Solución de F. Damián Aranda Ballesteros profesor de Matemáticas

Solución de F. Damián Aranda Ballesteros profesor de Matemáticas

Problema 217
Propuesto por William Rodríguez Chamache.
Profesor de Geometría de la "Academia Integral Class" Trujillo- Perú.
PG
GQ
Si ABC es rectángulo y “G” su baricentro calcula la relación:
Solución de F. Damián Aranda Ballesteros, profesor del IES Blas Infante de Córdoba.
Si nombramos, como es costumbre a los lados AB = c, BC = a, AC = b, tenemos que en este
triángulo rectángulo en B;
b2 = a2 + c2.
•
Si hb =BB’ entonces GQ= 1/3·hb. Como se tiene que hb = a·c/b, entonces GQ =
•
Para calcular el segmento PG, determinaremos el segmento PQ.
Como quiera que: < GOQ = 2·< C, tenemos que:
cos 2C =
OQ
OQ
=
=
1
OG
.OB
3
OQ
6.OQ
=
1 1
b
. .b
3 2
2
2
⎛ a ⎞ ⎛ c ⎞ a −c
cos 2C = cos C − sen C = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ =
b2
⎝b⎠ ⎝b⎠
2
2
2
2
Igualando ambas expresiones, deducimos que:
a 2 − c2
OQ =
6.b
•
Por otro lado,
•
c
PQ
c ⎛
b ⎞ c (a 2 − c 2 + 3b 2 ) c.(a 2 − c 2 + 3b 2 )
=
→ PQ = . ⎜ OQ + ⎟ = .
=
a OQ + b
a ⎝
2⎠ a
6b
6.a.b
2
c.(a 2 + b 2 )
c.(a 2 + b 2 ) a.c c.b
→ PG = PQ − GQ =
−
=
;
En definitiva, PQ =
3.a.b
3.a.b
3.b 3.a
b.c
2
PG
PG b 2
c.b
a.c
3.a = b ;
y GQ =
, de donde:
=
=
Por fin, PG =
GQ a.c
a2
GQ a 2
3.a
3.b
3.b
tagC =
•
a.c
3.b