Integral Impropia

Capítulo 8:
Integral Impropia
Geovany Sanabria
Contenido
1 Introducción
225
2 Integrales de funciones continuas sobre intervalos:
[a, +∞[ , ]−∞, b] , ]−∞, +∞[
225
3 Integrales de funciones con un discontinuas número finito de discontinuidades en
[a, b]
228
4 Ejercicios
230
224
Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - 8. Integral Impropia
1
Prof. Geovany Sanabria
Introducción
Hasta el momento la integral
Z
b
f (x) dx tiene sentido si f (x) es continua en [a, b] . ¿Que pasa si f es
a
discontinua en algunos valores pertenecientes a [a, b]? Nos interesa poder definir este tipo de integrales
Z +∞
Z b
y también las de la forma:
f (x) dx,
f (x) dx.
−∞
a
2
Integrales de funciones continuas sobre intervalos:
[a, +∞[ , ]−∞, b] , ]−∞, +∞[
Definición 1 (Integración en +∞) Sea f una función continua en [a, +∞[ . Considere
Z t
lim
f (x) dx.
t→+∞
Si este límite existe se dice que la integral
Z
Z
a
+∞
f (x) dx es convergente y su valor es el valor del límite:
a
+∞
f (x) dx = lim
t→+∞
a
En caso contrario, se dice que
Z
Z
t
f (x) dx.
a
+∞
f (x) dx es divergente.
a
Definición 2 (Integración en −∞) Sea f una función continua en ]−∞, b] . Considere
Z b
lim
f (x) dx.
t→−∞
Si este límite existe se dice que la integral
En caso contrario, se dice que
Z
Z
Z
t
b
f (x) dx es convergente y su valor es el valor del límite:
−∞
b
f (x) dx = lim
t→−∞
−∞
Z
b
f (x) dx.
t
b
f (x) dx es divergente.
−∞
Ejemplo 1 Determinar si la integral
Z
1
+∞
1
dx es convergente o divergente.
x3
1
Note que 3 es una función continua en [1, +∞[ . Se tiene que
x
¯t
Z t
Z t
x−2 ¯¯
t−2 1−2
−1 1
1
−3
dx =
x dx =
=
−
= 2+ ,
¯
3
−2 1
−2
−2
2t
2
1 x
1
225
Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - 8. Integral Impropia
entonces:
lim
t→+∞
Z
t
1
1
dx = lim
t→+∞
x3
µ
−1 1
+
2t2
2
¶
=
Prof. Geovany Sanabria
1
.
2
Como el límite existe la integral es convergente y su valor es
Z t
Z +∞
1
1
1
dx
=
lim
dx = .
3
3
t→+∞
x
x
2
1
1
Z π/2
sen (2x) dx es convergente o divergente.
Ejemplo 2 Determinar si la integral
−∞
i
πi
Note que sen (2x) es una función continua en −∞,
. Se tiene que
2
¯π/2
Z π/2
− cos (2x) ¯¯
− cos π − cos (2t)
1 cos (2t)
sen (2x) dx =
=
−
= +
,
¯
2
2
2
2
2
t
t
entonces
lim
t→−∞
Z
π/2
sen (2x) dx = lim
t→−∞
t
µ
1 cos (2t)
+
2
2
Dado que este liímite no existe entonces la integral es divergente.
¶
.
Definición 3 (Integración en R) Sea f una función continua en R. Sea c ∈ R, si las integrales
impropias
Z +∞
Z c
f (x) dx,
f (x) dx
−∞
son convergentes, se define:
Z
+∞
f (x) dx =
−∞
Ejemplo 3 Determinar si la integral
interprete el resultado de esta integral.
Z
c
Z
c
f (x) dx +
−∞
+∞
−∞
x2
Z
+∞
f (x) dx.
c
1
dx es convergente o divergente. Si es convergente
+6
1
es una función continua en R.
x2 + 6
1. Determinar si es convergente o no. Note que
Debemos determinar si las integrales:
Z 0
Z
1
dx,
2+6
x
−∞
son covergentes o no. Se tiene que
Z
1
1
dx =
x2 + 6
6
226
Z
+∞
0
1
dx,
x2 + 6
µ
1
¶2
x
√
6
dx,
+1
Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - 8. Integral Impropia
Prof. Geovany Sanabria
x
dx
Sea u = √ =⇒ du = √ , entonces
6
6
√ Z
√ Z
Z
1
1
1
dx
6
6
√ =
dx =
du
µ
¶2
2
2
x +6
6
6
u +1
6
x
√
+1
6
√
√
¶
µ
x
6
6
+ c.
=
arc tan u + c =
arc tan √
6
6
6
Por lo tanto:
lim
t→−∞
Z
0
t
√
¶¯0
µ
6
x ¯¯
lim
arc tan √ ¯
t→−∞ 6
6 ¯
t
√ µ
¶¶
µ
6
t
=
lim
0 − arc tan √
t→−∞ 6
6
√
√ µ
¶
−π
π 6
6
0−
=
,
=
6
2
12
1
dx =
x2 + 6
y
√
¶¯t
µ
x ¯¯
6
lim
arc tan √ ¯
lim
t→+∞ 0
t→+∞ 6
6 ¯0
√ µ
¶
¶
µ
t
6
√
=
lim
−0
arc tan
t→+∞ 6
6
√
√ ³
´ π 6
6 π
−0 =
.
=
6 2
12
Z 0
Z +∞
1
1
Entonces las integrales
dx,
dx, son convergentes y
2
x2 + 6
−∞ x + 6
0
√
Z 0
Z 0
1
1
π 6
dx
=
lim
dx
=
,
2
t→−∞ t x2 + 6
12
−∞ x + 6
√
Z t
Z +∞
π 6
1
1
dx =
lim
dx =
.
t→+∞ 0 x2 + 6
x2 + 6
12
0
Z
Por lo tanto:
Z +∞
−∞
t
1
dx =
x2 + 6
1
dx =
x2 + 6
Z
0
1
dx +
2
−∞ x + 6
Z
0
+∞
√
√
√
π 6 π 6
π 6
1
dx =
+
=
.
x2 + 6
12
12
6
2. Interpretación del resultado. Note que la función a integrar es positiva (> 0) , por lo tanto el
227
Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - 8. Integral Impropia
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valor de la integral es el área de región infinita encerrada entre la curva y =
3
x2
1
y el eje X :
+6
Integrales de funciones con un discontinuas número finito
de discontinuidades en [a, b]
Definición 4 (Integración en ]a, b]) Sea f una función continua en ]a, b] y discontinua en x = a.
Considere
Z b
lim+
f (x) dx.
t→a
Z
Si este límite existe se dice que la integral
t
b
f (x) dx es convergente y su valor es el valor del límite:
a
Z
b
a
En caso contrario, se dice que
Z
f (x) dx = lim+
t→a
Z
b
f (x) dx.
t
b
f (x) dx es divergente.
a
Definición 5 (Integración en [a, b[) Sea f una función continua en [a, b[ y discontinua en x = b.
Considere
Z t
lim−
f (x) dx.
t→b
Si este límite existe se dice que la integral
Z
a
b
f (x) dx es convergente y su valor es el valor del límite:
a
Z
a
En caso contrario, se dice que
Z
b
f (x) dx = lim−
t→b
Z
t
f (x) dx.
a
b
f (x) dx es divergente.
a
Ejemplo 4 Determinar si la integral
Z
3
11
4
√
dx es convergente o divergente.
3x − 9
228
Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - 8. Integral Impropia
Prof. Geovany Sanabria
4
no es continua en 3. Asi
Esta integral tiene problemas en 3, ya que f (x) = √
3x − 9
¯11
Z 11
¯
2√
1
√
lim 4
dx =
lim+ 4 ·
3x − 9¯¯
3
t−>3+
t−>3
3x − 9
t
t
´
√
8 ³√
=
lim+
24 − 3t − 9
t−>3 3
16 √
=
6.
3
Por lo tanto la integral es convergente y su valor es.
Z 11
Z 11
16 √
4
4
√
√
6.
dx = lim+
dx =
3
t−>3
3x − 9
3x − 9
3
t
Z 1
1
√ dx es convergente o divergente.
Ejemplo 5 Determinar si la integral
x
0
1
Esta integral tiene problemas en 0, ya que f (x) = √ no es continua en 0. Como
x
Z 1
¯
³
´
−1
1 ¯1
1
x 2 dx = lim− 2x 2 ¯ = lim− 2 − 2b 2 = 2,
lim−
b−>0
b
b−>0
b
b−>0
entonces dicha integral es convergente y además
Z 1
Z 1
−1
−1
2
x dx = lim
x 2 dx = 2.
b−>0
0
b
Definición 6 (Integración en un intervalo con discontinuidades finitas) Sea f una función
discontinua en x = c. Si las integrales
Z c
Z b
f (x) dx,
f (x) dx,
a
c
son convergentes entonces se dice que la integral
Z
b
f (x) dx es convergente y su valor es:
a
Z
b
f (x) dx =
a
Ejemplo 6 Determinar si la integral
Como
Z
c
f (x) dx +
a
Z
Z
b
f (x) dx.
c
1
1
dx es convergente o divergente.
2
x
−1
1
se indefine en 0 esta integral se debe expresar como la suma de dos integrales impropias:
x2
Z 0
Z 1
Z 1
1
1
1
dx =
dx +
dx
2
2
2
−1 x
−1 x
0 x
229
Apuntes Cálculo Diferencial e Integral, ITCR - 8. Integral Impropia
Z
1. Primera Integral:
0
1
dx Note
2
x
−1
lim−
t→0
Entonces
4
Z
Prof. Geovany Sanabria
Z
t
1
dx =
2
x
−1
=
0
Z
¯t
x−2 dx = lim− −x−1 ¯−1
t→0
−1
¢
¡
lim− −t−1 + 1 = ∞
lim−
t→0
t
t→0
1
dx es divergente, por lo tanto
2
−1 x
Z
1
1
dx también es divergente.
2
−1 x
Ejercicios
1. Determine si las siguientes integrales impropias son convergentes o divergentes. Si son convergentes calculelas.
Z ∞
√
3
(a)
dx.
R/ 34 π 2
2
0 x +2
(b)
(c)
(d)
Z
Z
Z
3
5
dx.
− 2x − 3
x2
1
4
−1
R/
2x
dx.
−1
R/ ∞
x2
1
(x + 1) ln xdx.
R/
0
2. ¿Para qué valores de p, la integral
Z
1
+∞
1
dx es convergente?
xp
3. Determine el área de la región limitada por las curvas y =
1
3
−∞
ln 2
230
−
5
4
R/ p > 1
1
, x = 1 y el eje X.R/
x+1
1
9π
√
3−