Fundamentos de computación cuántica

Fundamentos de computación cuántica
Andrés Sicard Ramı́rez
Mario Elkin Vélez Ruı́z
Juan Fernando Ospina Giraldo
Luis Fernando Moreno (Grupo de Lógica y Computación. Universidad EAFIT,
Medellı́n)
{asicard,mvelez,jospina,lmorenos}@eafit.edu.co
Cursillo en el X Encuentro ERM
Universidad de Medellı́n
Julio 12–16, 2004
– p. 1
Contenido
1. Introducción a la computación cuántica
2. Preliminares (matemáticos, físicos, informáticos)
3. Circuitos cuánticos
4. Algoritmos cuánticos (Deutsch, Deutsch-Jozsa,
Shor)
5. Simuladores
6. Realización física
– p. 2
Recursos bibliográficos
(introductorios)
• Texto guía: Isaac L. Chuang y Michael A. Nielsen.
Quantum computation and quantum information.
Cambridge: Cambridge University Press, 2000 .
• N. David Mermin. From cbits to qubits: teaching
computer scientists quantum mechanics. Eprint:
arXiv.org/abs/quant-ph/0207118.
• Eleanor Rieffel y Wolfgang Polak, An introduction to
quantum computing for non-physicists. Eprint:
arXiv.org/abs/quant-ph/9809016.
• Dorit Aharonov. Quantum computation. Eprint:
arXiv.org/abs/quant-ph/9812037.
– p. 3
Recursos Internet
•
Servidor de los Alamos (arxiv.org/)
(xxx.lanl.gov).
•
Virtual Journal of Quantum Computation
(www.vjquantuminfo.org/).
•
Artículos clásicos
(pm1.bu.edu/~tt/qcl.html).
•
Centre for Quantum Computation - Oxford
(www.qubit.org/)
•
Simuladores
(www.vcpc.univie.ac.at/~ian/hotlist/qc/programming.shtml)
– p. 4
Introducción a la computación
cuántica
•
Alan Mathison Turing (1936): Máquina de Turing
•
K. de Leeuw, E. F. Moore, C. E. Shannon y N.
Shapiro (1956): Computación probabilista.
•
Charles H. Bennett (1973): Computación
reversible.
x
y
Compuerta no reversible:
Compuerta reversible:
x
y
xor
xor
x⊕y
x
x⊕y
– p. 5
•
Edward Fredkin y Tommaso Toffoli (1982):
Compuertas universales reversibles.
x
y
z


x∧y




x ⊕ z
z⊕(x∧y) =

¬z





z
Toffoli
x
y
z ⊕ (x ∧ y)
ssi z = 0 (compuerta and),
ssi y = 1 (compuerta xor ),
ssi x = y = 1 (compuerta not),
ssi x = 0; y = 1 (compuerta identidad).
– p. 6
•
Richard Feynman (1982, 1985): Computación
mecánico-cuántica.
•
David Deutsch (1985): Máquinas de Turing
cuánticas.
Máquina de Turing
Clásica
≡
≡
Máquina de Turing
Reversible
Máquina de Turing
Probabilista
≡
≡
Máquina de Turing
Cuántica
– p. 7
•
David Deutsch (1989): Circuitos cuánticos.
Intercambio de qubits:
| xi
| yi
⊕
⊕
⊕
| yi
| xi
– p. 8
•
Peter Shor (1994): Algoritmo para factorizar un
número en sus factores primos de complejidad
temporal polinomial
Complejidad exponencial
T (n)
Complejidad polinomial
n
– p. 9
Algoritmo de Shor vs. algoritmo clásico
Número de dígi- Algoritmo
tos
clásico
129
1.85 años
250
2.1 × 106 años
1000
4.5 × 1025 años
Algoritmo
de
Shor
45.9 minutos
3.4 horas
3.07 días
– p. 10
•
Lov K. Grover (1996): Algoritmo de busqueda en
una base de datos desorganizada.
•
Implementación
•
•
•
•
1998:
1999:
2000:
2001:
2-qubit
3-qubit
5-qubit
7-qubit
(University of California Berkeley)
(IBM-Almaden)
(IBM-Almaden, Los Alamos)
(IBM-Almaden)
– p. 11
•
Simuladores
• Bernhard Ömer (1994): QCL: A Programming
Language for Quantum Computers (para
Linux).
• Colin P. Williams y Scott H. Clearwater (1997):
Simulador implementado en MATHEMATICAT M .
– p. 12
Preliminares matemáticos
•
Álgebra líneal
Espacios vectoriales y operadores líneales
Representaciones matriciales y espectros
Espacios y operadores unitarios
•
Álgebra multilineal
Producto tensorial de espacios vectoriales
Producto tensorial de operadores lineales
•
Análisis líneal
Funciones de operadores líneales
Ecuaciones de evolución
Espacios de Hilbert y álgebras Banach
Transformada cuántica de Fourier
– p. 13
Álgebra líneal
•
Espacios vectoriales y operadores líneales
•
Representaciones matriciales y espectros
•
Espacios y operadores unitarios
•
Matrices hermíticas, matrices de Pauli
– p. 14
Álgebra multilineal
•
Producto tensorial de espacios vectoriales
•
Producto tensorial de operadores líneales
•
Matrices de Dirac y álgebras de Clifford
•
Grupos y álgebras de Lie
– p. 15
Análisis líneal
•
Funciones de operadores líneales
•
Exponencial de operadores líneales
•
Ecuaciones de evolución
•
Espacios de Hilbert y álgebras Banach
•
Transformada cuántica de Fourier
– p. 16
Preliminares físicos
– p. 17
– p. 18
– p. 19
– p. 20
– p. 21
– p. 22
– p. 23
– p. 24
– p. 25
– p. 26
– p. 27
– p. 28
– p. 29
– p. 30
– p. 31
– p. 32
– p. 33
– p. 34
– p. 35
– p. 36
– p. 37
Postulados de la mecánica cuántica
•
Primer postulado: A cada sistema físico descrito
por la mecánica cuántica se le asocia un espacio
de Hilbert, y a cada estado del sistema un vector
(ket), de ese espacio.
•
Segundo postulado: Toda cantidad física
medible está descrita por un operador  que actúa
sobre el espacio de Hilbert, este operador es un
observable.
•
Tercer postulado: El único resultado posible de
una medida física, es un autovalor del
correspondiente observable.
– p. 38
•
Cuarto postulado (caso discreto no
degenerado): Cuando una cantidad física es
medida sobre un sistema, el cual está en un
estado normalizado | xi, la probabilidad de
encontrar el autovalor an correspondiente a un
observable  es:
P (an ) = |hn|xi|2 ,
donde | ni son los autovectores normalizados de
Â, asociados a los autovalores an .
– p. 39
•
Quinto postulado: Si la medida de una cantidad
física sobre un sistema que está en un estado | xi
da un resultado an , el estado del sistema está,
inmediatamente después de la medida, en la
proyección normalizada,
P̂n | xi
p
hx|P̂n |xi
,
de | xi sobre el auto-subespacio asociado a an .
– p. 40
•
Sexto postulado: La evolución en el tiempo del
vector de estado | x(t)i es gobernada por la
ecuación de Schrödinger:
d
i~ | x(t)i = H(t) | x(t)i ,
dt
donde H(t) es el Hamiltoniano del sistema,
observable asociado con la energía.
– p. 41
Preliminares informáticos
•
In(computabilidad)
• Máquinas de Turing
• Máquina universal de Turing
• Compuertas lógicas universales
•
In(tratabilidad)
• Notación asintótica
• Complejidad algorítmica
• Clases de complejidad P y N P
• Problemas N P -completos
– p. 42
Circuitos cuánticos
•
Compuertas cuánticas de 1-qubit
Espacio vectorial de 1-qubit
Operador unitario sobre 1-qubit
Matrices de Pauli (X, Y, Z)
Compuertas de Hadamard (H ), fase (S ) y π/8
(T )
Operadores de rotación y descomposiciones
•
Compuertas cuánticas controladas
Compuerta CN OT
Compuerta U controlada y su implementación
Compuerta C 2 (U ) y su implementación
•
Compuertas cuánticas universales
– p. 43
Compuerta Hadamard
•
Circuito
H
•
Representación matricial
√1
2
1 1
1 −1
– p. 44
Compuerta de Pauli X
•
Circuito
X
•
Representación matricial
0 1
1 0
– p. 45
Compuerta de Pauli Y
•
Circuito
Y
•
Representación matricial
0 −i
i 0
– p. 46
Compuerta de Pauli Z
•
Circuito
Z
•
Representación matricial
1 0
0 −1
– p. 47
Compuerta de fase
•
Circuito
S
•
Representación matricial
1 0
0 i
– p. 48
Compuerta π/8
•
Circuito
T
•
Representación matricial
1
0
0 eiπ/4
– p. 49
Compuerta U
•
Circuito
U
•
Representación matricial
U = eiα AXBXC, ABC = I
– p. 50
Compuerta CN OT
•
Circuito
| ci
| ti
•
⊕
| ci
| t ⊕ ci
Representación matricial

1

0

0
0
0
1
0
0
0
0
0
1

0

0

1
0
– p. 51
Operación U controlada
•
Circuito
| ci
| ti
•
| ci
U c | ti
U
Representación matricial
I 0
0 Uc
– p. 52
Compuerta X controlada
•
Circuito
| ci
| ti
•
| ci
X c | ti
X
Representación matricial
I 0
0 Xc
– p. 53
Compuerta Z controlada
•
Circuito
| ci
| ti
•
| ci
Z c | ti
Z
Representación matricial
I 0
0 Zc
– p. 54
Compuerta corrimiento de fase
controlada
•
Circuito
| ci
| ci
| ti
•
eiαc I | ti
eiα I
Representación matricial
I
0
0 eiαc I
– p. 55
Compuerta corrimiento de fase
controlada
•
Circuito equivalente
1
0
0 eiα
– p. 56
Operación U controlada
•
Circuito
S
C
•
⊕
B
⊕
A
Representación matricial
U = eiα AXBXC, ABC = I
– p. 57
Operación C 2 (U )
•
Circuito
| c2 i
| c2 i
| c1 i
| c1 i
| ti
•
U c1 c2 | ti
U
Representación matricial
I
0
I 0
,I =
c
1 c2
0 U
0 I
– p. 58
Operacion C 2 (U )
•
Circuito
⊕
V
⊕
V†
V
V es cualquier operador unitario que satisface V 2 = U .
V ≡ (1 − i)(I + iX)/2 corresponde a la compuerta
Toffoli.
– p. 59
Algoritmos cuánticos
| 0i
| 0i
| Ψ0 i
H
x
Uf
x
y y ⊕ f (x)
| Ψ1 i
| 0,f (0)i+| 1,f (1)i
√
2
| Ψ2 i
Circuito cuántico para evaluar f (x) : {0, 1} → {0, 1}. La
compuerta Uf actúa sobre un sistema 2-qubit. Aprovecha
la superposición de estados del primer qubit para evaluar
paralelamente f (0) y f (1).
– p. 60
Algoritmo de Deutsch
| 0i
√1
2
| 0i − | 1i
H
| Ψ0 i
H
b
√1
2
Uf
| Ψ1 i
| Ψ2 i
| 0i − | 1i
| Ψ3 i
Circuito cuántico para el Algoritmo Deutsch
– p. 61
Algoritmo de Deutsch-Jozsa
| 0in
√1
2
| 0i − | 1i
n
H ⊗n
H ⊗n
b
√1
2
Uf
| Ψ0 i
| Ψ1 i
| Ψ2 i
| 0i − | 1i
| Ψ3 i
Circuito cuántico para el algoritmo Deutsch-Jozsa
– p. 62
Factorización cuántica
•
•
•
•
Transformada cuántica de Fourier
Estimación de fase
El orden r de x módulo N
Algoritmo de Shor
– p. 63
Transformada cuántica de Fourier
En un sistema n-qubit, la transformada cuántica de
Fourier Fq sobre los elementos de su base, se define
como
Fq : C
2n
→C
2n
| kin 7→ c0 | 0in + c1 | 1in + . . . + c2n −1 | 2n − 1i ,
donde
1
Fq | kin = √
2n
n
2X
−1
j=0
e
2πijk
2n
| jin ,
para 0 6 k < 2n .
– p. 64
Debido a la linealidad de Fq , la transformada de
Fourier cuántica sobre un sistema superpuesto
| Ψi = α0 | 0in + α1 | 1in + . . . + α2n −1 | 2n − 1in es
Fq | Ψi = Fq (α0 | 0in + α1 | 1in + · · · + α2n −1 | 2n − 1in )
= α0 Fq | 0in + α1 Fq | 1in + · · · + α2n −1 Fq | 2n − 1in .
– p. 65
La Fq para un estado base | kin = | k1 k2 . . . kn i se
puede representar mediante
2πi0.k
2πi0.k
k
Fq | kin = √12n
| k1 i
| k2 i
| k3 i
| k4 i
H
n | 1i
| 0i+e
R2
•
R3
⊗···⊗ | 0i+e
R4
H
•
n−1 n | 1i
⊗ | 0i+e
2πi0.k1 k2 ...kn
•
R2
•
R3
H
•
R2
•
H
×
×
| 1i
×
×
| ψ11 i
| ψ0 i | ψ1 i | ψ2 i | ψ3 i | ψ4 i | ψ5 i | ψ6 i | ψ7 i | ψ8 i | ψ9 i | ψ10 i | ψ12 i
– p. 66
.
En un sistema n-qubit, la inversa de Fq sobre los
elementos de su base, se define como
Fq−1 :
C
2n
→C
2n
| kin 7→ c0 | 0in + c1 | 1in + . . . + c2n −1 | 2n − 1i ,
donde
Fq−1 | kin
1
=√
2n
n
2X
−1
j=0
e
− 2πijk
2n
| jin ,
para 0 6 k < 2n .
– p. 67
Estimación de fase
Problema: Suponga un operador unitario U con un
autovector | ui y un autovalor asociado e2πiϕ , es decir,
U | ui = e2πiϕ | ui. El problema de la estimación de fase
es determinar ϕ, con ϕ ∈ [0, 1).
Se define la compuerta V de tal forma que
V (| jit | uim ) = | ji U j | ui
= | ji e2πiϕj | ui
= e2πiϕj | ji | ui .
– p. 68
Algoritmo para la estimación de fase
1. Estado inicial del sistema (t + n)-qubit
| Ψ0 i = | 0it | uim .
2. Creación de una superposición de estados al
aplicar H ⊗t sobre el primer registro
1
| Ψ1 i = √
2t
t
2X
−1
j=0
| jit | uim .
– p. 69
3. Se aplica V al sistema (t + m)-qubit
1
| Ψ2 i = √
2t
t
2X
−1
1
=√
2t
t
2X
−1
| jit U j | uim
1
=√
2t
t
2X
−1
e2πiϕj | jit | uim .
j=0
j=0
j=0
V (| jit | uim )
– p. 70
4. Se aplica Fq−1 al primer registro
1
| Ψ3 i = √
2t
=
t
2X
−1
k=0
t
2X
−1
j=0
1
2t
2πiϕj 1
√
e
2t
t
2X
−1
t
2X
−1
k=0
k
2πi ϕ− 2t j
e
j=0
−2πijk
e 2t
| kit | uim
| kit | uim
E
∼
= ϕ × 2t | uim .
t
5. Se mide el primer registro y se divide por 2t para
∼
obtener ϕ.
– p. 71
Circuito para la estimación de fase
| 0it
Fq−1
H ⊗t
t
V
| uim
| uim
m
| Ψ0 i
| Ψ1 i
| Ψ2 i
| Ψ3 i
– p. 72
El orden r de x módulo N
Sean x, N dos enteros positivos coprimos con x < N .
El orden de x módulo N es el menor entero positivo r,
tal que xr mód N = 1.
Ejemplo: Sean x = 5 y N = 21 , el orden r de 5 módulo
21 es 6, pues
51 mód 21 = 5 ,
52 mód 21 = 4 ,
53 mód 21 = 20 ,
54 mód 21 = 16 ,
55 mód 21 = 17 ,
56 mód 21 = 1 .
– p. 73
Algoritmo para hallar el orden r de x
módulo N
1. Estado inicial
| Ψ0 i = | 0it | 1in .
2. Empleando H ⊗t se crea una superposición
uniforme de todos los estados de la base del
sistema t-qubit sobre el primer registro
1
| Ψ1 i = √
2t
t
2X
−1
j=0
| jit | 1in
– p. 74
3. Se aplica la compuerta V(x,N ) a todo el sistema
1
| Ψ2 i = √
2t
t
2X
−1
1
=√
2t
t
2X
−1
j=0
j=0
V(x,N ) (| jit | 1in )
j
| jit x mód N n .
Suponga que r es potencia de dos de esta forma
2t
−1
r
r−1 X
X
1
| Ψ2 i = √
2t
b=0 a=0
b
| ar + bit x mód N n .
– p. 75
4. Se mide el segundo registro
con probabilidad
by,
′
1/r, se obtiene un estado x mód N de los r
posibles
1
| Ψ3 i = p
2t /r
2t
−1
r
X
′
ar + b
a=0
′
E
b
x mód N
.
t
n
– p. 76
5. Se aplica Fq−1 al primer registro
2t
−1
r
1
| Ψ4 i = p
2t /r
X 1
a=0
√
1
=√
r
k=0
r−1
X
1
=√
r
s=0
1 X
2t /r
e
−2πik(ar+b′ )
2t
k=0
2t
−1
r
t
2X
−1
2t
t
2X
−1
e
−2πi
k
t
2 /r
a=0
′
E
| kit xb mód N
n
′
E
a −2πi( )b
b
| kit x mód N
e
k
2t
′
E
E ′
t
b
−2πi( )b 2
e
s · r x mód N .
s
r
′
t
n
– p. 77
n
2t
r,
6. Se mide el primer registro y se obtiene ·
donde s′ toma cualquier valor entre cero y (r − 1).
Luego se divide por 2t y se aplica el algoritmo de
fracciones continuas para obtener r o un r′ factor
de r.
s′
– p. 78
Circuito para hallar el orden r de x
módulo N
| 0it
Fq−1
H ⊗t
t
V(x,N )
| 1in
n
| Ψ0 i
| Ψ1 i
| Ψ2 i
| Ψ3 i
| Ψ4 i
– p. 79
Algoritmo de Shor
Problema: Dado un entero N , determinar sus
factores primos no triviales.
1. Mientras que N sea par divida N por dos y retorne
el factor 2.
2. Verifique que N sea compuesto. Mediante el
algoritmo de Manindra esto es posible en tiempo
polinomial.
3. Determine si N es de la forma ab , con a > 2 y b > 2,
pues el método para encontrar el orden puede
fallar si N es de esta forma con a primo impar. Si
N = ab , retorne b veces el factor a. Si N no es de la
forma ab vaya al paso (4).
– p. 80
4. Aleatoriamente elija un x, tal que 1 < x < N − 1.
Mediante el algoritmo de Euclides encuentre el
máximo común divisor entre x y N . Mientras que
m.c.d.(x, N ) > 1, retorne el factor m.c.d.(x, N ) y a N
asígnele N dividido por m.c.d.(x, N ).
Si ahora N es un número primo termine el
algoritmo. De lo contrario evalúe si es necesario
encontrar los otros factores de N cuánticamente.
En caso afirmativo vaya al paso (5), sino,
encuentre los otros factores clásicamente.
5. Ejecute el algoritmo cuántico para encontrar el
orden r de x módulo N .
– p. 81
6. Si r es impar hay que ejecutar nuevamente la
parte cuántica del algoritmo con un nuevo x, vaya
al paso (4). Si r es par se define y como
xr/2 mód N = y ,
(1)
donde 0 6 y < N . De (1) se tiene que
xr/2 = k1 N + y , al elevar al cuadrado a ambos
lados se obtiene
xr = k12 N 2 + 2k1 N y + y 2
r
x =
k12 N
+ 2k1 y N + y 2
x r = k2 N + y 2 .
(2)
– p. 82
Ahora, como xr mód N = 1 entonces
x r = k3 N + 1 .
(3)
De la diferencia entre (2) y (3) se encuentra que
(y − 1)(y + 1) = (k3 − k2 )N , es decir, N divide a
(y − 1)(y + 1).
Luego, si 1 < y < N − 1 entonces 0 < y − 1 < y + 1 < N ,
lo cual implica que N no divide a y − 1 ó a y + 1
separadamente. Se concluye que y − 1 y y + 1
contienen factores de N por el teorema fundamental
de la aritmética. Así, el m.c.d.(y − 1, N ) y el
m.c.d.(y + 1, N ) son factores no triviales de N .
– p. 83
Simuladores cuánticos
En computación, la simulación es la ejecución de un
algoritmo que finge un sistema de tal forma que dadas
unas condiciones iniciales, se pretende determinar
cuáles serán las condiciones finales de éste.
•
En el presente: software clásico ejecutable en un
computador clásico que sólo alcanza a simular
sistemas cuánticos pequeños.
•
En el futuro: software cuántico ejecutable en un
computador cuántico que tendrá el potencial de
simular sistemas cuánticos grandes.
– p. 84
En www.vcpc.univie.ac.at/~ian/hotlist/qc/programming.shtml hay
una lista de enlaces a simuladores y lenguajes de
computación cuántica. Dos de ellos que permiten la
construcción y simulación de circuitos cuánticos son:
•
qcad
•
QuaSi
– p. 85
qcad
•
Ventajas:
X
X
X
Su GUI es amigable.
La contrucción de los circuitos es fácil.
Resultados en forma gráfica, además de la
notación de Dirac.
– p. 86
qcad
•
Desventajas:
X
X
X
X
Compuertas de medición ignoradas.
No permite la realización de la simulación paso
a paso.
Para mostrar los resultados representa los
qubits de derecha a izquierda así
| xn xn−1 . . . x2 x1 i, es decir, el primer qubit es el
del extremo derecho y el último es el del
extremo izquierdo. Esto es contrario a la forma
usual.
El usuario no puede definir sus propias
compuertas. Está limitado a las predefinidas.
– p. 87
El siguiente circuito fue construido y simulado
utilizando quasi. Este circuito es una implementación
optimizada del algoritmo de Shor para factorizar el
número 15 con x = 7.
|0>
H
|0>
H
|0>
H
H
90
H
45
90
H
|0>
|0>
|0>
|1>
| Ψ0 i | Ψ2 i | Ψ4 i | Ψ6 i | Ψ8 i | Ψ10 i | Ψ12 i | Ψ14 i| Ψ16 i
– p. 88
Resultado simulación
1
| 0010i | 000i + | 0010i | 001i −
| Ψi =
4
| 0010i | 010i − | 0010i | 011i +
| 1000i | 000i + | 1000i | 001i +
| 1000i | 010i + | 1000i | 011i +
| 1011i | 000i − | 1011i | 001i −
i | 1011i | 010i + i | 1011i | 011i +
| 1110i | 000i − | 1110i | 001i +
i | 1110i | 010i − i | 1110i | 011i .
– p. 89
QuaSi
•
Ventajas:
X
X
X
Simulación paso a paso.
Solamente los resultados con amplitudes
diferentes de cero son mostrados.
Demostraciones del algoritmo de Shor, del
algoritmo de Deutsch-Jozsa y del algoritmo de
Grover.
– p. 90
QuaSi
X
X
Su GUI consta de cuatro ventanas: en la primera
se construye el circuito; en la segunda se observa
la evolución de la simulación en la notación de
Dirac; en la tercera se grafica el valor absoluto de
cada amplitud y su desplazamiento de fase
relativo y en la cuarta ventana las amplitudes son
mostradas divididas en su parte real (azul) e
imaginaria (roja).
Permite la creación de compuertas definidas por
el usuario, definir funciones y cargar archivos XML
que contienen instrucciones para la creación de
circuitos cuánticos.
– p. 91
QuaSi
•
Desventajas:
X
X
X
Algunas veces se bloquea durante la
construcción del circuito.
Es tedioso a la hora de hacer modificaciones a
los circuitos.
Al repetir la simulación de un circuito n veces
los datos obtenidos no corresponden con los
esperados estadísticamente.
– p. 92
Ejemplo: teleportación cuántica
Circuito cuántico para transportar un qubit de un
espacio físico a otro en ausencia de un canal físico de
comunicación.
| 0i
| 0i
b
L
H
b
H
b
b
| 0i
| Ψ0 i | Ψ1 i
X
| Ψ2 i
| Ψ3 i
| Ψ4 i
| Ψ5 i
| Ψ6 i
Z
| Ψ7 i
| ψi
| Ψ8 i
– p. 93
| Ψ0 i = | 0i | 0i | 0i ,
= | 0i
√1
2
√1
2
| Ψ2 i = | 0i
√1
2
| Ψ1 i = | 0i
| 0i + | 1i | 0i
| 00i + | 10i ,
| 00i + | 11i ,
| Ψ3 i = α | 0i + β | 1i
=
α
√
2
| Ψ4 i =
α
√
2
=
α
√
2
| Ψ5 i =
α
2
=
α
2
1
√
2
| 00i + | 11i
| 000i + | 011i +
β
√
2
| 0i + | 1i
| 100i + | 111i ,
β
√
2
| 000i + | 011i +
| 0i | 00i + | 11i +
| 110i + | 101i
β
√
2
| 1i | 10i + | 01i ,
| 00i + | 11i +
β
2
| 0i − | 1i | 10i + | 01i
| 000i + | 011i + | 100i + | 111i + β2 | 010i + | 001i − | 110i − | 101i ,
– p. 94
•
Si al medir los primeros dos qubits se obtiene el
estado | 00i entonces
| Ψ6 i = α | 000i + β | 001i
= | 00i α | 0i + β | 1i ,
| Ψ8 i = | Ψ7 i = | Ψ6 i .
•
Si al medir los primeros dos qubits se obtiene el
estado | 01i entonces
| Ψ6 i = α | 011i + β | 010i
= | 01i α | 1i + β | 0i ,
| Ψ7 i = | 01i α | 0i + β | 1i ,
| Ψ8 i = | Ψ7 i .
– p. 95
•
Si al medir los primeros dos qubits se obtiene el
estado | 10i entonces
| Ψ6 i = α | 100i − β | 101i
= | 10i α | 0i − β | 1i ,
| Ψ7 i = | Ψ6 i ,
| Ψ8 i = | 10i α | 0i + β | 1i .
•
Si al medir los primeros dos qubits se obtiene el
estado | 11i entonces
| Ψ6 i = α | 111i − β | 110i
= | 11i α | 1i − β | 0i ,
| Ψ7 i = | 11i α | 0i − β | 1i ,
| Ψ8 i = | 11i α | 0i + β | 1i .
– p. 96
Realización física
•
Resonancia nuclear magnética (NMR)
•
Implementación NMR con fase geométrica
•
Computador cuántico atómico
•
Iones atrapados
•
Implementación óptica
– p. 97