Examen Graduado de Aprovechamiento Haga tres de los cinco

Examen Graduado de Aprovechamiento Haga tres de los cinco

Universidad de Puerto Rico
Facultad de Ciencias Naturales
Departamento de Matemáticas
Recinto de Rı́o Piedras
Examen Graduado de Aprovechamiento
Area: Optimización Nolineal
Fecha: jueves, 8 de febrero de 2007
Haga tres de los cinco problemas.
1. Sea f : Ω ⊆ Rn → R, f ∈ C 1 y sea x∗ ∈ Ω un mı́nimo relativo de f.
a) (30 %) Pruebe que para cualquier d ∈ Rn que sea dirección factible en x∗ ,
∇f (x∗ )d ≥ 0.
b) (30 %) Pruebe que si x∗ es un punto interior de Ω entonces ∇f (x∗ ) = 0.
c) (40 %) Para aproximar una función g en el intervalo [0, 1] usando un polinomio p
de grado n (o menor) uno minimiza la siguiente expresión
Z 1
f (a) =
[g(x) − p(x)]2 dx,
0
donde p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 . Encuentre la ecuación que satisface el
coeficiente óptimo a = (a0 , a1 , · · · , an )T .
2. Considere el problema
mı́n f (x),
(1)
donde
1
f (x) = xT Qx − bT x,
2
Q es una matriz n × n simétrica y definida positiva. Considere la iteración siguiente
xk+1 = xk + αk dk ,
donde αk se selecciona tal que minimice a f (xk + αk dk ) y el vector dk satisface
∇f (xk )T dk < 0.
a) (50 %) Demuestre que
αk =
∇f (xk )T dk
.
dTk Qdk
b) (50 %) Si además dk satisface
(∇f (xk )T dk )2 ≥ β(∇f (xk )T ∇f (xk ))(dTk dk );
Estime la tasa de convergencia de este algoritmo.
1
0 < β ≤ 1.
3.
a) (50 %) Considere la función f definida como
1
f (x) = xT Qx − bT x,
2
donde Q is una matriz n × n, simétrica y definida positiva y x ∈ Rn . Sea x1 un
mı́nimo de f en un subespacio de Rn que contine el vector d y sea x2 el mı́nimo
de f en otro subespacio que contiene a d. Suponga que f (x1 ) < f (x2 ). Demuestre
que x1 − x2 es Q-conjugado con d.
b) (50 %) Sea Q una matriz n × n y simétrica y sean d0 , d0 , · · · , d0 Q-conjugados.
Demuestre como se puede encontrar una matriz E tal que E T QE sea una matriz
diagonal.
4. Sea H0 una matriz n×n simétrica y defina la sucesión de matrices {Hk } por la recursión
Hk+1 = Hk + βk zk zTk .
Sean pk y qk vectores tal que
Hk+1 qk = pk .
a) (60 %) Demuestre que
Hk+1 = Hk +
(pk − Hk qk )(pk − Hk qk )T
.
qkT (pk − Hk qk )
b) (40 %) Verifique que si qkT (pk − Hk qk ) > 0 para toda k y H0 es definida positiva
entonces Hk es definida positiva para toda k.
5. Se desea construir una caja de cartón. La tapa, la base y el lado del frente serán dobles
(con dos piezas de cartón). El problema será encontrar las dimensiones de la caja que
maximicen el volumen para una cantidad de cartón igual a 72 pies cuadrados.
a) (30 %) Escriba este problema como uno de optimización.
b) (20 %) ¿Cuáles son las condiciones necesarias de primer orden?
c) (30 %) Encuentre los valores del ancho, largo y alto de la caja.
d ) (20 %) Verifique las condiciones de segundo orden.
2