Función Cuadrática Cepech - U

12345
6
78
901
567
8
90
Mate
m
a
á t i c 234
Tutorial
MT-m3
Matemática 2006
Tutorial Nivel Medio
Función cuadrática
Matemática 2006
Tutorial
Función Cuadrática
Marco Teórico
1. Función cuadrática:
Está representada por: y = ax2 + bx + c
ó f(x) = ax2 + bx + c
Su representación gráfica es una parábola.
1.1 Análisis de sus coeficientes:
•
a : concavidad de la parábola.
Si a> 0 , la parábola va hacia arriba.
Si a< 0, la parábola va hacia abajo.
a>0
•
a<0
c : punto de intersección de la parábola con el eje y.
1.2 Eje de simetría y vértice de la parábola:
Eje de simetría: x =
-b
2a
Vértice: V =
( 2a-b , f ( 2a-b ))
El vértice nos permite determinar los mínimos y máximos de la parábola.
Si a > 0, la parábola es abierta hacia arriba ⇒ existe mínimo.
Si a < 0, la parábola es abierta hacia abajo ⇒ existe máximo.
1.3 Puntos de intersección de la parábola con el eje x:
Utilizamos:
a) Si ∆ > 0 ⇒
b) Si ∆ = 0 ⇒
c) Si ∆ < 0 ⇒
Discriminante: ∆ = b2 - 4ac
la parábola intersecta al eje x en 2 puntos.
la parábola intersecta al eje x en 1 punto.
la parábola no intersecta al eje x.
1.4 Ecuación cuadrática: se obtiene al determinar los puntos de intersección de la parábola
con el eje x, haciendo y = 0.
Como: y = ax2 + bx + c
0 = ax2 + bx + c
(Reemplazando y)
⇒ ax2 + bx + c = 0 es una ecuación de segundo grado con una incógnita, donde el mayor
exponente es 2 y por lo tanto tiene 2 soluciones (reales o imaginarias). A las soluciones
también se les llama raíces o ceros.
2
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Matemática 2006
Para resolvela utilizaremos 2 métodos:
a) Factorización:
Ejemplo:
x2 - 2x - 35 = 0
(x - 7)⋅(x + 5) = 0
-7 ⋅ 5 = -35
-7 + 5 = -2
Cuando un producto es 0 ⇒ uno de ellos es 0 ∴ x – 7 = 0 ó x + 5 = 0 (Despejando x)
x = 7 ó x = -5
Entonces los puntos de intersección de la parábola con el eje x son (7,0) y (- 5,0)
√b2 - 4ac
b) Fórmula: x = -b ±
2a
1.4.1 Tipos de soluciones:
(Se utiliza cuando la factorización no es simple)
Dependen del valor del discriminante ∆ = b2 - 4ac
a) Si ∆ = 0 ⇒ tiene 2 soluciones reales e iguales
b) Si ∆ > 0 ⇒ tiene 2 soluciones reales distintas
c) Si ∆ < 0 ⇒ tiene 2 soluciones imaginarias distintas
(x1 = x2)
(x1 ≠ x2)
(x1 ≠ x2)
1.4.2 Propiedades de las raíces:
-b
c
x1 · x2 =
a
a
A partir de las soluciones, se puede obtener la ecuación, aplicando las propiedades
mencionadas.
x1 + x2 =
Entonces x2 - (x1 + x2) ∙ x + x1 ∙ x2 = 0
O bien (x - x1) ∙ (x - x2) = 0
3
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Tutorial
Ejercicios
1. ¿Cuál de los siguientes gráficos corresponde a la función f(x) = ax2 + bx + c , con
a > 0, b2 - 4ac < 0, c > 0?
A)
B)
D)
E)
C)
2. A la función f(x) = -x2 - 4x - 4, le corresponde el gráfico:
A)
C)
B)
4
-4
4
D)
E)
-4
4
3. La función graficada corresponde a :
A)
B)
C)
D)
E)
f(x) =
f(x) =
f(x) =
f(x) =
f(x) =
x2 + x - 6
-x2 - x + 6
x2 + 5x - 6
-x2 - 5x + 6
-x2 + x + 6
4
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y
6
-3
2
x
Matemática 2006
4. Sea f(x) = x2 + 4x - 32, entonces, el mínimo valor que toma la función es :
A) - 36
B) - 28
C) - 20
D) - 2
2
E)
5. ¿Para qué valor de k, la parábola y = 3x2 + 2x + k intersecta en un punto al eje x?
1
3
B) - 3
A) -
C)
D)
1
3
3
E) Ninguno de ellos
6. Dada la siguiente parábola: f(x) = x2 + 5x - 14, ¿en qué puntos intersecta al eje x?
A)
B)
C)
D)
E)
(- 7, 0 ) y
(- 7, 0 ) y
(- 7, 0 ) y
( 0, - 7 ) y
( 7, 0 ) y
(- 2, 0 )
( 0, - 2 )
( 2, 0 )
( 0, - 2 )
(- 2, 0 )
7. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 2 y 4 cm menos que la hipotenusa. ¿Cuánto
mide la hipotenusa?
A)
B)
C)
D)
E)
1 cm y 5 cm
2 cm
2 cm y 10 cm
10 cm
No existe dicho triángulo
8. La ecuación de segundo grado cuyas raíces son x1 = p + √p2 - q2 y x2 = p - √p2 - q2 es:
A)
B)
C)
D)
E)
x2 + 2px + q2 = 0
x2 - 2px - q2 = 0
x2 - px + q2 = 0
x2 - px - q2 = 0
x2 - 2px + q2 = 0
5
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Tutorial
9. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación 6x2 - 11x + 3k + 12 = 0 para que una de las raíces
sea cero?
A)
-4
B) -
11
6
C)
0
D)
2
E)
4
10. ¿Qué valor debe tener h en la ecuación x2 + hx - (21 + h) = 0 para que las soluciones sean
-4y5?
A) -
1
2
B)
-1
C)
1
D)
2
E)
3
11. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación x2 - (k + 10)x + (10k - 2) = 0 para que el producto
de las raíces sea 58?
A) - 48
B) - 6
C)
6
D) 48
E) Ninguno de ellos
12. Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación x2 + mx + n = 0, entonces, (x1 + 3)(x2 + 3)=
A)
B)
C)
D)
E)
- n - 3m + 9
- n + 3m - 9
n - 3m - 9
n + 3m - 9
n - 3m + 9
6
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Matemática 2006
13. Para que la ecuación 5x(x + 2) = k carezca de raíces reales, deberá cumplirse que
A)
B)
C)
D)
E)
k<-5
k≤-5
k≤5
k<5
k>5
14. Determinar la(s) solución(es) de la ecuación √x + √10 -3x = 2
I) x = 2
II) x = 3
III) x = - 2
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo II y III
D) Sólo I y II
E) Ninguna de ellas
15. Dada la función de consumo de combustible respecto de la velocidad C(v) = 80v - 2v2,
donde la velocidad se expresa en km/h. Determinar a qué velocidad debe ir el auto, para
que el consumo de combustible sea máximo.
A)
B)
C)
D)
E)
20 km/h
30 km/h
40 km/h
50 km/h
80 km/h
7
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Solucionario
Respuestas
Preg.
Alternativa
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
E
D
B
A
C
C
D
E
A
B
C
E
A
D
A
Solucionario
1. La alternativa correcta es la letra E)
Como a > 0, entonces la parábola es abierta hacia arriba.
∴ Quedan descartadas las alternativas A) y D)
Como b2 - 4ac < 0, entonces la parábola no intersecta al eje x
∴ El gráfico corresponde a la alternativa E)
2. La alternativa correcta es la letra D)
f(x) = -x2 - 4x - 4, entonces a = - 1, b = - 4, c = - 4
Como a < 0, entonces la parábola es abierta hacia abajo.
∴ Quedan descartadas las alternativas A) y E)
Como c = - 4, entonces la parábola intersecta al eje y en (0,- 4)
∴ Queda descartada la alternativa C)
Entonces nos quedan las alternativas B) y D)
Para discriminar entre ambas debemos analizar el eje de simetría.
x=
-b
2a
(Reemplazando “b” y “a”)
x=
-(-4)
2 · -1
(Multiplicando y dividiendo signos)
8
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4
-2
Matemática 2006
x=
(Dividiendo)
x = -2
O sea x es negativo. ∴ El gráfico correspondiente a la función dada es la alternativa D)
3. La alternativa correcta es la letra B)
Según el gráfico, los puntos de intersección de la parábola con el eje x son (- 3, 0 ) y ( 2, 0 ).
Entonces, las soluciones de la ecuación son x1= - 3 y x2 = 2
Aplicando
(Reemplazando x1 y x2)
(Multiplicando signos)
(Multiplicando binomios)
(La parábola es abierta hacia abajo,
entonces, a < 0, multiplicamos por – 1)
(Nos piden la función)
(x - x1) ∙ (x - x2) = 0
(x-(- 3)) ⋅ (x- 2) = 0
(x + 3 ) ⋅ (x - 2 )= 0
x2 + x - 6 = 0 / ⋅ - 1
-x2 - x + 6 = 0
∴ f(x) = -x2 - x + 6
4. La alternativa correcta es la letra A)
En la función:
f(x) = x2 + 4x - 32,
a = 1, b = 4, c = - 32
Nos piden el mínimo valor que toma la función, eso significa que la parábola es abierta hacia
arriba, lo que es efectivo ya que a > 0.
Entonces utilizamos el eje de simetría que es :
-b
2a
-4
x=
2·1
x=
(Reemplazando a y b)
(Simplificando)
x = -2
Entonces el eje de simetría es x = - 2, eso significa que la función evaluada en ese punto es
el mínimo.
Evaluando la función para x = - 2
f(- 2) = (-2)2 + 4 ∙ -2 - 32
f(- 2) = 4 – 8 – 36
f(- 2) = - 36
(Respetando el orden de las operaciones)
∴ El mínimo valor que toma la función es - 36
9
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Solucionario
5. La alternativa correcta es la letra C)
En la función : y = 3x2 + 2x + k ,
a = 3, b = 2,
c=k
Para que la parábola intersecte al eje x en 1 punto el discriminante debe ser 0.
∆ = b2 - 4ac
b2 - 4ac = 0
22 - 4 ∙ 3 ∙ k = 0
4- 12k = 0
4 = 12k
4
=k
12
(Reemplazando a,b y c)
(Respetando el orden de las operaciones)
(Despejando k)
(Dividiendo)
1
=k
3
∴ Si k =
1
la parábola intersecta al eje x en 1 punto.
3
6. La alternativa correcta es la letra C)
Si f(x) = x2 + 5x - 14, para determinar los puntos de intersección de la parábola con el eje
x, hacemos y = 0, entonces:
x2 + 5x - 14 = 0
(x
) (x
)=0
(x + 7 ) (x – 2 ) = 0
x+7 =0
x1 = - 7
ó
(Resolviendo la ecuación factorizando)
( 2 números que multiplicados nos dé – 14 y sumados 5)
(Como el producto es 0, uno de los 2 factores es 0)
x–2 =0
(Despejando x)
x2 = 2
∴ Los puntos de intersección de la parábola con el eje x son (- 7, 0 ) y ( 2, 0 )
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7. La alternativa correcta es la letra D)
Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 2 y 4 cm menos que la hipotenusa, entonces,
aplicando Pitágoras:
x-2
x
x2 = (x - 2)2 + (x - 4)2
(Resolviendo cuadrado de binomio)
x2 = x2 - 4x + 4 + x2 - 8x + 16
(Reduciendo términos semejantes)
x2 = 2x2 - 12x + 20
(Igualando a 0)
2x - x - 12x + 20 = 0
(Reduciendo términos semejantes)
2
2
(Resolviendo la ecuación factorizando)
x - 12x + 20 = 0
2
x-4
(x
) (x
)=0
(2 números que multiplicados nos dé 20
y sumados - 12)
(x - 10 ) (x – 2 ) = 0
x - 10 = 0
x1= 10
ó
(Como el producto es 0, uno de los 2
factores es 0)
x–2 =0
(Despejando x)
x2= 2
En este caso como x es la hipotenusa, debemos analizar los valores.
Si x = 10, los catetos serían 6 y 8 , que corresponden a números pitagóricos.
Si x = 2, los catetos serían 6 y 0, como un cateto no puede ser 0, queda descartada esta
solución.
∴ La hipotenusa es 10 cm.
8. La alternativa correcta es la letra E)
x1 = p + √p2 - q2 y x2 = p - √p2 - q2
Para formar la ecuación aplicaremos las propiedades de las raíces:
-b
a
-b
2
2
p + √p - q + p - √p2 - q2 =
a
-b
2p =
a
x1 + x2 =
(Reduciendo términos semejantes)
(El denominador de 2p es 1)
11
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Solucionario
⇒ - b = 2p / ⋅ -1
y
a=1
(Dejando b positivo al multiplicar por – 1)
b = - 2p
∴ a = 1,
b = - 2p
c
a
(p + √p2 - q2 ) · (p - √p2 - q2 ) =
(Reemplazando x1 y x2)
x1 · x2 =
p2 - (p2 - q2) =
p2 - p2 + q2 =
q2 =
c
a
c
a
c
a
⇒ c = q2 ,
c
a
(Resolviendo la suma por diferencia)
(Eliminando el paréntesis)
(Reduciendo términos semejantes)
(El denominador de q2 es 1)
a =1
Formando la ecuación de segundo grado:
ax2 + bx + c = 0
x2 - 2px + q2 = 0
(Reemplazando a,b y c)
∴ La ecuación cuyas soluciones son x1 = p + √p2 - q2 y x2 = p - √p2 - q2 es:
x2 - 2px + q2 = 0
9. La alternativa correcta es la letra A)
Para que una de las raíces sea 0, c = 0, ya que si
ax2 + bx = 0
x (ax + b) = 0
x=0
ó ax + b = 0
(Factorizando)
(Como el producto es 0, uno de los 2 factores es 0)
∴ Si c = 0, una de las raíces es 0
Entonces en la ecuación 6x2 - 11x + 3k + 12 = 0
c = 3k + 12
(Reemplazando c por 0)
0 = 3k + 12
(Despejando k)
-12 = 3k
12
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-12
=k
3
(Dividiendo)
-4=k
∴ Para que una de las raíces se anule, k = - 4
10. La alternativa correcta es la letra B)
En la ecuación x2 + hx - (21 + h) = 0,
a = 1, b = h, c = - ( 21 + h )
Si las soluciones son - 4 y 5, para determinar el valor de h utilizamos las propiedades de las
raíces:
x1 + x2 =
-b
a
x1 · x2 =
c
a
Como h está en b y c, utilizamos cualquiera de las 2 propiedades, aplicaremos la suma:
-b
a
-h
-4+5=
1
x1 + x2 =
1 = -h / ⋅ - 1
(Reemplazando x1 y x2, a y b)
(Sumando)
(Dejando h positivo al multiplicar por – 1)
-1=h
∴ Para que las soluciones de la ecuación dada sean – 4 y 5 , h = - 1
11. La alternativa correcta es la letra C)
En la ecuación x2 - (k + 10)x + (10k - 2) = 0,
a = 1, b = - (k + 10), c = (10k - 2 )
Como el producto de las raíces es 58, aplicaremos la propiedad de las raíces que se refiere
a su producto.
c
a
10k - 2
58 =
1
x1 · x2 =
58 + 2 = 10k
(Reemplazando x1 · x2, a y c)
(Despejando k)
(Sumando)
60 = 10k
60
=k
10
(Dividiendo)
6=k
∴ Para que el producto de la ecuación dada sea 58, k = 6
13
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Solucionario
12. La alternativa correcta es la letra E)
(x1 + 3)(x2 + 3)=
x1 · x2 + 3x1 + 3x2 + 9 =
x1 · x2 + 3 (x1 + x2) + 9 =
(Multiplicando binomios)
(Factorizando)
Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación x2 + mx + n = 0, donde a = 1, b = m, c = n,
aplicamos las propiedades de las raíces:
-b
a
-m
x1 + x2 =
⇒ x1 + x2 = -m
1
c
x1 · x2 =
a
n
x1 · x2 =
⇒ x1 + x2 = n
1
x1 + x2 =
(Reemplazando a y b)
(Reemplazando a y c)
Entonces:
x1 · x2 + 3 (x1 + x2) + 9 =
(Reemplazando x1 · x2 y x1 + x2 )
n+3⋅-m+9=
(Multiplicando)
n – 3m + 9
∴ (x1 + 3)(x2 + 3) = n – 3m + 9
13. La alternativa correcta es la letra A)
Para que la ecuación 5x(x + 2) = k
menor que 0, entonces:
∆ = b2 - 4ac
⇒
carezca de raíces reales, el discriminante debe ser
b2 - 4ac < 0
5x(x + 2) = k (Distribuyendo)
5x2 + 10x = k
(Igualando a 0)
5x2 + 10x - k = 0, donde a = 5, b = 10, c = - k
b2 - 4ac < 0
(Reemplazando a,b y c)
102 - 4 ∙ 5 ∙ -k < 0
(Respetando el orden de las operaciones)
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Matemática 2006
100 + 20k < 0
(Despejando k)
20k < - 100
k<
-100
20
k<-5
∴ Para que la ecuación 5x(x + 2) = k carezca de raíces reales, k < - 5
14. La alternativa correcta es la letra D)
√x + √10 -3x
= 2 /()2
(Elevando al cuadrado para eliminar la raíz)
x + √10 -3x = 4
(Despejando la raíz)
√10 -3x = 4 - x / ()2
(Elevando al cuadrado para eliminar la raíz)
10 -3x = (4 - x)2
(Desarrollando el cuadrado de binomio)
10 -3x = 16 - 8x + x2
(Igualando a 0)
0 = x2 - 8x + 16 + 3x - 10
(Reduciendo términos semejantes)
x2 - 5x + 6 = 0
(Factorizando)
(x - 2)( x - 3) = 0 ⇒
x-2=0
x-3=0
x1 = 2
x2 = 3
Como la ecuación de segundo grado es un instrumento para resolver la ecuación
√x + √10 -3x = 2, debemos reemplazar ambas soluciones en la ecuación original, la que satisfaga la
ecuación, será solución de ella.
√x + √10 -3x
=2
√2 +√10 -3 ⋅ 2
√2 +
=2
√10 -6 = 2
(Reemplazando x1)
(Multiplicando)
(Restando)
15
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Matemática 2006
Tutorial
√2 + √4 = 2
(Extrayendo √4 )
√2 + 2
(Sumando)
√4
=2
(Extrayendo √4 )
=2
2=2
Se cumple la igualdad, por lo tanto, x1 = 2 es solución.
√x + √10 -3x
=2
√3 +√10 -3 ⋅ 3
√3 +
=2
√10 - 9 = 2
(Reemplazando x2)
(Multiplicando)
(Restando)
√3 + √1 = 2
(Extrayendo √1 )
√3 + 1
(Sumando)
√4
=2
=2
(Extrayendo √4 )
2=2
Se cumple la igualdad, por lo tanto, x2 = 3 es solución.
∴ I y II son soluciones de la ecuación √x + √10 -3x = 2
15. La alternativa correcta es la letra A)
Dada la función: C(v) = 80v - 2v2, donde C(v): consumo de combustible y v: velocidad
Como nos piden máximo y la función corresponde a una parábola, eso significa que a < 0 (lo
que es efectivo, ya que a = - 2) , o sea, es abierta hacia abajo.
Para encontrar el máximo, utilizamos el eje de simetría:
x=
-b
2a
(Reemplazando a = -2, b = 80)
x=
-80
2 · -2
(Multiplicando)
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-80
-4
Matemática 2006
x=
(Dividiendo)
x = 20
Entonces, cuando x = 20 , la función toma el valor máximo, como en este caso la función es
consumo de combustible, eso significa que cuando la velocidad sea 20 km/h, el consumo de
combustile va a ser máximo.
∴ Para que el consumo de combustible sea máximo, la velocidad debe ser 20 km/h.
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Tutorial
Mis notas
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Mis notas
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