MODIFICACION A LA METRICA DE REISSNER

Rnist.
Mexicana de Física 30 no. 1 (1983) 83-89
83
MODIFICACION A LA METRICA DE
REISSNER COSMOLOGIA
NORDSTROM EN UNA
DE EINSTEIN -
DE SITTER
L. Nuñez, H. Raga, L. Aulestia
Departamento
de Fisica,
Universidad
Zona Postal
(recibido mayo
5101.
Facultad
de Ciencias
de Los Andes
Mérida - Venezuela
18, 1983; aceptado
julio 20, 1983)
RESlJMF.N
Se propone una modificación a la métrica de Reissner - Nordstr~m
de tal forma que tienda asintóticamente al modelo de Einstei.n-De Sitter.
Se encuentra que la evolución de este modelo impone una variación temporal
de la masa y de la carga de la partícula.
Dentro de este esquema, se calculan la cuadricorriente
y el tensor energía - momento asociados con la
partícula.
ABSTRACf
A modification of the Reissner - Nordstrom metric, which makes
it tend asymptotically
to the Einstein-De Sitter model, is proposed.
It
is found that the evolution of this model imposes a time variation on the
mass and charge of partiele.
The associated four-eurrent and energy momentum tensor are ealculated within this framework.
84
1.
INTRODUCCIQ'i
En un artículo escrito en 1979, que en lo sucesivo designaremos
como 1, Dirac(l) concluyó que el modelo de universo consistente
pótesis de los grandes nÚIDCros es el universo de Einstein-De
Puesto que la métrica de Schwarzchild
el espacio-tiempo
es asintóticamcnte
ficación de esta métrica
Sitter.
se obtiene con la suposición
minkowskiano,
de que
Dirac propone una modi-
de tal suerte que se ajuste al universo de Eins-
tein - De Sitter a grandes distancias
de la masa de Schwarzchild.
En este trabajo se realiza el ajuste correspondiente
ca generada por una partícula cargada.
remos métrica de Reissner - NordstT~m
tática.
con la hi-
En la sección 2 hallaremos
dcncia de los parámetros m
y
a la métri-
La métrica resultante, que llamamodificada,
es necesariamente
no es-
su forma e~)lícita, así como la depen-
e con el tiempo cósmico.
En la sección 3
calculamos el tensor de energía - momento y la cu.dricorriente
correspon-
dientes, a través de las ecuaciones de Einstein - ~bxwel1.
2.
ECUACIONES DE EINSTEIN
Consideremos
- ~fA\WELL
las ecuaciones de campo en la teoría de Einstein -
~h.xwell ,
R
1 R
F~aF
F"V
A~'v _
va
\l
=
- 8nE
g"V
E"v
FlJ\l;
donde R
2"
"V
+
( 1-a)
"V
1 ó"
4" v FaS F"S
(J-b)
AV,lJ
( 1- e)
J"
( 1-d)
es el tensor de Ricci, R la curvatura escalar, E
lJ\l
es el tensor
momento asociado con el campo electroTnk.gnético, F y JlJ el
lJV
de energía.
tensor de ~nXh'e1l y el cuadrivector
"V
corriente eléctrica respectivamente.
Es bicn sabido(2) que la única solución esféricamente
simétriGl
85
y aSlntóticamente
plana a estas secciones,
con J~
=
O Y F
""
f O, es la 50-
lución estática de Reissner - NOTdstr~m. que en las coordenadas
(t,r,8,¡p)
tiene
usuales
la forma
( 2)
El primer paso para obtener la modificación
trica (2) es reescribirla
en coordenadas
isotrópicas
requerida en la mé-
(t,r,e.~). Un cálcu.
lo simple da
ds' • O'(r) d,'
- 8'(r)
[dr'
+ r'(de'
+ sen'ed~') ]
(3)
donde
m2
e2
(1 - --- + --- )
4r2
4r2
m
2.
el
(1 + 2r) - 4fT
a (r)
( 4)
y
B
ID'(1+-)
(r)
[
La comparación
ds'
=
d,'
sugiere modificar
2r
e' ]
---2
(5)
4r
de (3) con la métrica de Einstein
- ,4/3 [dr'
las funciones
+ r'(de'
ay
+ sen'ed~') ]
B multiplicando
El resultado es que ahora
ds' = a'(r,')
+
- e'(r,')
(dr'
r' de'
+
(6)
8 por t2/3 y permi-
tiendo que e y m dependan de t.
d,'
- De Sitter.
r'sen'ed~')
(7)
donde
a(r,')
(8)
86
y
S'(r,t)
[
Siguiendo
(1 +
!illl. )' 2r
a l, la dependencia
tra tratando de satisfacer
....:..w. ] \
4/3
(9)
4r2
de ro y e con el tiempo se encuen-
el sistema original de Einstein - Maxwell. tan-
to coro sea posible. para lo cual escrib i.Joos
ROl pero (l-b)
1
1 gOlR
( lO)
nos pennite
afinnar
que E"
o. y
cOJOO gOl
o
podemos escri-
biT
O
R"
( 11)
que concuerda con la ecuación usada en l.
puede ser integrada una vez para obtener
B
=
donde F(t) es
aS F(t)
fooción desconocida de t y el
lUla
parcial respecte a t.
II-1
3
[
Esta condición para la métrica
(1 +.!!!-)'_~,
2r
4r'
Pllllto
significa
derivada
El cálculo explícito da
ID
ID
é2
+-(1+-)--=
r
2r
4r2
]
ro2
e2
(1--+-)
4r2
4r2
F(t)
Igualando los coeficientes de las mismas potencias de r a ambos lados de
esta ecuación, conseguiroos
2
-1
"3t
F(t)
2
,- m + tm
( 12-a)
O
(12-b)
y
ID
rnt
2
et
2
- -4-
O
(12-c)
L
87
concluyendo
que
=
m
( 13-a)
y
e2 t-4/3
e'
( 13-b)
o
por lo que la métrica
3.
(7) está completamente
TENSOR ENERGIA - ~1JMENrO Y CUADRlCORRIFNfE
Las modificaciones
tienen la consecuencia
mente
la
E
=
donde T
"V
T
lJV
impuestas a la métrica de Reissner-Nordstr~m
de que el tensor de energía-impulso
Por inspección
"V
forma
puede verse que es posible
(O) + T
\.1\1
isotrópicas
las únicas componentes
4
pero con
en
( 14)
que TIJ\)(O)es formalmente
coordenadas
no es simple-
una separación
(1)
(O) no depende de las derivadas
demuestra
determinada.
de a y
temporales
B. El cálculo
el tensor de Reissner-NordstT~m en
y e dependiendo
ID
no nulas de T
"V
de t.
Por otra
parte.
(1) son
-,
(1 S-a)
3t
y
1
T, (1)
estas componentes
energía
=
3
T,(1)
4
= 3t
-2
pueden ser expresadas
(1 - a
-1
)
( 1 S- b)
en la forma us~~l del tensor de
- momento de un fluido perfecto:
T
donde u
2
T,(l)
"
"V
(1)
es la cuadrivclocidad,
( 16)
P
o
To (1) y P
=
1
-T, (1) .
to afirmar que hay una densidad efectiva P
ef = p
+
Pooe""s
por tan-
p y una presión dadas
88
4
'3
-2
t
- I
( 17)
a
y
( 18)
p
En ausencia
de la partícula
o a distancias
muy grandes de ella,
2
Pef = ~ t- proveniente del modelo de Einstein - De Sitter, y presión nula. La presencia de la partícula modifica
hay una densidad cosmológica
la densidad por un factor a. 1 Y da lugar a una presión dada por (18) en
correspondencia
formal con 1, cuyos resultados
recobramos
cuando hacemos
e = O.
La Ec. (l-d) hace posible calcular
usual, elegimos
el cuadrivector
potencial
la cuadricorriente.
Como es
camo
( 19)
El correspondiente
tensor de Maxwel1 F
cero:
FIO = -F¡O
=
[
"V
tiene componentes
m),(e,].tl.!l
1 - ( 2r
de donde se obtiene directamente
4.
J
2r)
+
"
diferentes
de
(20)
6'r'
o.
crnCI.LS IONF.S
Hemosobtenido las modificaciones necesarias para lograr que la
métrica de Reissner - Nordstr~
tienda asintóticamente
verso de Einstein - De Sitter.
En particular
e a t-4/3 haciendo constante la relación e/m.
al modelo de uní-
se encontró que ~t
-2/3
y
Es importante señalar que a
diferencia de otros casos(3,4) donde los parámetros e y m se hacen dependientes de t, aquí la variación temporal es una consecuencia de la expansión del universo.
Incidentalmente
observemos que una métrica de la forma
89
2m
,
ds'
(1 _ 2m+~)dt'
r r'
e2
(1--+-)
_
r r'
( 1- Kr')
- 1
R'(t)dr'
_ R'r'(de'
+sen'e~')
que para pequeñas distancias es una métrica tipo Rcissner - Nordstr~m y
para valores grandes de r tiende a la métrica de Robertson - Walker. pennite obtener exactamente la misma dependencia temporal para la carga y la
masa, independientemente del parámetro K(S).
Finalmente. notemos que
sultados de l.
péT3
el caso e = O se reproducen
los re-
REFERENCIAS
l.
2.
3.
4.
P.A.M. Dirac, Proc. Roy. Soco Lond. A, 365 (1979) 19.
B. Hoffmann, Quat. J. Math., 4 (1932) I~
P.C. Vaidya, Proc. Ind. Acad.-Sc;ences, A33 (1951) 264.
W.B. Bonnor y P.C. Va;dya, Gen. Re1. andlGravit., Vol. 1, No. 2 (1970)
127.
5. H. Ra90 y L. Nuñez (1981). Trabajo no publicado.