Clase 11 - Angelfire
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Clase 11 - Angelfire
Modelos de Transporte: método de costo mínimo y de Vogel M. En C. Eduardo Bustos Farías 2 Método de costo mínimo 3 Métodos de Costo mínimo: – de la matriz – por columna – por fila 4 Q Q Q Costo mínimo de la matriz: Consiste en seleccionar en cada etapa aquella variable xij cuyo costo Cij sea el mínimo para todos los i, j. Costo mínimo por columna: Comenzando con la columna de la izquierda, seleccionamos aquella variable de menor costo. Costo mínimo por fila: Comenzando por la primera fila, seleccionamos xij como la variable correspondiente que tenga 5 menor costo. Q Q Q Este es un procedimiento que aventaja a la regla de la esquina noroeste en la búsqueda de la solución óptima. Aquí emplearemos la misma técnica básica de agotar alternativamente ya sea la oferta de las fábricas o la demanda de los mercados, pero modifica el requisito de proceder geográficamente desde la esquina superior izquierda. En lugar de lo anterior, la asignación corresponde a la casilla de menor costo de la tabla de transporte. 6 Q Q Si esta asignación satisface el requisito de demanda de un mercado, se sigue adelante con el costo más bajo siguiente en el mismo renglón y agotando, de ser posible, las existencias de la fabrica en cuestión. El procedimiento agota de la misma manera la oferta de las fábricas y la demanda de los mercados, inspeccionando siempre los costos a fin de encontrar la casilla siguiente para una asignación en el renglón o la columna de que se trata. 7 EJEMPLO 1 Método de costo mínimo 8 Se resolverá la siguiente tabla de transporte por los 3 métodos de costo 9 Costo mínimo de la matriz 10 0 2500 3500 11 4000 2000 0 2500 3500 0 12 4000 1000 4000 2000 0 2500 3500 0 0 13 1000 4000 1000 0 4000 2000 0 2500 3500 2500 0 0 14 1000 4000 1000 0 1500 2000 4000 2500 0 2500 3500 2500 0 0 0 15 1000 4000 1000 0 2500 1500 2000 4000 2500 0 0 2500 3500 2500 0 0 0 0 16 Costo mínimo por fila 17 4000 1000 0 18 4000 1000 2000 0 4000 0 19 4000 1000 2000 4000 2500 3500 0 0 0 20 1000 4000 1000 0 2000 4000 2500 3500 2500 0 0 0 21 1000 4000 1000 0 2000 1500 4000 2500 2500 3500 2500 0 0 0 0 22 1000 4000 2500 1000 0 2000 1500 4000 2500 0 2500 3500 2500 0 0 0 0 0 23 Costo mínimo por columna 24 2500 0 3500 25 4000 1000 2500 3500 0 0 26 4000 1000 2000 4000 2500 3500 0 0 0 27 4000 1000 2000 1500 4000 2500 2500 3500 0 0 0 0 28 1000 4000 1000 0 2000 1500 4000 2500 2500 3500 2500 0 0 0 0 29 1000 4000 2500 1000 0 2000 1500 4000 2500 0 2500 3500 2500 0 0 0 0 0 30 CÁLCULO DE LOS ÍNDICES DE MEJORAMIENTO 31 Solución con costo mínimo de la matriz 32 Calculo de los índices de mejoramiento: 33 Segunda iteración con costo mínimo de la matriz 34 35 EJEMPLO 2 Balanceo de un problema de transporte 36 Balanceo de un problema de transporte Q Si la oferta excede a la demanda, se puede balancear el problema creando un punto de demanda ficticia que absorba el exceso de oferta. 37 Balanceo de un problema de transporte Q Q Si la demanda excede a la oferta, para que el problema se vuelva factible se puede permitir no satisfacer parte de la demanda pagando una penalidad por unidad de demanda insatisfecha. Se agrega un punto de abastecimiento ficticio con una capacidad igual a la demanda insatisfecha, y una penalidad asociada a cada punto demanda. 38 52 39 EL PROBLEMA NO ESTÁ BALANCEADO Agregamos una columna de holgura para lograr el balance. 40 Se procede a resolverlo usando el método de la esquina noroeste o del costo mínimo. Q Al obtenerse la SFBI se procede a utilizar los índices de mejoramiento. Q 41 Balanceo de un problema de transporte Q También se puede presentar el caso contrario, en el que la demanda total excede a la oferta de las fábricas, en este caso se agregaría a la tabla un renglón de holgura que representase a una fábrica ficticia que serían esencialmente pedidos atrasados. 42 EL MÉTODO DE VOGEL O DE SANCIÓN 43 Método de Vogel Q Q Q Q Q Es un método heurístico Proporciona una SFBI mejor que los métodos anteriores En muchos casos proporciona la solución óptima o una muy cercana a ésta. Se llama de sanción por el método que aplica. Por cada renglón y columna de la tabla de transporte hay una sanción conceptual, en términos de costo, debida al hecho de no elegir la celda más baja disponible durante el proceso de asignación. 44 Método de Vogel Q Q Q Un método que por lo general supera a los demás cuando se trata de encontrar una solución óptima. La expresión sanción es una indicación del método que se aplica. Las sanciones calculadas son las diferencias, en relación con cada renglón y columna, entre las rutas de transporte de costo más bajo y de costo más bajo siguiente. 45 Método de Vogel Q Q Por lo tanto, las asignaciones se hacen primero a aquellas casillas donde las sanciones son mayores, porque esto evita los incrementos más grandes del costo asociados por las diferentes asignaciones. Así pues, el método de sanción subraya tanto la elección de las rutas de transporte de bajo costo, en un sentido absoluto, como la elección de las rutas de bajo costo que mejor eluden las sanciones relativas de costo asociadas con la utilización de otras 46 posibilidades alternativas. Los pasos en que consiste el método son: 1. Encontrar las diferencias entre los costos más pequeños en los renglones y las columnas 2. Determinar el renglón o la columna con la diferencia de costos mínimos más grande, si hay dos o más iguales, seleccionar arbitrariamente. 3. Asignar tanto como sea posible a la celda que tiene el costo más pequeño tratando de satisfacer la demanda en función de la disponibilidad de la oferta e ir disminuyendo la oferta y la demanda correspondiente. 4. Eliminar las columnas o los renglones saturados. 5. Regresar al primer paso y repetir hasta que columnas y renglones queden saturados; si al final solo queda un renglón o una columna, por el método de costo mínimo continuamos asignando a las celdas restantes hasta que todas queden saturadas. 47 EJEMPLO 1 Método de Vogel 48 49 SOLUCIÓN CON WINQSB 50 51 EJEMPLO 2 Método de Vogel 52 Q Q Tenemos el caso de una empresa que debe abastecer tres mercados distintos ( M-1, M-2 y M-3) con demandas de 19, 24 y 9 unidades, respectivamente; dicho abastecimiento debe hacerse a partir de tres fábricas (F-1, F-2 y F-3) con ofertas de 18, 15 y 26 unidades, respectivamente. Resolver la tabla de transporte usando el método de Vogel. 53 54 SOLUCIÓN 55 9 0 SANCIONES 2 EN COLUMNA 1 1 56 SANCIONES EN RENGLÓN 9 2 0 SANCIONES EN COLUMNA 2 2 0 1 1 1 57 SANCIONES EN RENGLÓN 9 0 2 4 SANCIONES EN COLUMNA 2 2 2 0 0 1 1 1 58 SANCIONES EN RENGLÓN Q Ahora completamos la tabla usando el método del costo mínimo por matriz. 59 5 0 2 0 SANCIONES EN COLUMNA 2 2 2 0 0 1 1 1 60 SANCIONES EN RENGLÓN 0 0 2 0 SANCIONES EN COLUMNA 2 2 2 0 0 1 1 1 61 SANCIONES EN RENGLÓN SANCIONES EN COLUMNA 2 2 2 1 1 1 62 SANCIONES EN RENGLÓN El costo asociado a la solución anterior es: Cx = (6x4) + (1x9) + (0x5) + (4x15) + (3x24) + (0x2) = $ 165.00 63 En las siguientes tablas se muestra el método de Vogel, paso a paso, para realizar las asignaciones: RENGLON/ COLUMNA COSTO MENOR COSTO SIGUIENTE MENOR SANCIÓN ASIGNACIÓN A LA CASILLA Fábrica 1 1 5 4 9 a X13 Fábrica 2 2 4 2 Fábrica 3 2 3 1 Mercado 1 4 6 2 Mercado 2 2 3 1 Mercado 3 1 2 1 A.INICIO 64 COSTO MENOR COSTO SIGUIENTE MENOR SANCIÓN Fábrica 1 5 6 1 Fábrica 2 2 4 2 Fábrica 3 3 7 4 Mercado 1 4 6 2 Mercado 2 2 3 1 RENGLON/ COLUMNA ASIGNACIÓN A LA CASILLA B. Suprimir el mercado 3 24 a X32 65 RENGLON/ COSTO COLUMNA MENOR C. Mercados 2 y3 suprimidos Mercado 1 4 COSTO SIGUIENTE MENOR SANCIÓN ASIGNACIÓN A LA CASILLA 6 2 15 a X21 66 Q Habiendo cubierto los mercados 3 y 2 y agotado la fábrica 2, se determinan las siguientes asignaciones: Costo más bajo para satisfacer el resto de la demanda del mercado 1 Holgura para agotar la oferta restante de la fábrica 1 Holgura para agotar la oferta restante de la fábrica 3 4 a X11 5 a X14 2 a X34 67 EJEMPLO 3 Método de Vogel 68 Q Q Q Q Una empresa tiene tres plantas en diferentes zonas, productoras de un solo artículo el cual se vende en cuatro diferentes centros de distribución. Las máximas posibilidades de producción de la planta y los requerimientos de cada centro se muestran a continuación. Además, se proporcionan los costos unitarios de transporte. Encontrar el costo mínimo de transporte, satisfaciendo las demandas y considerando las limitaciones de oferta, por el método de Vogel. 69 70 SOLUCIÓN 71 72 El costo (Cx) asociado a la solución anterior es Cx = (5x20) + (25x5) + (20x5) + (10x17) + (5x25) + (15x5) Cx = $695.00 73 EJERCICIO PARA RESOLVER 74 La Red de AJax Q Q Q Q Q La planta de Ajax se encuentra en Chicago. Una compañía de almacenamiento se encuentra en St Louis. Ajax vende sus computadoras en 8 mercados. Para satisfacer la demanda de esta semana, el gerente de Ajax debe decidir un plan de embarque de alfas desde su planta hasta la bodega y los mercados. Los costos de transporte se muestran en la tabla 75 Costos de transporte $/unidad 1 Chi 2 STL 3 Det 4 Cin 5 6 LOU INd 7 Mil 8 MIn oferta Planta 14 24 21 20 21.5 19 17 30 100 Bodega 24 15 28 20 18.5 19.5 24 28 45 demanda 22 14 18 17 15 20 13 15 Plantear el modelo de red. Resolverlo por el método de costo mínimo (por matriz) y por el de Vogel Comparar los costos de la SFBI por ambos métodos. 76 SOLUCIÓN 77 Modelo de Transporte Centros productores Centros de consumo b1 1 1 a1 b2 2 2 a2 cij MIN Z=ΣΣcijXij s.t ΣXij =ai J ΣXij =bj i 3 b3 78 79 80 81 82 83 EJERCICIO PARA RESOLVER 84 Almacenes Planta 1 2 3 4 Oferta 1 464 513 654 867 75 2 352 416 690 791 125 3 995 682 388 685 100 Demanda 80 65 70 85 300 Se desea saber cuántos camiones enviar de i a j dados los costos De transporte de i a j. Plantear el modelo de programación lineal (sin resolverlo). Resolverlo por el método de costo mínimo y por el de Vogel. 85 SOLUCIÓN 86 Modelo de programación lineal Q Q Xij= No de camiones de la planta i al almacén j Cij= costo en UM/camión de la planta i al almacén j Min Z=464X11+513X12+654X13+867X14+352X21+ 416X22+690X23+791X24+995X31+682X32+388X33+ 685X34 s.a X11+X12+X13+X14 =75 X21+X22+X23+X24 =125 X31+X32+X33+X34 =100 X11+X21+X31 =80 X12+X22+X32 =65 X13+X23+X33 =70 X14+X24+X34 =85 ∀XIJ ≥ 0 87 88 89 90 91 92 EJERCICIO PARA RESOLVER 93 Q Q Q Q Q La compañía “Aceros del Norte, S.A.” debe hacer envíos de tres fábricas a siete bodegas. El costo unitario de las fabricas a cada bodega, los requerimientos de las bodegas, las capacidades de cada fabrica son: Obtener una primera solución al problema de transporte por la regla de la esquina noroeste. ¿Cuál es el costo? Encontrar la solución óptima por el método de costo mínimo. ¿Cuál es el costo? Encontrar la solución óptima por el método de Vogel. ¿Cuál es el costo? FABRICAS 1 2 3 DEM. A B 6 11 8 100 7 3 5 200 BODEGAS C D E 5 4 3 450 4 5 6 400 8 4 5 200 CAPACIDADES F G 6 3 8 350 5 2 4 300 700 400 1000 94 SOLUCIÓN CON TORA 95 ESQUINA NW 96 97 EJERCICIO PARA RESOLVER 98 Q Q Q Q LA EMPRESA MANUFACTURAS INTERNACIONALES, S.A. TIENE TRES FABRICAS Y CINCO BODEGAS A PARTIR DE LAS CUALES SATISFACE SU DEMANDA. A CONTINUACIÓN TENEMOS LOS DATOS SOBRE CAPACIDADES DE FÁBRCA, REQUERIMIENTOS DE BODEGAS Y COSTOS DE TRANSPORTE (MATRIZ): APLICANDO LOS 3 MÉTODOS DE TRANSPORTE ENCONTRAR LA SOLUCIÓN ÓPTIMA A ESTE PROBLEMA, ES DECIR UN PROGRAMA DE EMBARQUES AL COSTO MAS BAJO. LOS COSTOS ESTAN EXPRESADOS EN PESOS 99 B-1 B-2 B-3 B-4 B-5 CAPACIDAD DE FÁBRICA FABRICA A 5 8 6 6 3 800 FÁBRICA B 4 7 7 6 5 600 FÁBRICA C 8 4 6 6 4 1100 REQUERIMI ENTO DE BODEGA 400 400 500 400 800 100