Teoría - Departamento de Matemática Aplicada (DMA).

Teoría - Departamento de Matemática Aplicada (DMA).

Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM
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13.1
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Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes
Previo: Funciones complejas de variable real
Son funciones f : I −→ C, I ⊂ R, definidas como
(
f (x) = u(x) + i v(x) =⇒
u(x) = Re f
v(x) = Im f
Por definición, f es continua/derivable/integrable si lo son u y v. Además
f (k) (x) = u(k) (x) + i v (k) (x) ,
k≥1
Z b
Z b
Z b
f (x) dx =
u(x) dx + i
v(x) dx
a
a
a
La más importante función compleja de variable real es la función exponencial definida,
para λ = a + i b ∈ C, como
f (x) = eλx = eax (cos bx + i sen bx)
para todo x ∈ R. Es claro de la definición que
(
u(x) = Re eλx = eax cos bx
v(x) = Im eλx = eax sen bx
luego la función exponencial es continua, infinitamente derivable e integrable sobre cualquier intervalo. Se cumplen además las siguientes propiedades:
1. eλ1 x · eλ2 x = e(λ1 +λ2 )x . En particular eλx · e−λx = 1.
2.
d λx
dx e
Rβ
= λeλx .
λx dx =
α e
¯ ¯
4. ¯eλx ¯ = eax .
3.
13.2
£1
λx
λe
¤x=β
x=α
=
eλβ −eλα
,
λ
si λ 6= 0.
Definición
Llamaremos ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes de orden n a la
ecuación
a0 y (n) + a1 y (n−1) + . . . + an−1 y 0 + an y = b(x)
con ai ∈ R, 0 ≤ i ≤ n, y a0 6= 0, a la que en adelante nos referiremos como (ELC), siendo
su homogénea sociada la ecuación
a0 y (n) + a1 y (n−1) + . . . + an−1 y 0 + an y = 0
a la que en adelante nos referiremos como (ELH).
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13.3
2
Observación
Las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes son, por supuesto, ecuaciones diferenciales lineales, y como tales se pueden aplicar todos los resultados expuestos
en la sección anterior. En esta sección se dan métodos especı́ficos para resolverlas que no
son aplicables, en general, a las otras.
13.4
Definición
Llamaremos polinomio caracterı́stico de (ELC) al polinomio
P (λ) = a0 λn + a1 λn−1 + . . . + an−1 λ + an
y autovalor a cada una de sus raices (soluciones de P (λ) = 0).
Si λ es un autovalor, entonces P (λ) = 0, y por tanto
P (D)eλx = P (λ) · eλx = 0
luego y = eλx es solución de (ELH). De aquı́ se deriva la mejor manera de obtener soluciones particulares para la ecuación homogénea con coeficientes constantes.
13.5
Solución general de la ecuación homogénea
Distinguiremos varios casos:
1. Autovalores reales y distintos. Sean {λ1 , λ2 , . . . , λn } ⊂ R con λi 6= λj , para
i 6= j, los autovalores. En este caso
n
o
eλ1 x , eλ2 x , . . . , eλn x
son n soluciones linealmente independientes de (ELH), y su solución general será
cualquier combinación lineal de ellas, es decir:
y=
n
X
ci eλi x
;
ci ∈ R , 1 ≤ i ≤ n
i=1
2. Autovalores reales. Sean {λ1 , λ2 , . . . , λp } ⊂ R los autovalores
con multiplicidades
P
respectivamente {k1 , k2 , . . . , kp }, que deberán cumplir que pi=1 ki = n. En este caso
eλ1 x , xeλ1 x , . . . , xk1 −1 eλ1 x ,
eλ2 x , xeλ2 x , . . . , xk2 −1 eλ2 x ,
...,
...,
eλp x , xeλp x , . . . , xkp −1 eλp x
son n soluciones linealmente independiente de (ELH), y su solución general será
cualquier combinación lineal de ellas, es decir:
y=
p kX
i −1
X
i=1 j=0
con cji ∈ R, 1 ≤ i ≤ p, 0 ≤ j ≤ ki − 1.
cji xj eλi x
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3. Caso general. Sean {λ1 , λ2 , . . . , λp } ⊂ C los autovalores, reales o complejos, con
multiplicidades respectivamente {k1 , k2 , . . . , kp }. A cada autovalor le vamos a asignar
tantas soluciones de (ELH) linealmente independientes como indica su multiplicidad,
con lo que al final tendremos n soluciones linealmente independientes de (ELH) cuyas
combinaciones lineales nos darán la solución general de (ELH).
(a) Si λ ∈ R con multiplicidad k, le asignamos las k soluciones siguientes:
eλx , xeλx , . . . , xk−1 eλx
(b) Si λ = a + i b ∈ C es un autovalor con multiplicidad k, y puesto que los
coeficientes de P (λ) son reales, entonces λ = a − i b ∈ C será también autovalor
con la misma multiplicidad k. A estos dos autovalores, de multiplicidad k cada
uno de ellos, les asignamos las 2k funciones siguientes
eax sen bx , xeax sen bx , . . . , xk−1 eax sen bx ,
eax cos bx , xeax cos bx , . . . , xk−1 eax cos bx
13.6
Solución general de la ecuación completa
Para resolver la ecuación completa, una vez resuelta la homogénea, basta con hallar una
solución particular de la misma. Para ello podemos usar:
1. Similitud. Si b(x) = Pm (x)eµx , donde Pm representa un polinomio de grado m,
entonces (ELC) admite una solución particular de la forma
(
Qm (x)eµx
, si µ no es autovalor
y=
k
µx
x Qm (x)e
, si µ es autovalor de multiplicidad k
donde Qm es un polinomio de grado m que habrá que determinar.
2. Variación de constantes.
3. Principio de superposición.
13.7
Ecuación de Euler
Es la ecuación lineal de la forma
a0 (ax + b)n y (n) + a1 (ax + b)n−1 y (n−1) + . . . + an−1 (ax + b)y 0 + an y = b(x)
con ai ∈ R, 0 ≤ i ≤ n. El caso más frecuente es cuando a = 1 y b = 0, es decir
a0 xn y (n) + a1 xn−1 y (n−1) + . . . + an−1 xy 0 + an y = b(x)
Para resolverla se hace el cambio de variable independiente ax + b = et , de donde
dy
dy dt
=
·
= ae−t yt0
dx
dt dx
¡
¢
¡
¢
dy 0
dy 0 dt
y 00 =
=
·
= a e−t yt00 − e−t yt0 ae−t = a2 e−2t yt00 − yt0
dx
dt dx
·········
y0 =
·········
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donde el subı́ndice t indica que las derivadas son respecto de la nueva variable independiente t. Sustituyendo, nos queda una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes:
(n)
A0 yt
(n−1)
+ A1 yt
+ . . . + An−1 yt0 + An y = B(t)
con Ai ∈ R, 0 ≤ i ≤ n, que se resuelve y se deshace el cambio.
Nota: Al deshacer el cambio, sustituir t = ln |ax + b|.
Observación: En la ecuación de Euler es muy común que las soluciones particulares
de la ecuación homogénea sean de la forma
y = (ax + b)r
(y = xr en el caso a = 1 y b = 0)
por lo que es buena idea comenzar buscando soluciones particulares de este tipo, y si
encontramos n puede que evitemos hacer el cambio de variable.