Teor´ıa avanzada de grupos

Teorı́a avanzada de grupos
Dr. Manuel Cruz López
Departamento de Matemáticas
Universidad de Guanajuato
2 de marzo de 2011
Capı́tulo
1
Acciones de grupos
1.1.
Acciones de grupos
Definiciones básicas y ejemplos
Sea G un grupo y X un conjunto.
Definición 1.1.1 Decimos que G actúa (por la izquierda) en X si existe una aplicación G×X −→ X
dada por
(g, x) 7−→ g · x = gx
que satisface las siguientes propiedades:
• e · x = x para toda x ∈ X.
• (g1 g2 ) · x = g1 · (g2 · x), para toda g1 , g2 ∈ G y para toda x ∈ X.
Similarmente definimos una acción (por la derecha) de G en X. De hecho, observemos que si
tenemos una acción por la derecha de G en X, entonces podemos definir una acción por la izquierda
de G en X dada por (g, x) 7−→ xg −1 .
A un conjunto X con la acción de un grupo G le llamaremos un G–conjunto. En general usaremos
siempre acciones por la izquierda y X será un G–conjunto.
Observemos ahora que para toda g ∈ G, la traslación por g, Lg : X −→ X dada por x 7−→ gx es
una aplicación biyectiva con inversa (Lg )−1 = Lg−1 . Esto es,
Lg ∈ S(X) := {ϕ : X −→ X : ϕ es biyectiva}.
Tenemos entonces una aplicación bien definida G −→ S(X) dada por g 7−→ Lg , la cual es un
homomorfismo ya que X es un G–conjunto. Entonces, toda acción de G en X define un homomorfismo
G −→ S(X) y recı́procamente, todo homomorfismo G −→ S(X) define una acción de G en X.
Ejemplo 1.1.2 (Algebraicos)
1. El grupo simétrico Sn actúa en X = {1, . . . , n}.
2. Todo subgrupo H de un grupo G actúa por traslaciones izquierdas en G:
H × G −→ G,
1
(h, x) 7−→ hx.
3. Sea H ⊂ G un subgrupo. Entonces, G actúa en el conjunto de clases laterales izquierdas de H
en G:
G × G/H −→ G/H,
(g, xH) 7−→ (gx)H.
4. Denotemos por Aut(G) al conjunto que consta de todos los automorfismos de G. Entonces,
Aut(G) es un grupo bajo composición y actúa en G por evaluación:
Aut(G) × G −→ G,
(ϕ, x) 7−→ ϕ(x).
5. Todo grupo actúa en si mismo por conjugación:
(g, x) 7−→ gxg −1 .
G × G −→ G,
a. Para cada g ∈ G, la aplicación ig : G −→ G dada por x 7−→ gxg −1 define un automorfismo
de G. Un automorfismo de esta forma se llama un automorfismo interno. Los otros automorfismos de G se llaman automorfismos externos. La acción de G en si mismo por conjugación
induce un homomorfismo
i : G −→ Aut(G), g 7−→ ig .
De hecho,
igh (x) = (gh)x(gh)−1
= g(hxh−1 )g −1
= (ig ◦ ih )(x).
La imagen de G bajo i se denota por Int(G). El kernel de este homomorfismo es el centro
de G:
Z(G) := {g ∈ G : gx = xg para toda x ∈ G}.
Por el primer teorema de isomorfismo obtenemos
G/Z(G) ∼
= Int(G).
b. Si N ⊂ G es un subgrupo normal, entonces G actúa en N y en G/N por conjugación:
G × N −→ N,
G × G/N −→ G/N,
(g, x) 7−→ gxg −1
(g, xN ) 7−→ g(xN )g −1 .
Ejemplo 1.1.3 (Grupos Clásicos)
Si V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre R, entonces el conjunto
GL(V ) = {T : V −→ V : T es lineal e invertible},
forma un grupo con respecto a la composición y con elemento idéntico la transformación identidad.
Cuando V = Rn este grupo se denota por GL(n, R) y se caracteriza de la siguiente manera:
GL(n, R) := {A ∈ Mn×n (R) : det A 6= 0} = {A ∈ Mn×n (R) : A no es singular}.
El grupo GL(n, R) actúa en el conjunto de todas las transformaciones lineales de Rn , el cual
denotamos por End(Rn ). Esto es,
GL(n, R) × End(Rn ) −→ End(Rn ) (g, T ) 7−→ gT g −1 .
Equivalentemente, GL(n, R) actúa en el conjunto de todas las matrices Mn×n (R):
GL(n, R) × Mn×n (R) −→ Mn×n (R) (g, AT ) 7−→ gAT g −1 .
2
Ejemplo 1.1.4 Consideremos la acción de O(n+1) en Rn+1 por evaluación. Es claro que la n–esfera
Sn ⊂ Rn+1 es invariante bajo esta acción. Esto es, O(n + 1) actúa en la n–esfera Sn .
Ejemplo 1.1.5 (Geométricos)
1. Z actúa en R por traslaciones:
Z × R −→ R,
n · x = x + n.
2. Z actúa en R2 por traslaciones:
Z × R2 −→ R2 ,
n · (x, y) = (x + n, y).
3. Z2 actúa en R2 por traslaciones:
Z2 × R2 −→ R2 ,
(n, m) · (x, y) = (x + n, y + m).
4. SL(2, R) actúa en el semiplano superior H := {z ∈ C : Im(z) > 0} por transformaciones de
Möbius:
az + b
SL(2, R) × H −→ H,
γ·z =
,
cz + d
¶
µ
a b
con a, b, c, d ∈ R y ad − bc = 1.
donde γ =
c d
5. Un caso especial importante del ejemplo anterior es el siguiente. El subgrupo de SL(2, R)
definido por
½µ
¶
¾
a b
SL(2, Z) :=
∈ SL(2, R) : a, b, c, d ∈ Z, ad − bc = 1
c d
se llama el grupo modular. Su acción en el semiplano superior define una “teselación” del
semiplano superior.
Figura 1.1: La acción de SL(2, Z) en H.
3
b actúa en C
b por transformaciones de Möbius:
Ejemplo 1.1.6 Aut(C)
b ×C
b −→ C,
b
Aut(C)
γ · z = γ(z) =
az + b
.
cz + d
Definición 1.1.7 Si x ∈ X definimos la órbita de x bajo la G–acción como
O(x) = G · x := {gx : g ∈ G}.
Esta noción nos permite definir una relación de equivalencia en X: x ∼G y si y sólo si existe
g ∈ G tal que y = gx. Observemos que las clases de equivalencia bajo esta relación son las G–órbitas.
Entonces, las G–órbitas nos determinan una partición de X en subconjuntos ajenos. Denotaremos
por X/G al conjunto que consta de todas las G–órbitas y por π : G −→ X/G a la proyección
canónica.
Ejemplo 1.1.8
1. Las órbitas de la acción de H en G por traslaciones izquierdas son los clases
laterales derechas de H en G: Si x ∈ G, entonces, O(x) = {hx : h ∈ H} = Hx.
Similarmente, las órbitas de la acción de H en G por traslaciones derechas son los clases
laterales izquierdas de H en G: Si x ∈ G, entonces, O(x) = {xh : h ∈ H} = xH.
2. Las órbitas de la acción de G en si mismo por conjugación son las clases de conjugación:
{gxg −1 : g ∈ G}
(x ∈ G).
Observemos que hay una sola clase de conjugación si y sólo si x ∈ Z(G).
Definición 1.1.9 Si x ∈ X definimos el estabilizador (subgrupo de isotropı́a) de x como
Stab(x) = Gx := {g ∈ G : gx = x}.
Observemos primero que Stab(x) ⊂ G es un subgrupo.
Lema 1.1.10 Si y ∈ O(x), entonces Stab(y) = gStab(x)g −1 .
Demostración. Supongamos que y = gx, para algún g ∈ G. Si g 0 ∈ Stab(x), entonces,
y = gx = gg 0 x = (gg 0 g −1 )y.
Esto es, gg 0 g −1 ∈ Stab(y) y por lo tanto, gStab(x)g −1 ⊆ Stab(y).
Supongamos ahora que g 0 ∈ Stab(y). Entonces,
x = g −1 y = g −1 g 0 y = (g −1 g 0 g)x.
Esto es, g −1 g 0 g ∈ Stab(x) y por lo tanto, Stab(y) ⊆ gStab(x)g −1 . Por lo tanto,
Stab(y) = gStab(x)g −1 .
¡
Observemos ahora que
ker(G −→ S(X)) = {g ∈ G : gx = x para toda x ∈ X}
\
=
Stab(x).
x∈X
4
Luego,
\
Stab(x) ⊂ G
x∈X
es un subgrupo normal. Esta observación motiva la siguiente:
Definición 1.1.11 Decimos que G actúa efectivamente (fielmente) en X si
\
Stab(x) = {e}.
x∈X
Decimos que G actúa libremente en X si Stab(x) = {e} para toda x ∈ X.
Ejemplo 1.1.12
1. Consideremos la acción de G en si mismo por conjugación.
a. Si x ∈ X, entonces,
Stab(x) = {g ∈ G : gxg −1 = x} = {g ∈ G : gx = xg} := CG (x)
es el centralizador de x en G. La intersección
\
CG (x) = {g ∈ G : gx = xg para toda x ∈ G} = Z(G)
x∈X
es el centro de G.
b. Si H ⊂ G un subgrupo, entonces, el estabilizador de H es
Stab(H) := {g ∈ G : gHg −1 = H} := NG (H)
se llama el normalizador de H en G. NG (H) es el subgrupo más grande en G que contiene a
H como subgrupo normal.
2. Sea H ⊂ G un subgrupo y consideremos la acción de G en G/H por traslaciones izquierdas
(g, xH) 7−→ (gx)H. Entonces,
Stab(H) := {g ∈ G : gH = H} = H.
3. Consideremos la acción de O(n + 1) en Sn : Si en+1 := (0, . . . , 1), el estabilizador de en+1 es el
subgrupo
½µ
¶
¾
A 0
: A ∈ O(n) .
0 1
Esto es,
Stab(en+1 ) ∼
= O(n).
4. Consideremos la acción de SL(2, R) en H: Si
µ
¶
a b
· i = i,
c d
entonces a = d y c = −b. Esto es, el estabilizador de i es el subgrupo
½µ
¶
¾
a −b
2
2
Stab(i) =
:a +b =1 ∼
= SO(2, R).
b a
5
Acciones transitivas
Decimos que G actúa transitivamente en X si dados cualesquiera dos puntos distintos x, y ∈ X,
existe un elemento g ∈ G tal que y = gx.
Ejemplo 1.1.13
1. Sn actúa transitivamente en {1, . . . , n}.
2. Si H ⊂ G es un subgrupo, entonces G actúa transitivamente en G/H por traslaciones izquierdas.
3. En general, G no actúa transitivamente en G (N ó G/N ) por conjugación.
Esta noción se puede generalizar de la siguiente manera: G actúa n–transitivamente en X si dadas
cualesquiera dos n–adas de puntos distintos x1 , . . . , xn y y1 , . . . , yn (xj 6= yj ) en X, existe g ∈ G tal
que yj = g(xj ) para toda j = 1, . . . , n.
Antes de probar nuestro primer teorema importante, damos una definición general:
Definición 1.1.14 Sean X, Y G–conjuntos. Una aplicación ϕ : X −→ Y es un morfismo (aplicación
G–equivariante) si
ϕ(gx) = gϕ(x) para toda g ∈ G, x ∈ X.
Un isomorfismo de G–conjuntos es una aplicación equivariante que es biyectiva.
El siguiente teorema señala claramente la importancia de considerar acciones transitivas: éstas
nos permiten describir de manera precisa los espacios de órbitas.
Teorema 1.1.15 Supongamos que G actúa transitivamente en X y sea x ∈ X. Entonces, la aplicación
ϕ : G/Stab(x) −→ X
dada por
gStab(x) 7−→ gx
es un isomorfismo de G–conjuntos.
Demostración. ϕ está bien definida, ya que si h, h0 ∈ Stab(x), entonces
(gh)x = g(hx) = gx = g(h0 x) = (gh0 )x.
Esto es, ϕ es constante en las clases. Por definición, ϕ es equivariante . Para ver que ϕ es inyectiva,
observemos que si gx = g 0 x, entonces g −1 g 0 ∈ Stab(x) y por lo tanto, g 0 ∈ gStab(x). Similarmente,
g ∈ g 0 Stab(x). Esto es, gStab(x) = g 0 Stab(x) y por lo tanto, ϕ es inyectiva. Finalmente, ϕ es
suprayectiva ya que la acción es transitiva. Por lo tanto, ϕ es un G–isomorfismo.
¡
Corolario 1.1.16 |O(x)| = (G : Stab(x)).
Demostración. La acción de G en la órbita O(x) es transitiva. Por el teorema anterior, la aplicación
ϕ : G/Stab(x) −→ O(x)
dada por
gStab(x) 7−→ gx
6
es un G–isomorfismo.
¡
Otra consecuencia del teorema 1.1.15 es que podemos calcular el número de conjugados gHg −1
de un subgrupo H de G, el cual es (G : NG (H).
Hemos visto que, dado un subgrupo H de G, el normalizador NG (H) es el subgrupo más grande
de G que contiene a H como subgrupo normal. Determinaremos ahora quién es el subgrupo normal
más grande contenido en H. Antes necesitamos el siguiente:
Lema 1.1.17 Si H ⊂ G es un subgrupo, entonces
\
gHg −1 ⊂ H
g∈G
es el subgrupo normal más grande contenido en H.
T
Demostración. Sea N := g∈G gHg −1 . Claramente N es un subgrupo de G. Si x ∈ G, entonces
Ã
!
\
xN x−1 = x
gHg −1 x−1
=
\
g∈G
(xg)H(xg)−1
g∈G
=
\
g 0 Hg 0−1
g 0 =xg∈G
= N.
Entonces, N es un subgrupo normal de G contenido en eHe−1 = H. Supongamos ahora que
N0 ⊂ H es un subgrupo normal. Entonces,
N0 = gN0 g −1 ⊂ gHg −1
para toda g ∈ G. Luego,
N0 ⊂
\
gHg −1 = N.
g∈G
¡
Proposición 1.1.18 Si G actúa transitivamente en X, entonces, para cada x ∈ X
ker(G −→ S(X))
es el subgrupo normal más grande contenido en Stab(x).
Demostración.
ker(G −→ S(X)) =
\
Stab(x)
x∈X
=
\
Stab(gx)
g∈G
=
\
gStab(x)g −1 .
g∈G
El lema anterior implica que ker(G −→ S(X)) es subgrupo normal más grande contenido en
Stab(x).
¡
7
La ecuación de clase
Si X es un G–conjunto finito, entonces
X=
n
[
Oj .
j=1
Luego,
|X| =
n
X
|Oj |
j=1
n
X
=
(G : Stab(xj )),
j=1
donde xj ∈ Oj .
Cuando G actúa en si mismo por conjugación obtenemos:
Teorema 1.1.19 (La ecuación de clase)
|G| =
X
(G : CG (x)),
donde x varı́a en un conjunto de representantes de las clases de conjugación.
Aplicaciones equivariantes
Recordemos que si X, Y son G–conjuntos, una aplicación ϕ : X −→ Y es equivariante si
ϕ(gx) = gϕ(x) para toda g ∈ G, x ∈ X.
Proposición 1.1.20 Sea ϕ : X −→ Y una aplicación equivariante entre dos G–conjuntos. Entonces,
a. ϕ induce una única aplicación ϕ : X/G −→ Y /G que hace conmutar el siguiente diagrama:
ϕ
X −→ Y


πX πY 
y
y
ϕ
X/G−→Y /G
b. Si ψ : Y −→ Z es una aplicación equivariante entre G–conjuntos, entonces ψ ◦ ϕ : X −→ Z es
equivariante y ψ ◦ ϕ = ψ ◦ ϕ.
c. Si ϕ es invertible, entonces ϕ−1 : Y −→ X es equivariante y
ϕ−1 = ϕ−1
y
X/G ∼
= Y /G.
Demostración.
a. Por equivarianza, ϕ es constante en las órbitas. Luego, induce una única aplicación ϕ : X/G −→
Y /G dada por ϕ(xG) := ϕ(x)G. Además,
ϕ ◦ πX = πY ◦ ϕ.
8
b. Es inmediata.
c. Si ϕ es invertible, entonces
ϕ−1 (gy) = ϕ−1 (gϕ(ϕ−1 y))
= ϕ−1 ϕ(gϕ−1 y)
= gϕ−1 (y)
para toda y ∈ Y . Por lo tanto, ϕ−1 es equivariante. Además, idX = idX/G , idY = idY /G implican
que
ϕ−1 ◦ ϕ = idX
ϕ ◦ ϕ−1 = idY .
Por lo tanto,
ϕ−1 = ϕ−1
y
X/G ∼
= Y /G.
¡
Supongamos que X es un G–conjunto. Si H ⊂ G es un subgrupo y A es un subconjunto de X,
decimos que A es H–invariante si ha ∈ A, para toda h ∈ H y toda a ∈ A. Si S es un subconjunto de
G, definimos el conjunto de puntos fijos con respecto de S
X S := {x ∈ X : gx = x para cada g ∈ S}
= {x ∈ X : S ⊆ Stab(x)}.
Proposición 1.1.21 Sea ϕ : X −→ Y una aplicación equivariante entre G–conjuntos. Si H ⊂ G es
un subgrupo de G, entonces
a. ϕ(X H ) ⊆ Y H .
b. Si A ⊂ X es un conjunto H–invariante, entonces ϕ(A) ⊂ Y es H–invariante.
c. Si B ⊂ Y es un conjunto H–invariante, entonces ϕ−1 (B) ⊂ X es H–invariante.
Dejamos la demostración como un ejercicio.
1.2.
Ejercicios
1. Probar que la acción de O(n + 1) en Sn es transitiva. Concluye que
O(n + 1)/O(n) ∼
= Sn .
Similarmente prueba que
SO(n + 1)/SO(n) ∼
= Sn .
2. Prueba que la acción de SL(2, R) en H es transitiva. Concluye que
H∼
= SL(2, R)/SO(2, R).
9
3. Prueba que el espacio de órbitas de la acción de C2 := Z/2Z en T := S1 × S1 dada por
(g, (z1 , z2 )) 7−→ (−z1 , z 2 ) es isomorfo a la botella de Klein.
4. Analiza las siguientes acciones:
a. La acción de C2 en R dada por (g, x) 7−→ −x. ¿Quién es el espacio de órbitas?
b. La acción de S1 en C dada por (eiθ , z) 7−→ eiθ z. ¿Quién es el espacio de órbitas?
5. Prueba que la acción de Z en el subespacio A := {(x, y) ∈ R2 : −1/2 ≤ y ≤ 1/2} de R2 dada
por (n, (x, y)) 7−→ (x + n, (−1)n y) es efectiva. Determina los estabilizadores de los puntos de A
y describe el espacio de órbitas.
6. a. Prueba que la Ecuación de Clase se puede escribir en la forma
X
|G| = |Z(G)| +
(G : CG (x)),
donde x varı́a en un conjunto de representantes de las clases de conjugación que contienen
más de un elemento.
b. Prueba el teorema de Cauchy: Si p es un número primo que divide a |G|, entonces G contiene
un elemento de orden p.
c. Prueba que si G 6= {e} es un p–grupo, entonces Z(G) 6= {e}.
7. Prueba:
a. Si H es un subgrupo de G tal que H ⊂ Z(G) y el cociente G/H es cı́clico, entonces G es
abeliano.
b. Todo grupo de orden p2 es abeliano. Por lo tanto es isomorfo a Cp × Cp ó Cp2 .
8. Prueba los teoremas de Sylow.
9. a. Sea X un G–conjunto y N ⊂ G un subgrupo normal. Prueba que la aplicación
G/N × X/N −→ X/N
(gN, xN ) 7−→ (gx)N
define una acción de G/N en X/N . Además, existe una aplicación biyectiva
ϕ : (X/N )/(G/N ) −→ X/G
tal que el diagrama
π
G
X −→

πN
y
X/G


ϕ−1 y
π
NG
X/N −→(X/N
)/(G/N )
conmuta. Esto es,
ϕ ◦ πN G ◦ πN = πG .
b. Utiliza (a) para probar que la acción de G en X induce una acción efectiva del grupo cociente
G/ ker(G −→ S(X)) en X de manera que
X/G ∼
= X/(G/ ker(G −→ S(X))).
10
10. Sea X1 un G1 –conjunto y X2 un G2 –conjunto. Prueba que la aplicación
(G1 × G2 ) × (X1 × X2 ) −→ X1 × X2
dada por
((g1 , g2 ), (x1 , x2 )) 7−→ (g1 x1 , g2 x2 )
define una acción de (G1 × G2 ) en (X1 × X2 ). Además,
X1 × X2 /G1 × G2 ∼
= X1 /G1 × X2 /G2 .
11. Si un grupo G actúa en cada uno de los elementos de una colección numerable
de conjuntos
Q
{Xα : α ∈ A}, entonces la acción diagonal de G en el producto directo α Xα está dada por:
Y
Y
G×
Xα −→
Xα ,
(g, (xα )) 7−→ (gxα ).
α
α
Prueba:
Q
a. Las proyecciones de coordenadas pα :
α
Xα −→ Xα son aplicaciones equivariantes.
b. Las funciones inducidas pα determinan una aplicación suprayectiva
P :(
Q
α Xα )/G
−→
Q
α Xα /G.
12. Sea X un G–conjunto. Si S ⊂ G es un subconjunto y H ⊂ G es un subgrupo, prueba:
a. Si (S) es el subgrupo generado por S, entonces X S = X (S) .
b. X H es NG (H)–invariante.
c. Si N ⊂ G es un subgrupo normal, entonces X N es invariante.
13. Prueba que si ϕ : X −→ Y es una aplicación equivariante entre G–conjuntos y H es un
subgrupo de G, entonces
a. ϕ(X H ) ⊆ Y H .
b. Si A ⊂ X es un conjunto H–invariante, entonces ϕ(A) ⊂ Y es H–invariante.
c. Si B ⊂ Y es un conjunto H–invariante, entonces ϕ−1 (B) ⊂ X es H–invariante.
14. a. Sea f : C −→ C una función racional dada por
f (z) :=
az + b
,
cz + d
b −→ C;
b
donde a, b, c, d ∈ C y ad−bc 6= 0. Prueba que f se extiende a un biholomorfismo f : C
b
i.e., f es un automorfismo conforme de C.
b el conjunto que consta de todas las transformaciones de la esfera definidas como
b. Sea Möb(C)
b es un grupo bajo composición y concluye que este grupo coincide
en (a). Prueba que Möb(C)
b
con el grupo de todos los automorfismos conformes de la esfera, Aut(C).
11
c. Sea
½µ
SL(2, C) :=
a b
c d
¶
¾
: a, b, c, d ∈ C, ad − bc = 1 .
b dada por
Prueba que la aplicación SL(2, C) −→ Möb(C)
µ
¶
az + b
a b
7−→
c d
cz + d
es un homomorfismo suprayectivo de grupos (topológicos) e induce un isomorfismo de grupos
(topológicos)
b ∼
Möb(C)
= SL(2, C)/{±id}.
El grupo PSL(2, C) := SL(2, C)/{±id} se llama el grupo proyectivo especial lineal.
12