(k
2
2
+ 2 k + 1) = 0
+ 2k + 1 = 0
* Se sabe que k =
k=
+ 6 k + 2 7 )(6 )
−b ± b 2 − 4ac
, por lo tanto:
2a
−2 ± (−2) 2 − 4(1)(1) −2 ± 4 − 4 −2
=
=
= −1
2(1)
2
2
∴ Para k = −1 el conjunto A es linealmente independiente.
Problema 2: En el espacio vectorial real P≤2 de los polinomios de grado menor o igual a
2 con coeficientes reales, está definido el producto interno:
1
( p q ) = ∑ p(i)q(i)
i =−1
Determinar, mediante la desigualdad de Cauchy-Schwarz, si el conjunto
A = { x 2 + 1, x 2 − x} es linealmente dependiente o independiente.
SOLUCIÓN:
* Definiendo la función:
( p q ) = p(−1)q(−1) + p(0)q(0) + p(1)q(1)
← producto interno dado
* Desigualdad de Cauchy-Schwarz:
( p q)
2
≤ ( p p) ⋅ (q q)
* Si se consideran a los vectores del conjunto A como A = { p, q} donde p = x 2 + 1 y
q = x 2 − x ; evaluando los vectores:
x = −1;
p(−1) = (−1) 2 + 1 = 2;
q (−1) = (−1) 2 − (−1) = 2
x = 0;
p(0) = (0) 2 + 1 = 1;
q(0) = (0) 2 − 0 = 0
x = 1;
p(1) = (1) 2 + 1 = 2;
q (1) = (1)2 − 1 = 0
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Tema 4. Espacios con Producto Interno
* Calculando los productos internos:
( p q ) = (2)(2) + (1)(0) + (2)(0) = 4
( p p ) = (2)(2) + (1)(1) + (2)(2) = 9
( q q ) = (2)(2) + 0 + 0 = 4
( p q) = 4 = 4 = 4
2
* Sustituyendo en la desigualdad:
(4) 2 ≤ (9)(4)
16 ≤ 36
16 < 36
Por tanto, el conjunto A es linealmente independiente.
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