Grupos Continuos - Universidad de La Laguna

Transcripción

Grupos Continuos
Antonio Hernández Cabrera
Departamento de Física Básica
Universidad de La Laguna
Tenerife. Islas Canarias
[email protected]
20 de febrero de 2009
2
Índice general
1. Grupos continuos
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Ángulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Grupo de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. De…niciones . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Generadores in…nitesimales de los Grupos de
1.3. Representación de Grupos: D(l) . . . . . . . . . . .
1.4. Grupo SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Lema de Shur . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Teorema de ortogonalidad de caracteres . . .
1.5. Grupo SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1. Autovectores y autovalores . . . . . . . . . .
1.5.2. Normalización de los autovectores . . . . . .
1.5.3. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Representación Producto Directo. . . . . . . . . . .
1.7. Grupo de Rotación-Inversión . . . . . . . . . . . . .
1.8. Proyector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9. Operador de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10. Representación explícita del SU (2) . . . . . . . . .
1.11. Las variables internas: el espín isotópico. . . . . . .
1.11.1. De…niciones . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12. Creación de familias . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12.1. Estrañeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13. Isospín como grupo SU(2)I : Los quarks. . . . . . .
1.13.1. Los quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13.2. Las masas de los quarks . . . . . . . . . . .
1.13.3. Interacciones del quark. . . . . . . . . . . .
3
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Lie.
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28
31
34
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40
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43
43
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45
48
48
49
49
52
52
4
ÍNDICE GENERAL
1.13.4. Hadrones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13.5. El color. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.14. Interacción fuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.14.1. De…nición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.14.2. Principio de la carga bariónica ó hiperacarga.
1.15. Interacción débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.15.1. De…nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.15.2. Partículas de vida efímera o resonancias. . . .
1.16. Las partículas elementales. Modelo Standard. . . . .
1.17. El grupo SU(3)I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Capítulo 1
Grupos continuos
1.1.
Introducción
Los grupos continuos son aquellos generados por transformaciones in…nitesimales. Por esta razón cuentan con un número in…nito de elementos, cada
uno de los cuales puede etiquetarse por n parámetros reales que varían de
forma contínua:
(p1 ; : : : ; pn ) = (pi ):
(1.1)
Al conjunto de parámetros pi puede considerarsele como un vector n-dimensional
el cual puede variar continuamente dentro de un dominio dado. En estos
apuntes también trataremos a los grupos en los cuales pi varía de forma contínua en un número …nito de regiones, pero de forma discontínua entre dichas
regiones. Estos son los grupos denominados Mixtos.
Para comenzar el tema recordemos los teoremas básicos de los grupos
…nitos:
Teorema I: Toda representación de un grupo …nito o es irreducible, o
puede descomponerse en suma de representaciones irreducibles.
Teorema II: Toda representación de un grupo …nito es equivalente a
determinada representación unitaria.
Teorema III: Los elementos de matriz de dos representaciones irreducibles no equivalentes de un grupo …nito son mutuamente ortogonales
Teorema IV: Cualquier función en un grupo …nito puede representarse
como suma de los elementos de matriz de todas las representaciones irreducibles, afectadas por sus coe…cientes correspondientes.
5
6
CAPÍTULO 1. GRUPOS CONTINUOS
Un grupo se llama continuo si el conjunto de sus elementos forma espacio
topológico.
Un grupo continuo G se llama compacto si cada función f (g), continua
para todos los elementos del grupo G, está acotada.
Teorema: Si G es un grupo compacto y f (g) es una función continua
arbitraria (g 2 G), dicha función puede aproximarse con cierta exactitud
por:
Sl
n X
X
(l) (l)
f (g) =
cik 'ik (g) :; : n = 1; 2; 3:::
(1.2)
i=1 k=1
(l)
'ik (g)
son los elementos de matriz generados por la representación
donde
irreducible l del grupo G.
Consideramos inicialmente que trabajamos con grupos cuyos elementos
son representables por matrices nxn. Esta consideración no es imprescindible,
pero facilitará los cálculos posteriores. Denominaremos al grupo G f ; ; :::g:
El grupo es continuo si cada elemento 2 G contiene, al menos, un parámetro
continuo:
(a1 ; :; ai ; ::; aj ) ; con ai continuo
(1.3)
A los parámetros discretos les llamaremos índices. Formarán, dentro de
, un subconjunto: i = i (a1 ; :::; ar )
Ejemplos:
-1. El grupo monodimensional de las transformaciones lineales.
0
= a1 x + a2 ; a1 6= 0:
Este es un grupo con un sólo parámetro. Su regla de multiplicación sería
9
0
= a1 x + a2 =
c 1 = b 1 a1
000
00
00
= b1 x + b2
= 0
=)
;
c
;
2 = b 1 a2 + b 2
000
= c1 x + c2
con un elemento neutro (unidad) = e1 x + e2 tal que e1 = 1 y e2 = 0.
También posee elemento inverso x0 = a1 x + a2 , inverso del x = a1 x0 + a2 , de
modo que a1 = 1=a1 y a2 = a2 =a1 . Este grupo no es abeliano.
- El grupo de rotaciones en torno a un eje, rotaciones axiales, recibe también el nombre de rotaciones en el plano. El eje de rotación es perpendicular a
un plano (papel) donde se mueve la partícula o punto. La rotación se describe
por = (') donde sólo existe un parámetro '.
1.1. INTRODUCCIÓN
7
Figura 1.1: Rotación bidimensional
El grupo de rotaciones axiales
x0 = x cos ' + y sin '
y0 =
x sin ' + y cos ';
tiene su parámetro acotado en 0 ' 2 .
Regla de multiplicación: ('a )
('b ) = ('a + 'b ):
Elemento neutro: ('e = 0):
1
Elemento inverso
(') = ( '):
-Grupo de las matrices unitarias n n con determinante 1, SU (n). Tiene
n2 1 parámetros. En el caso particular del SU (2), cualquier elemento del
grupo puede escribirse en términos de los tres parámetros ; ;
ei cos
e i sin
ei sin
e i cos
- El conjunto de rotaciones alrededor del origen, en tres dimensiones,
forma un grupo continuo. Un conjunto de parámetros vendría dado por los
ángulos de Euler. Otro conjunto de parámetros es el de…nido por el vector
angular ~', siendo los giros en el sentido de las agujas de un reloj. En este
caso existirán tres parámetros:
~'
('1 ; '2 ; '3 )
8
Figura 1.2: Rotación tidimensional alrededor del eje !
'.
1.1. INTRODUCCIÓN
Figura 1.3: Rotación para
9
pequeños.
Si trabajamos en el espacio euclideo tridimensional: x
r-dimensiones: x x(a1 ; :::; ar ):
En el grupo de las rotaciones se cumple:
q
'21 + '22 + '23 < 2
x(x1 ; x2 ; x3 ). O, en
Pues ~' es un vectorp
con dirección la del eje de rotación, y componentes, los
ángulos rotados. Si '21 + '22 + '23 > 2 , se repetiría alguna rotación.
Este grupo es isomorfo del O(3), como ya veremos. En caso de una
rotación in…nitesimal, como la de la …gura 3, donde ! = !
n , con !
n en
el plano yz, se puede descomponer R( ; !
n ) = R( sin ; y)R( cos ; z): A
veces se usan los ángulos de Euler (ver subapartado siguiente). Los ángulos
de Euler suelen tomarse como indica la …gura 4.Una rotación arbitraria en
torno a un eje !
n que no esté en ninguno de los planos cartesianos, Rot( ; !
n);
puede descomponerse en el producto de tres rotaciones en torno a los ejes
cartesianos Rot( ; z)Rot( ; y)Rot( ; z)). En este caso se proyecta !
n sobre
el plano yz y se procede como en la …gura 3. En el caso de rotaciones
10
Figura 1.4: Ángulos de Euler
1.1. INTRODUCCIÓN
11
in…nitesimales es más fácil escoger tres rotaciones en torno a los tres ejes
cartesianos Rot( ; z)Rot( ; y)Rot( ; x)). Sin embargo, los ángulos de Euler
siguen usándose en ingeniería por razones históricas. Muchos ingenieros aún
son creyentes.
-Grupo O(n) de todas las matrices n n reales y ortogonales. Este es un
grupo continuo mixto dado que sus matrices con determinante -1 no pueden
localizarse mediante una variación contínua de los parámetros a partir de
una matriz de determinante +1. Si nos restringimos a las matrices con determinante +1 tenemos al grupo O+ (n).
Espacio imagen: es el subconjunto del espacio generado por los parámetros, y que corresponde a valores posibles de dichos parámetos. En el grupo
de las rotaciones, el espacio imagen es una esfera de radio 2 .
En cuanto se introduce la noción de continuidad aparece una topología
(n)
(n)
donde n (a1 ; : : : ; ar ) es un elemento del grupo si
(n)
l m ai
n!1
= ai =)
n
!
recuperándose, en el límite, a los grupos …nitos. Es decir, n tiende a
cuando los elementos de n tienden a los de . En este caso tenemos un grupo
continuo. Si las operaciones en él son contínuas, el grupo es topológico.
1.1.1.
Ángulos de Euler
Dados dos sistemas de coordenadas xyz y XY Z con origen común, es
posible especi…car la posición de un sistema en términos del otro usando tres
ángulos ( ; ; ) de tres maneras equivalentes, como sigue:
* Estático La intersección de los planos coordenados xy y XY se llama
línea de nodos.
o ( en la primera …gura) es el ángulo entre el eje x y la línea de nodos.
o ( ) es el ángulo entre el eje z y el eje Z.
o (') es el ángulo entre la línea de nodos y el eje X. (Nota, sin embargo,
que la primera …gura tiene un sistema coordenado zurdo).
* Ejes de rotación …jos Sean los sistemas XY Z y xyz idénticos inicialmente.
o Rotar el sistema XY Z alrededor del eje z en ; el sistema xyz no se
mueve.
o Rotarlo alrededor del eje x por :
o Rotarlo respecto al eje z por .
12
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5 :pdf
Figura 1.5: Ángulos de Euler. Otra perspectiva.
1.2. GRUPO DE LIE
13
(Note que el primero y el tercer ejes son idénticos.)
* Moviendo ejes de rotación Empezar con el sistema XY Z igual al sistema
xyz.
o Rotar el sistema XY Z respecto al eje Z en ; el sistema xyz no se
mueve.
o Rotarlo respecto al ahora rotado eje X por .
o Rotarlo ahora respecto al doblemente rotado eje Z por .
(Nota que los ángulos están en orden inverso.)
1.2.
1.2.1.
Grupo de Lie
De…niciones
Un grupo continuo G es de Lie si cada elemento g 2 G puede de…nirse
por medio de un número …nito de parámetros que varíen de forma contínua.
Los libros de texto sobre teoría de grupos aplicados a problemas físicos dan
por sentado que todos los grupos continuos son de Lie. A saber.
Tomemos los elementos x dependientes de los parámentros (a1 ; : : : ; ar ) e
y = y(b1 ; : : : ; br ).
La operación x y 1 = z(c1 ; : : : ; cr ), donde las ci = fi (a1 ; : : : ; ar ; b1 ; : : : ; br );
da lugar a otra de…nición alternativa de los grupos de Lie. El grupo al que
pertenecen x e y es de Lie si las funciones fi son analíticas y diferenciables.
Si las fi no son analíticas existe, a veces, la posibilidad de hacerlas analíticas
variando los parámetros.
Ejemplo
Sean
x(a); y(a)
z(c) = x(a) y(b)
con:
y 1 (a) = y(b) ) c = a
b
es decir y 1 es la inversa de la transformación y. En las rotaciones, x(') e
y( ) se cumple:
z( ) = x(') y 1 ( ) ) = '
(1.4)
Esto se debe a que el inverso de un ángulo es igual a tomar el ángulo inicial
en dirección negativa. En el caso de ángulos, = '
es analítica.
14
En el espacio tendremos que trabajar con matrices. Para operar x(~') con
y(~ ), tendríamos que invertir la matriz que de…ne y.
Casi todos los grupos en física son de Lie.
Para verlo mejor, tomemos un elemento genérico de un grupo G, dado por
g(x1 ; : : : ; xn ) = g(x), con n parámetros, donde algunos de ellos pueden variar
contínuamente. Podemos construir la tabla de multiplicación del grupo, pues
si
g(x) 2 G
g(x1 ; : : : ; xn )g(y1 ; : : : ; yn ) = g(z1 ; : : : ; zn );
(1.5)
g(y) 2 G
los n parámetros z1 ; : : : ; zn son funciones de x1 ; : : : ; xn ; y1 ; : : : ; yn parámetros.
La tabla de multiplicación constaría de n funciones reales, con 2n argumentos
reales cada una:
z1 = f1 (x1 ; : : : ; yn )
..
(1.6)
.
zn = fn (x1 ; : : : ; yn )
Si las funciones fi (x; y) son contínuas y derivables, entonces G es un grupo
de Lie.
Ejemplo 1.
Consideremos el grupo de las transformaciones lineales de coordenadas
bidimensionales:
x0 = ax + by + c
y 0 = dx + ey + f
Como ha de existir inversa de la transformación, ae
minante del sistema es:
a b
d e
bd 6= 0, pues el deter-
El grupo descrito es, evidentemente, de seis parámetros.
Ejemplo 2.
Consideremos el grupo de las las matrices n n unitarias unimodulares
(con determinante igual a uno): SU (n). Como comentamos antes, este grupo
tiene n2 1 parámetros. Veámoslo con un caso sencillo: el SU (2). Un elemento
cualquiera de este grupo puede ser el:
A=
ei cos
e i sen
ei sen
e i cos
;
1.2. GRUPO DE LIE
15
cuyo determinante es: cos2 + sen2
e
e
i
i
cos
sen
= 1. Como la conjugada transpuesta es:
ei sen
ei cos
=A
1
= A+ ;
la matriz es unitaria. Como vemos, tienen tres parámetros reales, ; ; .
Ejemplo 3.
Consideremos ahora el grupo O(n) de las matrices ortogonales reales n
n. Si escogemos aquellas con determinante +1, el grupo se llama O+ (n);
por ejemplo, O(3) es el grupo de rotaciones tridimensionales. El caso O+ (3)
son las rotaciones propias, como veremos más adelante. Como necesitamos
3 parámetros para precisar la transformación de rotación, podrían escogerse
los ángulos de Euler. Este grupo tiene 21 n(n 1) parámetros.
Condiciones para los grupos de Lie:
Dado un grupo G, con sus parámetros ya escogidos, las condiciones para
que sea grupo de Lie son:
1. x(0; : : : ; 0) = e
2. x(0; : : : ; ai ; : : : ; 0) y 1 (0; : : : ; bi ; : : : ; 0) = z(0; : : : ; ai
bi ; : : : ; 0)
Teorema: En un grupo de Lie siempre se puede escoger los parámetros de
forma que cumplan las condiciones anteriores. En dichos casos, los parámetros
se llaman normales. Todos los ejemplos mencionados los tienen así.
1.2.2.
Generadores in…nitesimales de los Grupos de
Lie.
Tomemos un elemento x 2 G que tenga, al menos, un parámetro in…nitesimal. Escogemos los demás nulos por comodidad:
x = x(0; : : : ; i ; : : : ; 0) = e +
i
@
x
@ i
+ O( 2i )
(1.7)
i =0
por desarrollo de Taylor cuando i ! 0.
El miembro i @@ i x
es una matriz, por serlo los elementos x del grupo.
i =0
Llamarememos a esta matriz
iIk =
@
x
@ k
(1.8)
k =0
16
La i (unidad imaginaria) se introduce en la de…nición para que los operadores
que surjan correspondan a observables físicos. Con este cambio tenemos:
x = x(0; : : : ; i ; : : : ; 0) = e + iIk
k
+ O( 2i ):
(1.9)
Ik recibe el nombre de Generador In…nitesimal del Grupo. La estructura formada por los generadores in…nitesimales pertenece al Álgebra de
Lie, dentro del ámbito de la física.
Si consideramos el elemento x(0; : : : ; ak ; : : : ; 0), con ak …nito, entonces,
h
iN
ak
x(0; : : : ; ak ; : : : ; 0) = x(0; : : : ; ; : : : ; 0) :
(1.10)
N
Esta relación es cierta por la segunda condición de los Grupos de Lie:
x(0; : : : ;
ak
ak
ak
; : : : ; 0) x(0; : : : ; ; : : : ; 0) : : : x(0; : : : ; ; : : : ; 0) =
N
N
N
|
{z
}
N veces
ak
: : : +; : : : ; 0) = x(0; : : : ; ak ; : : : ; 0):
= x(0; : : : ; +
N | {z }
(1.11)
N veces
El elemento unidad, e, es aquel que, como ya vimos, tiene todos sus parámetros nulos. Entonces:
ey 1 (0; : : : ; bk ; : : : ; 0) = z(0; : : : ; bk ; : : : ; 0)
(1.12)
ya que ey 1 = y 1 .
Si y = W 1 , con W = W (0; : : : ; dk ; : : : ; 0), entonces: y = y(0; : : : ; dk ; : : : ; 0)
y, por lo tanto,
x y
1
= x(0; : : : ; ak ; : : : ; 0)W (0; : : : ; dk ; : : : ; 0)
= z(0; : : : ; ak + dk ; : : : ; 0);
(1.13)
pues el parámetro del producto es la suma de los parámetros de los factores.
Cuando N tiende a in…nito:
N
iN
h
ak
1
ak
(1.14)
l m x(0; : : : ; ; : : : ; 0) = l m e + i Ik + O( 2 ) ;
N !1
N !1
N
N
N
dado que ak =N se reduce a un in…nitésimo. Por lo tanto:
l m x(0; : : : ; ak =N; : : : ; 0) = eiak Ik :
N !1
(1.15)
1.2. GRUPO DE LIE
17
Así que, en general,
x(0; : : : ; ak ; : : : ; 0) = eiak Ik ;
(1.16)
donde hemos realizado el límite de una serie de matrices, con la matriz unidad
o identidad I = e.
Más general es el caso de un elemento del grupo, x 2 G, con todas sus
componentes no nulas:
x(a1 ; : : : ; ar ) = ei
Pr
k=1
ak Ik
(1.17)
Es decir, cualquier elemento de un grupo de Lie puede ser expresado por sus
generadores in…nitesimales, donde habrá el mismo número de generadores
que de parámetros.
Ejemplos:
a) Traslaciones monodimensionales.
Ta x = x a =)
PTa f (x) = f (x + a):
El generador in…nitesimal de este grupo será
IT f (x) =
f (x + a)
a!0
a
f (x)
il m
=
i
df
:
dx
(1.18)
En otras palabras, IT es proporcional al operador momento:
}IT = pb =
i}
d
:
dx
(1.19)
b) Traslaciones tridimensionales.
o, en general,
@
;
@x
(1.20)
@
:
@xj
(1.21)
}ITx = pbx =
i}
}ITj = pbj =
i}
c) Rotaciones alrededor del eje z : SO(2).
Si tenemos una función arbitraria f (') =) Iz f (') =
ción, y
@
bz ;
}Iz = i}
=L
@'
(')
i @f@'
por de…ni-
(1.22)
18
componente z del momento angular.
Tomemos al vector ~' perpendicular al plano del papel (o de la pantalla
del ordenador). Entonces,
cos ' sen '
sen ' cos '
x(') =
2G
(1.23)
siendo ' in…nitesimal. El generador del grupo será:
iI
@x(')
@'
=
) I=
=
'=0
0
i
sen '
cos '
cos '
sen '
=
0 1
1 0
i
;
0
(1.24)
obteniendose una matriz hermítica, y que puede corresponder, como operador, a un observable físico. Como
I+ =
0
i
i
0
= I0 =
0
i
i
0
=I
(1.25)
la matriz también es unitaria. Además, su determinante es 1, por lo tanto es
unimodular.
Vamos a comprobar que, para cualquier ', se cumple que x(') = ei'I ,
aunque este caso presenta una peculiaridad: por depender el elemento del
grupo de un sólo parámetro, las ventajas de usar el generador no van a ser
muy claras.
i'I
e
=
1
X
(i'I)n
n=0
n!
= 1 + i'I +
i2 ' 2 I 2 i 3 ' 3 I 3 i4 ' 4 I 4
+
+
+ :::
2!
3!
4!
(1.26)
donde hemos usado el desarrollo de la exponencial. Ahora bien,
I2 = I I =
0
i
i
0
0
i
i
0
=
1 0
0 1
= e ) matriz unidad
(1.27)
Evidentemente, I 3 = I 2 I = I; I 4 = I 2 I 2 = I, etc. Es decir, la clase a la
1.2. GRUPO DE LIE
19
que pertenece x(') sólo tiene dos elementos y, por lo tanto,
i'I
e
=
1
X
(i'I)n
n=0
=
1 0
+
0 1
n!
= 1 + i'I +
1 0
'2
0
+
2
0
'
3! '3
!
'3
+ :::
cos ' sen '
3!
=
'2
sen ' cos '
+ :::
2!
1
0 '
+
' 0
2!
2
=
i 2 ' 2 I 2 i3 ' 3 I 3 i 4 ' 4 I 4
+
+
+ ::: =
2!
3!
4!
1 '2! + : : : '
3
' + '3! + : : : 1
'3
0
+ ::: =
= x(')
(1.28)
recordando que, donde no aparezca la matriz I, va la matriz unidad.
d) Rotaciones axiales en torno a un eje arbitrario n
b : SO(3):
Los elementos de este grupo dependerán de tres parámetros: x = x('1 ; '2 ; '3 ).
Los generadores del grupo, de…nidos por
Ik =
i
@
x(0; : : : ; 'k ; : : : ; 0)
@'k
(1.29)
'k =0
se suelen denotar por Ik en los problemas físicos involucrados en este caso.
Por lo tanto:
I1 =
i
@
x('1 ; 0; 0)
@'1
'1 =0
I2 =
@
x(0; '2 ; 0)
i
@'2
'2 =0
I3 =
i
@
x(0; 0; '3 )
@'3
;
(1.30)
'3 =0
donde ('1 ; 0; 0) es una rotación alrededor del eje x, de ángulo '1 . Es equivalente a una rotación tridimensional sobre el plano yz, pues los vectores con
dirección x no varían. Por la misma vía se obtienen los otros elementos. Para
no hacer todo el cálculo paso a paso de…nimos la matriz ij , que tiene todos
sus elementos nulos menos el ij = 1, es decir,
32
0
1
0 0 0
= @0 0 0A
0 1 0
(1.31)
20
A través de esta matriz:
I1 =
I2 =
I3 =
if
if
if
23
31
12
32 g
(obteniéndose los demás por permutación)
13 g
21 g;
(1.32)
Cualquier rotación compuesta puede describirse por
x('1 ; '2 ; '3 ) = ei
P3
k=1
'k Ik
:
(1.33)
Una propiedad importarte de estos grupos es que el conmutador de dos de
ellos genera al restante:
X
[Ik ; Il ] = i
(1.34)
klj Ij ;
j
donde klj (componentes del tensor de permutaciones) vale 1 ó 0 según las
permutaciones necesarias para obtener los subíndices (si es par +1, y si es
impar -1; para índices repetidos, 0).
1.3.
Representación de Grupos: D(l)
Las representaciones de los grupos son aplicaciones de la forma:
D : x 2 G ! D(x):
D(x) viene descrita por matrices complejas n
grupo:
(1.35)
n, y conserva las leyes del
D(x; y) = D(x) D(y)
D(x 1 ) = [D (x)]
1
=) [D(x)]
1
D(x) = I
(1.36)
Si queremos que el grupo G sea de Lie, la representación ha de ser contínua
y analítica. Es decir:
Si l m xn = x
n!1
)
l m D(xn ) = D(x):
n!1
(1.37)
La representación de un grupo de Lie puede hacerse a través de la representación de sus generadores:
D [x(a1 ; : : : ; ar )]
Representación de un grupo de Lie.
(1.38)
1.3. REPRESENTACIÓN DE GRUPOS: D(L)
21
Para un único parámetro, tenemos:
h
iN
h
iN
ar
ar
; : : : ; 0)
= D x(0; : : : ; ; : : : ; 0)
;
N
N
(1.39)
debido a la primera propiedad de los grupos de Lie. Por lo tanto:
D [x(0; : : : ; ak ; : : : ; 0)] = D
x(0; : : : ;
h
iN
ak
l m 1 + iD(Ik ) + : : : = eiD(Ik )ak ;
N !1
N
(1.40)
donde
D(Ik ) =
i
@
D [x(0; : : : ; ak ; : : : ; 0)]
@ak
;
(1.41)
ak =0
Es decir, conociendo la matriz que representa a los generadores, podemos
encontrar la matriz que representa al grupo. En general:
D [x(a1 ; : : : ; ar )] = ei
Pr
k=1
D(Ik )ak
:
(1.42)
Es importante señalar que, cuando se trate de determinar las representaciones
de un grupo continuo, es su…ciente con determinar las representaciones de
los operadores in…nitesimales IR puesto que una representación …nita DR (')
puede obtenerse por la aplicación sucesiva de IR un gran número de veces.
En física, el momento angular es una representación de las rotaciones. En el
caso de ausencia de espín, el momento angular Lk , es el generador de una
representación 'k . Al introducir el espín aparece el generador bivaluado Sk .
La suma de ambos es el Jk , momento total.
Ejemplos:
a) Rotaciones axiales SO(2):
Es el grupo continuo formado por todas las rotaciones de ángulo ' (en el
sentido de las agujas del reloj), alrededor del eje z. En este caso:
x(') =
La representación:
cos ' sen '
:
sen ' cos '
0
1
1 0
0
0 A
D[xj'] = @0 ei'
0 0 e i'
(1.43)
(1.44)
22
cumple todos los requisitos para ser una buena representación. Podríamos
haber escogido cualquier otra. En este caso, habíamos visto que:
x(') = eiI'
con
I=
0
i
i
:
0
(1.45)
Por lo tanto,
I=
0
i
i
0
=
D
0
!
0 0
@
i 0 i
0 0
@
D[xj']
@'
1 0
1
0
0 0 0
0 A = @0 1 0 A :
i
0 0
1
D(I) =
=
i
'=0
(1.46)
Cualquier otro elemento de la representación se puede obtener por esta vía.
Como:
0
0
D[xj'] = eiD(I)'
0
i'
0
0
e
B
B
B0
@
)
1
0 C
1
0
C
0 C
A
0 0
0
i' = @0 ei'
0 A:
0 0 ie i'
(1.47)
En la notación de Schön‡ies este grupo es el C1 ; y en la internacional,
1. En física, el generador in…nitesimal del grupo suele ponerse como
Iz =
i
@
@
= iy
@'
@x
ix
@
1b
= L
z:
@y
}
(1.48)
Este grupo es abeliano y todas sus representaciones irreducibles son monodimensionales. Los caracteres (o matrices que representan a los elementos del
grupo) son del tipo
D ('a + 'b ) = D ('a )D ('b );
(1.49)
relación que sólo se cumple si D (') = exp(c'). Si la representación es
monovaluada ha de cumplirse que D (' + 2 ) = D ('). Por lo tanto, la
constante c sólo puede tomar valores c = im, siendo m entero,
Dm (') = eim' :
(1.50)
23
El teorema de ortogonalidad de caracteres toma la forma
Z
2
m
(')
m0
(')d' = 2
0
mm0 :
(1.51)
Puesto que m (') y m (') son representaciones complejas conjugadas están
degeneradas respecto a la simetría de inversión temporal. Las dos pueden
considerarse formando parte de una única representación. Hemos simpli…cado
Dm (') = m ('). La tabla de caracteres de esta representación puede ponerse
como
m=0
m=1
m=2
m=3
Representación
A1
E1
E2
E3
E
1
2
2
2
C(')
1
2 cos '
2 cos 2'
2 cos 3'
Funciones invariantes
z; z 2 ; x2 + y 2
(x; y) ; (xz; yz)
: (1.52)
2
2
(x
y ; xy)
Si, además de ser invariante bajo rotaciones, también es invariante bajo re‡exiones en cualquier plano que pase por el eje z, el grupo relevante (que
ahora será un grupo mixto) es el C1v (ó 1m). Este grupo ya no es abeliano.
Las rotaciones de ángulo ' y ' forman una clase siempre y cuando todas
las re‡exiones sean de la misma clase. La tabla de caracteres será ahora
Representación
A1
A1
E1
E2
E
1
1
2
2
C(')
1
1
2 cos '
2 cos 2'
Funciones invariantes
1
z; z 2 ; x2 + y 2
1 (xy 0 x0 y)
:
0
(x; y) ; (xz; yz)
0
(x2 y 2 ; xy)
v
(1.53)
Este grupo puede ampliarse incluyendo además un centro de inversión, con
lo que el nuevo grupo sería el D1h (ó 1=mm) cuyos elementos serían:
E identidad
C(') rotaciones alrededor de z
re‡exiones en planos que pasen por z
v
i inversión
iC(') inversión-rotación
i v rotaciones de ángulo alrededor de ejes perpendiculares a z y que
24
pasen poe el centro de inversión. Añadiendo esto, la tabla de caracteres sería:
Representación
+
g
+
u
g
u
g
u
g
u
E
1
1
1
1
2
2
2
2
C(')
1
1
1
1
2 cos '
2 cos '
2 cos 2'
2 cos 2'
v
1
1
1
1
1
0
0
0
0
i
1
1
1
2
2
2
2
iC(')
1
1
1
1
2 cos '
2 cos '
2 cos 2'
2 cos 2'
i
1
v
1
1
1
0
0
0
0
(1.54)
1) ; ; ;
corresponden a jmj = 0; 1; 2; 3, siéndo las mayúsculas
griegas de las funciones atómicas s; p; d; f .
2) El superíndice
indica el carácter par o impar de la representación
respecto a las re‡exiones v .
3) El subíndice g(u) indica el carácter par (impar) respecto a las inversiones.
Notación:
GL(n,c): grupo de las matrices n
n con elementos complejos.
GL(n,R): idem, con elementos reales.
U(n): conjunto de matrices n
n unitarias (complejas, naturalmente).
0(n): conjunto de matrices n
n ortogonales (reales).
Al colocar una S delante de la notación anterior, exigimos, además, que
sean matrices unimodulares (determinante unidad). De aquí procede la notación SO(n) para la rotaciones n-dimensionales.
b) Actuación sobre funciones.
Sea un conjunto de funciones reales de tres variables: f (x; y; x), pudiendo
tener cada variable in…nitas dimensiones. Estamos llamando R o a lo que
antes era x, elemento del grupo, para no confundirnos con las coordenadas.
R es para rotaciones y para las demás operaciones in…nitesimales.
La representación de un generador I3 sería:
D(I3 ) =
i
@
D (R(0; 0; '3 ))'3 =0 :
@'3
(1.55)
25
Así que la aplicación de la representación sobre una función arbitraria sería:
D(I3 )f (x; y; z) =
=
@
D [R(0; 0; '3 )] f (x; y; z)j'3 =0
@'3
@
i
f R 1 (0; 0; '3 )(x; y; z) :
@'3
i
(1.56)
Nota: Es decir, un operador, o elemento de un grupo, puede actuar sobre una
función arbitraria, de forma que:
z f (x; y; z)
=lm
!0
1
ff [x; y; (1 + )z]
f (x; y; z)g = z
@
f (x; y; z): (1.57)
@z
@
El generador z es, por tanto, un operador diferencial Rz = z @z
que corresponde a los generadores Iz sin la i. En nuestro caso, una rotación actuando
sobre una función:
Rf (x; y; z) = f 0 (x; y; z)
f (x0 )
(1.58)
con x0 = Rx. Es decir:
Rz (')f (x; y; z) = f (x cos '
y sen '; x sen ' + y cos '; z):
(1.59)
Si ' = =2, …nita:
(1.60)
Rz f (x; y; z) = f ( y; x; z):
Por lo tanto, R 1 (0; 0; '3 )(x; y; z) es una rotación de ángulo
z, es decir:
Rz 1 ('3 )(x; y; z) = (x cos '3
'3 en torno a
y sen '3 ; x sen '3 + y cos '3 ; z)
(1.61)
La coordenada z queda invariante, pero las coordenadas x; y no:
x
y
pasan a
cos '3
sen '3
sen '3
cos '3
x
y
=
x cos '3 y sen '3
:
x sen '3 + y cos '3
(1.62)
26
Así que la aplicación de la representación sobre una función arbitraria queda:
D(I3 )f (x; y; z) =
i
=
@
f (x cos '3 y sen '3 ; x sen '3 + y cos '3 ; z)j'3 =0 =
@'3
@
@
i
y f (x; y; z) + x f (x; y; z) =
@x
@y
@
@
x
f (x; y; z) =
=i y
@x
@y
|
{z
}
D(I3 )
= f (D 1 (x; y; z)) =
if
y
@
@x
x
@
@y
;
(1.63)
donde D(I3 ) es la representación del operador diferencial momento angular.
Por permutaciones circulares podemos obtener los otros dos operadores.
1.4.
Grupo SO(2)
Llamaremos a los elementos de este grupo R('), por ser rotaciones, donde
' es el ángulo de giro y, en este caso, único parámetro existente. La representación será:
D : R(') ! D(R(')):
(1.64)
Como ' es continuo, su representación también lo será. Dado que, en física, a
cada representación le pueden corresponder varios elementos, las representaciones son multivaluadas:
D : R(') ! ei
siempre que: ei
1.4.1.
(')
(')
D(R('))
(1.65)
= 1:
Lema de Shur
Sea D una representación irreducible y M un operador (o matriz) que
conmuta con todas las D de un grupo:
[M; D] = 0; 8D
)
M D = DM; 8D 2 G:
(1.66)
Entonces,
M=
1:
(1.67)
1.4. GRUPO SO(2)
27
Esto nos indica que las representaciones irreducibles de grupos abelianos
siempre tienen dimensión 1. Como las representaciones reducibles pueden
ponerse en función de irreducibles, nos limitaremos a trabajar siempre con
irreducibles.
En el grupo SO(2), una representación cualquiera puede ser la dada por
cos ' sen '
;
sen ' cos '
(1.68)
que es reducible. Para transformarla a irreducible utilizamos una transformación de equivalencia:
a 0
1
:
(1.69)
0 b
Otra peculiaridad del grupo SO(2) es que, para que se cumpla que
D(R(')) D(R('0 )) = D(R(' + '0 )), si exigimos continuidad, sólo existe una
forma de escribirr la representación:
D(R(')) = e ' :
(1.70)
Esta representación es multivaluada, pues, aunque '+2 represente el mismo
lugar que ', e ' es bien diferente de e ('+2 ) . Sin embargo, si = im, con m
entero, las soluciones quedan acotadas:
eim' = eim' eim2 = eim('+2
)
(1.71)
que es univaluada. Ahora bien, para m no entero, podemos tener = is=2,
con s entero, y, en este caso, la exponencial será bivaluada, dependiendo
de si s es par o impar. En Física sólo existen los casos de representaciones
bivaluadas o univaluadas.
1.4.2.
Teorema de ortogonalidad de caracteres
Como ya vimos, llamaremos i al caracter de una representación:
1 X
(x) j (x) = ij
(1.72)
N (G) 2G i
para casos discretos o …nitos, donde N (G) era el número de elementos de la
clase i. En grupos continuos, esto se traduce por:
Z 2
1
(1.73)
s (') s0 (')d' = ss0
2 0
28
Para una representación bivaluada pondríamos:
Z 2
s
s 0
1
e i 2 ' ei 2 ' d' =
2 0
(1.74)
ss0
Vemos que el carácter coincide con la representación en este caso. Recordemos
que, en general, el carácter era la traza de la matriz representación.
1.5.
1.5.1.
Grupo SO(3)
Autovectores y autovalores
Iremos, por sencillez, directamente a la representación de los generadores,
y no de los elementos del grupo. Los elementos del grupo eran:
R(~') = ei
donde:
[Ik ; Il ] = i
P
k
X
'k Ik
(1.75)
;
(1.76)
klj Ij :
j
A través de este conmutador introduciremos otros conmutadores y generadores:
J0
J
I3 ;
I1 iI2 :
(1.77)
Este cambio lo realizamos para simpli…car las reglas de conmutación, pues
[J0 ; J ] = J ;
[J+ ; J_ ] = 2J0 :
(1.78)
Vamos a comprobarlo:
[J0 ; J+ ] = [I3 ; I1 + iI2 ] = [I3 ; I1 ] + i[I3 ; I2 ] = i
X
j
31j Ij
X
= i 321 I2
321 I1 = I1 + iI2 = J+ ;
[J+ ; J_ ] = [I1 + iI2 ; I1 iI2 ] = i[I1 ; I2 ] + i[I2 ; I1 ]
X
=
2i[I1 ; I2 ] = 2i
2i 123 I3 = 2I3 = 2J0
12j Ij =
j
32j Ij
j
(1.79)
1.5. GRUPO SO(3)
29
con J++ = J_ .
Veamos que las representaciones son
D : R 2 SO(3) ! D(R);
(1.80)
donde D(R) será una matriz unitaria 3 3. Empecemos buscado una representación de Ik : D(Ik ). Es mejor buscar D(J), a la que llamaremos M .
Una matriz puede de…nirse como un operador en un espacio de n dimensiones. Por tanto, comenzaremos por de…nir una base de dicho espacio
vectorial: jr >, con r = 1; : : : ; n. Las matrices Aik =< ri jAjrj > representan
los elementos de la matriz A en la base jr >. En principio hemos de buscar,
para nuestro caso, los elementos M jr >, siendo M M0 ; M .
Nos …jamos en la matriz M0 y la representación D(R(0; 0; ')), que es un
giro alrededor del eje z, con ángulo ':
D(R(0; 0; ')) = eiD(I3 )' = eiM0 ' ;
(1.81)
siendo M0 una matriz que representa a I3 . Para que la representación sea unitaria M0 ha de ser hermítica, dado que A es hermítica, U = eiA es unitaria.
Por tanto, M0 es autoadjunta, y su conjunto de vectores propios M0 jr >
formarán base ortonormal del espacio.
M0 jr >=
r jr
(1.82)
>;
donde representa los autovarores y jr > sus vectores propios.
Calculamos los autovalores:
D(R(0; 0; '))jr >= eiMo ' jr >= ei
r'
jr > :
(1.83)
Para que la representación sea bivaluada r = Sr =2, con Sr entero, por lo
tanto:
Sr
M0 jr >= jr >
(1.84)
2
Es decir, los autovalores de M0 son enteros y semienteros, dependiendo de si
Sr es par o impar.
Para ver la actuación de M jr >, utilizaremos los conmutadores:
M0 (M jr >= M0 M jr >= M M0 jr > +[M0 ; M ]jr >=
Sr
= M Sr=2 jr > M jr >=
1 M jr > :
2
(1.85)
30
Es decir, como M0 (M jr >= S2r 1 M jr >, S2r 1 también es autovalor
de M0 .
Vamos a cambiar la notación, simpli…cando los autovectores jSr=2 >,de
forma que
jr > jSr=2 > :
(1.86)
A su vez, podemos poner que:
M jSr=2 >= Nr jSr=2
(1.87)
1 >;
siendo Nr un número real.
Debido a que S2r corresponde a una serie de valores enteros o semienteros,
podemos poner:
Sr
= j; j
2
1; j
2; : : : ;
con j entero o semientero
(1.88)
Si hacemos actuar al operador,
M+ jj >= Nj+ jj + 1 >
donde hemos considerado que j es el mayor valor de
es absurda. Es decir:
M+ jj >= 0
(1.89)
Sr
,
2
vemos que la situación
(1.90)
y, a partir de j, no existen más estados.
A su vez:
M_ jj >= Nj jj
1>
M_2 jj
>= Nj 1 Nj jj 2 >
..
.
n
M_ jj >= Nj Nj 1 : : : jj n >
M_n+1 jj >= 0:
(1.91)
Este último es nulo, pues la dimensión del espacio vectorial es n, y sólo existe
n vectores linealmente independientes.
M_ jj
Se puede demostrar que j
n=
n >= 0
j, cosa que no haremos por ahora.
(1.92)
1.5. GRUPO SO(3)
1.5.2.
31
Normalización de los autovectores
Dado que
M_ jj >= Nj jj
1> )
1 >= Nj Nj+ 1 jj >;
(1.93)
M+ M_ jj >= Nj M+ jj
y que:
M : jSr =2 >= Nr : jSr=2
(1.94)
1 >;
y
M+ M_ jj > = M_ M+ jj > +[M+ ; M_ ]jj >= M_ j0 > +2M0 jj >
= 2jjj >) Nj Nj+ 1 = 2j
(1.95)
para j el mayor de los Sr =2.
A su vez,
M+ M_ jSr =2 >= NSr =2 NS+r =2 1 jSr =2 >= M_ M+ jSr =2 > +2
Sr
jSr =2 >
2
(1.96)
donde no sabemos con qué Sr =2 trabajamos. Entonces:
M+ M_ jSr =2 >= NS+r =2 M_ jSr =2 + 1 >= NS+r =2 NSr =2 1 jSr =2 > :
Es decir:
NSr =2 NS+r =2
1
= NS+r =2 NSr =2+1 + 2
Sr
2
(1.97)
(1.98)
obteniendo una relación de recurrencia donde:
Nj Nj+ 1 = 2j
M++ = M_ :
(1.99)
Con estos datos, ya podemos obtener los factores de normalización. La matriz
M+ tiene el siguiente aspecto:
0
0
B 0
M+ = B
@
0
Nj+
0
+
0 Nj+1
0
0
0
1
::: C
C:
A
+
Nj+n
1
(1.100)
32
Y la matriz M será:
0
0
BN j
B
M =B
B 0
@ 0
Llamaremos S2r = m
vector cualquiera:
M
n
X
m=1
vm jm >=
)
X
0
0
Nj
0
0
1
0
Nj
::: :::
1
C
C
C
C
A
2
(1.101)
max(m) = j. Apliquemos una matriz a un
vm M jm >=
X
vm Nm jm
1 >;
(1.102)
+
Tomamos Nm
1 = Nm+1 para un m general.
En realidad, Nj+ = Nj , pero como las Nj son números reales, llegamos
a la anterior igualdad. Sustituyendo en las matrices:
p
Nm = j(j + 1) m(m 1)
p
+
Nm
= j(j + 1) m(m + 1);
(1.103)
con j n = j.
Es posible que el alumno esté más familiarizado con la notación habitual
de Mecánica Cuántica. Vamos, por tanto, a retomarla. Sabemos que la
representación de una rotación podía expresarse por
R( ; z) jum i = eim jum i
(1.104)
donde jum i es un autovector cualquiera del espacio de con…guración correspondiente a los observables momento angular. Desarrollando la exponencial
en serie de Taylor para ángulos in…nitesinales,
J0 jum i = m jum i :
(1.105)
Si jum i se transforma de acuerdo con la representación m-ésima, J+ jum i se
transforma con la representación (m + 1)-ésima. Veamoslo haciendo actuar
sucesivamente los operadores J0 y J+ :
J0 (J+ jum i) = (J+ + J+ J0 ) jum i = J+ (I + J0 ) jum i = (m + 1) J+ jum i :
(1.106)
1.5. GRUPO SO(3)
33
Análogamente,
J0 (J jum i) = (m
1) J jum i :
(1.107)
Si trabajamos con representaciones …nitas, siempre habrá un valor tope de
m, al que llamaremos j = max (m) : Es decir, J+ juj i = 0. Para detallar la
situación usaremos dos subíndices, tal que
J0 jujm i = m juj;m i ;
J+ juj;j i = 0:
(1.108)
Como al actuar J sobre un vector jujm i se genera una función proporcional
a juj;m 1 i, entonces
juj;m 1 i =
J+ juj;m 1 i =
Escribimos
jm
= cj;m
1
jm :
juj;m i ;
jm juj;m i :
jm J
(1.109)
Con esto
J+ juj;m 1 i = cj;m 1 jm juj;m i =
= jm J+ J juj;m i
(de sustituir juj;m 1 i )
= jm (J J+ + 2J0 ) =
= jm (J cjm jm+1 juj;m+1 i + 2m juj;m i)
(de actuar J+ y J sobre juj;m i)
= jm (cjm juj;m i + 2m juj;m i)
(de actuar J sobre juj;m+1 i
= jm (cjm + 2m) juj;m i :
Pero, ¿cuánto vale cjm ? Hemos de resolver la ecuación cj;m
cual podemos reescribir como
cjm = Aj + m(m + 1);
1
(1.110)
= cjm + 2m, la
(1.111)
con la condición de contorno cjj = 0. Por recurrencia podemos ver que cjm =
j(j + 1) m(m + 1). Para calcular jm normalizamos,
Z
jujm i jujm i d = hujm jujm i = 1;
(1.112)
34
con
Z
Por tanto,
1
=
Z
=
=
=
u (J+ v) d =
Z
Z
ujm ujm d = j;m+1 (J uj;m+1 ) uj;m d
Z
uj;m+1 (J+ uj;m ) d =
j;m+1
Z
uj;m+1 uj;m+1 d =
j;m+1 cj;m j;m+1
2
j;m+1 cj;m
=)
p
=) J+ uj;m = j(j + 1)
p
=) J uj;m = j(j + 1)
=) J0 uj;m = M uj:m :
1.5.3.
(1.113)
(J u) vd :
m(m + 1)uj;m+1 ;
m(m
1)uj;m 1 ;
(1.114)
Resumen
Hemos de…nido:
J = I1 iI2
J0 = I3 :
(1.115)
Para un m general tenemos:
J0 jm >= mjm >
J jm >= [j(j + 1)
variando m entre j y
m(m
1)]1=2 jm
1>
(1.116)
j. Utilizando representaciones:
D(J0 )jm >= mjm >
D(J )jm >= [j(j + 1)
m(m
1)]1=2 jm
1>:
(1.117)
Pero aún no podemos caracterizar totalmente una base. Sin embargo, si la
base es de dimensión n, sabemos que:
J_ jj >
J_2 jj >
J_n jj >
jj
jj
j
1>
2>
j>:
(1.118)
1.5. GRUPO SO(3)
35
Esta representación suele denotarse como D(j) ( ; !
n ).
Ejemplos:
a) Si j = 0, sólo existe el estado o vector ju00 i con lo generadores
J+ = J = J0 ; D(0) ( ; !
n ) = 1:
(1.119)
b) Para j = 1=2 tendremos dos funciones u1=2;1=2 ; u1=2;
J0 =
1
2
1
0
0
1
De…niendo 2J1;2;3 =
1
=
x
1;2;3 ,
0 1
1 0
=
0 1
0 0
; J+ =
0 0
1 0
; J =
1=2
, con
(1.120)
:
matrices de Pauli,
;
2
=
0
i
=
y
i
0
;
=
3
z
1
0
=
0
;
1
(1.121)
de tal forma que
2
i
D(1=2) ( ; z) = exp(i J0 ) =
1
X
n=0
I cos
D
2
+i
(1=2)
z
sin
2
=
n
i
2
ei 2
0
1
n!
n
z
0
e
( ; y) = exp(i Iy ) =
1
X
1 cos
2
+i
y
sin
2
=
=)
=
(1.122)
:
i2
n=0
1 0
0 1
= E = I=
i
2
n
1
n!
n
y
cos 2 sin 2
sin 2 cos 2
=
(1.123)
:
Para una rotación genérica R( ; !
n ), donde damos la rotación por los ángulos
de Euler '; ; , D(1=2) ( ; !
n ) = D(1=2) ( ; z)D(1=2) ( ; y)D(1=2) ('; z) =)
D(1=2) ( ; !
n) =
ei=2( +') cos =2 ei=2(
ei=2( ') sin =2 e i=2(
')
sin =2
cos =2
+')
:
(1.124)
Esta es una representación como otra cualquiera entre la in…nitas posibles.
36
c) Para j = 1, tendremos los autovectores ju1;1 i ; ju1;0 i ; ju1; 1 i, con
p
p
J+ ju1;1 i = 0
J+ ju1;0 i = 2 ju1;1 i J+ ju1; 1 i = 2 ju1;0 i
J0 ju1;1 i =pju1;1 i
J0 ju1;0p
i=0
J0 ju1; 1 i = ju1; 1 i ;
J ju1;1 i = 2 ju1;0 i J ju1;1 i = 2 ju1; 1 i
J ju1; 1 i = 0
(1.125)
es decir,
p
1
0
1
0
1
0
0 0
2 p0
1 0 0
0
p0
J+ = @ 0 0
2 A ; J0 = @ 0 0 0 A ; J = @ 2 p0 0 A :
0 0
1
0
2 0
0 0
0
(1.126)
(1)
Existen funciones que se transforman como D . Sin ir más lejos, los armónicos esféricos con l = 1:
ju1 i = Y11 x + iy;
ju0 i = Y10 z;
ju 1 i = Y1 1 x iy:
1.6.
(1.127)
Representación Producto Directo.
Supongamos que tenemos dos representaciones irreducibles de un determinado grupo. Supongamos que tenemos dos conjuntos de funciones fjujm ig
y fjvj 0 m ig, las cuales se transforman de acuerdo con las representaciones ir0
reducibles D(j) y D(j ) . Supongamos, por sencillez, que pertenecen al grupo
de rotaciones SO(3). El resultado del producto de dos representaciones irreducibles no tiene por qué ser irreducible. pero puede descomponerse como
0
combinación lineal de irreducibles. El producto directo D(j)
D(j ) comprende a todos los posibles productos de fjujm ig por fjvj 0 m ig; tal y como
0
si fuera un producto tensorial jujm i jvj 0 m i. Aunque D(j)
D(j ) no es
irreducible, puede descomponerse como
X
0
D(j)
D(j ) =
aJ D(J) ;
(1.128)
J
donde aJ = 1 y jj j 0 j J j + j 0 .
La forma de construir el producto directo en forma de combinación de
representaciones irreducibles es la siguiente:
1.6. REPRESENTACIÓN PRODUCTO DIRECTO.
37
1.- A partir de los (2j + 1) (2j 0 + 1) productos de jujm i jvj 0 m i, se clasi…can de acuerdo con las representaciones irreducibles M = m m’de rotaciones en torno a Z.
2.- Se selecciona el vector U(j+j 0 )(j+j 0 ) = jUJ i = jujj i jvj 0 j 0 i : Es decir, el
que tiene J = j + j 0 y M = J.
3.- Se generan mediante el operador J los 2j +2j 0 +1 vectores U(j+j 0 )M ,
0
los cuales se transforman de acuerdo con la representación D(j+j ) .
4.- Se ortogonalizan todos los vectores jUJM i. Esto puede lograrse tomando combinaciones lineales de jujm i jvj 0 m0 i en las que no se mezclen vectores
con diferentes M = m + m0 .
5.- Se toma, del resto de vectores, el que tenga mayor M , llamando M al
nuevo J, y jUJJ 0 i al vector correspondiente.
6.- Se genera mediante J al resto de los 2J vectores jUJM i de la representación D(J) .
7.- Se repite el proceso de 4 a 7 hasta que se cubra todo el espacio vectorial.
Los vectores de las nuevas representaciones irreducibles, jUJM i, pueden
escribirse como
X
jUJM i =
(jj 0 mm0 jJM ) jujm i jvj 0 m0 i :
(1.129)
jj 0 mm0
Muchos textos escriben jujm i jvj 0 m0 i como hujm
R j vj 0 m0 i, notación que puede
conducir a error, ya que no es el producto ujm vj 0 m0 d . Los coe…cientes
(jj 0 mm0 jJM ) se les conoce por coe…cientes de Wigner o de Clebsch-Gordan.
Son nulos a menos que m+m0 = M . Por tanto, para fhujm j vj m ig ó jujm i jvj 0 m0 i
1.- Sólo existe una función con M = m + m0 = j + j 0 o con M = (j + j 0 )
2.- Existen dos funciones con M = (j + j 0 1) ó con M = (j + j 0 1),
a menos que j y/o j 0 sean nulos
3.- Existen tres funciones con M = (j + j 0 2) ó con M = (j + j 0 2),
a menos que j y/o j 0 sean nulos o la unidad.
4.- Los valores de M tales que jj j 0 j M jj j 0 j se hayan repetidos
2j + 1 veces si j
j 0 ó 2j 0 + 1 veces si j 0
j. En consecuencia, contando
directamente,
D(j)
0
0
D(j ) = D(j+j )
D(j+j
0
1)
D(jj
j 0 j)
:
(1.130)
Ejemplo:
Consideremos al espacio formado por los vectores (ju11 i ; ju10 i ; ju1 1 i) y
(jv11 i ; jv10 i ; jv1 1 i), ambos de la representación D(1) . Para simpli…car, eliminaremos j y j 0 en la notación de los vectores. De la última expresión sabemos
38
que
D(1)
D(1) = D(2)
D(1)
D(0) :
(1.131)
Vamos a determinar las nueve (9) funciones jUJM i mediante el anterior procedimiento.
a) Clasi…camos las funciones producto directo por sus valores de M :
M = 2 u1 v 1
M =1
u1 v0
u0 v 1
M =0
u1 v 1 u 0 v 0 u 1 v 1
M= 1
u0 v 1
u 1 v0
M= 2
u 1v
:
(1.132)
1
b) Determinamos D(2) ( para J = 2) mediante
jU2;2 i = ju1 i jv1 i = (u1 jv1 )
(1.133)
y aplicamos el operador J :
J jU2;2 i = 2 jU2;1 i = J (ju1 i jv1 i) = (J ju1 i) jv1 i + ju1 i (J_ jv1 i)
p
p
= 2 ju0 i jv1 i + 2 ju1 i jv0 i =)
p
2
jU2;1 i =
(ju0 i jv1 i + ju1 i jv0 i) : (1.134)
2
Bajamos un peldaño volviendo a aplicar J :
!
p
p
2
J jU2;1 i = 6 jU2;0 i = J
(ju0 i jv1 i + ju1 i jv0 i) =
2
p
2
[(J ju0 i) jv1 i + ju0 i (J jv1 i) + (J ju1 i) jv0 i + ju1 i (J jv0 i)]
=
p h2
i
p
p
p
2 p
=
2 ju 1 i jv1 i + 2 ju0 i jv0 i + 2 ju0 i jv0 i + 2 ju1 i jv 1 i =)
2
p
6
jU2;0 i =
(ju 1 i jv1 i + 2 ju0 i jv0 i + ju1 i jv 1 i)(1.135)
:
6
Iguiendo el proceso,
jU2; 1 i =
p
2
(ju0 i jv 1 i + ju 1 i jv0 i)
2
jU2; 2 i = ju 1 i jv 1 i :
(1.136)
1.6. REPRESENTACIÓN PRODUCTO DIRECTO.
39
c) Ortogonalizamos las funciones (o vectores) con J = 1, M = 1 con
alguna ya generada con M = 1, como es jU21 i :
p
2
(ju0 i jv1 i + ju1 i jv0 i)
hU1;1 jU2;1 i = [ (hu0 j hv1 j) + (hu1 j hv0 j)]
2
p
2
=
( + ) = 0 =) =
=)
2
p
2
jU1;1 i =
(ju0 i jv1 i ju1 i jv0 i) ;(1.137)
2
con lo que podemos determinar la representación D(1) usando el operador
J .
d) Determinación de D(1) :
p
2
3
p
2 ju 1 i p
jv1 i +
p
p
24
J jU1;1 i =
2 jU1;0 i =
2 ju0 ipjv0 i
2 ju0 i jv0 i 5(1.138)
2
2 ju1 i jv 1i
p
2
(ju 1 i jv1 i ju1 i jv 1 i) :
(1.139)
=) jU1;0 i =
2
Repitiendo el proceso,
jU1; 1 i =
p
2
(ju 1 i jv0 i
2
ju0 i jv 1 i) :
(1.140)
e) Ortogonalizamos la función con M = 0 a jU2;0 i y jU1;0 i obteniendo
p
3
jU0;0 i =
(ju1 i jv 1 i ju0 i jv0 i + ju 1 i jv1 i) :
(1.141)
3
f) Los coe…cientes de Clebsch-Gordan se obtienen a través de
X
jUJM i ==
(jj 0 mm0 jJM ) jujm i jvj 0 m0 i ;
(1.142)
jj 0 mm0
es decir,
p
(1111j22) =p1
(1100j20) = p36
(1101j21 = 22p (1101j11) = p22
(11 11j20) = 66 (1100j00) = 33 ;
etc.
(1.143)
40
1.7.
Grupo de Rotación-Inversión
El grupo total de rotaciones, que contiene a las rotaciones propias, puede
aumentarse si se incluyen la inversión y las rotaciones impropias. Esto se
consigue mediante el producto directo del grupo de rotaciones completo por el
grupo de Inversión. El resultado es el grupo Rotación-Inversión o Grupo
Ortogonal Completo O(3). Este grupo admite dos representaciones. La
representación par es aquella en la que
(l)
(l)
D+ (iR) = D+ (R);
(1.144)
y la impar,
(l)
D (iR) =
(l)
D (R):
(1.145)
Si consideramos una partícula aislada sin espín, la paridad de las funciones
que se transforma como D(l) viene dada por ( 1)l . Para un sistema de n
partículas sin espín, la paridad es
n
Y
( 1)lk ;
(1.146)
k=1
donde lk es el momento angular orbital de la partícula k-ésima.
Si intrudujeramos el espín, como j pasa a tomar valores semienteros,
la ambigüedad del signo en la representación matricial oscurece la anterior
distinción (hasta ahora sencilla) entre funciones pares e impares y, aunque la
paridad sigue siendo un número cuántico, su utilidad como herramienta para
identi…car partículas casi desaparece.
¿De dónde se sacaron este invento de la paridad? Ocurre que, para operadores hermíticos, la representación matricial de las rotaciones ha de satisfacer que
M y = M 1:
(1.147)
Supongamos una matriz hermítica unimodular. Es decir, det jM j = 1. Es de
cajón que
My
=
M
1
=) M y M = I =) det M y M = 1
=) det(M y ) det(M ) = (det M )2 = 1
=) det M = 1:
(1.148)
Si det M = 1 =) M 2 SO(3): Si det M = 1 =) M 2 SO(3): M es
la matriz que representa a una rotación más inversión. Cualquier matriz de
1.8. PROYECTOR
41
O(3) puede ponerse como una M 2 D(R) con R 2 SO(3), o bien como M 2
D( R) = D(R), donde R
iR 2 SO(3). Por tanto, O(3) = SO(3)
( 1). Las matrices ortogonales corresponden a rotaciones o a rotaciones con
inversión.
El operador asociado ( 1) = P es el llamado Paridad, el cual produce la
imagen especular de un objeto al actuar. Este operador conmuta con todas
las rotaciones y, por tanto,
D(P ) = P 1;
(1.149)
es múltiplo de la unidad. Así, D(P ) D(P ) = 2P 1 = D(P 2 ). Como P 2 =
1 =) D(1) = 2P 1 = 1 =) P = 1: Es decir, los posibles autovalores de
la paridad son 1, correspondiendo a las paridades de un sistema físico.
Como ya hemos comentado, si no existe espín las funciones que se transforman como D(l) , siendo l el momento angular, tienen paridad ( 1)l ya
que
(l)
(l)
par
D+ (iR) = D+ (R)
P = 1
;
(1.150)
(l)
(l)
impar
D (iR) = D (R) P = 1
donde i indica inversión. Es decir, los estados de un átomo de hidrógeno,
con un único electrón, tiene paridad ( 1)l . Para n partículas sin espín, la
n
Y
paridad es
( 1)lk . Ya hemos mencionado que, al introducir el espín, la
k=1
paridad pierde parte de su importancia física.
1.8.
Proyector
Consideremos un autovector cualquiera, jv >6= 0, ortogonal a todos los
demás. Es decir, < mjv >= 0; 8m 6= v. Podemos construir un vector de la
forma:
n
X
j' >=
cm jm > +cjv >;
(1.151)
m=1
Llamamos proyector P a un operador tal que:
Pj' >=
n
X
m=1
cm jm >
(1.152)
42
Figura 1.6: El proyector
es decir:
Pjv >= 0
El proyector nunca es múltiplo del operador unidad 1; P 6=
P conmuta con todos los J:
=
X
[P; J+ ]j' >= PJ+ j' >
X
cm PJ+ jm > +cPJ+ jv > +
J+ P cm jm >
1. Sin embargo,
J+ Pj' >
(1.153)
cJ+ Pjv > (1.154)
Por de…nición, Pjv >= 0, por lo tanto:
X
[P; J+ ]j' >=
cm [j(j + 1) m(m + 1)]1=2 Pjm + 1 >
X
cm [j(j + 1) m(m + 1)]1=2 Pjm + 1 >= 0;
(1.155)
(1.156)
debido a que Pjm + 1 >= jm + 1 >. Los mismo ocurre con J_ y J0 . En
general:
[Ik ; P] = 0;
(1.157)
conmutando también con sus representaciones D(R):
[P; D(R)] = 0
(1.158)
Aplicando el lema de Schurr, los vectores jm > formarían una base completa
de la representación.
1.9. OPERADOR DE CASIMIR
1.9.
43
Operador de Casimir
El operador de Casimir es el operador correspondiente al momento angular total, I~2 , que conmuta con todos los elementos de sus grupo, donde:
I~2 =
3
X
Ik2 ;
(1.159)
k=1
que, por el Lema de Schur, es múltiplo de 1:
I~2 =
Para calcular
D,
(1.160)
1
D
aplicamos el operador a un vector cualquiera:
I~2 =
3
X
1
Ik2 = J02 + (J+ J_ + J_ J+ )
2
k=1
1
= J02 + J_ J+ + [J+ ; J_ ] =
2
= J02 + J_ J+ + J0 = J02 + J0 + J_ J+ :
(1.161)
(1.162)
Por lo tanto:
I~2 jj >= J02 jj > +J0 jj > +J_ J+ jj > :
(1.163)
Pero J+ jj >= 0, pues hemos tomado el mayor jm >, así que:
I~2 jj >= (j 2 + j)jj >= j(j + 1)jj > :
(1.164)
Y, del mismo modo:
I~2 jm >= j(j + 1)jm > :
1.10.
(1.165)
Representación explícita del SU (2)
Podemos estudiar el grupo SU (2) partiendo del SU (3):
R(~') 2 SO(3)
D
!
donde:
D[R(~')] = ei
D[R(~')] 2 SU (2);
P
k
'k D(Ik )
:
(1.166)
(1.167)
44
En este caso, en vez de buscar D(Ik ), buscaremos D(J), a los cuales llamaremos J a secas.
Dado que la base jm > podía variar de j a j, en dos dimensiones:
j
1=
1
j ) j= :
2
(1.168)
Por lo tanto:
J0 j1=2 >= 21 j1=2 >
correspondiente al espacio de los espines.
J0 j 1=2 >= 21 j1=2 >
(1.169)
Esta representación es bivaluada.
Veamos un ejemplo. Teníamos '~z (0; 0; '3 ) rotación en torno a z:
D[R('~z )] = ei'3 J0
)
1
D[R('~z )]j1=2 >= ei'3 2 j1=2 >
(1.170)
Si damos un giro de 2 radianes (con lo que volvemos al mismo punto),
obtenemos:
D[R(2~ )]j1=2 >= ei j1=2 >= j1=2 >
(1.171)
por lo que D[R(2~ )] varía el vector j1=2 > al j1=2 >, en vez de dar el giro
que habíamos supuesto. Habitualmente se suele escribir:
J0 =
1=2
0
0
1=2
=
1
2
(1.172)
3;
siendo
3
=
1
0
0
1
(1.173)
el espinor.
Para j = 1=2 tendremos:
J+ j1=2 >= 0J+ j
J_ j1=2 >= [1=2(1 + 1=2)
= j 1=2 >
1=2(1
1=2)]1=2 j
1=2 >
(1.174)
1=2 > = [1=2(1 + 1=2) + 1=2(1 1=2)]1=2 j1=2 > (1.175)
= j1=2 > J_ j 1=2 >= 0
(1.176)
En forma matricial:
J_ =
0 0
1 0
J+ =
0 1
:
0 0
(1.177)
1.11. LAS VARIABLES INTERNAS: EL ESPÍN ISOTÓPICO.
45
En términos de los spinores:
1
2
1
I1 =
2
1
I2 =
2
I3 =
3
1
2
(1.178)
que, en su forma matricial:
3
=
1
0
0
1
(1.179)
2
=
0
i
i
0
(1.180)
1
=
0 1
:
1 0
componen las denominadas Matrices de Pauli. En este caso:
X
1
'k k :
D[R(~')] = e 2
(1.181)
(1.182)
1.11.
Las variables internas: el espín isotópico.
1.11.1.
De…niciones
En física nuclear y de partículas existe una nueva invariancia bajo transformaciones de un espacio "interno", diferente del 3D, y que está asociado
a la carga. Las interacciones fuertes ligan a protones con neutrones en el
núcleo, pero son independientes de la carga. Es decir, la interacción entre dos
protones es idéntica a la interacción entre dos neutones o, incluso, a la existente entre un protón y un neutrón. Por esta razón venos núcleos isóbaros en
física nuclear. Son núcleos con diferentes números de N de neutrones y Z de
protones, pero con el mismo número atómico A = N + Z. La pequeña diferencia de masas entre ellos es debida a la interacción electromagnética,
que sí debe distinguir entre protones y neutrones.
46
La invariancia bajo el intercambio p ! n, conocida como simetría de
carga, no acaba con la simetría de las interacciones fuertes. De hecho, es
invariante bajo el grupo más amplio de rotaciones en el espacio del espín
isotópico.
El protón y el neutrón se consideran como las componentes arriba y abajo
de otro objeto más general de dos componentes o manifestaciones N = (p; n),
el nucleón. Análogamente a lo que ocurre en el espacio ordinario, asociamos al nucleón los valores 21 (autovalores) del nuevo operador de rotación
isotópica 3 , o I3 . Es el tercero de los operadores Ik que forman un álgebra
SO(3)I y que conmutan como
[Ii ; Ij ] = i"ijk Ik :
(1.183)
La carga Q no coincide con I3 sino que
1
Q = I3 + Y;
(1.184)
2
donde Q = 1 para el protón y Q = 0 para el neutrón. En el caso de nucleones
el artefacto Y , conocido como hipercarga, es Y = 1.
Para otros multipletes la hipercarga Y toma diferentes valores. Como
el espectro de I3 es simétrico, 21 Y es siempre el promedio de la carga del
multiplete.
El operador Hamiltoniano de la interacción fuerte conmuta no sólo
con
el ioperador I3 , sino también con las otras componentes de modo que
h !
!
H; I = 0 . Es decir, las interacciones fuertes son invariantes bajo el
grupo completo de rotaciones isotópicas SO (3)I . La representación irreducible se etiqueta por el número cuántico total de isospín I, con
multiplicidad 2I + 1, con I3 comprendido entre I e I, enteros.
Las partículas que interactúan mediante la interacción fuerte son los
hadrones. Estos forman multipletes de isospín. Ya hemos visto el caso de
los nucleones con I3 = 21 de I = 12 e Y = 1. Otro ejemplo es el de la
partícula conocida como pión ( ), con tres estados de carga. Corresponden
al triplete I = 1 ( + ; 0 ; 1 ), con Y = 0. La simetría de este triplete se
observa a nivel del espectro de forma que las masas correspondientes son casi
idénticas: m ( ) = 139;6 MeV/c2 , m ( 0 ) = 135;0 MeV/c2 . Existen otros
muchos dobletes y tripletes que se clasi…can en función de las masas.
La invariancia en este nuevo espacio asociado a la carga se demuestra en
experimentos de dispersión (scattering). Sea T es un operador escalar tal que
hIf ; I3f jT jIi ; I3i i = TI
Ii If I3i I3f ;
(1.185)
1.11. LAS VARIABLES INTERNAS: EL ESPÍN ISOTÓPICO.
47
donde los subíndices i; f aluden a los estados inicial y …nal. La anterior
expresión indica que las amplitides de la dispersión para los distintos modos
de carga pueden ponerse en función de las autoamplitudes TI . Si tomamos el
caso de la llamada dispersión N , por ejemplo, los estados inicial y …nal están
formados por, cada uno, por un multiplete con Ia = 1 y otro con Ib = 21 . De
ellos tenemos que I = Ia Ib , con representaciones irreducibles I = 23 ; 12 . Así,
todas las posibles amplitudes de dispersión para las distintas con…guraciones
de carga se expresan mediante las amplitudes T3=2 ; T1=2 . Por ejemplo,
p
T 0 p ! + n = 2 T n0 p ! n0 p
T n+ n ! n+ n
(1.186)
corresponde a la reacción de intercambio de carga 0 p ! + n lograda por
las reacciones elásticas n0 p ! n0 p y n+ n ! n+ n. Así, podemos construir
los estados de isospín. Para I = 23 ; I3 = 32 , tenemos que
3 3
;
2 2
+
=
(1.187)
p :
Haciendo actuar el operador de aniquilación I ;
p
3 p
3 1
;
=
2 0p +
2 2
3
y
1 1
;
2 2
que puede escribirse como
0
+
p
n
=
p
p
3
3
p
3
=
3
=
3
3
0
p
2
3 1
;
2 2
3 1
;
2 2
+
p
+
p
2
+
n
(1.188)
n
(1.189)
;
1 1
;
2 2
;
1 1
;
2 2
;
de donde ya podemos deducir las amplides de dispersión:
p
2
0
+
pjT j n =
T3=2 T1=2
p3
2
0
T3=2 + T1=2 ;
pjT j + n =
3
etc.
(1.190)
(1.191)
48
1.12.
Creación de familias
De este modo van creándose una serie de multipletes de carga que son
grupos de partículas idénticas que se diferencian por su estado de carga:
unico
hiperon 0
doblete
nucleones [p; n]
triplete
piones [n+ ; n0 ; n ]
cuarteto resonancias [ + ; + ; 0 ;
son resonancias
pion nucleonicas:
mesones [K + ; K ]
hiperones [ + ; 0 ; ]
]
(1.192)
En vez de hablar de número de partículas en un multiplete, los listos pre…eren
decir "proyecciones de espín isotópico.en el multiplete, que es una lindeza
pedagógica.
Como ya hemos contado, el espín isotópico se conserva en las interacciones fuertes como la p +
! n + 0 . Podemos construir una tabla
de familias:
carga
-1 0
1
nucleones
n
p
0
hiperón
:
(1.193)
0
+
hiperones
0
zetas
Durante un tiempo se tomó la carga media de la familia para mencionarla.
En los nucleones sería 21 . En los piones sería 0. Para las partículas sería
1
.
2
1.12.1.
Estrañeza
Es la diferencia duplicada entre la carga media de la familia en estudio y la
carga media nucleónica. Es decir, para los nucleones sería s=2 12 21 = 0.
1
1
Para las partículas , s = 2
= 2. Ya tenemos cuatro carac2
2
terísticas para identi…car partículas: espín, masa, carga y estrañeza. Con
esto podemos generar armarios donde colocarlas. El armario sería la masa.
Habrían tres armarios. Uno para bariones (masa pesada), otro para mesones
(masa intermedia) y otro para leptones ( partículas anorexicas). El espín
determinaría en qué alacena del armario se coloca la individua.
1.13. ISOSPÍN COMO GRUPO SU(2)I : LOS QUARKS.
49
1.13.
Isospín como grupo SU(2)I : Los quarks.
1.13.1.
Los quarks
Supongamos que protones y neutrones están formados por conjuntos de
entidades más elementales con cargas no enteras. La idea original fué de GellMann, quién sacó el término quarks de la obra Finnegans wake, de J. Joyce.
En en poema donde alude a la fuga de Tristán e Isolda de la corte del rey
Marcos. En la huida por mar, al ver a tres gaviotas, Tristán exclama: ¡one
quark, two quarks, three quarks! Al parecer, Joyce quería decir salvaje con
el término. Vaya usted a saber, ya que Joyce llegó a mezclar términos de
unos 200 idiomas en Finnegans wake. Si alguna vez se encuentran sin nada
que hacer pueden intentar leer a Joyce. Es posible que acaben demenciados.
A propósito, y ya que estamos ejerciendo de cultos, Tristán era sobrino de
Marcos, anciano rey de Irlanda. Isolda era la esposa de éste último, pero
amante del primero, como corresponde. Pero este cuento es muy anterior a
Joyce y ya Wagner lo había popularizado a través de su ópera Tristán e
Isolda. Y es la tercera vez que mencionamos a Wagner ¿recuerdan?
La invariancia de isospín a nivel de los hadrones se entiende ahora como
una re‡exión entre dos sabores del quark que construirán a los nucleones.
Serán los quarks u y d (de up y down) que se transforman como el doblete
q=
u
d
bajo el grupo SU (2)I . Así, u corresponde a I3 =
nucleones proceden de las combinaciones
p = uud
n = udd:
(1.194)
1
2
y d a I3 =
1
.
2
Los
(1.195)
Vemos que cada nucleón, cuya hipercarga es Y = 1, está formado por tres
quarks, cuya hipercarga ha de ser 31 :
1
Q = I + Y =)
2
1 1
2
Qu =
+ = ;
2 6
3
1 1
1
Qd =
+ =
:
2 6
3
(1.196)
50
En términos de la teoría de grupos, las combinaciones de quarks corresponden a términos en la serie de coe…cientes de Clebsch-Gordan para el
producto directo 21 12 21 = 32 12 12 . Para ello se hace primero el producto
1
1
= 1 0, multiplicándose después otra vez por 21 :
2
2
El cuento anterior se mantiene para el espín corriente y moliente. Por
lo tanto, los quarks son fermiones de espín 21 , y la combinación de tres
quarks puede tener espín total s = 32 , como ocurre con la partícula delta
( ), detectable en la dispersión
p mediante ( p) = 91 ( + p) ; ó s = 21 ,
para el nucleón.
Habíamos hablado del pión. Este está tanbién formado por quarks, pero
de forma distinta, a través de un quark y un antiquak. Los antiquark también
forman su doblete de isospín
q=
d
u
(1.197)
;
donde el signo ( ) se explicará después. Hay tres estados de carga que dan
los piones y son las combinaciones
+
0
=
ud;
1
= p uu
2
= du;
dd ;
(1.198)
que corresponden a la primera posibilidad de descomposición 12 12 = 1 0.
El resto de posibilidades las cumple la partícula . Una vez más, el hecho
de que el pión tenga espín nulo (bosones) se obtiene por la combinación de
singletes de los espines de quark y antiquark.
Aún existe otro quark adicional denominado , y que se introduce para
que pueda aparecer la estrañeza s (no confundir con el espín). Podíamos
encuadrar los quarks como
s{mbolo carga estra~
neza hipercarga
2
1
u p
0
3
3
;
1
1
d n
0
3
3
1
1
1
3
3
(1.199)
51
o
Sabor
M asa (GeV =c)2 Carga elect:
u(arriba)
0;001 0;005
+2=3
d(abajo)
0;003 0;01
1=3
c(encanto)
1;15 1;35
+2=3
s(estra~
neza) 0;075 0;170
1=3
t(tope)
174;3 5;1
+2=3
b(f ondo)
4;0 4;4
1=3
TABLA de quarks. La carga eléctrica está expresada en unidades de
la carga del protón
es decir, en el protón no interviene ya que su estrañeza es 0. La notación
introduce a veces confusión. Como vemos, algunos autores optan por llamar a
u como p y a d como n. El caso del protón, ppn, ó uud será el de carga +1, no
bariónico 1, espín 1/2, sin intervención de la estrañeza: p = p " p " n #. Nunca
pueden haber tres quarks idénticos debido a los espines, ya que interviene el
Principio de Exclusión. Recordemos que p y n tienen distintas cargas.
Veamos que ocurre en función del espín total: Si S = 1=2, tenemos las
opciones
p#n"n"
n"n#
n" "
"
#
p"n"
p"n#
#
"
p"p"n#
p"p#
p" "
doblete nucleónico
0
"
#
0
;
;
:
+
;
(1.200)
+
Como vemos, algo falla. Si el espín fuera S = 3=2,
ppp
ppn
pp
pnn
nnn
pn
p
nn
n
;
(1.201)
que corresponden a
N
++
N
+
+
N
N
estrañeza
0
-1
;
-2
-3
(1.202)
52
donde indica que es un estado de excitación ó resonancia.
Los quarks p; n son más ligeros que el .
Los bosones se forman con un quark y un antiquark para que la carga
bariónica resultante sea 0: pp; nn; ; p ; p , etc. Por ejemplo, el mesón +
está formado por p " n #, cuya carga es 2=3+1=3 = 1, con estrañeza 0+0 = 0.
El mesón estraño k + está formado por p .
En la representación de los quarks la invarianza de isospín tiene un origen
dinámico: se supone que los quarks interactúan intercambiando gluones g,
con espín 1. Es decir, con bosones. Su propiedad fundamental es que su sabor
es neutro: I = 0. En la interación triple, q + qg se conserva el isospín de los
quarks. De hecho, la interacción es invariante bajo SU (2)I , grupo que mezcla
los sabores del espinor de los quarks de acuerdo con q ! U q o q + ! q + U + ,
dejando invariante al gluón.
1.13.2.
Las masas de los quarks
Las masas de los quarks están indicadas como "masa aproximada". Es
muy difícil determinar la masa, o incluso de…nir qué se entiende por masa
de un quark, dado que un quark no se puede aislar. Esto es especialmente
cierto para la generación más ligera (u, d), ya que la mayor parte de la masa
de sus compuestos (como protones y neutrones) no proviene de la masa de
los quarks, sino de la energía de con…namiento:
mup + mup + mdown =
6
mproton;
0;005 + 0;005 + 0;01 =
6
0;938 GeV/c2 :
1.13.3.
Interacciones del quark.
Los quarks tiene, como vemos, carga eléctrica. Por lo tanto, sufren interacciones electromagnéticas.
Los quarks tienen carga de color, de modo que sufren las interacciones
fuertes. Las interacciones fuertes dan lugar a que los quarks se combinen formando hadrones. A su vez, las interacciones fuertes residuales mantienen
a los hadrones unidos para formar núcleos.
Los diferentes tipos de quarks (u, d, c,...) se denominan sabores. El sabor
sólo se modi…ca mediante las interacciones débiles. Poe ejemplo,
0
p+ (u; u; d) + K (d; s) =
0
(d; s; u) +
+
(u; d):
(1.203)
53
Todos los quarks del miembro derecho también están en el izquierdo. Sin
embargo, cuando un quark emite un bosón (virtual) W + o W 0 cambia su
carga eléctrica y, por lo tanto, su sabor. La interacción débil dominante es
la que involucra transiciones entre quarks de la misma generación (la misma
carga). Hay procesos raros entre quarks +2/3 y quarks -1/3.
1.13.4.
Hadrones.
Los quarks son animales gregarios que sólo existen en manada con otros
quarks. Como hemos visto, los quaks tienen carga fraccionaria. En la práctica no se pueden observar directamente estas cargas fraccionarias ya que
los quarks nunca están solos, sino formando partículas complejas llamadas
hadrones. Éstos siempre tienen carga entera, suma de la de los quarks que los
con…guran. Igualmente, aunque los quarks tienen carga de color, los hadrones
tienen color neutro. La masa de un hadrón nunca es igual a la suma de las
masas de losm quarks que lo forman.
Existen dos clases de hadrones:
Bariones:
Son los hadrones formados por tres quarks (qqq), tales como los protones
(uud) y los neutrones (udd).
Mesones:
Son los hadrones formados por un quark (q) y un antiquark (q), como el
pión negativo
(ud).
1.13.5.
El color.
Los quarks y los gluones son partículas con carga de color. Al igual que
las partículas cargadas eléctricamente interactúan intercambiando fotones,
las partículas con carga de color interactúan intercambiando gluones. Esta
es la interacción fuerte. En esta interacción las partículas con color suelen
quedarse pegadas entre sí.
La diferencia fundamental entre las interacciones fuerte y electromagnética consiste en que los portadores de la fuerza fuerte (gluones) tienen carga
de color, mientras que los fotones no tienen carga de color (ni eléctrica). Dos
54
o más quarks, cuando están muy próximos, intercambian gluones automáticamente, generando el campo de fuerza de color, enormemente fuerte, y
que liga a los quarks.
Campo de fuerza de color (CROMODINÁMICA).
Como hemos mencionado, dentro de un hadrón los quarks intercambian
gluones como locos. Estos gluones que mantienen unidos a los quarks son los
que forman el campo de fuerza de color. Si, dentro de un hadrón, alejamos a
un quark de sus amiguitos, el campo de fuerza de color se estira. A medida que
obligamos a los miembros de la banda a separarse, se va añadiendo energía
al campo de fuerza de color. Como si los quarks estuvieran unidos por goma.
Llega un momento en que es más favorable energéticamente que se rompa el
campo transformando energía en masa, y creando dos nuevos quarks. Así se
relaja el campo de fuerza de color. Los quarks no pueden vivir solitos porque
necesitan el campo de fuerza de color con otros amiguitos. Que bonitos son
el amor y la amistad.
La libertad asintótica.
Cuando la distancia que separa dos quarks se hace muy pequeña, la intensidad de la interacción fuerte disminuye. Los quarks, cuando están muy
próximos, se comportan como si fueran libres. Este comportamiento matrimonial fué descubierto por Politzer, Wilczek y Gross (premios Nobel 2004).
Existen tres cargas de color y las correspondientes de anticolor (color
complementario). Los quarks no son de ideas …jas y cambian constantemente
de color cuando intercambian gluones. Cada quark tiene una de las tres cargas
de color, y su antiquark la complementaria. Sin embargo, los gluones tienen
pares color/anticolor, aunque no obligatoriamente del mismo color. No es
necesario que tengan el par rojo/antirojo. Puede ser rojo/antiazul. A pesar
de que hay nueve combinanciones de pares color/anticolor, una de ellas se
desecha por estrañas consideraciones de simetría. Uno se pregunta ¿Cómo un
barión, formado por tres quarks, es incoloro?
La carga de color se conserva siempre. Cuando un quark emite o
absorve un gluón, el color del quark tiene que variar para que se conserve
la carga de color. Si un quark rojo"se transforma en uno .azul.em itiendo un
gluón rojo/antiazul", el color neto sigue siendo rojo". Dentro de un hadrón
los quarks emiten y absorven gluones constantemente, por lo que no es posi-
55
ble ver el color de un quark. Pero el hadrón tendrá siempre color neutro para
ser observable.Debido a que aún quedaban confusos los espines y el principio
de exclusión, apareció una propuesta posterior compuesta por 12 quarks. Es
decir, los quarks deben tener otro número cuántico interno. Vimos que el
protón estaba con…gurado por p " p " n #, violando el mencionado principio.
Por ello se intrudujo el color, el cual marca en cierta forma a los quarks.
Existen tres variantes que son azul, rojo y amarillo. De los tres quarks originales pasamos a nueve. Finalmente se añadió un cuarto color para obtener los
doce quarks pertinentes. Estos doce elementos suelen agruparse ahora como
4 aromas y 3 colores. Como puede verse, un galimatías, pues llegan a sobrar
posibilidades. Esto da lugar al principio de incoloración.
Principio de Incoloración.
Todas la partículas han de ser "incoloras". Es decir, la mezcla de colores
de los quarks que forman una partícula ha de ser neutro. Esto debería ser
posible quando el número de quarks en una partícula fuera par. Los quarks
se unen entre sí mediante los gluones, que son partículas de espín } y masa en
reposo nula, cual los fotones. La emisión o absorción de un gluón no cambia
el aroma pero sí color, lo que da lugar a la teoría de la Cromodinámica QDC.
Podemos hacer la siguiente tabla:
p
n
c
masa (eV) carga estrañeza encanto
0.336
2/3
0
0
0.338
-1/3
0
0
:
0.540
-1/3
-1
0
1.5
2/3
0
1
(1.204)
Al descubrirse nuevos leptones pesados , con masa 3500 me , se pensó en
la existencia de neutrinos relativos . También se descubrieron mesones
ipsilon , de masa 18000 me , lo que dió pié a la idea de que existían quarks
más pesados. Estos, con sus antiquarks, forman los mesones pesados. Para
conservar la simetría quark-leptón se inrodujo a los nuevos quarks top y
botton.
56
1.14.
Interacción fuerte
1.14.1.
De…nición.
Es la que mantiene unidos a los nucleones [p; n]. Para ser más precisos,
es la que produce el intercambio protón-neutrón
p + ! n + A+ ;
(1.205)
idea original de Yukawa. La diferencia de masas o energías viene dada por
E = mA c2 = }t , siendo t = lc0 , y l0 el tamaño del núcleo. Por lo tanto,
mA = l0}c . Esta partícula A puede corresponder con alguno de los mesones
[ + ; 0 ; ] ó [ + ; 0 ; ]. Debido a las masas, sabemos que son los segundos.
La estrañeza se conserva en las interacciones fuertes.
1.14.2.
Principio de la carga bariónica ó hiperacarga.
La diferencia entre el número de bariones y antibariones en una reacción
es invariante.
1.15.
Interacción débil
Hay otra interacción que neceita explicación: la débil. Uno se pregunta:
si hay 6 tipos de quarks y 6 tipos de leptones, entonces ¿por qué solo existe
materia estable en este cochino mundo formada por sólo los dos tipos de
quarks más livianos (up y down), y por el leptón más ligero (electrón)?.
Pues la interacción débil es la responsable de que quarks y leptones pesados
decaigan para producir quarks y leptones mas ligeros. Pero en más cantidad,
claro está.
Cuando un quark o leptón cambian de tipo (un muón transformándose en
electrón) se dice que cambia de sabor. Pues todos los cambios de sabor los
produce la interacción débil. Las partículas portadoras de esta interacción son
los bosones W+ ; W ; Z. El modelo Standard agrupa a la interacción débil
con la electromagnética en la interacción electrodébil. Las interacciones
débiles se detectaron en trabajos sobre radioactividad.
1.15. INTERACCIÓN DÉBIL
1.15.1.
57
De…nición
Son aquellas en las que intervienen neutrinos y cambia la estrañeza, como es la desintegración . Recordemos que la estrañeza se conserva en las
interacciones fuertes y electromagnéticas. Los neutrinos son unos artefactos curiosos que no tienen imagen especular (Drácula debió ser un neutrino
enorme). Fué Madame Wu la que analizó la ruptura de la simetría especular. Existen neutrinos electrónicos y mesónicos. Reacciones típicas donde
intervienen neutrinos son:
+
K
K+
K+
n
+
n+e
! e + + ;
! ++ ;
! + + + 0;
! e+ + + 0 ;
! p+e + ;
p+ :
(1.206)
En las interacciones débiles siempre participan 4 fermiones de espín }=2:Se
agrupan por pares de una partícula cargada y otra neutra. Aparecen las dudas
en reacciones como + ! + + , donde falta un fermión. Lo que realmente
ocurre es que + ! p + n (mediante una interacción fuerte) ! + + ,
mediante la débil.
Hagamos un cuadro de los intermediarios en las interacciones:
Interacción
partícula
Electromagnética
fotón
Fuerte
mesones
Débil
¿bosones intermedios?
alcance
1
;
10 13 cm
10 15 cm
(1.207)
1
}
donde el alcance o radio de interacción es del orden de mpotador
:
mc
Posteriormente Weinberg y Salam (1973) parieron la Teoría Electrodébil,
que es renormalizable con bosones neutros dando lugar a corrientes neutras.
Es decir, aparecen singularidades que pueden evitarse, cosa que no ocurre
con bosones vectoriales pesados. Un caso donde interviene un bosón neutro
es
+p !
+ n + +;
(1.208)
con intervención de un bosón neutro W . En electrodinámica, la fuente que
emite y absorbe fotones es la corriente. En la interacción débil son los bosones
58
neutros que generan corrientes neutras (movimiento de partículas no cargadas). El fotón y el bosón W tienen el mismo espín (momento propio de la
cantidad de movimiento). Resulta curioso que los mesones se comportan de
forma idéntica en cualquier interaccción excepto la electromagnética. Estos
bosones no son más que tres manifestaciones de carga de la misma entidad,
como la Virgen. No hay Virgen del Pino, del Rocio, etc, sino millones de
manifestaciones de carga de la misma entidad: Astarté, Isthar, Isis. O sea,
la triple diosa madre. Existe un problema: el fotón no tiene masa en reposo,
pero los bosones W y Z pesan como 80 protones. Weinberg no introdujo la
masa del bosón en sus ecuaciones, siendo las partículas simétricas respecto
a las masas. La ruptura expontánea de esta simetría da lugar a las distintas
masas.
1.15.2.
Partículas de vida efímera o resonancias.
Son partículas con una vida media de 10 23 s. Se obtienen bombardeando hidrógeno con mesones + . Estos se dispersan con mayor intensidad a
200 106 eV (200 MeV) de forma
+
siendo
++
+ p+ !
++
!
+
+ p+ ;
!
0
+
(1.209)
una resonancia. Otro caso es
K + p+ !
+
+
+
+
;
(1.210)
donde + es una resonancia.
A las resonancias se les considera como patícuals diferentes a leptones,
mesones y bariones.
1.16.
Las partículas elementales. Modelo Standard.
Las partículas fundamentales de la materia son seis quarks y seis leptones
(y sus correspondientes antipartículas). El electromagnetismo y la fuerza débil son mediados por los bosones gauge del modelo Glashow-Weinberg-Salam
(g; W ; Z). La fuerza fuerte se atribuye a los ocho gluones de la cromodinámi-
1.17. EL GRUPO SU(3)I
59
ca cuántica.
1.17.
El grupo SU(3)I
Haciendo un resúmen, vemos que, en la representación de los quarks, la
invariancia de isospín tiene un origen dinámico. Se supone que los quarks
interactúan entre sí intercambiando gluones g, con isospín 1. Es decir, son
bosones. Su propiedad fundamental es que su sabor es neutro. En particular,
I = 0. En la interacción triple q + qg se conserva el isospín de los quarks. De
hecho, la interacción es invariante bajo el grupo SU (2)I , el cual mezcla los
sabores del espinor de los quarks de acuerdo con q ! U q y q + ! q + U + ,
dejando invariante al gluón.
La invariancia SU (2)I del isospín tiene una extensión natural en el caso
donde estén involucrados más de dos sabores. Por lo menos existen tres tipos
de quarks: estrañeza s, encanto c y fondo b. cada uno acarrea un número
cuántico aditivo que se conserva bajo interacciones fuertes. Con estos quarks
adicionales la acción (vertex) fundamental es + g, donde
es el vector
columna (u p; d n; s; c; b). Es invariante bajo transformaciones más amplias
! U , siendo U cualquier matriz de transformación que represente
a un elemento del grupo SU (Nf )I , siendo Nf el número de sabores, cinco es
nuestro caso. Sin embargo, no lo son bajo interacciones débiles y electromagnéticas debido a las masas de los quarks.
A medida que los aceleradores han ido aumentando su energía han aparecido un montón de partículas nuevas, algunas con vida relativamente larga
60
Figura 1.7: El noneto seudoescalar del SU(3)
(10 8 s). La cantidad que se produce es consistente con la interacción fuerte.
Sin embargo, desaparecen por el mismo mecanismo. La explicación se achaca,
supuestamente, a un nuevo número cuántico que ya hemos mencionado: la
estrañeza, que se conserva en las interacciones fuertes.
Las partículas se producen esencialmente por pares ss, cuya carga total neta es nula. Pueden producirse rápidamente pero decaer débilmente.
Gradualmente empezaron a aparecer multipletes de partículas con diferente
isospín I y estrañeza S, pero con las mismas propiedades espaciales, momento angular intrínseco (espín) J y paridad P (debida a la re‡exión espacial
x ! x). Los multipletes tienen, como ya hemos avanzado, casi la misma
carga, aunque con diferencias mayores en un 20 % que en el caso del isospín
a solas. Los multipletes mejor establecidos son:
1- EL mesón seudoescalar P, con espín-paridad J P = 0 , y formado por
0
( + ; 0 ; ), k(k + ; k ), k(k ; k ), y 0 , con un total de 9 partículas. Se
pueden dibujar en el espacio (I3 ; Y ):La hipercarga de los mesones es equivalente a la estrañeza pues
S = Y + B;
siendo B el número bariónico. Para los mesones B = 0 y pueden construirse
61
Figura 1.8: El noneto de espín 1
con pares qq.
2- Para los nucleones y la partícula delta ( ), B = 1 y llevan los números
cuánticos de qqq. Por tanto, existe un nonete de mesones vectoriales de espín
1 que comprende a es sus tres estados de carga ( + ; 0 ; ), al doblete
0
k (k + ; k 0 ) y sus antipartículas k (k ; k ), más ! y '. Tienene la misma
estructura en el espacio (I3 ; Y ) que los anteriores.Respecto a los bariones, los
nucleones forman parte del octeto (n; p), ( + ; 0 ; ), ( 0 ; ) y 0 :donde
I3 = Y = 0. Sólo hay una partícula en el centro. En realidad, es parte de
un cuadruplete y no de un octete, con los estados excitados
y , partícula
de hipercarga Y = 2, o estrañeza s = 3.
Si tenemos en cuenta la suma directa S = Y B, y que el producto de
representaciones puede descomponerse como I 3=2 I 1=2 = I 1 I 2 , obtenemos
un decuplete con espín -3/2:Todas estas representaciones se entiende que hay
que verlas en términos de simetrías SU (3)I para interacciones fuertes, con las
representaciones irreducibles adecuadas. Por supuesto,
se produce para
62
Figura 1.9: El octeto bariónico
rellenar un multiplete incompleto formado por ; ; .
A nivel de quarks sólo hemos añadido la estrañeza s, que es invariante
bajo SU (3)I en interacciones fuertes. Tendríamos así tres sabores u; d; s. La
estrañeza tiene isospín I = 0 e hipercarga Y = 2=3, que podrían con…gurar un simple triánguloCon la inclusión de s, los números cua´nticos de
los mesones y bariones puede obtenerse de las construcciones qq y qqq, que
forman las representaciones 3 y 3 del SU (3)I .
Como comentamos antes, los colores se añaden para simpli…car las combinaciones (cosa que no hacen). Existen cuatro colores básicos: azul, rojo,
amarillo (o magenta, dependiendo de los autores) y verde, así como sus anticolores. Las partículas tienen color neutro, suma de un color y su anticolor,
o de dos colores complementarios. Cada partícula lleva adjudicado el vector
(u; d; s; c; b) (arriba, abajo, estrañeza, encanto, fondo) :
Figura 1.10: El decuplete de espín 3/2
63
64
Figura 1.11: Los quarks en el espacio (I3 ; Y ).
Bibliografía
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Grupos Continuos - Universidad de La Laguna

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