Sistemas Iterados de Funciones a partir de Sistemas Dinámicos

Sistemas Iterados de Funciones a partir de Sistemas Dinámicos

Sistemas Iterados de Funciones a partir de Sistemas
Dinámicos
Cristian Camilo Espitia Morillo
Modalidad: Conferencia o comunicación breve
Área: Geometrı́a y Topologı́a
Resumen
El objetivo de la exposición es mostrar una relación entre conjuntos de Julia y sistemas
iterados de funciones (SIF’s). Para esto, se presentan inicialmente conceptos básicos de
la teorı́a de sistemas dinámicos discretos y de la teorı́a de los SIF’s. Posteriormente se
muestran algunos ejemplos de sistemas dinámicos cuyo correspondiente conjunto de Julia
es el atractor de un SIF y finalmente, algunos teoremas que generalizan los ejemplos.
Intoducción. Los sistemas iterados de funciones y los sistemas dinámicos discretos constituyen dos métodos en cierta forma ((duales)) para construir fractales como el atractor de un
SIF o el conjunto de Julia asociado a un sistema dinámico discreto. Para esto se presentan
algunas definiciones necesarias para establecer una relación entre dichos métodos.
Definición 1. Un sistema iterado de funciones hiperbólico (SIF) es una estructura
{X; wn , n = 1, . . . , N } donde X es un espacio métrico completo y cada wn : X → X, es
una contracción. Un SIF genera una contracción W : H(X) → H(X) donde H(X) es la
familia de subconjuntos compactos no vacı́os de X, dotada de la métrica de Hausdorff. El
teorema del punto fijo de Banach asegura la existencia de un único punto fijo A para la
contracción W , llamado el atractor del SIF (fractal).
Definición 2. Sea f : Ĉ → Ĉ denota un polinomio de grado mayor que 1. Ff denota el
conjunto de puntos en C cuyas órbitas no convergen al infinito. Esto es
Ff = {z ∈ C : {|f ◦n (z)|}∞
n=0 es acotada}
Este conjunto es llamado el conjunto de Julia lleno asociado con el polinomio f . La frontera
de Ff es llamada el conjunto de Julia del polinomio f , y se denota como Jf .
Definición 3. Sea {X; wn , n = 1, . . . , N } un SIF hiperbólico totalmente disconexo con
atractor A. La transformación Shift asociada a A es la transformación S : A → A definida
por
S(a) = wn−1 (a)
para a ∈ wn (A)
Donde wn es vista como una transformación sobre A. El sistema dinámico {A; S} es
llamado el Sistema Dinámico Shift asociado al SIF.
Resultados.
En [1] (capı́tulo 7, página 246) se muestra la construcción de un SIF, a partir de un sistema
dinámico cuyo conjunto de Julia es el triángulo de Sierpinski.
A continuación se construye un SIF, a partir del sistema dinámico correspondiente a la
curva de Koch.
Considere {R2 ; f } donde f es definida por


(3x, 3y)√

√
√

( 3 x + 3 3 y − 1 , 3 y − 3 3 x + 3 ),
2
2
2 2 √
2 √
2
√
f (x, y) =
3 3
3 3
3
3

(
x
−
y,
y
−
x
−
3)

2
2
2
2


(3x − 2, 3y)
si x ≤ 13 ,
si
1
3
1
2
< x ≤ 12 ,
si < x ≤ 23 ,
si x > 23
Este sistema dinámico genera la curva de Koch (K), el cual esta relacionado al SIF
{R2 ; w1 , w2 , w3 , w4 } donde
√
√
1 1
1
3
3
1
w2 (x, y) = ( x −
y,
x + y),
w1 (x, y) = ( x, y),
3 3
6
6
6
6
√
√
√
1
1 1
1
2 1
3
3
3
w3 (x, y) = ( x +
y+ , y−
x+
),
w4 (x, y) = ( x + , y)
6
6
2 6
6
6
3
3 3
La relación entre el sistema dinámico {R2 ; f } y el SIF {R2 ; w1 , w2 , w3 , w4 } es que {K; f }
es el sistema dinámico shift asociado con el SIF.
En el mismo sentido (SIF obtenido a partir de un sistema dinámico), pero ahora con
otro tipo de funciones de variable compleja y valor complejo se tiene el siguiente teorema,
tomado de [1] (capı́tulo 7, página 268).
Teorema 1. Suponga que el sistema dinámico {Ĉ; f (z) = z 2 − λ} λ ∈ C, posee un ciclo
atractivo {z1 , z2 , . . . , zp } ⊂ C. Sea X la esfera de Riemann Ĉ con (p + 1) bolas abiertas
de radio ǫ removidas, bolas centradas en cada punto del ciclo y en el punto del infinito.
Defina el SIF
√
√
{X; w1 (z) = z + λ, w2 (z) = − z + λ}
Entonces la transformación W sobre H(X), definida por
W (K) = w1 (K) ∪ w2 (K)
∀ K ∈ H(X)
Lleva H(X) en si mismo, de forma continua con respecto a la métrica de Hausdorff sobre
H(X). Además W : H(X) → H(X) posee un único punto fijo, Jλ el conjunto de Julia
para z 2 − λ y
lı́m W ◦n (K) = Jλ ∀ K ∈ H(X)
n→∞
Estas conclusiones se tienen si la órbita del origen {f ◦n (O)}, converge al punto infinito y
X = Ĉ \ B(∞, ǫ).
2
Conclusiones.
1. En algunos casos particulares es posible obtener, a partir de un sistema dinámico, el
sistema iterado de funciones cuyo atractor es precisamente el conjunto de Julia del
sistema dinámico inicial.
2. En la exposición se plantea el camino SD (Sistema Dinámico) → SIF (Sistema Iterado de Funciones). Es natural preguntarse por el camino inverso ¿Dado un SIF,
existe un SD, cuyo conjunto de Julia es el atractor del SIF original?
3. Con el objeto de ser establecida formalmente la dualidad ((atractor de un SIF Vs.
conjunto de Julia de un SD )), desde un punto de vista matemático, se pretende
mostrar resultados que permitan establecer caracterı́sticas, bajo las cuales se asegure
la existencia de tal dualidad.
Referencias
[1] Barnsley, M. Fractals everywhere, second edition: Morgan Kaufmann, (1993).
[2] Barnsley, M. Superfractals: Cambridge University Press, (2006).
[3] Peitgen, O. H. Fractals and Chaos, new frontiers of science: Springer Verlag, (1990).
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