unidad 05. tangencias ii. aplicación del concepto de inversión

unidad 05. tangencias ii. aplicación del concepto de inversión

TANGENCIAS II: APLICACIÓN DEL CONCEPTO DE INVERSIÓN
OBJETIVOS
1. Relacionar –como transformación geométrica basada en la proporcionalidad inversa– el concepto
de inversión en el plano con el de potencia de un punto respecto a una circunferencia.
versos y serán, por tanto, dobles en una transformación directa o positiva , donde cada punto y su inverso se encuentran en la misma dirección (por definición) y situados en el mismo sentido. Se trata pues,
de todos aquellos puntos que conforman una circunferencia, denominada de autoinversión , con centro
el punto O y por radio k 2 = k .
DEFINICIÓN Y CONSECUENCIA
La inversión es una transformación geométrica cuya
propiedad fundamental es mantener la tangencia entre las formas; es decir, si dos líneas son tangentes en
un punto T , sus inversas también lo son en el punto
T’ , inverso de T .
A
2.2 Circunferencias ortogonales a la circunferencia
de autoinversión.
OA · OA’ = k 2 ( cte.)
OA · OA’ = k (cte.)
(C.I.)
α
B’
B
s
OA · OA’ = OB · OB’ = k 2 ( cte.)
c’
CIRCUNF.
CIRCUNF.
OT 2 = OA · OA’ = OB · OB’ = … = k 2
Las circunferencias ortogonales a la
autoinversión son dobles.
2.2
DETERMINACIÓN DE PUNTOS INVERSOS
DATOS:
k
fe
r
ci
A A'
Ci rc
un
en
t o i n v er s i ó n
e au
O
C C'
B B'
2.1
2
OA = OB = OC = k 2
Circunferencia de autoinversión.
Si el punto es exterior a la circunferencia de autoinversión ( fig. 3.2 ), el proceso de construcción es el
mismo, pero recorrido en sentido contrario. Es el caso de partir de conocer A’ y tener que determinar la
posición de su inverso, el punto A .
El proceso descrito se fundamenta en el antiparalelismo antes mencionado, consistente en que si AB es
perpendicular a OA , el segmento A’B’ ha de serlo
igualmente a OB’. Nótese que, considerando el triángulo OBA’, rectángulo en B, el cateto OB = k es media proporcional o geométrica de su proyección OA
sobre la hipotenusa y de la magnitud (OA’) de esta.
A
A’
oin
versión
A
A’
PUNTO
PUNTO
DATOS:
k
B B’
O
A’
O
3.2
A
A’
PASO DE
ut
a
luego :
O
Determinación de A’ como punto
inverso del punto A.
3.1
de
2
OA = OB = OC = k
2
ut
Ci rcu nf.
2
A
PASO DE
- Por el punto A se traza la perpendicular a la recta
anterior (OA) que corta a la circunferencia de autoinversión en el punto doble B . Por él se lanza la tangente que intersecciona a la recta OA en el punto
A’, inverso de A .
k
2
- En la recta que une el centro de inversión O con el
punto A se encuentra el inverso de éste ( A’).
O
a
Si el punto dado A es interior a la circunferencia
de autoinversión ( fig. 3.1) el proceso de construcción para determinar su punto inverso (A’) es como sigue :
AUTOINVERSIÓN
ad
Dada una inversión de centro O y potencia k 2 se trata de determinar, gráficamente, el punto inverso de
otro dado.
e
C i r c un f. d
Las parejas de puntos inversos son
concíclicos.
1.2
OA · OA’ = OB · OB’ = OC · OC’ = k 2
En una inversión de centro O y potencia k existe
una serie de puntos que coinciden con sus inversos.
Dado que el producto de distancias del centro de inversión a los puntos inversos ha de ser constante e
igual a la potencia ( k 2), todos los puntos que distan
de O una magnitud igual a k coincidirán con sus in-
c
3 DETERMINACIÓN DE PUNTOS INVERSOS
2 PUNTOS DOBLES EN LA INVERSIÓN
2.1 Circunferencia de autoinversión.
PASO DE
i
B B’
Por ello, las parejas de puntos inversos, antes mencionadas, se encuentran situadas en una misma circunferencia, esto es, los cuatro puntos (A - A’- B - B’) son
concíclicos; lo que significa que el ángulo α formado
por el segmento AB con la recta OB es igual al que
forma A’B’ con OA’ , puesto que ambos son ángulos
inscritos a la circunferencia y abarcan el mismo arco.
Lo dicho verifica que los segmentos definidos por parejas de puntos inversos son antiparalelos respecto
a los rayos que contienen a los extremos de dichos
segmentos y al centro de inversión.
rs
ea
utoinve
Por ello, se puede enunciar que la circunferencia es
doble por coincidir con su transformada, aunque no
de puntos dobles, al no coincidir los puntos con sus
inversos.
OA · OA’ = OB · OB’ = k (cte.)
Esta expresión hace recordar la definición de potencia de un punto respecto a una circunferencia (de
ahí la denominación de potencia de inversión dada a
la constante k 2) y sus consecuencias y propiedades,
estudiadas en la unidad didáctica anterior.
.d
k
2
De tal forma que parte un de determinado arco de la
circunferencia y tiene por inversa a la otra parte de
la misma, y viceversa. Nótese que los cuatro puntos
A - A’ y B - B’ son concíclicos.
A
O
B
OT 2 = OA · OA’ = OB · OB’ = … = k 2 (cte.)
α
La constante, k 2, se llama potencia de inversión ;
el punto fijo, O , centro de inversión ( C.I. ) ; y los
puntos A y A’, puntos inversos.
O
f
2
A’
k
un
r
A’
Cuando se desea hallar la inversa de una circunferencia que corta ortogonalmente a la de autoinversión
se demuestra que la figura inversa es ella misma.
Se entiende que dos curvas se cortan ortogonalmente , cuando sus respectivas rectas tangentes,
en el punto de contacto, son perpendiculares.
En consecuencia, se cumple :
B’
T T’
Circ
Inversión de centro O y potencia k2.
Dos puntos alineados con un tercero fijo O , se dice
que están en inversión cuando en la correspondencia
puntual de ellos mismos el producto de sus distancias
a O es constante. Esto es, cuando se verifica que:
De la definición anterior se desprende que cualquier
pareja de puntos A y B tiene por inversa a otra pareja A’ y B’, respectivamente alineados con el centro
de inversión O, de forma que:
M
90°
(C.I.)
1.1 Definición y elementos.
1.2 Puntos concíclicos.
c
Para diferenciarla de otras circunferencias, gráficamente conviene representarla a trazos (en línea fina y
discontinua).
O
1.1
A
c’
k
La aplicación de las propiedades que trae consigo la
teoría de inversión , simplifican, enormemente, la solución de muchos problemas de tangencias y resuelven otros que no encontrarían fácil solución por teorías
vistas anteriormente (homotecia o potencia). Especial
interés constituye su utilización en el trazado de circunferencias tangentes a circunferencias y rectas, lo que
suele identificarse como los Problemas de Apolonio.
A’
CIRCUNFERENCIA DOBLE
ón
1 INVERSIÓN
2. Valorar y analizar las posibilidades que ofrece la inversión en el plano al simplificar los problemas
de tangencias e imprimirles elegancia y precisión en su trazado.
oin
versió n
A’
A
PUNTO
PUNTO
Determinación de A como punto
inverso del punto A’.
61
4 FIGURA INVERSA DE UNA RECTA
DATOS: r
k
r
Analicemos, para cada caso, la determinación
de la figura inversa de la recta.
A’
r r’
P
ve
rsi
ón
B B’
DATOS:
r
O’∞
A
(C.I.)
4.1
B
r
O
P
M
(C.I.)
P’
C ircu nf. d e au
5.1
nv
toi
er
si
r’
Inversa de circunferencia que pasa por O.
Tangente
k
r
RECTA
r’
CIRCUNF.
B’
RECTA
r’
CIRCUNF.
r
Cuando la circunferencia r dada, de centro M y
radio conocido, pasa por el centro de inversión
O, su figura inversa será una recta perpendicular a la recta OM ya que, dado que la inversión
es una transformación geométrica biunívoca, estaremos ante el caso recíproco al de la figura inversa de una recta que no pasa por el centro de
inversión, analizado anteriormente.
Por ello, se considera el punto P, diametralmente
opuesto al centro O, y se halla su inverso P’. La
recta r’, perpendicular a OP, es la figura inversa
de la circunferencia r dada.
Recta secante.
4.2.1
O
O
P’
M
r
RECTA
k
∞
O
r
O
5.1 Figura inversa de una circunferencia que
pasa por el centro de inversión.
in
Al punto O, centro de inversión, le corresponde el punto impropio O’ sobre la recta r considerada (fig. 4.1) .
r’
k
C. d e auto
En este caso, los distintos puntos de la recta tienen sus inversos sobre la misma, por lo que se
puede enunciar que la figura inversa de una
recta que pasa por el centro de inversión es
coincidente con la recta dada, siendo una figura doble, aunque no de puntos dobles, ya que
cada punto no coincide con su transformado.
CIRCUNF.
r
A A’
k
Conocido el centro de la inversión y su potencia,
lo que significa tener definido el radio de la circunferencia de autoinversión, pueden darse dos situaciones de una circunferencia respecto al centro
O de la inversión: que la circunferencia dada pase por el centro de inversión o que no le contenga.
r’
RECTA
O
4.1 Figura inversa de una recta que pasa por
el centro de inversión.
DATOS:
Secante
ón
Dada una inversión definida por la posición de su
centro O y por una potencia de inversión k 2, pueden darse dos posiciones relativas entre la recta
y el centro de inversión: que la recta pase por el
centro O de inversión, o que no pase por él.
5 FIGURA INVERSA DE UNA
CIRCUNFERENCIA
c
k
PASO DE
O
r
r’
DATOS:
c
c’
CIRCUNFERENCIA
CIRCUNFERENCIA
RECTA
R
Las rectas que pasan por O son dobles.
t1
r’
T
k
O
c
P P’
M
e
.d
T’
au
to
4.2.2
in
c’
ve
rsió
O
n
(C.I.)
M’ N’
N
M
Recta tangente.
k
Partiendo, como siempre, de conocer el centro
de la inversión y el valor de la potencia, vamos a
considerar, separadamente, las tres posibles posiciones que puede tomar la recta r (dato) con
respecto a la circunferencia de autoinversión: que
sea secante, tangente o exterior. En todos ellos, la
figura inversa de la recta siempre es una circunferencia (r’) que pasa por el centro de inversión O.
C ir cu n f
4.2 Figura inversa de una recta que no pasa
por el centro de inversión.
r
Exterior
k
La figura inversa (r’) es una circunferencia que
pasa por tres puntos: los puntos dobles A y B
junto con el centro de inversión O. Asimismo, su
diámetro queda definido por sus extremos O y P’,
éste último inverso del punto P, pie de la perpendicular trazada a la recta r desde el centro O.
r
RECTA
O
de
62
O
nf.
Análogamente a lo visto en los casos anteriores,
el punto P’, inverso de P (pie de la perpendicular trazada desde el centro de inversión O a la
recta r dada), determina el diámetro OP’ de la
circunferencia ( r’) , como figura inversa de r .
CIRCUNF.
au
4.2.3
to
in v
ersió
n
Recta exterior.
Cir c unf er e ncia
5.2
au
de
to
in
v
t2
Inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión O.
5.2 Figura inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión.
r’
k
C ir c u
4.2.3 Caso en que la recta r sea exterior a la
circunferencia de autoinversión.
r’
r
4.2.2 Caso en que la recta r sea tangente.
Cuando la recta es tangente en un punto P a la
circunferencia de autoinversión, la figura inversa
es una circunferencia de diámetro OP . Su representación es inmediata ( fig. 4.2.2 ) .
s ió
n
DATOS:
er
4.2.1 Caso en que la recta r sea secante a la
circunferencia de autoinversión.
M
P’
P
Si la circunferencia c dada, de centro M y radio
conocido, no pasa por el centro de inversión
O, su figura inversa es otra circunferencia, homotética con relación a dicho centro, que tampoco pasa por el centro de inversión.
- Localizado el punto de tangencia T se determina su inverso T’ y, prolongando la recta RT’, el
punto N’ (centro de la circunferencia solución),
inverso del punto N (pie de la perpendicular a
OM trazada desde el punto T ) .
Su trazado, más rápido, es como sigue:
- Obsérvese cómo el punto inverso del centro M
de la circunferencia dada es el pie M’ de la
perpendicular a OM trazada por T’ ; y viceversa, el centro N’ de la circunferencia solución
(inversa de la dada) tiene como punto inverso
el pie N antes mencionado.
- Desde el centro de inversión se trazan las rectas tangentes a la circunferencia dada, que lo
serán a la figura inversa de ésta. Consideremos
únicamente una de las dos; por ejemplo, en la
fig. 5.2 , vamos a operar con la tangente t1 .
6 LA INVERSIÓN CONSERVA LOS ÁNGULOS
LA INVERSIÓN ES UNA TRANSFORMACIÓN CONFORME
La inversión es una transformación conforme, esto es,
una transformación que conserva los ángulos que forman dos líneas entre sí.
r
Se denomina ángulo de una recta r con una curva c
( fig. 6a) al que forma la recta con la tangente a la curva
trazada por su punto común T. De igual modo, el ángulo que forman dos curvas, c1 y c2 , al cortarse ( fig. 6b) ,
viene dado por el ángulo formado por sus tangentes
respectivas trazadas por el punto intersección P.
α
β
c1
c2
T
T
t1
c2
c1
c
Si el ángulo es recto, los arcos o las circunferencias a que
pertenecen se denominan ortogonales.
6a
Ángulo entre la recta r y la curva c.
Ángulo entre dos curvas secantes c1 y c2 .
k
Q
c
6b
t2
DATOS INVERTIDOS
DATOS:
7 APLICACIONES
La aplicación de la teoría de inversión se dirige, fundamentalmente, a la resolución de ejercicios de tangencias; lo
que permite resolver numerosos problemas geométricos,
entre los que se destaca la determinación de circunferencias tangentes que, en un principio, se tornan complejos.
Para ello, es conveniente elegir el centro y la potencia de
inversión adecuados, como se verá en las aplicaciones
que siguen: se pretende reducir el problema a trazar rectas tangentes a circunferencias y no de éstas entre sí.
O
T’2
Q
c
T2
Q (C.I.)
T1
O
P
T’1
P’
O
t’2
t1
t’1
P’
SOLUCIONES
t’2
P
t2
ESQUEMA
PPc
CONCEPTUAL
D AT O S
INVERSOS
TA N G . I N V E R S A S
CIRCUNF.
t1
CIRCUNF.
c
c’
CIRCUNF.
t’1
RE CTA
CIRCUNF.
t2
PUNTO
P
P’
PUNTO
t’2
RE CTA
PUNTO
Q
C.Inversión
• Proceso a seguir:
k
R R’
Q (C.I.)
T’2
T2
T1
O
S1
S2
t’1
P
c
c’
t1
T’1
ón
- Siempre que se tenga que hacer pasar una circunferencia por un punto se utilizará éste como centro de inversión (en la figura, el punto Q ).
La potencia de inversión se condiciona a que uno cualquiera de los datos tenga por inverso él mismo, lo que
simplifica el proceso. Así, sabiendo que toda circunferencia ortogonal a la de autoinversión es doble, se condiciona a que ésta tenga por radio el segmento de tangente QR . Con ello, la figura inversa de la circunferencia
c es ella misma (c’). Asimismo, se halla P’, inverso de P.
- Las rectas tangentes t’1 y t’2 , trazadas desde P’ a la circunferencia c’, tienen como figuras inversas las circunferencias t 1 y t 2 que, siendo tangentes a la circunferencia c , pasan por el punto Q (centro de inversión) y por
P , inverso de P’ .
- Los puntos de tangencia T1 y T2 de la circunferencia c
con las circunferencias solución son inversos de los de
tangencia T’1 y T’2 de las rectas t’1 y t’2 , respectivamente, con la circunferencia c’ inversa de la c dada.
El esquema conceptual que se adjunta (fig. 7.1) muestra la mecánica del proceso de inversión empleado para
resolver el ejercicio. Invertir los datos (circunferencia c y
puntos P y Q ) facilita el planteamiento inicial: supone
trazar rectas tangentes a circunferencias, en vez de trazar circunferencias tangentes a otras circunferencias
(datos) y, en consecuencia, conseguir precisión en el trazado de la solución final.
REINVERSIÓN Y
CIRCUNFERENCIAS SOLUCIÓN
(C.I.)
O
P
c’
Q
c c’
Ángulo entre dos circunf. tangentes c1 y c2 .
6c
RECTAS TANGENTES
A LOS DATOS INVERTIDOS
7.1 Circunferencias que pasan por los puntos ( P y Q )
y son tangentes a otra de centro O .
Este problema, resuelto en la U.D. anterior mediante el
empleo de la teoría de potencia, tiene fácil e ingenioso
tratamiento aplicando la teoría de inversión; lo que significa invertir los datos para simplificar el tratamiento de
su solución.
α = 0°
t1
t
T
Por lo dicho se desprende que dos circunferencias tangentes entre sí forman un ángulo de 0° (fig. 6c ) .
La inversión, por tanto, conserva las tangencias, lo que
puede enunciarse así: «Dos figuras originales tangentes tienen por inversas dos figuras también tangentes y los puntos de tangencia (pareja de inversos) están alineados con el centro de inversión».
t2
e
C. d
au
i
to
nv
er
si
P’
t2
7.1
Circunferencias que pasan por dos puntos ( P y Q) y son tangentes a otra circunferencia c.
63
7.2 Circunferencias que pasan por un punto
( P ) y son tangentes a otras dos, c1 y c2 .
- Se considera como centro de inversión el punto P y se toma como radio de la circunferencia
de autoinversión el segmento de tangente trazado desde P a una de las dos circunferencias dadas: en la fig. 7.2 , el segmento PR a
la curva c1 . Con ello, la circunferencia c1 tiene
por figura inversa c’1 , es decir, ella misma.
- Nótese que los puntos inversos de los 1’, 2’, 3’
y 4’ de contacto de las rectas tangentes exteriores con las circunferencias c’1 y c’2 serán los
puntos de tangencia 1, 2, 3 y 4 de las circunferencias t 1 y t 2 (soluciones) con las circunferencias dadas ( c 1 y c 2 ) , respectivamente.
El esquema conceptual indicado en la parte
inferior, junto al tratamiento gráfico de los elementos que se consideran en cada paso (expuestos en la parte superior), determinan la
mejor síntesis de clarificación al proceso seguido.
RECTAS TANGENTES EXTERIORES
A LOS DATOS INVERTIDOS
c2
2’
c1 c’1
c2
4
t’2
4’
2
t2
3’
1
t1
P
P (C.I.)
P
P (C.I.)
ESQUEMA
SOLUCIONES
CONCEPTUAL
D AT O S
INVERSOS
CIRCUNF.
t1
CIRCUNF.
c1
c’1
CIRCUNF.
CIRCUNF.
t2
PUNTO
c2
c’2
PUNTO
EXTERIORES
TA N G . I N V E R S A S
t’1
t’1 RECTA
t’2
1’
RE CTA
t2
EXTERIORES
PUNTO
P
C.Inversión
2’
Pcc
c’2
c1
c’1
3
A’
O1
c2
4’
O2
4
S2
2
R R’
1
A
de a u t o in
v
ersi
ón
3’
C
Circunferencias que pasan por
un punto P y son tangentes
exteriores a otras dos c 1 y c 2.
.
7.2
64
c1
3
c’2
c’1
c2
REINVERSIÓN Y
CIRCUNFERENCIAS SOLUCIÓN
t’1
1’
c’2
c1
k
- Se trazan las rectas tangentes a las circunferencias c’1 y c’2 . Dado que es posible trazar
cuatro rectas tangentes a las dos circunferencias (dos exteriores y otras dos interiores), el
problema cuenta con cuatro posibles soluciones. En la fig. 7.2 se han trazado, únicamente,
las dos tangentes exteriores, t’1 y t’2 ; lo que
trae consigo que sus figuras inversas (circunferencias) sean tangentes exteriores a las circunferencias datos.
DATOS INVERTIDOS
DATOS:
S1
t1
P
(C.I.)
k
t’2
1
CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS INVERSAS
formación geométrica planteada. Raya o colorea la superficie inversa
del interior del cuadrado ABCD.
1. Dibuja la FIGURA INVERSA del cuadrado ABCD, sabiendo que su
circunferencia inscrita es la de autoinversión en la transformación
geométrica que se propone.
nombre y apellidos
3. Traza la FIGURA INVERSA del semicírculo dado, conociendo el centro O
de la transformación geométrica y un par de puntos inversos P y P’. Razona la respuesta, dejando en línea fina todas las construcciones auxiliares.
2. Dibuja la FIGURA INVERSA de la superficie cuadrada ABCD, sabiendo
que su circunferencia circunscrita es la de autoinversión en la trans-
1
GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA
TANGENTES II: APLICACIÓN DE INVERSIÓN
C
B
nº
curso/grupo
3
nv
er
sió
n
O
de
C.
au
D
to
i
P’
A
P
2
C
B
O
(C.I.)
O
D
Cir
cun
f . d e a u t o in v e r s
ió n
A
fecha
2
3
17
1
CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS INVERSAS
formación geométrica planteada. Raya o colorea la superficie inversa
del interior del cuadrado ABCD.
1. Dibuja la FIGURA INVERSA del cuadrado ABCD, sabiendo que su
circunferencia inscrita es la de autoinversión en la transformación
geométrica que se propone.
nombre y apellidos
de la transformación geométrica y un par de puntos inversos P y P’. Razona la respuesta, dejando en línea fina todas las construcciones auxiliares.
que su circunferencia circunscrita es la de autoinversión en la trans-
F F’
C
17
3
3. Traza la FIGURA INVERSA del semicírculo dado, conociendo el centro O
2. Dibuja la FIGURA INVERSA de la superficie cuadrada ABCD, sabiendo
1
GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA
TANGENTES II: APLICACIÓN DE INVERSIÓN
2
nº
3
B
curso/grupo
fecha
O’∞
B’
C’
M
G G’
E E’
O
O
A’
D’
sió
n
A’
er
nv
de
C.
D
au
P’
c’
i
to
Q’
O’∞
P’
P
T T’
A
H H’
Q
P
A
k
2
P’
c
F’
Arco capaz
de 90°
O
(C.I.)
C C’C
BB B’
F
k
O
(C.I.)
P
G’
G
O
E
CONSTRUCCIÓN
H
D D’D
CCiir
ónn
rccuu
rrssiió
nnff.. dd
ee aauuttooiinnvvee
H’
E’
AA A’
- Para hallar el radio k de la circunferencia de autoinversión se determina la media proporcional o geométrica de los segmentos OP y OP’ dados.
- La recta OP es doble porque pasa por el centro de inversión. Los puntos del diámetro OP tienen sus
inversos en la semirrecta P’O’∞ ya que el inverso de O está en el infinito, el inverso de P es el dato P’ y
los puntos situados entre ambos, al estar a menor distancia de O que P, tendrán sus inversos más
alejados que P’ (para que el producto de distancias se mantenga constante: OP · OP’ = k2).
- La semicircunferencia que limita el semicírculo tiene su inversa en una semirrecta c’, pues el centro
de inversión pertenece a la circunferencia c.
- Para determinar la superficie de plano que es inversa al semicírculo dado, y que aparece rayada, basta con considerar un punto A y hallar su inverso A’. Recuérdese que parejas de puntos inversos son
concíclicos.
VERIFICACIONES
1. Dibujar la FIGURA INVERSA de la circunferencia c, CONCÉNTRICA a la de autoinversión.
2. Dibujar la FIGURA INVERSA de la circunferencia c, EXTERIOR a la de autoinversión.
1
2
O
(C.I.)
nv
er
sió
O
(C.I.)
n
c
C.
66
de a
ió n
u t o i n ve r s
u
ea
C. d
to
i
c
VERIFICACIONES
la de autoinversión.
INVERSA
decircunferencia
la circunferencia
c, CONCÉNTRICA
Dibujar la
laFIGURA
FIGURA
1. Dibujar
INVERSA
de la
c, CONCÉNTRICA
a la de a
autoinversión.
EXTERIOR
la de
autoinversión.
INVERSA
circunferencia
FIGURAINVERSA
2. Dibujar la FIGURA
dede
lala
circunferencia
c,c,
EXTERIOR
a laa de
autoinversión.
1
2
c
T T’
c’
A
A
A’
B’
O
(C.I.)
B
n
A’
sió
O
(C.I.)
nv
er
c’
C.
to
i
c
COMENTARIO
COMENTARIO
- La figura inversa de una circunferencia concéntrica y exterior a la de autoinversión es
otra circunferencia también concéntrica e interior a la de autoinversión.
- La figura inversa de una circunferencia exterior a la de autoinversión es otra circunferencia
interior a la de autoinversión.
- Tomando un punto cualquiera A de la circunferencia dada y determinando su inverso
se halla la magnitud OA’ que determina el radio de la circunferencia solución.
- Los puntos inversos de los extremos de un diámetro cualquiera de la circunferencia dada,
determinan el diámetro de la solución. Así, los puntos A’ y B’, inversos de los extremos
A y B, son los extremos del diámetro de la circunferencia solución.
COMENTARIO A LA CONSTRUCCIÓN DEL EJERCICIO DE LA PROPUESTA 1
COMENTARIO A LA CONSTRUCCIÓN DEL EJERCICIO DE LA PROPUESTA 2
- Los puntos de tangencia del polígono con la circunferencia de autoinversión son dobles
( E E’, F F’, G G’ y H H’ ) y los lados del mismo pueden considerarse como rectas
que no pasan por el centro de inversión O.
- En este caso, los puntos vértices del cuadrado son puntos dobles por pertenecer a la
circunferencia de autoinversión.
- Por ello, las figuras inversas de los lados del cuadrado son circunferencias que sí pasan
por el centro de inversión O: es el caso de la circunferencia de centro el punto M, punto
medio de EO, que corta a las diagonales OA y OB en los puntos A’ y B’, respectivamente.
- La figura inversa del cuadrado estará formada por cuatro arcos de circunferencia, secantes
entre sí, e inversos de los lados respectivos.
66
u
ea
C. d
de a
ió n
u t o i n ve r s
- Las inversas de los lados, al ser rectas que no pasan por el centro de inversión, serán circunferencias que sí pasan por él y por los puntos dobles A A’, B B’, C C’ y D D’.
- La figura inversa del cuadrado ABCD, como en el caso anterior, está formado por cuatro
porciones de circunferencias (semicircunferencias), inversas respectivamente de sus lados; secantes entre sí por los inversos de sus vértices.
- La superficie inversa del cuadrado es la exterior de las porciones inversas. Así, el punto
P (interior) tiene como inverso el P’ (superficie exterior).
1
CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR UN PUNTO Y SON TANGENTES
A OTRAS DOS DADAS ( P c c )
Traza, empleando la inversión como transformación geométrica idónea,
las CIRCUNFERENCIAS que pasando por el punto exterior P, sean
TANGENTES INTERIORES a las circunferencias c1 y c2 de centros O1
y O 2 respectivamente.
Pcc
NOTA.- Las circunferencias soluciones que se piden, juntamente con
las resueltas en el apartado 7.2 de teoría, complementan las cuatro
soluciones que pueden trazarse; esto es, las cuatro CIRCUNFERENCIAS
TANGENTES a otras dos dadas y que pasan por un punto exterior.
DATOS INVERTIDOS
DATOS
c1
t’3
c’1
nº
curso/grupo
fecha
REINVERSIÓN: CIRCUNFERENCIAS SOLUCIÓN
6
8
c’1
c2
t4
8’
c2
c1
7
6’
5
t’4
ESQUEMA
SOLUCIONES
CIRCUNF.
CIRCUNF.
t3
CIRCUNF.
t2
CIRCUNF.
P
P
(C.I.)
(C.I.)
P
CONCEPTUAL
D AT O S
INVERSOS
c1
c’1
CIRCUNF.
c2
c’2
CIRCUNF.
(doble)
INTERIORES
TA N G . I N V E R S A S
t’3
R EC TA
t’4
R EC TA
INTERIORES
PUNTO
P
C.Inversión
c1
O1
c2
O2
P
Pcc
c2
t3
k
P
18
c’2
5’
7’
3
nombre y apellidos
RECTAS TANGENTES INTERIORES A LOS DATOS INVERTIDOS
c’2
c1
GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA
TANGENTES II: APLICACIÓN DE INVERSIÓN
2
(C.I.)
1
CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR UN PUNTO Y SON TANGENTES
A OTRAS DOS DADAS ( P c c )
Traza, empleando la inversión como transformación geométrica idónea,
las CIRCUNFERENCIAS que pasando por el punto exterior P, sean
TANGENTES INTERIORES a las circunferencias c1 y c2 de centros O1
y O 2 respectivamente.
Pcc
NOTA.- Las circunferencias soluciones que se piden, juntamente con
las resueltas en el apartado 7.2 de teoría, complementan las cuatro
soluciones que pueden trazarse; esto es, las cuatro CIRCUNFERENCIAS
TANGENTES a otras dos dadas y que pasan por un punto exterior.
DATOS INVERTIDOS
DATOS
c1
t’3
nº
c’1
curso/grupo
fecha
REINVERSIÓN: CIRCUNFERENCIAS SOLUCIÓN
6
8
c’1
c2
t4
8’
c2
c1
7
6’
5
t’4
ESQUEMA
SOLUCIONES
CIRCUNF.
CIRCUNF.
t3
CIRCUNF.
t2
CIRCUNF.
P
P
(C.I.)
(C.I.)
INVERSOS
c1
c’1
CIRCUNF.
c2
c’2
CIRCUNF.
(doble)
INTERIORES
c’2
TA N G . I N V E R S A S
t’3
R EC TA
t’4
R EC TA
5’
t’3
6
INTERIORES
PUNTO
P
CONCEPTUAL
D AT O S
P
7’
C.Inversión
c1
8
T’
c’1
O1
c2
8’
O2
7
5
6’
T
R R’
S3
t4
S4
t3
Pcc
c2
t3
k
P
18
c’2
5’
7’
3
nombre y apellidos
RECTAS TANGENTES INTERIORES A LOS DATOS INVERTIDOS
c’2
c1
GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA
TANGENTES II: APLICACIÓN DE INVERSIÓN
2
t’4
P
(C.I.)
k
VERIFICACIONES
1. Indicar, gráficamente, una INVERSIÓN (centro de inversión y circunferencia de autoinversión) que relacione la circunferencia c con la recta r.
2. Justificar, gráficamente, que la FIGURA INVERSA de la recta r que no pasa por el centro de inversión O, y potencia k2 , es una circunferencia que sí pasa por dicho punto.
1
r
c
2
ón
C i rc u n f . de
a ut
o
in
ve
rs
i
r
O
(C.I.)
k
68
VERIFICACIONES
(centrode
deinversión
inversióny ycircunferencia
circunferenciade
deautoinversión)
autoinversión)que
querelacione
relacionelalacircunferencia
circunferenciac ccon
conlalarecta
rectar. r.
1. Indicar, gráficamente, una INVERSIÓN
INVERSIÓN (centro
2
FIGURAINVERSA
INVERSAdedelalarecta
rectar que
r que
pasa
por
centro
inversión
y potencia
2. Justificar, gráficamente, que la FIGURA
nono
pasa
por
elel
centro
dede
inversión
O,O,
y potencia
k2 ,kes
una
circunferencia
que
sí pasa
porpor
dicho
punto.
, es
una
circunferencia
que
sí pasa
dicho
punto.
1
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i
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r
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c’
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au
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Cir
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nf
A A’
c
r’
O
Q
(C.I.)
P
P’
k
COMENTARIO
- Los puntos A y B de la circunferencia c y la recta r son dobles; por tanto, la circunferencia
de autoinversión pasará por ellos.
- Dado que la circunferencia c y la recta r son figuras inversas, el centro de inversión O se
encontrará en cualquiera de los extremos del diámetro de la circunferencia c, perpendicular
a la recta r . En la figura, el diámetro OQ, donde se ha considerado el punto extremo O
como centro de la inversión que transforma la recta r en la circunferencia c, o viceversa.
B B’
- La circunferencia de autoinversión tendrá por centro O y por radio OA = OB = k.
2
C
ón
rs
i
r
A A’
C i rc u n f . de
a ut
o
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ve
C’
O
(C.I.)
COMENTARIO
O
(C.I.)
P
P’
k
r’
D’
B B’
D
68
- En un principio se halla el inverso del punto P (pie de la perpendicular trazada a la recta
r desde el centro de inversión O ), resultando el punto P’. Como se recordará, la construcción
de puntos inversos se fundamenta en el antiparalelismo existente entre las rectas definidas
por las parejas de puntos inversos A - P y A’- P’ respecto a los rayos OA y OP , formando
ángulos de 90°.
- Aplicando el mismo principio a la obtención del inverso de otros puntos, tales como C y
D, observamos el cumplimiento del antiparalelismo: las parejas de puntos inversos P - C
y P’- C’ y los rayos OP y OC , o bien, las parejas P - D y P’- D’ con los rayos OP y OD ; lo
que trae consigo la formación de triángulos rectángulos en A’, C’, D’, etc.
- Al análisis de lo dicho y visto se desprende que los transformados de los puntos de la recta
r se encuentran en posiciones desde las que se aprecia el segmento OP’ bajo un ángulo de
90°; es decir, se encuentran en el arco capaz de 90° y, por tanto, se posicionan en una
circunferencia de diámetro el segmento OP’.
1
CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR UN PUNTO Y SON TANGENTES
A OTRA Y A UNA RECTA ( P r c )
Dibuja, empleando el MÉTODO DE INVERSIÓN, las circunferencias
que, pasando por el punto P sean tangentes a la recta r y a la circunferencia c, de centro O.
GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA
TANGENTES II: APLICACIÓN DE INVERSIÓN
NOTA.- De las cuatro posibles soluciones, considerar, únicamente,
aquellas circunferencias solución que queden EXTERIORES a la circunferencia dada.
DATOS
DATOS INVERTIDOS
3
nombre y apellidos
nº
Prc
19
2
RECTAS TANGENTES EXTERIORES A LOS DATOS INVERTIDOS
curso/grupo
fecha
REINVERSIÓN: CIRCUNFERENCIAS SOLUCIÓN
r
t2
t’2
r
r
4’
r’
r’
4
P
P
P
P
(C.I.)
(C.I.)
3’
k
c
c’1
3
c’
2
1
c
c1
t1
1’
2’
t’1
ESQUEMA
SOLUCIONES
CIRCUNF.
r
CIRCUNF.
CONCEPTUAL
D AT O S
t1
CIRCUNF.
t2
RECTA
INVERSOS
c
c’
CIRCUNF.
(doble)
r
r’
CIRCUNF.
EXTERIORES
c
Prc
O
t’1
R EC TA
t’1
R EC TA
EXTERIORES
PUNTO
P
TA N G . I N V E R S A S
P
C.Inversión
1
CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR UN PUNTO Y SON TANGENTES
A OTRA Y A UNA RECTA ( P r c )
Dibuja, empleando el MÉTODO DE INVERSIÓN, las circunferencias
que, pasando por el punto P sean tangentes a la recta r y a la circunferencia c, de centro O.
GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA
TANGENTES II: APLICACIÓN DE INVERSIÓN
NOTA.- De las cuatro posibles soluciones, considerar, únicamente,
aquellas circunferencias solución que queden EXTERIORES a la circunferencia dada.
DATOS
DATOS INVERTIDOS
3
nombre y apellidos
nº
Prc
19
2
curso/grupo
RECTAS TANGENTES EXTERIORES A LOS DATOS INVERTIDOS
fecha
REINVERSIÓN: CIRCUNFERENCIAS SOLUCIÓN
r
t2
t’2
r
r
4’
r’
r’
4
P
P
P
P
(C.I.)
(C.I.)
3’
k
c
3
c’
c’1
2
1
c
c1
t1
1’
2’
t’1
ESQUEMA
t2
SOLUCIONES
CIRCUNF.
r
CIRCUNF.
CONCEPTUAL
D AT O S
t1
CIRCUNF.
t2
RECTA
INVERSOS
c
c’
CIRCUNF.
(doble)
r
r’
CIRCUNF.
EXTERIORES
P
r’
4’
4
Q’
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k
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2
S1
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t1
c’
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1’
Prc
2’
t’1
R EC TA
t’1
R EC TA
EXTERIORES
PUNTO
S2
TA N G . I N V E R S A S
C.Inversión
VERIFICACIÓN
En una INVERSIÓN definida por su centro O y el par de puntos inversos A - A’, hallar el punto B’ inverso del punto B, alineado con A.
O
70
A
A’
B
VERIFICACIÓN
e
au
i
to
nv
ers
ió n
R R’
Arco capaz de 90°
T T’
cu
nf
.d
En una INVERSIÓN
INVERSIÓN definida
definidapor
porsu
sucentro
centroOOyyelelpar
parde
depuntos
puntosinversos
inversosA A
- A’,
- A’,
hallar
hallar
el el
punto
punto
B’ B’
inverso
inverso
deldel
punto
punto
B, B,
alineado
alineado
concon
A. A.
Cir
k
O
B’
A
M
A’
B
Mediatriz de OA’
k
CONSTRUCCIÓN
- Se determina, gráficamente, la media proporcional o geométrica de los
segmentos OA y OA’, dado que debe verificarse, por definición, que:
OA · OA’ = k2 (potencia de inversión).
- Determinando el punto medio M del segmento OA’, y haciendo centro
en él, se traza una semicircunferencia. La perpendicular trazada a la
recta OA por el punto A , determina, por intersección con el arco, el
punto T. La magnitud OT = k determina el radio y, con ello, el trazado
de la circunferencia de autoinversión.
- Dibujada la circunferencia de autoinversión es inmediato hallar B’ como
inverso del punto B dado.
70
1
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRAS TRES EXTERIORES
DE RADIOS DIFERENTES (c c c )
Dibuja, empleando el método de inversión, las CIRCUNFERENCIAS
TANGENTES INTERIOR y EXTERIOR a las tres circunferencias dadas
c1 , c 2 y c 3 , de centros O1 , O2 y O3 , respectivamente.
NOTA.- Aplicar el procedimiento de dilataciones, a fin de reducir la circunferencia de menor radio a un punto ( su centro O1 ), que se utilizará
como centro de inversión para resolver la transformación geométrica.
ccc
DATOS
c3
DATOS INVERTIDOS
c2
c*2’
c*3
nº
curso/grupo
c
c*2
3*’
ESQUEMA
D AT O S
O1
t1
3
O1
O1
(C.I.)
(C.I.)
1
4
5
4*’
6
CONCEPTUAL
D I L ATA C I Ó N
INVERSOS
D I L AT A C I Ó N
Y
SOLUCIONES
CIRCUNF.
c1
O1
PUNTO
CIRCUNF.
t1
CIRCUNF.
c2
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CIRCUNF.
c*’2
CIRCUNF.
t*’1
REC TA
CIRCUNF.
t2
CIRCUNF.
c3
c*3
CIRCUNF.
c*’3
CIRCUNF.
t*’2
RE CTA
EXTERIORES
2
t*2
k
c1
t2
c*3’
c*2
c1
REINVERSIÓN, DILATACIÓN Y
CIRCUNFERENCIAS SOLUCIÓN
1*’
t*1
*’
2
c*3’
20
fecha
RECTAS TANGENTES EXTERIORES
A LOS DATOS INVERTIDOS
c*3
3
nombre y apellidos
2*’
c3
c2
GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA
TANGENTES II: APLICACIÓN DE INVERSIÓN
En el caso general se obtienen ocho soluciones. Téngase en cuenta que
únicamente se pide trazar las circunferencias solución que INSCRIBEN
o CIRCUNSCRIBEN a las tres circunferencias dadas. Las otras seis
soluciones posibles se muestran esquematizadas en la parte izquierda
de la hoja lo que facilita un rápido análisis gráfico al lector.
DILATACIÓN NEGATIVA DE LOS DATOS
2
C. de Inversión
(doble)
TA N G . I N V E R S A S
EXTERIORES
ANÁLISIS ESQUEMÁTICO DEL RESTO DE SOLUCIONES
c2
c3
O2
O3
c1
O1
ccc
1
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRAS TRES EXTERIORES
DE RADIOS DIFERENTES (c c c )
Dibuja, empleando el método de inversión, las CIRCUNFERENCIAS
TANGENTES INTERIOR y EXTERIOR a las tres circunferencias dadas
c1 , c 2 y c 3 , de centros O1 , O2 y O3 , respectivamente.
NOTA.- Aplicar el procedimiento de dilataciones, a fin de reducir la circunferencia de menor radio a un punto ( su centro O1 ), que se utilizará
como centro de inversión para resolver la transformación geométrica.
ccc
DATOS
c3
DATOS INVERTIDOS
c2
nº
c*2’
c*3
curso/grupo
c
c*2
3*’
ESQUEMA
D AT O S
O1
3
D I L ATA C I Ó N
c1
O1
PUNTO
t1
CIRCUNF.
c2
c*2
CIRCUNF.
c*’2
CIRCUNF.
c*’ CIRCUNF.
t2
EXTERIORES
CIRCUNF.
c3
c*3
O1
(C.I.)
4
6
INVERSOS
CIRCUNF.
CIRCUNF.
O1
(C.I.)
1
5
4*’
CONCEPTUAL
D I L AT A C I Ó N
Y
SOLUCIONES
CIRCUNF.
t1
2
t*2
k
c1
t2
c*3’
c*2
c1
REINVERSIÓN, DILATACIÓN Y
CIRCUNFERENCIAS SOLUCIÓN
1*’
t*1
*’
2
c*3’
20
fecha
RECTAS TANGENTES EXTERIORES
A LOS DATOS INVERTIDOS
c*3
3
nombre y apellidos
2*’
c3
c2
GEOMETRÍA MÉTRICA APLICADA
TANGENTES II: APLICACIÓN DE INVERSIÓN
En el caso general se obtienen ocho soluciones. Téngase en cuenta que
únicamente se pide trazar las circunferencias solución que INSCRIBEN
o CIRCUNSCRIBEN a las tres circunferencias dadas. Las otras seis
soluciones posibles se muestran esquematizadas en la parte izquierda
de la hoja lo que facilita un rápido análisis gráfico al lector.
DILATACIÓN NEGATIVA DE LOS DATOS
2
C. de Inversión
3
CIRCUNF.
(doble)
TA N G . I N V E R S A S
t*’1
t
*’
2
REC TA
t2
t*1
RE CTA
EXTERIORES
2*’
c*’2
ANÁLISIS ESQUEMÁTICO DEL RESTO DE SOLUCIONES
c2
c3
c*2
t*2
S2
1*’
3*’
O2
3
3*
c*3
2*
t1
S1
c*’3
O3
2
1*
1
4*’
4*
5
k
c1
4
O1
(C.I.)
6
ccc
VERIFICACIÓN
Realiza una sistematización esquemática de los CUATRO CASOS de TANGENCIAS planteados en esta unidad didáctica.
72
VERIFICACIÓN
Realiza una sistematización
sistematización esquemática
esquemática de
de los
los CUATRO
CUATROCASOS
CASOSde
deTANGENCIAS
TANGENCIAS
planteados
planteados
en en
esta
esta
unidad
unidad
didáctica.
didáctica.
Q
P
P
P
r
P P c : 2 soluciones
P c c : 4 soluciones
P r c : 4 soluciones
c c c : 8 soluciones
72